專題1.26 全等三角形幾何模型（半角模型）（分層練習(xí)）（綜合練）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（蘇科版）

專題1.26全等三角形幾何模型（半角模型）（分層練習(xí)）（綜合練）【知識(shí)與方法】半角模型定義：從正方形的一個(gè)頂點(diǎn)引出夾角為45°的兩條射線，并連接它們與該頂點(diǎn)的兩對(duì)邊的交點(diǎn)構(gòu)成的基本平面幾何模型稱為半角模型

。半角模型主要結(jié)論：半角模型中射線與端點(diǎn)對(duì)邊交點(diǎn)的連線長(zhǎng)等于端點(diǎn)兩相鄰點(diǎn)到各自最近交點(diǎn)的距離和。即如圖中，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E,F分別在BC和CD邊上，滿足∠EAF=45°，連接EF，則有：EF=BE+DF。證明：【證法一】（旋轉(zhuǎn)法）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°；將△ADF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ABF'的位置（F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F'），則△ADF≌△ABF'，∴∠BAF'=∠DAF，BF'=DF，AF=AF'；∴∠EAF'=∠BAE+∠DAF=45°=∠EAF，易證△AEF≌△AEF'(SAS)，∴EF=EF'=BF'+BE=DF+BE，即EF=BE+DF?！咀C法二】（\t"/item/%E5%8D%8A%E8%A7%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B/_blank"截長(zhǎng)補(bǔ)短法）延長(zhǎng)CB至點(diǎn)F'，使BF'=DF，連接AF'。易證△ADF≌△ABF'(SAS)，∴AF=AF'，∠BAF'=∠DAF，∴∠EAF'=∠BAE+∠BAF'=∠BAE+∠DAF=45°=∠EAF，則△AEF'≌△AEF(SAS)，∴EF=EF'=BF'+BE=BE+DF，即EF=BE+DF。（注：若延長(zhǎng)CD至點(diǎn)E'，使DE'=BE亦可，證法類同）一、單選題1．如圖所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜邊BC上的兩點(diǎn)，且∠DAE＝45°，將△ADC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后得到△AFB，連接EF，有下列結(jié)論：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正確的有（）A．①②③④B．②③ C．②③④ D．③④2．如圖，在中，，，D、E是斜邊上兩點(diǎn)，且，若，，，則與的面積之和為（

）A．36 B．21 C．30 D．22二、填空題3．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，若F是BC的中點(diǎn)，且∠EDF＝45°，則DE的長(zhǎng)為．4．如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD內(nèi)作∠EAF＝45°，AE交BC于點(diǎn)E，AF交CD于點(diǎn)F，連接EF，將ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ABG，若BE＝2，則EF的長(zhǎng)為．5．在中，，點(diǎn)在邊上，．若，則的長(zhǎng)為．6．如圖，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，M，N分別在BD，CD上，∠MAN＝45°，則△DMN的周長(zhǎng)為．三、解答題7．如圖，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)M，N在邊BC上，且∠MAN=45°．若BM=1，CN=3，求MN的長(zhǎng)．8．如圖，已知：正方形，點(diǎn)，分別是，上的點(diǎn)，連接，，，且，求證：．9．如圖所示：已知中，，在內(nèi)部作分別交于點(diǎn)[操作]（1）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使邊與邊重合，把旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記作點(diǎn)，得到，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出;(不寫出畫法)[探究]（2）在作圖的基礎(chǔ)上，連接，求證：[拓展]（3）寫出線段和之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．10．（1）如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF=45°，延長(zhǎng)CD到點(diǎn)G，使DG=BE，連結(jié)EF，AG．求證：①∠BEA=∠G，②EF=FG．（2）如圖2，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)M，N在邊BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的長(zhǎng)．11．已知，如圖所示，正方形中，，分別在邊，上，且，，分別交于，，連，求證：①

