嘉禾一中初高中數學銜接教材

嘉禾一中初高中數學銜接教材目 錄引入乘法公式第一講因式分解1提取公因式2.公式法〔平方差，完全平方，立方和，立方差〕3分組分解法4十字相乘法〔重、難點〕5關于x的二次三項式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．第二講函數與方程2.1一元二次方程根的判別式根與系數的關系〔韋達定理〕2．2二次函數二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象和性質二次函數的三種表示方式二次函數的簡單應用第三講三角形的“四心〞乘法公式我們在初中已經學習過了以下一些乘法公式：〔1〕平方差公式；〔2〕完全平方公式．我們還可以通過證明得到以下一些乘法公式：〔1〕立方和公式；〔2〕立方差公式；〔3〕三數和平方公式；〔4〕兩數和立方公式；〔5〕兩數差立方公式．對上面列出的五個公式，有興趣的同學可以自己去證明．例1計算：．解法一：原式===．解法二：原式===．例2，，求的值．解：．練習1．填空：〔1〕〔〕；〔2〕；(3)．2．選擇題：〔1〕假設是一個完全平方式，那么等于〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔2〕不管，為何實數，的值〔〕〔A〕總是正數〔B〕總是負數〔C〕可以是零〔D〕可以是正數也可以是負數第一講因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法，另外還應了解求根法及待定系數法．1．十字相乘法例1分解因式：〔1〕x2－3x＋2；〔2〕x2＋4x－12；〔3〕；〔4〕．解：〔1〕如圖1．1－1，將二次項x2分解成圖中的兩個x的積，再將常數項2分解成－1與－2的乘積，而圖中的對角線上的兩個數乘積的和為－3x，就是x2－3x＋2中的一次項，所以，有x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．－ay－by－ay－byxx圖1．1－4－2611圖1．1－3－1－211圖1．1－2－1－2xx圖1．1－1說明：今后在分解與本例類似的二次三項式時，可以直接將圖1．1－1中的兩個x用1來表示〔如圖1．1－2所示〕．〔2〕由圖1．1－3，得x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．〔3〕由圖1．1－4，得－11xy－11xy圖1．1－5〔4〕＝xy＋(x－y)－1＝(x－1)(y+1)〔如圖1．1－5所示〕．課堂練習一、填空題：1、把以下各式分解因式：〔1〕__________________________________________________?！?〕__________________________________________________?！?〕__________________________________________________?！?〕__________________________________________________?！?〕__________________________________________________?！?〕__________________________________________________?！?〕__________________________________________________?！?〕__________________________________________________?！?〕__________________________________________________?！?0〕__________________________________________________。2、3、假設那么，。二、選擇題：〔每題四個答案中只有一個是正確的〕1、在多項式〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕中，有相同因式的是〔〕A、只有〔1〕〔2〕 B、只有〔3〕〔4〕C、只有〔3〕〔5〕 D、〔1〕和〔2〕；〔3〕和〔4〕；〔3〕和〔5〕2、分解因式得〔〕A、B、C、D、3、分解因式得〔〕A、B、C、D、4、假設多項式可分解為，那么、的值是〔〕A、，B、，C、，D、，5、假設其中、為整數，那么的值為〔〕A、或B、C、D、或三、把以下各式分解因式1、2、3、4、2．提取公因式法例2分解因式：〔1〕 〔2〕解：〔1〕．=〔2〕===．或＝＝＝＝＝課堂練習：一、填空題：1、多項式中各項的公因式是_______________。2、__________________。3、____________________。4、_____________________。5、______________________。6、分解因式得_____________________。7．