上海市風(fēng)華中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中 數(shù)學(xué)試題（含解析）

風(fēng)華中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題滿分100分，時間90分鐘一.填空題(本題共10道小題，每小題4分，滿分40分)1．集合的子集有個．2．已知集合，，則3．用反證法證明：若梯形的對角線不相等，則該梯形不是等腰梯形，應(yīng)假設(shè)．4．已知，則“”是“”的條件.5．已知，，則6．已知冪函數(shù)過原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為．7．設(shè)，則不等式的等號成立時x的取值范圍為8．函數(shù)（，且）在區(qū)間上的最大值比最小值大，則a的值為．9．設(shè)為實(shí)數(shù)，現(xiàn)有下列命題：①若，則；②若，則；③若，，則；④不等式與不等式等價；其中的真命題有.(寫出所有真命題的編號)10．研究問題：“已知關(guān)于x的不等式ax2－bx＋c＞0的解集為(1，2)，解關(guān)于x的不等式cx2－bx＋a＞0”，有如下解法：由ax2－bx＋c＞0?a－b＋c＞0.令y＝，則y∈，所以不等式cx2－bx＋a＞0的解集為.類比上述解法，已知關(guān)于x的不等式＋＜0的解集為(－2，－1)∪(2，3)，則關(guān)于x的不等式＋＜0的解集為．二、解答題(本題共6道題，滿分60分)11．設(shè)，試比較與的大小.12．已知集合，，若，求實(shí)數(shù)的值及．13．已知全集，集合集合.(1)當(dāng)時，求集合;(2)若求實(shí)數(shù)a的取值范圍.14．（1）已知正實(shí)數(shù)，滿足，求的最小值，并求出此時，的值.（2）已知，，試用，表示，15．有一種候鳥每年都按一定的路線遷徙，飛往繁殖地產(chǎn)卵，科學(xué)家經(jīng)過測量發(fā)現(xiàn)候鳥的飛行速度y(單位：km/min)和候鳥每分鐘耗氧量的單位數(shù)x，滿足關(guān)系式其中常數(shù)表示測量過程中候鳥每分鐘的耗氧偏差.(1)若，候鳥停下休息時，它每分鐘的耗氧量為多少個單位?(答案四舍五入到整數(shù))(2)若雄鳥的飛行速度為1.5km/min，雄鳥的飛行速度為1km/min，那么此時雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘耗氧量的多少倍?，16．已知函數(shù)的表達(dá)式為且(1)求函數(shù)的解析式；(2)若方程有兩個不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(3)已知若方程的解分別為，，方程的解分別為，，求的最大值.1．4【詳解】集合的子集為：，共4個故答案為：42．【分析】根據(jù)集合的定義集體即可?！驹斀狻恳?yàn)?，所以.故答案為：3．該梯形是等腰梯形【分析】根據(jù)反證法的原理可得答案.【詳解】若梯形的對角線不相等，則該梯形不是等腰梯形，應(yīng)假設(shè)該梯形是等腰梯形故答案為：該梯形是等腰梯形4．充分非必要【分析】首先求解，根據(jù)兩個集合的包含關(guān)系，即可判斷.【詳解】若，即，解得：或，集合或，所以“”是“”的充分非必要條件.故答案為：充分非必要5．【分析】將對數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，再通過指數(shù)運(yùn)算公式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所以，故答案為?．﹣2【分析】由冪函數(shù)的定義及性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，所以，解得或，當(dāng)時，函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時，函數(shù)的圖象不經(jīng)過原點(diǎn)，不符合題意；故.故答案為：-2.7．【分析】根據(jù)x的范圍分類討論，去掉絕對值求解即可.【詳解】，所以的等號成立時，即或或，解得：，故答案為：8．或【分析】討論或，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出最值即可求解.【詳解】當(dāng)時，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，由題意可得：，解得或（舍去）；當(dāng)時，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，由題意可得：，解得或（舍去）；綜上所述：或．故答案為：或.9．①②④【分析】利用不等式的性質(zhì)可判斷①②；舉反例可判斷③；利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷④.【詳解】對于①，若，則，正確；對于②，若，則，所以，正確；對于③，若，，則，故錯誤；對于④，為上的單調(diào)遞增函數(shù)，若，則，若，則，故正確；故答案為：①②④.10．【分析】根據(jù)題意，將替換x可得所求的方程，并且可知∈(－2，－1)∪(2，3)，從而求出的解集.【詳解】關(guān)于x的不等式＋＜0的解集為(－2，－1)∪(2，3)，用－替換x，不等式可以化為＋＝＋＜0，因?yàn)椋?－2，－1)∪(2，3)，所以＜x＜1或－＜x＜－，即不等式＋＜0的解集為∪故答案為：∪【點(diǎn)睛】本題考查整體代換的思想，理解題意，將方程問題和不等式問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵，本題屬于中檔題.11．【分析】利用作差法，即可比較兩式的大小.【詳解】,因?yàn)?所以,所以，所以.12．；.【分析】根據(jù)給定條件可得，再分類求解并驗(yàn)證作答.【詳解】因，則，在集合中，，于是得或，解得或，當(dāng)時，，，而與已知矛盾，即不成立，當(dāng)時，，，有，則，，.所以，.13．(1)(2)【分析】（1）解分式不等式以及絕對值不等式，求出集合A、B，再利用集合的并運(yùn)算即可求解.（2）由題意可得，再由集合的包含關(guān)系得到不等式，求出答案.【詳解】（1）當(dāng)時，，故，解得，故，，解得，故，（2）由（1）可得，或，，若，可得或，解得或所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為14．（1）4；；（2）【分析】（1）應(yīng)用基本不等式求和的“乘1法”，求和的最小值.（2）通過換底公式和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.【詳解】（1）因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，滿足，所以，所以的最小值為4，此時，又，即.（2）因?yàn)?，，?5．(1)466(2)3【分析】（1）將代入解析式，令求出，得到答案；（2）設(shè)出未知數(shù)，得到方程組，兩式相減得到，得到答案【詳解】（1）由題意得函數(shù)，令得，，即所以所以，所以候鳥停下休息時，它每分鐘的耗氧量為466個單位；（2）設(shè)雄鳥每分鐘的耗氧量為，雌鳥每分鐘耗氧量為，由題意可得，兩式相減可得所以，解得，所以此時雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘耗氧量的3倍.16．(1)(2);(3).【分析】（1）將點(diǎn)代入解析式中求出的值，即可求得函數(shù)解析式（2）結(jié)合已知條件得到方程，然后令，將方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程并求根，然后根據(jù)自變量的取值范圍即可求出參數(shù)的取值范圍；（3）首先通過求解含絕對值的方程，得到