②.（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，G是AD上一點(diǎn)，∠ECG=45°，求證EG=BE+GD．請(qǐng)用（1）的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)完成此題：如圖2，在四邊形ABCD中，AG//BC(BC>AG)，∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一點(diǎn)，且∠ECG=45°，BE=4，求EG的長(zhǎng)？13．如圖，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，是頂角為120°的等腰三角形，以點(diǎn)為頂點(diǎn)作，點(diǎn)、分別在、上．（1）如圖①，當(dāng)時(shí)，則的周長(zhǎng)為______；（2）如圖②，求證：．14．如圖，AB＝AD＝BC＝DC，∠C＝∠D＝∠ABE＝∠BAD＝90°，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF＝45°，過(guò)點(diǎn)A作∠GAB＝∠FAD，且點(diǎn)G在CB的延長(zhǎng)線上．（1）△GAB與△FAD全等嗎？為什么？（2）若DF＝2，BE＝3，求EF的長(zhǎng)．15．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M、N，AH⊥MN于點(diǎn)H．（1）如圖①，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)，請(qǐng)你直接寫出AH與AB的數(shù)量關(guān)系：____；（2）如圖②，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請(qǐng)寫出理由，如果成立請(qǐng)證明；（3）如圖③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于點(diǎn)H，且MH=2，NH=3，求AH的長(zhǎng)．（可利用（2）得到的結(jié)論）16．問(wèn)題情境在等邊△ABC的兩邊AB，AC上分別有兩點(diǎn)M，N，點(diǎn)D為△ABC外一點(diǎn)，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．特例探究如圖1，當(dāng)DM＝DN時(shí)，（1）∠MDB＝度；（2）MN與BM，NC之間的數(shù)量關(guān)系為；歸納證明（3）如圖2，當(dāng)DM≠DN時(shí)，在NC的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E，使CE＝BM，連接DE，猜想MN與BM，NC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．拓展應(yīng)用（4）△AMN的周長(zhǎng)與△ABC的周長(zhǎng)的比為．17．已知：邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD，∠EAF的兩邊分別與射線CB、DC相交于點(diǎn)E、F，且∠EAF＝45°，連接EF．求證：EF＝BE+DF．思路分析：(1)如圖1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADE'，則F、D、E'在一條直線上，∠E'AF＝度，……根據(jù)定理，可證：△AEF≌△AE'F．∴EF＝BE+DF．類比探究：(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上，探究EF、BE、DF之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過(guò)程；拓展應(yīng)用：(3)如圖3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求線段BD、DE、EC圍成的三角形的面積．18．（1）如圖，在正方形中，、分別是，上的點(diǎn)，且．直接寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖，在四邊形中，，，、分別是，上的點(diǎn)，且，求證：；（3）如圖，在四邊形中，，，延長(zhǎng)到點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，則結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；不成立，請(qǐng)寫出它們的數(shù)量關(guān)系并證明．19．如圖，，，，，．（1）求的度數(shù)；（2）以E為圓心，以長(zhǎng)為半徑作弧；以F為圓心，以長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)G，試探索的形狀？是銳角三形，直角三角形還是鈍角三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由．20．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且．求證：；（2）如圖2，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且，請(qǐng)直接寫出EF、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是邊BC、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．21．將銳角為45°的直角三角板MPN的一個(gè)銳角頂點(diǎn)P與正方形ABCD的頂點(diǎn)A重合，正方形ABCD固定不動(dòng)，然后將三角板繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，∠MPN的兩邊分別與正方形的邊BC、DC或其所在直線相交于點(diǎn)E、F，連接EF．（1）在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)∠MPN的兩邊分別與正方形的邊CB、DC相交時(shí)，如圖1所示，請(qǐng)直接寫出線段BE、DF、EF滿足的數(shù)量關(guān)系；（2）在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)∠MPN的兩邊分別與正方形的邊CB、DC的延長(zhǎng)線相交時(shí)，如圖2所示，請(qǐng)直接寫出線段BE、DF、EF滿足的數(shù)量關(guān)系；（3）若正方形的邊長(zhǎng)為4，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)∠MPN的一邊恰好經(jīng)過(guò)BC邊的中點(diǎn)時(shí)，試求線段EF的長(zhǎng)．22．（1）如圖1，在四邊形中，，，E、F分別是邊、上的點(diǎn)，若，可求得、、之間的數(shù)量關(guān)系為________．