計算=二、判斷題：〔正確的打上“√〞，錯誤的打上“×〞〕1、………… 〔〕2、…………… 〔〕3、…………… 〔〕4、……………… 〔〕3：公式法例3分解因式： 〔1〕〔2〕解：(1)= (2)=課堂練習一、，，的公因式是______________________________。二、判斷題：〔正確的打上“√〞，錯誤的打上“×〞〕1、………… 〔〕2、………………… 〔〕3、………………… 〔〕4、………… 〔〕5、……………… 〔〕五、把以下各式分解1、2、3、4、4．分組分解法例4〔1〕〔2〕．〔2〕===．或===．課堂練習：用分組分解法分解多項式〔1〕〔2〕5．關于x的二次三項式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．假設關于x的方程的兩個實數根是、，那么二次三項式就可分解為.例5把以下關于x的二次多項式分解因式：〔1〕；〔2〕．解：〔1〕令=0，那么解得，，∴==．〔2〕令=0，那么解得，，∴=．練習1．選擇題：多項式的一個因式為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕2．分解因式：〔1〕x2＋6x＋8；〔2〕8a3－b3；〔3〕x2－2x－1；〔4〕．習題1．21．分解因式：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕．2．在實數范圍內因式分解：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕3．三邊，，滿足，試判定的形狀．4．分解因式：x2＋x－(a2－a)．第二講函數與方程2.1一元二次方程根的判別式{情境設置：可先讓學生通過具體實例探索二次方程的根的求法，如求方程的根〔1〕(2)(3)}我們知道，對于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0〔a≠0〕，用配方法可以將其變形為．①因為a≠0，所以，4a2＞0．于是〔1〕當b2－4ac＞0時，方程①的右端是一個正數，因此，原方程有兩個不相等的實數根x1，2＝；〔2〕當b2－4ac＝0時，方程①的右端為零，因此，原方程有兩個等的實數根x1＝x2＝－；〔3〕當b2－4ac＜0時，方程①的右端是一個負數，而方程①的左邊一定大于或等于零，因此，原方程沒有實數根．由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0〔a≠0〕的根的情況可以由b2－4ac來判定，我們把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0〔a≠0〕的根的判別式，通常用符號“Δ〞來表示．綜上所述，對于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0〔a≠0〕，有當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根x1，2＝；〔2〕當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數根x1＝x2＝－；〔3〕當Δ＜0時，方程沒有實數根．例1判定以下關于x的方程的根的情況〔其中a為常數〕，如果方程有實數根，寫出方程的實數根．〔1〕x2－3x＋3＝0；〔2〕x2－ax－1＝0；〔3〕x2－ax＋(a－1)＝0；〔4〕x2－2x＋a＝0．解：〔1〕∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程沒有實數根．〔2〕該方程的根的判別式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程一定有兩個不等的實數根，．〔3〕由于該方程的根的判別式為Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2所以，①當a＝2時，Δ＝0，所以方程有兩個相等的實數根x1＝x2＝1；②當a≠2時，Δ＞0，所以方程有兩個不相等的實數根x1＝1，x2＝a－1．〔3〕由于該方程的根的判別式為Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a所以①當Δ＞0，即4(1－a)＞0，即a＜1時，方程有兩個不相等的實數根，；②當Δ＝0，即a＝1時，方程有兩個相等的實數根x1＝x2＝1；③當Δ＜0，即a＞1時，方程沒有實數根．說明：在第3，4小題中，方程的根的判別式的符號隨著a的取值的變化而變化，于是，在解題過程中，需要對a的取值情況進行討論，這一方法叫做分類討論．分類討論這一思想方法是高中數學中一個非常重要的方法，在今后的解題中會經常地運用這一方法來解決問題．根與系數的關系〔韋達定理〕 假設一元二次方程ax2＋bx＋c＝0〔a≠0〕有兩個實數根，，那么有；． 所以，一元二次方程的根與系數之間存在以下關系：如果ax2＋bx＋c＝0〔a≠0〕的兩根分別是x1，x2，那么x1＋x2＝，x1·x2＝．這一關系也被稱為韋達定理． 