新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)圓錐曲線培優(yōu)專題8 利用均值不等式求圓錐曲線中的最值（含解析）

專題8利用均值不等式求圓錐曲線中的最值一、考情分析與圓錐曲線有關(guān)的最值問題,在高考中常以解答題形式考查，且難度較大，它能綜合應(yīng)用函數(shù)、三角、不等式等有關(guān)知識,因而備受命題者青睞，其中利用均值不等式求圓錐曲線中的最值是一類常見問題，求解時常涉及函數(shù)與方程、化歸轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想．二、解題秘籍(一)利用均值不等式求圓錐曲線中最值的方法與策略利用均值不等式求圓錐曲線中的最值，一是直接根據(jù)圓錐曲線中的和（積）為定值的性質(zhì)求積（和）的最大（?。┲?，如根據(jù)橢圓中SKIPIF1<0為定值，可求SKIPIF1<0的最大值，二是利用代數(shù)法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式)，然后利用基本不等式求最值，求解這類問題的核心是建立參數(shù)之間的等量關(guān)系.【例1】（2023屆湖北省荊荊宜三校高三上學(xué)期9月聯(lián)考）設(shè)橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點，點SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，點SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0外，且SKIPIF1<0．(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)若SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0上橫坐標(biāo)大于1的一點，過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓有且僅有一個交點，并與直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于M，N兩點，SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點，記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值．【解析】（1）因為點SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，①因為點SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0外，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，②由①②解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．（2）設(shè)點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，由橢圓性質(zhì)以及點SKIPIF1<0的橫坐標(biāo)大于1可知，SKIPIF1<0，將直線SKIPIF1<0代入方程SKIPIF1<0并化簡可得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因為直線SKIPIF1<0與橢圓有且僅有一個交點，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0；直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，聯(lián)立方程SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，同理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，不等式取等號，故當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0．【例2】已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，且過點SKIPIF1<0.(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)若直線SKIPIF1<0被圓SKIPIF1<0截得的弦長為SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于A，SKIPIF1<0兩點，SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點，求SKIPIF1<0面積的最大值.【解析】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由橢圓過點SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.（2）直線SKIPIF1<0被圓SKIPIF1<0截得的弦長為SKIPIF1<0，則圓心到直線l的距離d滿足SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0的斜率存在時，設(shè)SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，圓心為原點則有SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.將SKIPIF1<0方程代入橢圓方程中整理得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時取等號.當(dāng)SKIPIF1<0的斜率不存在時，則SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，過橢圓的左、右頂點，此時直線SKIPIF1<0與橢圓只有一個交點，不符合題意.∴SKIPIF1<0面積的最大值為2.(二)把距離或長度用單變量表示，然后利用均值不等式求最值.此類問題通常利用兩點間距離或弦長公式，把距離或長度表示成關(guān)于直線斜率、截距或點的橫坐標(biāo)（縱坐標(biāo)）的函數(shù)，然后利用均值不等式求最值.【例3】已知圓C過定點A（0，p）(p＞0)，圓心C在拋物線x2＝2py上運動，若MN為圓C在x軸上截得的弦，設(shè)｜AM｜＝m，｜AN｜＝n，∠MAN＝θ.(1)當(dāng)點C運動時，｜MN｜是否變化？試證明你的結(jié)論；(2)求SKIPIF1<0的最大值.【解析】（1）設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故圓SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0不變化，為定值（2）由（1）不妨設(shè)SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時取等號.故SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0(三)把面積表示為單變量函數(shù)，然后利用基本不等式求值該類問題求解的基本思路是把三角形面積表示成關(guān)于直線斜率與截距的函數(shù)，然后利用均值不等式求最值.【例4】（2022屆陜西省漢中市高三上學(xué)期質(zhì)量檢測）已知橢圓SKIPIF1<0的左，右焦點分別為SKIPIF1<0且經(jīng)過點SKIPIF1<0.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若斜率為1的直線與橢圓C交于A，B兩點，求SKIPIF1<0面積的最大值（O為坐標(biāo)原點）【解析】（1）由橢圓的定義，可知SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0.SKIPIF1<0橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0.（2）設(shè)直線l的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立橢圓方程，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時取等號；SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<0.(四)把面積用雙變量表示，然后利用均值不等式求最值求解該類問題通常先建立兩個變量之間的等量關(guān)系，然后利用和或積為定值，借助均值不等式求最值.【例5】（2022屆湖南省長沙市高三上學(xué)期11月月考）已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為橢圓上一點.直線SKIPIF1<0不經(jīng)過原點SKIPIF1<0，且與橢圓交于SKIPIF1<0兩點.（1）求橢圓的方程；（2）求SKIPIF1<0面積的最大值，并求當(dāng)SKIPIF1<0面積最大時SKIPIF1<0的取值范圍.【解析】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.