（只思考解題思路，完成填空即可，不必書寫證明過(guò)程）（2）如圖2，在四邊形中，，，E、F分別是邊、延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，若，判斷、、之間的數(shù)量關(guān)系還成立嗎，若成立，請(qǐng)完成證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．23．（1）如圖①，在四邊形中，，E，F(xiàn)分別是邊上的點(diǎn)，且．請(qǐng)直接寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）如圖②，在四邊形中，，E，F(xiàn)分別是邊上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)寫出證明過(guò)程；（3）在四邊形中，，E，F(xiàn)分別是邊所在直線上的點(diǎn)，且．請(qǐng)直接寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系：．24．折一折：將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB、AD都落在對(duì)角線AC上，展開得折痕AE、AF，連接EF，如圖1．(1)∠EAF＝°，寫出圖中兩個(gè)等腰三角形：（不需要添加字母）；(2)轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的∠EAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊BC、CD于點(diǎn)P、Q，連接PQ，如圖2．線段BP、PQ、DQ之間的數(shù)量關(guān)系為；(3)連接正方形對(duì)角線BD，若圖2中的∠PAQ的邊AP、AQ分別交對(duì)角線BD于點(diǎn)M、點(diǎn)N，如圖3，則；(4)剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對(duì)角線BD剪開，如圖4．求證：BM2＋DN2＝MN2．參考答案1．C【分析】利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得△ABF≌△ACD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)一一判斷即可．解：∵△ADC繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△AFB，∴△ABF≌△ACD，∴∠BAF＝∠CAD，AF＝AD，BF＝CD，故②④正確，∴∠EAF＝∠BAF+∠BAE＝∠CAD+∠BAE＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°＝∠DAE故③正確無(wú)法判斷BE＝CD，故①錯(cuò)誤，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．2．B【分析】將關(guān)于對(duì)稱得到，從而可得的面積為15，再根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理證出，從而可得，最后根據(jù)與的面積之和等于與的面積之和即可得．解：如圖，將關(guān)于AE對(duì)稱得到，則，，，，，在和中，，，，，即是直角三角形，，，即與的面積之和為21，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)作輔助線，構(gòu)造全等三角形和直角三角形是解題關(guān)鍵．3．2【分析】延長(zhǎng)BA到點(diǎn)G，使AG=CF，連接DG，EF，利用SAS證明△ADG≌△CDF，得∠CDF=∠GDA，DG=DF，再證明△GDE≌△FDE（SAS），得GE=EF，設(shè)AE=x，則BE=6x，EF=x+3，再利用勾股定理解決問(wèn)題．解：延長(zhǎng)BA到點(diǎn)G，使AG＝CF，連接DG，EF，∵AD＝CD，∠DAG＝∠DCF，∴△ADG≌△CDF（SAS），∴∠CDF＝∠GDA，DG＝DF，∵∠EDF＝45°，∴∠EDG=∠ADE+∠ADG＝∠ADE+∠CDF＝45°，∵DE＝DE，∴△GDE≌△FDE（SAS），∴GE＝EF，∵F是BC的中點(diǎn)，∴AG=CF=BF=3，設(shè)AE＝x，則BE＝6﹣x，EF＝x+3，由勾股定理得，（6﹣x）2+32＝（x+3）2，解得x＝2，∴AE＝2，∴DE＝，故答案為：2．【點(diǎn)撥】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握半角模型的處理策略是解題的關(guān)鍵．4．5【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，由“”可證，可得，由勾股定理可求解．解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，，，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，四邊形為正方形，．又，．．．在和中，，，，，，，，，故答案為：5．【點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理的應(yīng)用，正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握利用勾股定理求線段的長(zhǎng)．5．【分析】將CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CG，連接GB，GF，可得△ACE≌△BCG，從而得FG2＝AE2＋BF2，再證明△ECF≌△GCF，從而得EF2＝AE2＋BF2，進(jìn)而即可求解．解：將CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CG，連接GB，GF，∵∠BCE＋∠ECA＝∠BCG＋∠BCE＝90°∴∠ACE＝∠BCG．∵在△ACE與△BCG中，∵，∴△ACE≌△BCG（SAS），∴∠A＝∠CBG＝45°，AE＝BG，∴∠FBG＝∠FBC＋∠CBG＝90°．在Rt△FBG中，∠FBG＝90°，∴FG2＝BG2＋BF2＝AE2＋BF2．又∵∠ECF＝45°，∴∠FCG＝∠ECG?∠ECF＝45°＝∠ECF．∵在△ECF與△GCF中，，∴△ECF≌△GCF（SAS）．∴EF＝GF，∴EF2＝AE2＋BF2，∵，∴BF=，故答案是：．