特別地，對于二次項系數為1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，假設x1，x2是其兩根，由韋達定理可知x1＋x2＝－p，x1·x2＝q， 即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2， 所以，方程x2＋px＋q＝0可化為x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的兩根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有以兩個數x1，x2為根的一元二次方程〔二次項系數為1〕是x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．例2方程的一個根是2，求它的另一個根及k的值．分析：由于了方程的一個根，可以直接將這一根代入，求出k的值，再由方程解出另一個根．但由于我們學習了韋達定理，又可以利用韋達定理來解題，即由于了方程的一個根及方程的二次項系數和常數項，于是可以利用兩根之積求出方程的另一個根，再由兩根之和求出k的值．解法一：∵2是方程的一個根，∴5×22＋k×2－6＝0，∴k＝－7．所以，方程就為5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－．所以，方程的另一個根為－，k的值為－7．解法二：設方程的另一個根為x1，那么2x1＝－，∴x1＝－．由〔－〕＋2＝－，得k＝－7．所以，方程的另一個根為－，k的值為－7．例3關于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有兩個實數根，并且這兩個實數根的平方和比兩個根的積大21，求m的值．分析：此題可以利用韋達定理，由實數根的平方和比兩個根的積大21得到關于m的方程，從而解得m的值．但在解題中需要特別注意的是，由于所給的方程有兩個實數根，因此，其根的判別式應大于零．解：設x1，x2是方程的兩根，由韋達定理，得x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4．∵x12＋x22－x1·x2＝21，∴(x1＋x2)2－3x1·x2＝21，即[－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，化簡，得m2－16m－17＝0，解得m＝－1，或m＝17．當m＝－1時，方程為x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，滿足題意；當m＝17時，方程為x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合題意，舍去．綜上，m＝17．說明：〔1〕在此題的解題過程中，也可以先研究滿足方程有兩個實數根所對應的m的范圍，然后再由“兩個實數根的平方和比兩個根的積大21〞求出m的值，取滿足條件的m的值即可．〔1〕在今后的解題過程中，如果僅僅由韋達定理解題時，還要考慮到根的判別式Δ是否大于或大于零．因為，韋達定理成立的前提是一元二次方程有實數根．例4兩個數的和為4，積為－12，求這兩個數．分析：我們可以設出這兩個數分別為x，y，利用二元方程求解出這兩個數．也可以利用韋達定理轉化出一元二次方程來求解．解法一：設這兩個數分別是x，y，那么x＋y＝4，①xy＝－12．②由①，得y＝4－x，代入②，得x(4－x)＝－12，即x2－4x－12＝0，∴x1＝－2，x2＝6．∴或因此，這兩個數是－2和6．解法二：由韋達定理可知，這兩個數是方程x2－4x－12＝0的兩個根．解這個方程，得x1＝－2，x2＝6． 所以，這兩個數是－2和6．說明：從上面的兩種解法我們不難發(fā)現，解法二〔直接利用韋達定理來解題〕要比解法一簡捷．例5假設x1和x2分別是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的兩根． 〔1〕求|x1－x2|的值；〔2〕求的值；〔3〕x13＋x23．解：∵x1和x2分別是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的兩根，∴，． 〔1〕∵|x1－x2|2＝x12+x22－2x1x2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝＝＋6＝，∴|x1－x2|＝． 〔2〕． 〔3〕x13＋x23＝(x1＋x2)(x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[(x1＋x2)2－3x1x2]＝(－)×[(－)2－3×()]＝－．說明：一元二次方程的兩根之差的絕對值是一個重要的量，今后我們經常會遇到求這一個量的問題，為了解題簡便，我們可以探討出其一般規(guī)律：設x1和x2分別是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0〔a≠0〕，那么，，∴|x1－x2|＝．