22.2 二次函數(shù)與一元二次方程 重難點專項練習（六大題型）（解析版）

22.2《二次函數(shù)與一元二次方程》分層練習考查題型一利用函數(shù)圖象確定不等式的解集1．（2023·山東濟寧·統(tǒng)考一模）如圖是二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖像，觀察圖像寫出時，x的取值范圍（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圖像解答即可．【詳解】解：由圖象可知，當時，x的取值范圍．故選C．【點睛】本題考查了利用函數(shù)圖象解不等式，數(shù)形結合是解答本題的關鍵．2．（2023春·四川內江·九年級校考階段練習）拋物線的部分圖象如圖所示，則當時，的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用拋物線的對稱性確定拋物線與軸的另一個交點坐標為，然后結合二次函數(shù)圖象，寫出拋物線在軸上方所對應的自變量的范圍即可．【詳解】解：拋物線與軸的一個交點坐標為，對稱軸是直線，拋物線與軸的另一個交點坐標為，拋物線開口向下，當時，．故選：C．【點睛】本題考查了拋物線與軸的交點：把求二次函數(shù)是常數(shù)，與軸的交點坐標問題轉化為解關于的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質以及圖象法解一元二次方程．3．（2022秋·安徽蚌埠·九年級?？计谀┤鐖D，由二次函數(shù)的圖象可知，不等式的解集是（

）A． B． C．或 D．【答案】A【分析】由求不等式的解集即求二次函數(shù)的圖象在x軸上方時x的取值范圍，再結合圖象即可得出答案．【詳解】解：∵求不等式的解集即求二次函數(shù)的圖象在x軸上方時x的取值范圍，又∵當時，二次函數(shù)的圖象在x軸上方，∴不等式的解集為．故選：A．【點睛】本題考查圖象法解一元二次不等式．利用數(shù)形結合的思想是解題關鍵．4．（2022·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）圖示為拋物線y＝ax2+bx+c的一部分，其對稱軸為直線x＝2，若其與x軸的一交點為B（6，0），則由圖象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是（）A．x＞6 B．0＜x＜6 C．﹣2＜x＜6 D．x＜﹣2或x＞6【答案】D【分析】由拋物線與x軸的一個交點（6，0）和對稱軸x=2可以確定另一交點坐標為（-2，0），又＞0時，圖象在x軸上方，由此可以求出x的取值范圍．【詳解】解：∵拋物線與x軸的一個交點（6，0）而對稱軸x＝2∴拋物線與x軸的另一交點（﹣2，0）當＞0時，圖象在x軸上方此時x＜﹣2或x＞6故選D【點睛】本題考查的是二次函數(shù)與不等式的關系，解答此題的關鍵是求出圖象與x軸的交點，然后由圖象找出當y＞0時，自變量x的范圍，本題鍛煉了學生數(shù)形結合的思想方法．考查題型二利用不等式求自變量或函數(shù)值的范圍1．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標系中，將拋物線：繞原點旋轉后得到拋物線，在拋物線上，當時，隨的增大而增大，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意先求得旋轉后的拋物線的解析式，然后確定旋轉后的拋物線的開口方向和對稱軸，最后根據(jù)在旋轉后的拋物線上，當時，隨的增大而增大，可得到關于的不等式，從而求解得的取值范圍．【詳解】∵由題意得旋轉后的拋物線的解析式為：，∴拋物線的開口向下，對稱軸為直線，∵在拋物線上，當時，隨的增大而增大，∴可得：，解得：，故選：D．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質及函數(shù)圖象的變換，確定旋轉后的函數(shù)解析式是解題的關鍵．2．（2023·福建福州·福建省福州楊橋中學?？寄M預測）點，都在拋物線上．若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)列出關于m的不等式即可解得答案．【詳解】解：∵點，都在二次函數(shù)的圖象上，∴，，∵，∴，∴，即，∴，故B正確．故選：B．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是根據(jù)已知列出關于m的不等式．3．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·校聯(lián)考一模）在二次函數(shù)圖像上的兩點、，若，則t的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將、代入二次函數(shù)求解即可．【詳解】將、代入二次函數(shù)，∴，，∵，∴，∴．故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與不等式．4．（2022秋·浙江溫州·九年級統(tǒng)考期末）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，當x＞0時，函數(shù)值y的取值范圍是（）A． B．y≤2 C．y＜2 D．y≤3【答案】A【分析】根據(jù)待定系數(shù)求解析式，進而求得頂點坐標，即的最大值，進而即可求得答案【詳解】解：∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c圖象的對稱軸為，與軸的交點為，與軸的一個交點為，∴另一交點為設拋物線解析式為，將點代入得解得拋物線解析式為則頂點坐標為當x＞0時，函數(shù)值y的取值范圍是故選A【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，化為頂點式是解題的關鍵．考查題型三根據(jù)交點確定不等式的解集1．（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標中，拋物線和直線交于點和點，則不等式的解集為．