【點(diǎn)撥】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)變換，二次根式的化簡(jiǎn)，通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換，構(gòu)造全等三角形，是解題的關(guān)鍵．6．2+2【分析】將△ACN繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△ABE，由旋轉(zhuǎn)得出∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，求出∠EAM＝∠MAN，根據(jù)SAS推出△AEM≌△ANM，根據(jù)全等得出MN＝ME，求出MN＝CN＋BM，解直角三角形求出DC，即可求出△DMN的周長(zhǎng)＝BD＋DC，代入求出答案即可．解：將△ACN繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△ABE，如圖：

由旋轉(zhuǎn)得：∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，∵∠BAC＝∠D＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠ABD+∠ABE＝180°，∴E，B，M三點(diǎn)共線，∵∠MAN＝45°，∠BAC＝90°，∴∠EAM＝∠EAB+∠BAM＝∠CAN+∠BAM＝∠BAC﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAM＝∠MAN，在△AEM和△ANM中，，

∴△AEM≌△ANM（SAS），∴MN＝ME，∴MN＝CN+BM，∵在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠CBD＝30°，BC＝4，∴CD＝BC＝2，BD＝＝2，∴△DMN的周長(zhǎng)為DM+DN+MN＝DM+DN+BM+CN＝BD+DC＝2+2，故答案為：2+2．【點(diǎn)撥】本題考查直角三角形、全等三角形的性質(zhì)和判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的應(yīng)用，能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．7．【分析】過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BC，垂足為點(diǎn)C，截取CE，使CE＝BM．連接AE、EN．通過(guò)證明△ABM≌△ACE（SAS）推知全等三角形的對(duì)應(yīng)邊AM＝AE、對(duì)應(yīng)角∠BAM＝∠CAE；然后由等腰直角三角形的性質(zhì)和∠MAN＝45°得到∠MAN＝∠EAN＝45°，所以△MAN≌△EAN（SAS），故全等三角形的對(duì)應(yīng)邊MN＝EN；最后由勾股定理得到EN2＝EC2＋NC2即MN2＝BM2＋NC2．解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BC，垂足為點(diǎn)C，截取CE，使CE＝BM．連接AE、EN．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°．∵CE⊥BC，∴∠ACE＝∠B＝45°．在△ABM和△ACE中，∴△ABM≌△ACE（SAS）．∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE．∵∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，∴∠BAM＋∠CAN＝45°．于是，由∠BAM＝∠CAE，得∠MAN＝∠EAN＝45°．在△MAN和△EAN中，∴△MAN≌△EAN（SAS）．∴MN＝EN．在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2＝EC2＋NC2．∴MN2＝BM2＋NC2．∵BM＝1，CN＝3，∴MN2＝12＋32，∴MN＝．【點(diǎn)撥】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理的綜合應(yīng)用，掌握三角形的全等的判定定理是解題關(guān)鍵．8．見(jiàn)分析．【分析】將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得GD=BE，AG=AE，∠DAG=∠BAE，然后求出∠FAG=∠EAF，再利用“邊角邊”證明△AEF和△AGF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EF=FG，即可得出結(jié)論．解：如解圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至的位置，使與重合．∴，．∵．∴，∴．在和中，，∴．∴．∵，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)在于利用旋轉(zhuǎn)變換作出全等三角形．9．（1）見(jiàn)詳解；（2）見(jiàn)詳解；（3）MN2=BM2+NC2，理由見(jiàn)詳解.【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度進(jìn)行作圖即可；（2）先根據(jù)SAS判定△MAN≌△QAN，進(jìn)而得出結(jié)論；（3）再由全等三角形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得出MN=NQ，MB=CQ，最后根據(jù)Rt△NCQ中的勾股定理得出結(jié)論；解：（1）如圖，△ACQ即為所求；（2）證明：由旋轉(zhuǎn)可得，△ABM≌△ACQ，∴AM=AQ，∠BAM=∠CAQ∵∠MAN=45°，∠BAC=90°∴∠BAM+∠NAC=45°∴∠CAQ+∠NAC=45°，即∠NAQ=45°在△MAN和△QAN中，∴△MAN≌△QAN（SAS），∴MN=NQ；（3）MN2=BM2+NC2；由（2）中可知，MN=NQ，MB=CQ，又∠NCQ=∠NCA+ACQ=∠NCA+∠ABM=45°+45°=90°在Rt△NCQ中，有NQ2=CQ2+NC2，即MN2=BM2+NC2；【點(diǎn)撥】本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)、全等三角形，以及勾股定理，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換思想方法在解決問(wèn)題過(guò)程中的應(yīng)用．