于是有下面的結論：假設x1和x2分別是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0〔a≠0〕，那么|x1－x2|＝〔其中Δ＝b2－4ac〕．今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對值時，可以直接利用上面的結論．例6假設關于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求實數a的取值范圍．解：設x1，x2是方程的兩根，那么x1x2＝a－4＜0，①且Δ＝(－1)2－4(a－4)＞0．②由①得a＜4，由②得a＜eq\f(17,4)．∴a的取值范圍是a＜4．練習1．選擇題：〔1〕方程的根的情況是〔〕〔A〕有一個實數根〔B〕有兩個不相等的實數根〔C〕有兩個相等的實數根〔D〕沒有實數根〔2〕假設關于x的方程mx2＋(2m＋1)x＋m＝0有兩個不相等的實數根，那么實數m的取值范圍是〔〕〔A〕m＜〔B〕m＞－〔C〕m＜，且m≠0〔D〕m＞－，且m≠02．填空:〔1〕假設方程x2－3x－1＝0的兩根分別是x1和x2，那么＝．〔2〕方程mx2＋x－2m＝0〔m≠0〕的根的情況是．〔3〕以－3和1為根的一元二次方程是．3．，當k取何值時，方程kx2＋ax＋b＝0有兩個不相等的實數根？4．方程x2－3x－1＝0的兩根為x1和x2，求(x1－3)(x2－3)的值．習題2.1A組1．選擇題:〔1〕關于x的方程x2＋kx－2＝0的一個根是1，那么它的另一個根是〔〕〔A〕－3〔B〕3〔C〕－2〔D〕2〔2〕以下四個說法：①方程x2＋2x－7＝0的兩根之和為－2，兩根之積為－7；②方程x2－2x＋7＝0的兩根之和為－2，兩根之積為7；③方程3x2－7＝0的兩根之和為0，兩根之積為；④方程3x2＋2x＝0的兩根之和為－2，兩根之積為0．其中正確說法的個數是〔〕〔A〕1個〔B〕2個〔C〕3個〔D〕4個〔3〕關于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一個根是0，那么a的值是〔〕〔A〕0〔B〕1〔C〕－1〔D〕0，或－12．填空:〔1〕方程kx2＋4x－1＝0的兩根之和為－2，那么k＝．〔2〕方程2x2－x－4＝0的兩根為α，β，那么α2＋β2＝．〔3〕關于x的方程x2－ax－3a＝0的一個根是－2，那么它的另一個根是．〔4〕方程2x2＋2x－1＝0的兩根為x1和x2，那么|x1－x2|＝．3．試判定當m取何值時，關于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1)x4．求一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程x2－7x－1＝0各根的相反數．B組1．選擇題:假設關于x的方程x2＋(k2－1)x＋k＋1＝0的兩根互為相反數，那么k的值為〔〕〔A〕1，或－1〔B〕1〔C〕－1〔D〕02．填空:〔1〕假設m，n是方程x2＋2005x－1＝0的兩個實數根，那么m2n＋mn2－mn的值等于．〔2〕如果a，b是方程x2＋x－1＝0的兩個實數根，那么代數式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是．3．關于x的方程x2－kx－2＝0．〔1〕求證：方程有兩個不相等的實數根；〔2〕設方程的兩根為x1和x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，求實數k的取值范圍．4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0〔a≠0〕的兩根為x1和x2．求：〔1〕|x1－x2|和；〔2〕x13＋x23．5．關于x的方程x2＋4x＋m＝0的兩根為x1，x2滿足|x1－x2|＝2，求實數m的值．C組1．選擇題：〔1〕一個直角三角形的兩條直角邊長恰好是方程2x2－8x＋7＝0的兩根，那么這個直角三角形的斜邊長等于〔〕〔A〕〔B〕3〔C〕6〔D〕9〔2〕假設x1，x2是方程2x2－4x＋1＝0的兩個根，那么的值為〔〕〔A〕6〔B〕4〔C〕3〔D〕〔3〕如果關于x的方程x2－2(1－m)x＋m2＝0有兩實數根α，β，那么α＋β的取值范圍為〔〕〔A〕α＋β≥〔B〕α＋β≤〔C〕α＋β≥1〔D〕α＋β≤1〔4〕a，b，c是ΔABC的三邊長，那么方程cx2＋(a＋b)x＋＝0的根的情況是〔〕〔A〕沒有實數根〔B〕有兩個不相等的實數根〔C〕有兩個相等的實數根〔D〕有兩個異號實數根2．填空：假設方程x2－8x＋m＝0的兩根為x1，x2，且3x1＋2x2＝18，那么m＝．3．x1，x2是關于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的兩個實數根．〔1〕是否存在實數k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立？假設存在，求出k的值；假設不存在，說明理由；〔2〕求使－2的值為整數的實數k的整數值；〔3〕假設k＝－2，，試求的值．4．