【答案】【分析】根據(jù)已知圖象，確定交點橫坐標,再找出直線在拋物線上方的部分，即可得到答案．【詳解】解：由圖象可知，拋物線與直線交點的橫坐標分別為0、3，當時，直線在拋物線上方，不等式的解集為，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與不等式的關系，利用數(shù)形結合的思想解決問題是解題關鍵．2．（2023·吉林長春·校聯(lián)考三模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線和直線交于點和點．若點的橫坐標是3，則的解集為．【答案】/【分析】根據(jù)題意可得是方程的一個解，據(jù)此求出，則不等式可以化簡為，由此求解即可．【詳解】解：∵拋物線和直線交于點和點，點的橫坐標是3，∴是方程的一個解，∴，∴，∴即為，∴∵拋物線開口向上，∴，∴，即，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)與不等式，二次函數(shù)與一元二次方程，正確推出是解題的關鍵．3．（2023·廣西梧州·統(tǒng)考一模）如圖，直線與拋物線交于兩點，則關于x的不等式的解集是.【答案】【分析】根據(jù)題意得出當時，則，進而結合函數(shù)圖象得出x的取值范圍．【詳解】解：根據(jù)題意得出當時，則，則從圖象看，關于x的不等式的解集為，故答案為：．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)與不等式的關系，解答該題時，要具備很強的讀圖能力．4．（2022秋·河南信陽·九年級?？茧A段練習）如圖，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象相交于、兩點，則關于x的不等式的解集為．【答案】【分析】找到二次函數(shù)的圖象在一次函數(shù)的圖象下方的部分對應的x的值即可．【詳解】解：由圖象可知，關于x的不等式的解集為，故答案為：．【點睛】此題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象交點問題，利用交點求不等式的解集，解答本題的關鍵是熟練掌握圖象在下方的部分對應的函數(shù)值較?。疾轭}型四拋物線與X軸的交點問題1．已知二次函數(shù)，其與x軸有個交點．【答案】2/兩【分析】二次函數(shù)的圖象與x軸交點個數(shù)只需要判斷方程根的情況，也就是判斷即可．【詳解】當時，∵∴方程有兩個不相等的實數(shù)根∴二次函數(shù)與x軸有兩個交點故答案為：2【點睛】本題考查二次函數(shù)與一元二次方程得關系，二次函數(shù)與x軸交點問題轉換成求是解題的關鍵．2．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考二模）二次函數(shù)的圖像與x軸只有一個交點，則．【答案】1【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖像與x軸只有一個交點，得，求解即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖像與x軸只有一個交點，∴，即，解得：故答案為：1．【點睛】本題考查二次函數(shù)與x軸交點問題，熟練掌握“二次函數(shù)與x軸有兩個交點，則；二次函數(shù)與x軸只有一個交點，則；二次函數(shù)與x軸無交點，則”是解題的關鍵．3．（2023·山東青島·統(tǒng)考三模）已知關于x的函數(shù)的圖象與x軸有交點，則m的取值范圍是______．【答案】【分析】由于函數(shù)是二次函數(shù)還是一次函數(shù)不能確定，故應分類討論，即當時，此函數(shù)是一次函數(shù)，由一次函數(shù)的性質可知函數(shù)圖象與x軸有交點：當時，根據(jù)的取值范圍即可判斷．【詳解】解：當，即時，此函數(shù)可化為，此函數(shù)為一次函數(shù)與x軸必有交點；當，即時，，解得且，綜上所述，m的取值范圍是，故答案為：．【點睛】本題考查的是拋物線與x軸的交點問題及一次函數(shù)的性質，解答此題時一定要分函數(shù)是一次函數(shù)與二次函數(shù)兩種情況討論．4．（2023·山東淄博·?？级＃┤艉瘮?shù)的圖象與x軸只有一個交點，則m的值為．【答案】或【分析】根據(jù)和兩種情況，根據(jù)一次函數(shù)的性質、二次函數(shù)與方程的關系解答．【詳解】解：當，即時，函數(shù)解析式為：是一次函數(shù)，圖象與x軸有且只有一個交點，當即時，函數(shù)為二次函數(shù)，∵函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點，∴有1個實數(shù)根，∴，解得．故答案為：或．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的性質，以及二次函數(shù)與x軸的交點問題，掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關系、靈活運用分情況討論思想是解題的關鍵．考查題型五求拋物線與X軸的交點坐標1．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱德強學校?？家荒＃佄锞€與軸交點坐標為．【答案】【分析】令，求出x的值，進而拋物線與x軸的交點坐標．