【2024朝陽一模】北京市朝陽區(qū)2024屆高三第一次綜合練習-理科數(shù)學

【2024朝陽一?！勘本┦谐枀^(qū)2024屆高三第一次綜合練習-理科數(shù)學PAGE9-北京市朝陽區(qū)高三年級第一次綜合練習數(shù)學學科測試〔理工類〕2024.4〔考試時間120分鐘總分值150分〕本試卷分為選擇題〔共40分〕和非選擇題〔共110分〕兩局部第一局部〔選擇題共40分〕一、選擇題：本大題共8小題，每題5分，共40分．在每題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.〔1〕為虛數(shù)單位，復數(shù)的虛部是A．B．C．D.【答案】A，所以虛部是，選A.〔2〕集合，，那么A.B.C.D.【答案】D，所以，選D.〔3〕向量，.假設，那么實數(shù)的值為A．B．C．D．【答案】A,因為，所以，解得，選A.〔4〕在極坐標系中，直線與曲線相交于兩點,為極點，那么的大小為A．B．C．D．【答案】C直線對應的直角方程為，由得，即，即。所以圓心為，半徑為1，所以，所以，選C.〔5〕在以下命題中，①“〞是“〞的充要條件；②的展開式中的常數(shù)項為；③設隨機變量～,假設，那么．其中所有正確命題的序號是A．②B．③C．②③D．①③【答案】C①由，得，所以①錯誤。②展開式的通項公式為，由得，，所以常數(shù)項為，所以②正確。③因為，所以，所以③正確。選C.〔6〕某個長方體被一個平面所截，得到的幾何體的三視圖如下圖，那么這個幾何體的體積為A.B.C.D.8【答案】D由三視圖可知，該幾何體的為，其中長方體底面為正方形，正方形的邊長為2.其中,將相同的兩個幾何體放在一起，構(gòu)成一個高為4的長方體，所以該幾何體體積為?！?〕拋物線〔＞〕的焦點為，點，為拋物線上的兩個動點，且滿足.過弦的中點作拋物線準線的垂線，垂足為，那么的最大值為A.B.1C.【答案】A〔8〕函數(shù).假設，使成立，那么稱為函數(shù)的一個“生成點〞.函數(shù)的“生成點〞共有A.1個B.2個C.3個D.4個【答案】B由題意知，因為，所以，。因為，所以當時，，此時解得，生成點為。當時，，此時解得，生成點為。所以函數(shù)的“生成點〞共有2個，選B.第二局部〔非選擇題共110分〕二、填空題：本大題共6小題，每題5分，共30分.把答案填在答題卡上.〔9〕在等比數(shù)列中，，那么，為等差數(shù)列，且，那么數(shù)列的前5項和等于.【答案】，在等比數(shù)列中，解得。在等差數(shù)列中，所以?！?0〕在中，，，分別為角，，C所對的邊.角為銳角，且,那么.【答案】由得，所以,，即.〔11〕執(zhí)行如下圖的程序框圖，輸出的結(jié)果S=.【答案】第一次循環(huán)，；第二次循環(huán)，；第三次循環(huán)，；第四次循環(huán)，；此時滿足條件輸出，.〔12〕如圖，圓是的外接圓，過點C作圓的切線交的延長線于點.假設，，那么線段的長是；圓的半徑是.的圖象，如圖，要使方程恰有四個不相等的實數(shù)根，那么直線的斜率滿足，由題意可知，，所以，所以，即?！?4〕在平面直角坐標系中，點是半圓〔≤≤〕上的一個動點，點在線段的延長線上．當時，那么點的縱坐標的取值范圍是．【答案】由圖象可知，當點A位于點B時，點C的縱坐標最大。當點A位于點D時，點C的縱坐標最小由圖象可知,。當點A位于點B時，，因為，所以此時.由相似性可知，解得，同理當點A位于點D時，解得，所以點的縱坐標的取值范圍是，即。三、解答題：本大題共6小題，共80分.解容許寫出文字說明，演算步驟或證明過程.〔15〕〔本小題總分值13分〕函數(shù)〔〕的最小正周期為.〔Ⅰ〕求的值及函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；〔Ⅱ〕當時，求函數(shù)的取值范圍.〔16〕〔本小題總分值13分〕盒子中裝有四張大小形狀均相同的卡片，卡片上分別標有數(shù)字．稱“從盒中隨機抽取一張，記下卡片上的數(shù)字后并放回〞為一次試驗〔設每次試驗的結(jié)果互不影響〕．〔Ⅰ〕在一次試驗中，求卡片上的數(shù)字為正數(shù)的概率；〔Ⅱ〕在四次試驗中，求至少有兩次卡片上的數(shù)字都為正數(shù)的概率；〔Ⅲ〕在兩次試驗中，記卡片上的數(shù)字分別為，試求隨機變量的分布列與數(shù)學期望．〔17〕〔本小題總分值14分〕PDABCFE如圖，在四棱錐中，平面平面，且，．四邊形滿足，，．點分別為側(cè)棱上的點，且．PDABCFE〔Ⅰ〕求證：平面；〔Ⅱ〕當時，求異面直線與所成角的余弦值；〔Ⅲ〕是否存在實數(shù)，使得平面平面？假設存在，試求出的值；假設不存在，請說明理由．〔18〕〔本小題總分值13分〕函數(shù)，其中．〔Ⅰ〕求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；〔Ⅱ〕假設函數(shù)在上有且只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍.〔19〕〔本小題總分值14分〕中心在原點，焦點在軸上的橢圓過點,離心率為，點為其右頂點.過點作直線與橢圓相交于兩點，直線，與直線分別交于點，.〔Ⅰ〕求橢圓的方程；〔Ⅱ〕求的取值范圍.〔20〕〔本小題總分值13分〕設是數(shù)的任意一個全排列，定義，其中.〔Ⅰ〕假設，求的值；〔Ⅱ〕求的最大值；〔Ⅲ〕求使到達最大值的所有排列的個數(shù).