關于x的方程．〔1〕求證：無論m取什么實數時，這個方程總有兩個相異實數根；〔2〕假設這個方程的兩個實數根x1，x2滿足|x2|＝|x1|＋2，求m的值及相應的x1，x2．5．假設關于x的方程x2＋x＋a＝0的一個大于1、零一根小于1，求實數a的取值范圍．2．2二次函數二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象和性質{情境設置：可先讓學生通過具體實例探索二次函數的圖象，如作圖〔1〕(2)(3)教師可采用計算機繪圖軟件輔助教學}問題1函數y＝ax2與y＝x2的圖象之間存在怎樣的關系？為了研究這一問題，我們可以先畫出y＝2x2，y＝x2，y＝－2x2的圖象，通過這些函數圖象與函數y＝x2的圖象之間的關系，推導出函數y＝ax2與y＝x2的圖象之間所存在的關系．先畫出函數y＝x2，y＝2x2的圖象．先列表：x…－3－2－10123…x2…9410149…2x2…188202818y＝x2y＝2x2y＝x2y＝2x2圖2.2-1xOy再描點、連線，就分別得到了函數y＝x2，y＝2x2的圖象〔如圖2－1所示〕，從圖2－1我們可以得到這兩個函數圖象之間的關系：函數y＝2x2的圖象可以由函數y＝x2的圖象各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼膬杀兜玫剑瑢W們也可以用類似于上面的方法畫出函數y＝x2，y＝－2x2的圖象，并研究這兩個函數圖象與函數y＝x2的圖象之間的關系．圖2.2-2x圖2.2-2xyO－1y＝2x2y＝2(x＋1)2y＝2(x＋1)2＋1二次函數y＝ax2(a≠0)的圖象可以由y＝x2的圖象各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼腶倍得到．在二次函數y＝ax2(a≠0)中，二次項系數a決定了圖象的開口方向和在同一個坐標系中的開口的大?。畣栴}2函數y＝a(x＋h)2＋k與y＝ax2的圖象之間存在怎樣的關系？同樣地，我們可以利用幾個特殊的函數圖象之間的關系來研究它們之間的關系．同學們可以作出函數y＝2(x＋1)2＋1與y＝2x2的圖象〔如圖2－2所示〕，從函數的同學我們不難發(fā)現，只要把函數y＝2x2的圖象向左平移一個單位，再向上平移一個單位，就可以得到函數y＝2(x＋1)2＋1的圖象．這兩個函數圖象之間具有“形狀相同，位置不同〞的特點．類似地，還可以通過畫函數y＝－3x2，y＝－3(x－1)2＋1的圖象，研究它們圖象之間的相互關系．通過上面的研究，我們可以得到以下結論：二次函數y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a決定了二次函數圖象的開口大小及方向；h決定了二次函數圖象的左右平移，而且“h正左移，h負右移〞；k決定了二次函數圖象的上下平移，而且“k正上移，k負下移〞．由上面的結論，我們可以得到研究二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象的方法：由于y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋)＋c＝a(x2＋＋)＋c－，所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象可以看作是將函數y＝ax2的圖象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有以下性質：〔1〕當a＞0時，函數y＝ax2＋bx＋c圖象開口向上；頂點坐標為，對稱軸為直線x＝－；當x＜時，y隨著x的增大而減??；當x＞時，y隨著x的增大而增大；當x＝時，函數取最小值y＝． 〔2〕當a＜0時，函數y＝ax2＋bx＋c圖象開口向下；頂點坐標為，對稱軸為直線x＝－；當x＜時，y隨著x的增大而增大；當x＞時，y隨著x的增大而減??；當x＝時，函數取最大值y＝．xyxyOx＝－A圖2.2-3xyOx＝－A圖2.2-4例1求二次函數y＝－3x2－6x＋1圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標、最大值〔或最小值〕，并指出當x取何值時，y隨x的增大而增大〔或減小〕？并畫出該函數的圖象．xOyx＝－1A(－1,4)D(0,1)BC圖2.2－5解：∵y＝xOyx＝－1A(－1,4)D(0,1)BC圖2.2－5∴函數圖象的開口向下；對稱軸是直線x＝－1；頂點坐標為(－1，4)；當x＝－1時，函數y取最大值y＝4；當x＜－1時，y隨著x的增大而增大；當x＞－1時，y隨著x的增大而減小；采用描點法畫圖，選頂點A(－1，4))，與x軸交于點B和C，與y軸的交點為D(0，1)，過這五點畫出圖象〔如圖2－5所示〕．說明：從這個例題可以看出，根據配方后得到的性質畫函數的圖象，可以直接選出關鍵點，減少了選點的盲目性，使畫圖更簡便、圖象更精確．函數y＝ax2＋bx＋c圖象作圖要領：確定開口方向：由二次項系數a決定確定對稱軸：對稱軸方程為確定圖象與x軸的交點情況，①假設△>0那么與x軸有兩個交點，可由方程x2＋bx＋c=0求出②①假設△=0那么與x軸有一個交點，可由方程x2＋bx＋c=0求出③①假設△<0那么與x軸有無交點。