解題時(shí)注意：①旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大?。葱D(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等），②任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角彼此相等（都是旋轉(zhuǎn)角），③經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．10．（1）①見(jiàn)分析②見(jiàn)分析（2）【分析】（1）在△ABE和△ADG中，根據(jù)SAS得出△ABE≌△ADG則∠BEA＝∠G.然后在△FAE和△GAF中通過(guò)SAS證明得出△FAE≌△GAF，則EF=FG.（2）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BC，垂足為點(diǎn)C，截取CE，使CE=BM．連接AE、EN．在△ABM和△ACE中，通過(guò)SAS證明得出△ABM≌△ACE,AM=AE,∠BAM+∠CAN=45°.在△MAN和△EAN中，通過(guò)SAS證明得出△MAN≌△EAN,MN=EN.Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2得出最終結(jié)果.解：（1）證明：在正方形ABCD中，∠ABE=∠ADG，AD=AB，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∠BEA＝∠G∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，又∠BAD＝90°，∴∠EAG=90°，∠FAG＝45°在△FAE和△GAF中，，∴△FAE≌△GAF（SAS），∴EF=FG（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BC，垂足為點(diǎn)C，截取CE，使CE=BM．連接AE、EN．∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°．∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°．在△ABM和△ACE中，，∴△ABM≌△ACE（SAS）．∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°．于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°．在△MAN和△EAN中，，∴△MAN≌△EAN（SAS）．∴MN=EN．在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2．∴MN2=BM2+NC2．∵BM=1，CN=3，∴MN2=12+32，∴MN=.【點(diǎn)撥】本題主要考查全等三角形的判定定理、勾股定理，做輔助線是本題的難點(diǎn)．11．見(jiàn)分析【分析】①把△ABE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BE=GD，AE=AG，再根據(jù)∠EAF=45°求出∠FAG=45°，然后利用邊角邊定理證明△AEF與△AGF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EF=GF，即EF=GD+FD，即可證明EF=BE+DF；②把△ADH繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABN，連接GN，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠NAE=∠EAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到GH=GN，求得∠NBG=∠ABN+∠ABG=45°+45°=90°，根據(jù)勾股定理得到BG2+HD2=GH2；解：①如圖，把△ABE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADM，∴BE=MD，AE=AM，∵∠EAF=45°，∴∠FAM=90°-45°=45°，∴∠EAF=∠FAM，在△AEF和△AMF中，，∴△AEF≌△AMF（SAS），∴EF=MF，即EF=MD+DF，∴BE+DF=EF；②如圖，把△ADH繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABN，連接GN，∴BN=DH，AN=AH，∠BAN=∠DAH，∠ABN=∠ADH，∵∠EAF=45°，∴∠NAE=∠BAN+∠BAE=∠DAH+∠BAE=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°，∴∠NAE=∠EAF，在△ANG和△AGH中，，∴△AGN≌△AGH（SAS），∴GH=GN，在正方形ABCD中，∠ABE=∠ADH=45°，∴∠NBG=∠ABN+∠ABG=45°+45°=90°，∴BG2+BN2=NG2，即BG2+HD2=GH2.【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．12．（1）證明見(jiàn)分析；（2）EG=10．【分析】（1）延長(zhǎng)AD至F，使DF=BE，連接CF，根據(jù)正方形的性質(zhì)，可直接證明△EBC≌△FDC，從而得出∠BCE=∠DCF，根據(jù)∠GCE=45°，得∠GCF=∠GCE=45°，利用全等三角形的判定方法得出△ECG≌△FCG，即GE=GF，即可證出EG=BE+GD；（2）過(guò)C作CD⊥AG，交AG延長(zhǎng)線于D，則四邊形ABCD是正方形，設(shè)EG=x，則AE=8，根據(jù)（1）可得：AG=16-x，在直角△AGE中利用勾股定理即可求解．解：（1）證明：如圖3所示，延長(zhǎng)AD至F，使DF=BE，連接CF，∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°，∵∠CDF=180°-∠ADC，∴∠CDF=90°，∴∠ABC=∠CDF，∵BE=DF，∴△EBC≌△FDC，∴∠BCE=∠DCF，EC=FC，∵∠ECG=45°，∴∠BCE+∠GCD=90°-∠ECG=90°-45°=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠FCG=45°，∴∠ECG=∠FCG．