【詳解】解：令，即，解得則拋物線與x軸的交點坐標為,故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，是基礎題，掌握拋物線與坐標軸的交點的求法是解題的關鍵．2．（2022秋·廣東肇慶·九年級?？计谥校佄锞€與x軸的交點坐標為．【答案】或【分析】把代入，即可求出與x軸的交點坐標．【詳解】解：令代入，得解得，所以拋物線與x軸的交點坐標為或，故答案為：或．【點睛】本題是對二次函數(shù)與坐標軸交點的考查，令，可求拋物線與x軸的交點坐標，掌握交點的求法是解題關鍵．3．（2023秋·河南信陽·九年級統(tǒng)考期末）二次函數(shù)的圖象與直線的交點坐標是．【答案】【分析】聯(lián)立兩個函數(shù)解析式求解即可．【詳解】解：由題意，得，解得，∴次函數(shù)的圖象與直線的交點坐標是．故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與直線的交點問題，聯(lián)立函數(shù)解析式求解是解答本題的關鍵．4．（2023·山東棗莊·?？寄M預測）二次函數(shù)的圖象交x軸于點A，B．則點的距離為．【答案】10【分析】令，可得方程，解方程即可求解．【詳解】解：令，則，解得，，∴，，∴．故答案為：10．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與x軸交點坐標的問題，掌握一元二次方程的求解方法是解答本題的關鍵．考查題型六求X軸與拋物線的截線長1．（2023秋·浙江金華·九年級統(tǒng)考期末）已知拋物線經(jīng)過點和點，(1)求這個拋物線的解析式及頂點坐標．(2)求拋物線與x軸兩個交點之間的距離．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，再把解析式化為頂點式，即可求解；（2）令，可得，即可求解．【詳解】（1）解：把點和點代入得：，解得：，∴這個拋物線的解析式為，∵，∴這個拋物線的頂點坐標為；（2）解：當時，，解得：，∴拋物線與x軸兩個交點坐標為，∴拋物線與x軸兩個交點之間的距離為．【點睛】本題主要考查了求二次函數(shù)的解析式，拋物線與x軸的交點問題，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式是解題的關鍵．2．（2022秋·山東德州·九年級統(tǒng)考期中）拋物線與x軸交于A、B兩點（A在B的右側），與y軸交于點C．(1)求線段的長；(2)判斷的形狀．【答案】(1)2(2)等腰直角三角形【分析】（1）根據(jù)題意，可以求出點和點的坐標，從而可以得到的長；（2）先求出點的坐標，再根據(jù)勾股定理可以得到和的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷的形狀．【詳解】（1）解：拋物線，當時，，拋物線與軸交于、兩點在的右側），點的坐標為，點的坐標為，，即線段的長為2；（2）拋物線，當時，，拋物線與軸交于點，點的坐標為，又點的坐標為，點的坐標為，，，，，，是等腰直角三角形．【點睛】本題考查拋物線與軸的交點、二次函數(shù)的性質、勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質和勾股定理的逆定理解答．3．（2022秋·廣東東莞·九年級?？茧A段練習）已知拋物線．(1)求出它的頂點坐標和對稱軸；(2)若拋物線與x軸的兩個交點為A、B，求線段AB的長．【答案】(1)，對稱軸為x=1(2)【分析】（1）將解析式化為頂點式即可求解；（2）令，解方程得交點坐標，進而即可求解．【詳解】（1）解：∴頂點坐標為；對稱軸為x=1；（2）解：令，即，解得，∴的長為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質，拋物線與軸的截線的長，掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．4．（2022秋·安徽蚌埠·九年級?？茧A段練習）已知二次函數(shù)y=2x2-4x-6．（1）求證：該拋物線與x軸一定有兩個交點；（2）若該拋物線與x軸的兩個交點分別為點A、B，且它的頂點為點P，求△ABP的面積．【答案】（1）見解析；（2）16．【分析】（1）根據(jù)b2-4ac與0的關系即可判斷出二次函數(shù)y=2x2-4x-6的圖象與x軸交點的個數(shù)；（2）先求出拋物線y=2x2-4x-6與x軸的兩個交點A、B的坐標，再求出頂點P的坐標，根據(jù)三角形的面積公式即可得出結論．【詳解】（1）證明：△=b2-4ac=（-4）2-4×2×（-6）=64∵△＞0，∴該拋物線一定與x軸有兩個交點．（2）當y=0時得：2x2-4x-6=0解得：x1=-1，x2=3即A（-1，0），B（3，0），∴AB=4，∵y=2x2-4x-6=2（x2-2x）-6=2(x-1)2-8∴P(1，-8)∴△ABP的面積=【點睛】本題考查了二次函數(shù)與x軸的交點，可以通過判別式△的符號判斷拋物線與x軸的交點個數(shù)，當△＞0時，拋物線與x軸有兩個不同交點，當△=0時，有一個交點，即頂點在x軸上，當△＜0，拋物線與x軸沒有交點．1．（2023·山西大同·校聯(lián)考三模）綜合與探究：如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，點D是拋物線上一個動點，設點D的橫坐標為，連接．