確定圖象與y軸的交點情況,令x=0得出y=c，所以交點坐標為〔0，c〕由以上各要素出草圖。練習：作出以下二次函數的草圖 〔1〕 (2) (3)例2某種產品的本錢是120元/件，試銷階段每件產品的售價x〔元〕與產品的日銷售量y〔件〕之間關系如下表所示：x/元130150165y/件705035假設日銷售量y是銷售價x的一次函數，那么，要使每天所獲得最大的利潤，每件產品的銷售價應定為多少元？此時每天的銷售利潤是多少？分析：由于每天的利潤＝日銷售量y×(銷售價x－120)，日銷售量y又是銷售價x的一次函數，所以，欲求每天所獲得的利潤最大值，首先需要求出每天的利潤與銷售價x之間的函數關系，然后，再由它們之間的函數關系求出每天利潤的最大值．解：由于y是x的一次函數，于是，設y＝kx＋〔B〕將x＝130，y＝70；x＝150，y＝50代入方程，有解得k＝－1，b＝200．∴y＝－x＋200．設每天的利潤為z〔元〕，那么z＝(－x+200)(x－120)＝－x2＋320x－24000＝－(x－160)2＋1600，∴當x＝160時，z取最大值1600．答：當售價為160元/件時，每天的利潤最大，為1600元．例3把二次函數y＝x2＋bx＋c的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到函數y＝x2的圖像，求b，c的值．解法一：y＝x2＋bx＋c＝(x+)2，把它的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到的圖像，也就是函數y＝x2的圖像，所以，解得b＝－8，c＝14．解法二：把二次函數y＝x2＋bx＋c的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到函數y＝x2的圖像，等價于把二次函數y＝x2的圖像向下平移2個單位，再向右平移4個單位，得到函數y＝x2＋bx＋c的圖像． 由于把二次函數y＝x2的圖像向下平移2個單位，再向右平移4個單位，得到函數y＝(x－4)2＋2的圖像，即為y＝x2－8x＋14的圖像，∴函數y＝x2－8x＋14與函數y＝x2＋bx＋c表示同一個函數，∴b＝－8，c＝14．說明：本例的兩種解法都是利用二次函數圖像的平移規(guī)律來解決問題，所以，同學們要牢固掌握二次函數圖像的變換規(guī)律．這兩種解法反映了兩種不同的思維方法：解法一，是直接利用條件進行正向的思維來解決的，其運算量相對較大；而解法二，那么是利用逆向思維，將原來的問題等價轉化成與之等價的問題來解，具有計算量小的優(yōu)點．今后，我們在解題時，可以根據題目的具體情況，選擇恰當的方法來解決問題．例4函數y＝x2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求該函數的最大值與最小值，并求出函數取最大值和最小值時所對應的自變量x的值．分析：本例中函數自變量的范圍是一個變化的范圍，需要對a的取值進行討論．解：〔1〕當a＝－2時，函數y＝x2的圖象僅僅對應著一個點(－2，4)，所以，函數的最大值和最小值都是4，此時x＝－2；〔2〕當－2＜a＜0時，由圖2．2－6①可知，當x＝－2時，函數取最大值y＝4；當x＝a時，函數取最小值y＝a2；〔3〕當0≤a＜2時，由圖2．2－6②可知，當x＝－2時，函數取最大值y＝4；當x＝0時，函數取最小值y＝0；〔4〕當a≥2時，由圖2．2－6③可知，當x＝a時，函數取最大值y＝a2；當x＝0時，函數取最小值y＝0．xxyO－2a①xyO－2aa24圖2.2－6xyOa－224a2②－2xyOaa24③說明：在本例中，利用了分類討論的方法，對a的所有可能情形進行討論．此外，本例中所研究的二次函數的自變量的取值不是取任意的實數，而是取局部實數來研究，在解決這一類問題時，通常需要借助于函數圖象來直觀地解決問題．練習1．選擇題：〔1〕以下函數圖象中，頂點不在坐標軸上的是〔〕〔A〕y＝2x2〔B〕y＝2x2－4x＋2〔C〕y＝2x2－1〔D〕y＝2x2－4x〔2〕函數y＝2(x－1)2＋2是將函數y＝2x2〔〕〔A〕向左平移1個單位、再向上平移2個單位得到的〔B〕向右平移2個單位、再向上平移1個單位得到的〔C〕向下平移2個單位、再向右平移1個單位得到的〔D〕向上平移2個單位、再向右平移1個單位得到的2．填空題〔1〕二次函數y＝2x2－mx＋n圖象的頂點坐標為(1，－2)，那么m＝，n＝．〔2〕二次函數y＝x2+(m－2)x－2m，當m＝時，函數圖象的頂點在y軸上；當m＝時，函數圖象的頂點在x軸上；當m＝時，函數圖象經過原點．〔3〕函數y＝－3(x＋2)2＋5的圖象的開口向，對稱軸為，頂點坐標為；當x＝時，函數取最值y＝；當x時，y隨著x的增大而減?。?．求以下拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標、最大〔小〕值及y隨x的變化情況，并畫出其圖象．〔1〕y＝x2－2x－3；〔2〕y＝1＋6x－x2．