∵GC=GC，EC=FC，∴△ECG≌△FCG，∴EG=GF．∵GF=GD+DF=BE+GD，∴EG=BE+GD．（2）解：如圖4，過(guò)C作CD⊥AG，交AG延長(zhǎng)線于D，在直角梯形ABCG中，∵AGBC，∠A=∠B=90°，又∠CDA=90°，AB=BC，∴四邊形ABCD為正方形．∴AD=AB=BC=12．已知∠ECG=45°，根據(jù)（1）可知，EG=BE+DG，設(shè)EG=x，則AG=AD-DG=AD-(EG-BE)=12-(x-4)=16-x，∴AE=12-BE=12-4=8．在Rt△AEG中∵EG2=AG2+AE2，即x2=（16-x）2+82，解得：x=10．∴EG=10．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，注意每個(gè)題目之間的關(guān)系，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．13．（1）4；（2）見(jiàn)分析【分析】（1）首先證明△BDM≌△CDN，進(jìn)而得出△DMN是等邊三角形，∠BDM=∠CDN=30°，NC=BM=DM=MN，即可解決問(wèn)題；（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，首先證明，再證明，得出，進(jìn)而得出結(jié)果即可．解：（1）∵是等邊三角形，，，∴是等邊三角形，，則，∵是頂角的等腰三角形，，，在和中，，，，∵，∴是等邊三角形，，，，∴的周長(zhǎng)．（2）如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，∵是等邊三角形，是頂角的等腰三角形，，，，，在和中，，，，，∵，，在和中，．，又∵，．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（1）全等，理由詳見(jiàn)分析；（2）5【分析】（1）由題意易得∠ABG＝90°＝∠D，然后問(wèn)題可求證；（2）由（1）及題意易得△GAE≌△FAE，GB＝DF，進(jìn)而問(wèn)題可求解．解：（1）全等．理由如下∵∠D＝∠ABE＝90°，∴∠ABG＝90°＝∠D，在△ABG和△ADF中，，∴△GAB≌△FAD（ASA）；（2）∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°，∵△GAB≌△FAD，∴∠GAB＝∠FAD，AG＝AF，∴∠GAB+∠BAE＝45°，∴∠GAE＝45°，∴∠GAE＝∠EAF，在△GAE和△FAE中，，∴△GAE≌△FAE（SAS）∴EF＝GE∵△GAB≌△FAD，∴GB＝DF，∴EF＝GE＝GB+BE＝FD+BE＝2+3＝5．【點(diǎn)撥】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．15．（1）AH=AB；（2）成立，理由見(jiàn)分析；（3）6【分析】（1）先證明，可得，，再證明即可；（2）延長(zhǎng)至，使，證明，能得到；（3）分別沿、翻折和，得到和，然后分別延長(zhǎng)和交于點(diǎn)，得正方形，設(shè)，則，，在中，由勾股定理，解得．解：（1）如圖①，．理由如下：四邊形是正方形，，，在和中，，，，，是等腰三角形，又，，，，，，，在和中，，，；故答案為：；（2）數(shù)量關(guān)系成立．如圖②，延長(zhǎng)至，使．∵四邊形是正方形，，，在和中，，∴≌（SAS），，，，，，，在和中，，．，，、是和對(duì)應(yīng)邊上的高，．（3）如圖③分別沿、翻折和，得到和，，，．分別延長(zhǎng)和交于點(diǎn)，得正方形，由（2）可知，．設(shè)，則，，在中，由勾股定理，得，，解得，．（不符合題意，舍去），．【點(diǎn)撥】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)；正確作出輔助線，熟練掌握翻折變換的性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．16．（1）30；（2）MN＝BM+NC；（3）MN＝BM+NC，證明見(jiàn)分析；（4）【分析】（1）先證明△MDN是等邊三角形，則MN＝DM＝DN，再證明Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），得∠BDM＝∠CDN＝30°；（2）由（1）得DM＝2BM，可得結(jié)論MN＝2BM＝BM+NC；歸納證明：先證△DBM≌△DCE（HL），得DM＝DE，∠BDM＝∠CDE，再證△MDN≌△EDN（SAS），得MN＝NE，可得結(jié)論MN＝BM+CN；拓展應(yīng)用：（3）首先根據(jù)題意利用SAS證明△DBM≌△DCE，然后證明△MDN≌△EDN，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)相等通過(guò)線段之間的轉(zhuǎn)化即可得到MN＝BM+NC；（4）由（3）得到MN＝BM+NC，則△AMN的周長(zhǎng)＝2AB，△ABC的周長(zhǎng)＝3AB，即可得出結(jié)論．解：特例探究：解：（1）∵DM＝DN，∠MDN＝60°，∴△MDN是等邊三角形，∴MN＝DM＝DN，∵∠BDC＝120°，BD＝DC，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠DBM＝∠DCN＝90°，∵BD＝CD，DM＝DN，∴Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），∴∠MDB＝∠NDC＝30°，故答案為：30；（2）由（1）得：DM＝2BM，DM＝MN，Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），∴BM＝CN，∴DM＝MN＝2BM＝BM+NC，即MN＝BM+NC；歸納證明（3）解：猜想：MN＝BM+NC，證明如下：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵BD＝CD，∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠MBD＝∠NCD＝90°．