(1)求A，B，C三點的坐標；(2)當?shù)拿娣e等于的面積的時，求m的值；(3)在（2）的條件下，若點M是x軸上一動點，點N是拋物線上一動點，試探究是否存在這樣的點M，使得以點B，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形．若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，，(2)3(3)存在，或或或【分析】（1）令和求解即可；（2）過點C作交的延長線于F，首先求出，求出直線BC的函數(shù)表達式為：，得到，，然后根據(jù)列方程求解即可；（3）首先得到，然后設，，然后根據(jù)題意分3種情況討論：是平行四邊形的邊，是平行四邊形的邊，是平行四邊形的對角線，分別根據(jù)平行四邊形的性質列方程求解即可．【詳解】（1）由，得．解，得，．∴點A，B的坐標分別為，，由，得．∴點C的坐標為．（2）如圖，過點D作軸于E，交BC于G，

過點C作交的延長線于F．∵點A的坐標為，點C的坐標為．∴，．∴．∴．∵點B的坐標為，點C的坐標為，設直線BC的函數(shù)表達式為．則．解得∴直線BC的函數(shù)表達式為：．∵點D的橫坐標為，∴點D的坐標為，點G的坐標為：．∴，，．∴∴．解得：（不合題意舍去），，∴m的值為3．（3）將代入∴，設，，∵，∴如圖所示，當是平行四邊形的邊時，