4．函數y＝－x2－2x＋3，當自變量x在以下取值范圍內時，分別求函數的最大值或最小值，并求當函數取最大〔小〕值時所對應的自變量x的值：〔1〕x≤－2；〔2〕x≤2；〔3〕－2≤x≤1；〔4〕0≤x≤3．二次函數的三種表示方式通過上一小節(jié)的學習，我們知道，二次函數可以表示成以下兩種形式：1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．頂點式：y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，其中頂點坐標是(－h(huán)，k)．除了上述兩種表示方法外，它還可以用另一種形式來表示．為了研究另一種表示方式，我們先來研究二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸交點個數．當拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸相交時，其函數值為零，于是有ax2＋bx＋c＝0．① 并且方程①的解就是拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交點的橫坐標〔縱坐標為零〕，于是，不難發(fā)現，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交點個數與方程①的解的個數有關，而方程①的解的個數又與方程①的根的判別式Δ＝b2－4ac有關，由此可知，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交點個數與根的判別式Δ＝b2－4〔1〕當Δ＞0時，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有兩個交點；反過來，假設拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有兩個交點，那么Δ＞0也成立．〔2〕當Δ＝0時，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有一個交點〔拋物線的頂點〕；反過來，假設拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有一個交點，那么Δ＝0也成立．〔3〕當Δ＜0時，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸沒有交點；反過來，假設拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸沒有交點，那么Δ＜0也成立．于是，假設拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有兩個交點A(x1，0)，B(x2，0)，那么x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，所以x1＋x2＝，x1x2＝，即＝－(x1＋x2)，＝x1x2． 所以，y＝ax2＋bx＋c＝a()=a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1)(x－x2)．由上面的推導過程可以得到下面結論： 假設拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于A(x1，0)，B(x2，0)兩點，那么其函數關系式可以表示為y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 這樣，也就得到了表示二次函數的第三種方法：3．交點式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是二次函數圖象與x軸交點的橫坐標．今后，在求二次函數的表達式時，我們可以根據題目所提供的條件，選用一般式、頂點式、交點式這三種表達形式中的某一形式來解題．例1某二次函數的最大值為2，圖像的頂點在直線y＝x＋1上，并且圖象經過點〔3，－1〕，求二次函數的解析式．分析：在解本例時，要充分利用題目中所給出的條件——最大值、頂點位置，從而可以將二次函數設成頂點式，再由函數圖象過定點來求解出系數a．解：∵二次函數的最大值為2，而最大值一定是其頂點的縱坐標，∴頂點的縱坐標為2．又頂點在直線y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．∴頂點坐標是〔1，2〕．設該二次函數的解析式為，∵二次函數的圖像經過點〔3，－1〕，∴，解得a＝－2．∴二次函數的解析式為，即y＝－2x2＋8x－7．說明：在解題時，由最大值確定出頂點的縱坐標，再利用頂點的位置求出頂點坐標，然后設出二次函數的頂點式，最終解決了問題．因此，在解題時，要充分挖掘題目所給的條件，并巧妙地利用條件簡捷地解決問題．例2二次函數的圖象過點(－3，0)，(1，0)，且頂點到x軸的距離等于2，求此二次函數的表達式．