∴∠MBD＝∠ECD＝90°，又∵BD＝CD，BM＝CE，∴△DBM≌△DCE（SAS），∴DM＝DE，∠MDB＝∠EDC，∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，∴∠MDB+∠NDC＝60°，∴∠EDN＝∠NDC+∠EDC＝∠MDB+∠NDC＝60°，∴∠EDN＝∠MDN，又∵DN＝DN，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN＝EN＝EC+NC＝BM+NC；拓展應(yīng)用（4）解：由（1）（2）得：MN＝BM+NC，∴△AMN的周長(zhǎng)＝AM+MN+AN＝AM+BM+NC+AN＝AB+AC＝2AB，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC的周長(zhǎng)＝3AB，∴△AMN的周長(zhǎng)與△ABC的周長(zhǎng)的比為＝，故答案為：．【點(diǎn)撥】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)的，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．17．(1)45；(2)DF＝BE+EF，證明見(jiàn)分析；(3)2【分析】（1）把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，則、、在一條直線上，，再證△，得，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，再證△，得，進(jìn)而得出結(jié)論；（3）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則，得，因此，同（2）得△，則，，得、、圍成的三角形面積，即可求解．解：如圖1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至，則F、D、在一條直線上，≌△ABE，∴＝BE，∠＝∠BAE，＝AE，∴∠＝∠EAD+∠＝∠EAD+∠BAE＝∠BAD＝90°，則∠＝∠﹣∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠，∴△AEF≌△（SAS），∴，∵，∴EF＝BE+DF．故答案為：45；（2）解：DF＝BE+EF

理由如下：將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△，∴△≌△ABE，∴AE＝，BE＝，∠＝∠BAE，∴∠＝∠BAE+∠＝∠+∠＝∠BAD＝90°，則∠＝∠﹣∠EAF＝45°，∴∠＝∠EAF＝45°，在△AEF和△中，，∴△AEF≌△（SAS），∴，∵，∴DF＝BE+EF；（3）解：將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，連接，則△≌△ABD，∴CD'＝BD，∴，同（2）得：△ADE≌△（SAS），∴，，∴BD、DE、EC圍成的三角形面積為、、EC圍成的三角形面積．【點(diǎn)撥】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及四邊形和三角形面積等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的啟發(fā)正確作出輔助線得出全等三角形，屬于中考常考題型．18．（1），理由見(jiàn)詳解；（2）見(jiàn)詳解；（3）結(jié)論EF＝BE＋FD不成立，應(yīng)當(dāng)是EF＝BE?FD．理由見(jiàn)詳解．【分析】（1）在CD的延長(zhǎng)線上截取DM＝BE，連接AM，證出△ABE≌△ADM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BE＝DM，再證明△AEF≌△AMF，得EF＝FM，進(jìn)而即可得出答案；（2）在CD的延長(zhǎng)線上截取DG＝BE，連接AG，證出△ABE≌△ADG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BE＝DG，再證明△AEF≌△AGF，得EF＝FG，即可得出答案；（3）按照（2）的思路，我們應(yīng)該通過(guò)全等三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)相等線段的轉(zhuǎn)換．就應(yīng)該在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．根據(jù)（2）的證法，我們可得出DF＝BG，GE＝EF，那么EF＝GE＝BE?BG＝BE?DF．所以（1）的結(jié)論在（3）的條件下是不成立的．解：，理由如下：延長(zhǎng)CD，使DM=BE，連接AM，∵在正方形中，AB=AD，∠B=∠ADM=90°，∴，∴∠BAE=∠DAM，AE=AM，∵，∴∠BAE+∠DAF=∠DAM+∠DAF=90°-45°=45°，∴∠EAF=∠MAF=45°，又∵AF=AF，AE=AM，∴，∴EF=MF=MD+DF=BE+DF；（2）在CD的延長(zhǎng)線上截取DG＝BE，連接AG，如圖，∵∠ADF＝90°，∠ADF＋∠ADG＝180°，∴∠ADG＝90°，∵∠B＝90°，∴∠B＝∠ADG＝90°，∵BE＝DG，AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AG＝AE，∴∠EAG＝∠EAD＋∠DAG＝∠EAD＋∠ABE＝∠BAD，∵，∴∠EAF＝∠FAG，又∵AF＝AF，AE＝AG，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG＝DF＋DG＝EB＋DF；（3）結(jié)論EF＝BE＋FD不成立，應(yīng)當(dāng)是EF＝BE?FD．理由如下：如圖，在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵在△ABG與△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS）．∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG＋∠EAD＝∠DAF＋∠EAD＝∠EAF＝∠BAD．∴∠GAE＝∠BAD=∠EAF．∵AE＝AE，AG＝AF．∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF，∵EG＝BE?BG∴EF＝BE?FD．