將SKIPIF1<0代入得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0橢圓方程為SKIPIF1<0.（2）設(shè)SKIPIF1<0，與橢圓聯(lián)立得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時取等號，此時SKIPIF1<0，符合題意.所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0不存在時，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時取等號.綜上，SKIPIF1<0面積的最大值為1當(dāng)SKIPIF1<0面積最大時：若SKIPIF1<0存在，則此時SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0不存在，則此時SKIPIF1<0.綜上，SKIPIF1<0.．(五)與斜率有關(guān)的最值問題與斜率有關(guān)的最值問題的思路一是設(shè)出動點.是利用斜率定義表示出斜率，然后利用函數(shù)或不等式知識求解，二是設(shè)出直線的點斜式或斜截式方程，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系或題中條件整理關(guān)于斜率的等式或不等式求解.【例6】（2022屆福建省福州第十八中學(xué)高三上學(xué)期考試）已知拋物線SKIPIF1<0的焦點SKIPIF1<0到準(zhǔn)線的距離為2．(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)已知SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0斜率的最大值．【解析】（1）拋物線SKIPIF1<0的焦點SKIPIF1<0，準(zhǔn)線方程為SKIPIF1<0，由題意，該拋物線焦點到準(zhǔn)線的距離為SKIPIF1<0，所以該拋物線的方程為SKIPIF1<0；（2）設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0在拋物線上可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，據(jù)此整理可得點SKIPIF1<0的軌跡方程為SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，因為SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，等號成立；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；綜上，直線SKIPIF1<0的斜率的最大值為SKIPIF1<0.(六)與數(shù)量積有關(guān)的最值問題求解與數(shù)量積有關(guān)的最值問題，通常利用數(shù)量積的定義或坐標(biāo)運算，把數(shù)量積表示成某個變量的函數(shù)，然后再利用均值不等式求最值.【例7】設(shè)橢圓SKIPIF1<0的兩條互相垂直的切線的交點軌跡為C，曲線C的兩條切線PA、PB交于點P，且與C分別切于A、B兩點，求SKIPIF1<0的最小值．【解析】設(shè)橢圓的兩切線為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．①當(dāng)SKIPIF1<0軸或SKIPIF1<0軸時，對應(yīng)SKIPIF1<0軸或SKIPIF1<0軸，可知切點為；②當(dāng)SKIPIF1<0與x軸不垂直且不平行時，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0的斜率為k，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，并設(shè)SKIPIF1<0的交點為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，∵直線與橢圓相切，∴SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴k是方程SKIPIF1<0的一個根，同理SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的另一個根，∴SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，∴交點的軌跡方程為：SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0也滿足上式；綜上知：軌跡C方程為SKIPIF1<0；設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0中應(yīng)用余弦定理知，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最小SKIPIF1<0；綜上，SKIPIF1<0的最小為SKIPIF1<0.三、跟蹤檢測1．（2023屆山東省青島市高三上學(xué)期檢測）在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，動圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0內(nèi)切，且與圓SKIPIF1<0外切，記動圓SKIPIF1<0的圓心的軌跡為SKIPIF1<0.(1)求軌跡SKIPIF1<0的方程；(2)不過圓心SKIPIF1<0且與SKIPIF1<0軸垂直的直線交軌跡SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩個不同的點，連接SKIPIF1<0交軌跡SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0.（i）若直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0軸于點SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0為一個定點；（ii）若過圓心SKIPIF1<0的直線交軌跡SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩個不同的點，且SKIPIF1<0，求四邊形SKIPIF1<0面積的最小值.【解析】（1）設(shè)動圓SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，圓心SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0由題意可知：圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0；圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0.SKIPIF1<0動圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0內(nèi)切，且與圓SKIPIF1<0外切，SKIPIF1<0SKIPIF1<0動圓SKIPIF1<0的圓心的軌跡SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為焦點的橢圓，設(shè)其方程為：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0從而軌跡SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0（2）（i）設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0點的橫坐標(biāo)為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0為一個定點，其坐標(biāo)為SKIPIF1<0（ii）根據(jù)（i）可進(jìn)一步求得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0面積SKIPIF1<0（法一）SKIPIF1<0等號當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時取，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0（法二）令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<02．已知橢圓SKIPIF1<0經(jīng)過點SKIPIF1<0，且橢圓的離心率SKIPIF1<0，過橢圓的右焦點SKIPIF1<0作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于點SKIPIF1<0及SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．(1)求橢圓的方程；(2)求證：SKIPIF1<0為定值；(3)求SKIPIF1<0的最小值．【解析】（1）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．