分析一：由于題目所給的條件中，二次函數的圖象所過的兩點實際上就是二次函數的圖象與x軸的交點坐標，于是可以將函數的表達式設成交點式．解法一：∵二次函數的圖象過點(－3，0)，(1，0)，∴可設二次函數為y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，展開，得y＝ax2＋2ax－3a，頂點的縱坐標為，由于二次函數圖象的頂點到x軸的距離2，∴|－4a|＝2，即a＝．所以，二次函數的表達式為y＝，或y＝－．分析二：由于二次函數的圖象過點(－3，0)，(1，0)，所以，對稱軸為直線x＝－1，又由頂點到x軸的距離為2，可知頂點的縱坐標為2，或－2，于是，又可以將二次函數的表達式設成頂點式來解，然后再利用圖象過點(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函數的表達式．解法二：∵二次函數的圖象過點(－3，0)，(1，0)，∴對稱軸為直線x＝－1．又頂點到x軸的距離為2，∴頂點的縱坐標為2，或－2．于是可設二次函數為y＝a(x＋1)2＋2，或y＝a(x＋1)2－2，由于函數圖象過點(1，0)，∴0＝a(1＋1)2＋2，或0＝a(1＋1)2－2．∴a＝－，或a＝．所以，所求的二次函數為y＝－(x＋1)2＋2，或y＝(x＋1)2－2．說明：上述兩種解法分別從與x軸的交點坐標及頂點的坐標這兩個不同角度，利用交點式和頂點式來解題，在今后的解題過程中，要善于利用條件，選擇恰當的方法來解決問題．例3二次函數的圖象過點(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函數的表達式．解：設該二次函數為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由函數圖象過點(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得解得a＝－2，b＝12，c＝－8．所以，所求的二次函數為y＝－2x2＋12x－8．通過上面的幾道例題，同學們能否歸納出：在什么情況下，分別利用函數的一般式、頂點式、交點式來求二次函數的表達式？練習1．選擇題:〔1〕函數y＝－x2＋x－1圖象與x軸的交點個數是〔〕〔A〕0個〔B〕1個〔C〕2個〔D〕無法確定〔2〕函數y＝－eq\f(1,2)(x＋1)2＋2的頂點坐標是〔〕〔A〕(1，2)〔B〕(1，－2)〔C〕(－1，2)〔D〕(－1，－2)2．填空：〔1〕二次函數的圖象經過與x軸交于點(－1，0)和(2，0)，那么該二次函數的解析式可設為y＝a(a≠0)．〔2〕二次函數y＝－x2+2eq\r(3)x＋1的函數圖象與x軸兩交點之間的距離為．3．根據以下條件，求二次函數的解析式．〔1〕圖象經過點(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；〔2〕當x＝3時，函數有最小值5，且經過點(1，11)；〔3〕函數圖象與x軸交于兩點(1－eq\r(2)，0)和(1＋eq\r(2)，0)，并與y軸交于(0，－2)．二次函數的簡單應用 一、函數圖象的平移變換與對稱變換 1．平移變換問題1在把二次函數的圖象進行平移時，有什么特點？依據這一特點，可以怎樣來研究二次函數的圖象平移？ 我們不難發(fā)現：在對二次函數的圖象進行平移時，具有這樣的特點——只改變函數圖象的位置、不改變其形狀，因此，在研究二次函數的圖象平移問題時，只需利用二次函數圖象的頂點式研究其頂點的位置即可．例1求把二次函數y＝x2－4x＋3的圖象經過以下平移變換后得到的圖象所對應的函數解析式： 〔1〕向右平移2個單位，向下平移1個單位； 〔2〕向上平移3個單位，向左平移2個單位．分析：由于平移變換只改變函數圖象的位置而不改變其形狀〔即不改變二次項系數〕，所以只改變二次函數圖象的頂點位置〔即只改變一次項和常數項〕，所以，首先將二次函數的解析式變形為頂點式，然后，再依據平移變換后的二次函數圖象的頂點位置求出平移后函數圖像所對應的解析式．解：二次函數y＝2x2－4x－3的解析式可變?yōu)閥＝2(x－1)2－1， 其頂點坐標為(1，－1)． 〔1〕把函數y＝2(x－1)2－1的圖象向右平移2個單位，向下平移1個單位后，其函數圖象的頂點坐標是(3，－2)，所以，平移后所得到的函數圖象對應的函數表達式就為y＝2(x－3)2－2． 〔2〕把函數y＝2(x－1)2－1的圖象向上平移3個單位，向左平移2個單位后，其函數圖象的頂點坐標是(－1，2)，所以，平移后所得到的函數圖象對應的函數表達式就為y＝2(x＋1)2＋2．2．對稱變換問題2在把二次函數的圖象關于與坐標軸平行的直線進行對稱變換時，有什么特點？依據這一特點，可以怎樣來研究二次函數的圖象平移？我們不難發(fā)現：在把二次函數的圖象關于與坐標軸平行的直線進行對稱變換時，具有這樣的特點——只改變函數圖象的位置或開口方向、不改變其形狀，因此，在研究二次函數圖象的對稱變換問題時，關鍵是要抓住二次函數的頂點位置和開口方向來解決問題．xyOx＝－1A(1,－1)A1(－3,－1)xyOx＝－1A(1,－1)A1(－3,－1)圖