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形綜合題，三角形全等的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)變換的思想添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，解題時(shí)注意一些題目雖然圖形發(fā)生變化，但是證明思路和方法是類似的，屬于中考?jí)狠S題．19．（1）45°；（2）見(jiàn)詳解【分析】（1）由CA⊥CB，可得∠ACB＝90°，再根據(jù)∠ECF＝45°，即可得出答案；（2）如圖，連接DE，先證明△ECF≌△ECD（SAS），可得DE＝EF，再證明△CAD≌△CBF（SAS），可得AD＝BF，∠CAD＝∠B，即可得出∠DAE＝90°，再利用SSS證明△EFG≌△EDA，即可得出答案．解：（1）∵CA⊥CB，∴∠ACB＝90°，∴∠ACE＋∠ECF＋∠BCF＝90°，∵∠ECF＝45°，∴∠ACE＋∠BCF＝90°?∠ECF＝45°；（2）△EFG是直角三角形，理由如下：如圖，連接DE，由（1）知，∠ACE＋∠BCF＝45°，∵∠ACD＝∠BCF，∴∠ACE＋∠ACD＝45°，即∠DCE＝45°，∵∠ECF＝45°，∴∠ECF＝∠ECD，在△ECF和△ECD中，，∴△ECF≌△ECD（SAS），∴DE＝EF，在△CAD和△CBF中，，∴△CAD≌△CBF（SAS），∴AD＝BF，∠CAD＝∠B，∵FG＝BF，∴FG＝AD，∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠B＝45°，∴∠DAE＝∠CAB＋∠B＝90°，在△EFG和△EDA中，，∴△EFG≌△EDA（SSS），∴∠EGF＝∠EAD＝90°，∴△EFG是直角三角形．【點(diǎn)撥】本題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形性質(zhì)，直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，熟練運(yùn)用全等三角形判定和性質(zhì)解決問(wèn)題．20．（1）見(jiàn)分析；（2）EF=BE+FD；（3）不成立，理由見(jiàn)分析．【分析】（1）可通過(guò)構(gòu)建全等三角形實(shí)現(xiàn)線段間的轉(zhuǎn)換，延長(zhǎng)EB到G，使BG=DF，連接AG，目的就是要證明三角形AGE和三角形AEF全等，將EF轉(zhuǎn)換為GE，證得EF=BE+DF，（2）思路和輔助線方法與（1）一樣，證明三角形ABG和三角形ADF全等，（3）在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG，用（1）中方法，可證得DF=BG，GE=EF，則EF=GE=BE-BG=BE-DF解：（1）如圖，延長(zhǎng)EB到G，使BG=DF，連接AG，在與中，；（2）（1）中結(jié)論EF=BE+FD仍成立，理由如下，證明：如圖，延長(zhǎng)CB到M，使BM=DF，在與中即在與中即；（3）結(jié)論EF=BE+FD不成立，理由如下，證明：在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG，在與中．【點(diǎn)撥】本題考查四邊形綜合題，三角形全等的判定與性質(zhì)，本題中通過(guò)全等三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換是解題關(guān)鍵，沒(méi)有明確全等三角形時(shí)，要通過(guò)輔助線來(lái)構(gòu)建與已知和所求條件相關(guān)聯(lián)全等三角形．21．（1）EF=DF+BE；（2）EF=DF-BE；（3）線段EF的長(zhǎng)為或．【分析】（1）延長(zhǎng)FD至G，使DG=BE，連接AG，先證△ABE≌△ADG，再證△GAF≌△EAF即可；（2）在DC上截取DH=BE，連接AH，先證△ADH≌△ABE，再證△HAF≌EAF即可；（3）分兩種情形分別求解即可解決問(wèn)題．解：（1）結(jié)論：EF=BE+DF．理由：延長(zhǎng)FD至G，使DG=BE，連接AG，如圖①，∵ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABE=ADG=∠DAB=90°，∴△ABE≌△ADG（AAS），∴AE=AG，∠DAG=∠EAB，∵∠EAF=45°，∴∠DAF+∠EAB=45°，∴∠DAF+∠DAG=45°，∴∠GAF=∠EAF=45°，∵AF=AF，∴△GAF≌△EAF（AAS），∴EF=GF，∴GF=DF+DG=DF+BE，即：EF=DF+BE；（2）結(jié)論：EF=DF-BE．理由：在DC上截取DH=BE，連接AH，如圖②，∵AD=AB，∠ADH=∠ABE=90°，∴△ADH≌△ABE（SAS），∴AH=AE，∠DAH=∠EAB，∵∠EAF=∠EAB+∠BAF=45°，∴∠DAH+∠BAF=45°，∴∠HAF=45°=∠EAF，∵AF=AF，∴△HAF≌EAF（SAS），∴HF=EF，∵DF=DH+HF，∴EF=DF-BE；（3）①當(dāng)MA經(jīng)過(guò)BC的中點(diǎn)E時(shí)，同（1）作輔助線，如圖：設(shè)FD=x，由（1）的結(jié)論得FG=EF=2+x，F(xiàn)C=4-x．在Rt△EFC中，（x+2）2=（4-x）2+22，∴x=，∴EF=x+2=．②當(dāng)NA經(jīng)過(guò)BC的中點(diǎn)G時(shí)，同（2）作輔助線，設(shè)BE=x，由（2）的結(jié)論得EC=4+x，EF=FH，∵K為BC邊的中點(diǎn)，∴CK=BC=2，同理可證△ABK≌FCK（SAS），∴CF=AB=4，EF=FH=CF+CD-DH=8-x，在Rt△EFC中，由勾股定理得到：（4+x）2+42=（8-x）2，∴x=，∴EF=8-=．綜上，線段EF的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)撥】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．22．（1）；（2）．理由見(jiàn)分析．【分析】（1）線段、、之間的數(shù)量關(guān)系是．如圖，延長(zhǎng)至，使，連接，利用全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．（2）結(jié)論：．如圖中，在上截取，連接，證明，推出，，再證明，可得結(jié)論．解：線段、、之間的