①，由橢圓過點SKIPIF1<0知，SKIPIF1<0②．聯(lián)立①②式解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故橢圓的方程是SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0為定值SKIPIF1<0．證明：橢圓的右焦點為SKIPIF1<0，分兩種情況．SKIPIF1<0不妨設(shè)當(dāng)SKIPIF1<0的斜率不存在時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．此時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0當(dāng)直線SKIPIF1<0的斜率存在時，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．又設(shè)點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．聯(lián)立方程組SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0并化簡得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由題知，直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0為定值．（3）解：由（2）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時取等號，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0．3．（2023屆四川省隆昌市第一中學(xué)高三上學(xué)期考試）已知離心率為SKIPIF1<0的橢圓SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，拋物線SKIPIF1<0．(1)若拋物線SKIPIF1<0的焦點恰為橢圓SKIPIF1<0的右頂點，求拋物線方程；(2)若橢圓SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0在第一象限的交點為SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0但不經(jīng)過原點的直線SKIPIF1<0交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，交拋物線SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值，并求出此時直線SKIPIF1<0的斜率．【解析】（1）由SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以將點SKIPIF1<0代入橢圓SKIPIF1<0得：橢圓SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的右頂點為SKIPIF1<0，依題意SKIPIF1<0，所以拋物線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0；（2）設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；聯(lián)立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0由拋物線方程得SKIPIF1<0，所以點坐標(biāo)為SKIPIF1<0，將點SKIPIF1<0代入橢圓方程SKIPIF1<0有：SKIPIF1<0整理得：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，即直線SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0時SKIPIF1<0取等號，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，此時直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0．4．平面直角坐標(biāo)系中，橢圓SKIPIF1<0的焦距為SKIPIF1<0，過焦點的最短弦長為SKIPIF1<0.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)斜率為SKIPIF1<0的直線與橢圓交于SKIPIF1<0兩點，SKIPIF1<0為橢圓上異于SKIPIF1<0的點，求SKIPIF1<0的面積的最大值.【解析】（1）由題意得SKIPIF1<0，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0；（2）設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，當(dāng)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離最大時，點SKIPIF1<0在第二象限且過SKIPIF1<0點的切線正好與SKIPIF1<0平行，設(shè)切線方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離最大為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時取等號.當(dāng)SKIPIF1<0時，當(dāng)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離最大時，點SKIPIF1<0在第四象限且過SKIPIF1<0點的切線正好與SKIPIF1<0平行，設(shè)切線方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離最大為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時取等號.所以SKIPIF1<0的面積的最大值為SKIPIF1<0.5．平面直角坐標(biāo)系中，過點SKIPIF1<0的圓SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0相切．圓心SKIPIF1<0的軌跡記為曲線SKIPIF1<0．(1)求曲線SKIPIF1<0的方程；(2)設(shè)SKIPIF1<0為曲線SKIPIF1<0上的兩點，記SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂線交SKIPIF1<0軸于SKIPIF1<0．①求SKIPIF1<0；②當(dāng)SKIPIF1<0時，求SKIPIF1<0的最大值．【解析】（1）設(shè)SKIPIF1<0，由題意，則SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離等于SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離，故SKIPIF1<0的軌跡為拋物線SKIPIF1<0；（2）設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，②由題意SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．6．已知點SKIPIF1<0分別為橢圓SKIPIF1<0的左?右焦點，直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0有且僅有一個公共點，直線SKIPIF1<0，垂足分別為點SKIPIF1<0.(1)求證：SKIPIF1<0；(2)求證：SKIPIF1<0為定值，并求出該定值；(3)求SKIPIF1<0的最大值.【解析】（1）聯(lián)立SKIPIF1<0與SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，由直線與橢圓有一個公共點可知：SKIPIF1<0，化簡得：SKIPIF1<0；（2）由題意得：SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為定值，該定值為1；（3）SKIPIF1<0，由題意得：點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0的同側(cè)，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（其中SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的夾角），由此可知：SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時，等號成立，所以SKIPIF1<0的最大值為4.7.（2022屆廣東省佛山市高三上學(xué)期12月模擬）在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，橢圓SKIPIF1<0的離心率SKIPIF1<0，且點SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上.