∴由平行四邊形的性質可得，，解得或∴點M的坐標為或；當是平行四邊形的邊時，

∴由平行四邊形的性質可得，，解得或（不合題意，應舍去）∴點M的坐標為；如圖所示，當是平行四邊形的對角線時，

∴由平行四邊形的性質可得，，解得或（不合題意，應舍去）∴點M的坐標為；綜上所述，點M的坐標為或或或．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法、三角形的面積、解一元二次方程、平行四邊形的性質等知識，運用了數(shù)形結合思想、分類討論思想等數(shù)學思想，熟練掌握和靈活運用相關知識是解題的關鍵．2．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預測）拋物線交x軸于A，B兩點（點A在點B的左邊），交y軸于點C．

(1)直接寫出點A，B，C的坐標；(2)如圖1，連接，，點P在拋物線上，且，求點P的坐標；(3)如圖2，直線l：與拋物線交于點E，F(xiàn)（點E在點F的左邊），與拋物線的對稱軸交于點N，直線交直線l于點M（點M在點E的左邊），使恒成立，求t的值．【答案】(1)，，(2)或(3)4【分析】（1）分別把、代入解析式求解即可；（2）①如圖（1），當P點在第三象限時記為，過點B作交于D點，過D點作，證明，可得，，從而可得，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式為，再聯(lián)立拋物線，可得，進行求解即可；②如圖（2），當P點在第二象限時記為，在上取一點F，使得，過點F作，且，過點G作，連接，證明，可得，，從而可得，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式為，再聯(lián)立拋物線，可得，再進行求解即可；（3）如圖，直線交對稱軸于H，過點E作于點T，于點P，過F作于點G，根據(jù)平行線段成比例可得，，由，可得，求得，從而可得，整理得，再聯(lián)立方程組得，可得，，再代入求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線交y軸于點C，∴當時，，∴，∵拋物線交x軸于A，B兩點（點A在點B的左邊），∴當時，解得：，，∴，．（2）解：①如圖（1），當P點在第三象限時記為，過點B作交于D點，過D點作，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，，∴D點坐標為，設直線的解析式為，將代入得，，∴直線的解析式為，聯(lián)立拋物線，得：，解得：（舍），，∴點坐標為；②如圖（2），當P點在第二象限時記為，在上取一點F，使得，過點F作，且，過點G作，連接，∵，且，∴，∵，且，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，，∴G點坐標為，設直線的解析式為，將G點坐標為代入，可得：，∴直線的解析式為，聯(lián)立拋物線，得：，解得：（舍），，即：點坐標為，綜上所得：P點坐標為或．

（3）解：如圖，直線交對稱軸于H，過點E作于點T，于點P，過F作于點G，則，，

∵，∴，∵直線交直線于點M，∴，∵對稱軸，∴，整理得：，∵聯(lián)立方程組得：，即，∴，，∴，解得：．【點睛】本題考查二次函數(shù)與坐標軸的交點、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、全等三角形的判定與性質、解一元二次方程、平行線分線段成比例定理、一次函數(shù)與二次函數(shù)交點、一元二次方程的系數(shù)與根的關系，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．3．（2023·四川南充·四川省南充高級中學?？级＃┤鐖D，拋物線與x軸交于，兩點，與軸交于點，點是拋物線上一動點．

(1)求拋物線的解析式；(2)若點在直線下方運動，且滿足時，求點的坐標；(3)設的面積為，當為某值時，滿足條件的點有且只有三個，不妨設為，，，求的面積．【答案】(1)(2)的坐標為(3)【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式；（2）作關于軸的對稱點，連接，根據(jù)，關于軸對稱，則，結合已知條件得出'，得出，求得直線的解析式為，直線解析式為，聯(lián)立拋物線解析式，進而即可求解．（3）過點作軸交直線于點，過作軸交于，求得直線解析式為，設，則，當在下方時，，此時，當在上方時，，得出，進而求得直線解析式為，得出，則，進而根據(jù)三角形面積公式即可求解．【詳