（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程;（2）若點SKIPIF1<0都在橢圓SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0(不包括端點)上.求SKIPIF1<0面積的最大值.【解析】（1）離心率SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入橢圓方程，可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴聯(lián)立上述方程，可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴橢圓方程為SKIPIF1<0；（2）設(shè)SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，相減可得：SKIPIF1<0，由題意，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴直線SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，故可設(shè)直線SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，代入橢圓方程可得：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0面積為SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0.8．（2022屆衡水金卷高三一輪復(fù)習(xí)摸底測試）已知橢圓SKIPIF1<0的上頂點為SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0且與SKIPIF1<0軸垂直的直線被截得的線段長為SKIPIF1<0.（1）求橢圓SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程﹔（2）設(shè)直線SKIPIF1<0交橢圓SKIPIF1<0于異于點SKIPIF1<0的SKIPIF1<0兩點，以SKIPIF1<0為直徑的圓經(jīng)過點SKIPIF1<0線段SKIPIF1<0的中垂線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸的交點為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍.【解析】（1）由已知條件得：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由題意知：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0，（2）①當(dāng)直線SKIPIF1<0的斜率不存在時，顯然不合題意；②當(dāng)直線SKIPIF1<0斜率存在時，設(shè)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，此時SKIPIF1<0關(guān)于y軸對稱，令SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍)，則SKIPIF1<0符合題設(shè).∴此時有SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（舍去），代入SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，則線段的SKIPIF1<0中垂線SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，∴在SKIPIF1<0軸上截距SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，綜合①②:線段SKIPIF1<0的中垂線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上的截距的取值范圍是SKIPIF1<0.9．（2022屆河北省高三上學(xué)期12月教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測）在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，已知點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0的軌跡為SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的方程；（2）不過SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0?SKIPIF1<0兩點，若直線SKIPIF1<0的斜率是直線SKIPIF1<0?SKIPIF1<0斜率的等差中項，直線SKIPIF1<0和線段SKIPIF1<0的垂直平分線與SKIPIF1<0軸分別交于SKIPIF1<0?SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值.【解析】（1）由橢圓的定義知，點SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為焦點且SKIPIF1<0的橢圓上，所以其方程為：SKIPIF1<0（2）由題意得直線SKIPIF1<0的斜率存在且不為0.直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線方程與橢圓方程聯(lián)立得SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由題意得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0∵直線SKIPIF1<0不過SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0線段SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0中垂線方程為SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交點的縱坐標(biāo)SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0最小，最小值為2.10．已知兩圓SKIPIF1<0，動圓SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0內(nèi)部且和圓SKIPIF1<0內(nèi)切，和圓SKIPIF1<0外切.（1）求動圓圓心SKIPIF1<0的軌跡SKIPIF1<0的方程；（2）過點SKIPIF1<0的直線與曲線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點.SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸的對稱點為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面積的最大值.【解析】（1）依題意，圓SKIPIF1<0的圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0的圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，設(shè)圓SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0，于是得點SKIPIF1<0的軌跡是以SKIPIF1<0為焦點，長軸長SKIPIF1<0的橢圓，此時，焦距SKIPIF1<0，短半軸長b有：SKIPIF1<0，所以動圓圓心SKIPIF1<0的軌跡SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0.（2）顯然直線SKIPIF1<0不垂直于坐標(biāo)軸，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸的對稱點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如圖，顯然SKIPIF1<0與SKIPIF1<0在3的兩側(cè)，即SKIPIF1<0與SKIPIF1<0同號，于是得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時取“=”，因此，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面積的最大值SKIPIF1<0.11．已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的離心率為SKIPIF1<0，分別過左、右焦點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0作兩條平行直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0之間距離的最大值；（2）設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的一個交點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的一個交點為SKIP