北京市朝陽區(qū)高三年級第一次綜合練習數(shù)學學科測試答案〔理工類〕2024.4一、選擇題：題號〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕答案ADACCDAB二、填空題：題號〔9〕〔10〕〔11〕〔12〕〔13〕〔14〕答案，1,〔注：兩空的填空，第一空3分，第二空2分〕三、解答題：〔15〕〔本小題總分值13分〕解：〔Ⅰ〕.…………4分因為最小正周期為，所以.………………6分所以.由，，得.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[]，.………………8分〔Ⅱ〕因為，所以，…………………10分所以.………12分所以函數(shù)在上的取值范圍是[].……………13分〔16〕〔本小題總分值13分〕解：〔Ⅰ〕設事件A：在一次試驗中，卡片上的數(shù)字為正數(shù)，那么．答：在一次試驗中，卡片上的數(shù)字為正數(shù)的概率是．…………3分〔Ⅱ〕設事件B：在四次試驗中，至少有兩次卡片上的數(shù)字都為正數(shù)．由〔Ⅰ〕可知在一次試驗中，卡片上的數(shù)字為正數(shù)的概率是．所以．答：在四次試驗中，至少有兩次卡片上的數(shù)字都為正數(shù)的概率為．……………7分〔Ⅲ〕由題意可知，的可能取值為，所以隨機變量的可能取值為．；；；；；．所以隨機變量的分布列為所以．……13分〔17〕〔本小題總分值14分〕證明：〔Ⅰ〕由，，所以．因為，所以．而平面，平面，所以平面．……………………4分〔Ⅱ〕因為平面平面，平面平面，且，所以平面.所以，．又因為，所以兩兩垂直．……………………5分如下圖，建立空間直角坐標系，PPDABCFExyxzx因為，，所以．當時，為中點，所以,所以．設異面直線與所成的角為，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為．…………………9分〔Ⅲ〕設，那么．由，所以，所以所以．設平面的一個法向量為，因為,所以即令，得．設平面的一個法向量為，因為,所以即令，那么．假設平面平面，那么，所以，解得．所以當時，平面平面．…………14分〔18〕〔本小題總分值13分〕解：函數(shù)定義域為，且…………2分①當，即時，令，得，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，令，得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.②當，即時，令，得或，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，.令，得，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.③當，即時，恒成立，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.…7分(Ⅱ)①當時，由(Ⅰ)可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，在單調(diào)遞增.所以在上的最小值為，由于，要使在上有且只有一個零點，需滿足或解得或.②當時，由(Ⅰ)可知，〔ⅰ〕當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；且，所以在上有且只有一個零點.〔ⅱ〕當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；又因為，所以當時，總有.因為，所以.所以在區(qū)間內(nèi)必有零點.又因為在內(nèi)單調(diào)遞增，從而當時，在上有且只有一個零點.綜上所述，或或時，在上有且只有一個零點.…………………………13分〔19〕〔本小題總分值14分〕解：〔Ⅰ〕設橢圓的方程為，依題意得解得，.所以橢圓的方程為.………………4分〔Ⅱ〕顯然點.〔1〕當直線的斜率不存在時，不妨設點在軸上方，易得，，所以.…………6分〔2〕當直線的斜率存在時，由題意可設直線的方程為，顯然時，不符合題意.由得.設,那么.直線，的方程分別為：，令，那么.所以，.……10分所以.……………12分因為，所以，所以，即.綜上所述，的取值范圍是.……14分〔20〕〔本小題總分值13分〕解：〔Ⅰ〕.……3分〔Ⅱ〕數(shù)的倍與倍分別如下：其中較大的十個數(shù)之和與較小的十個數(shù)之和的差為，所以.對于排列，此時，所以的最大值為.……………8分〔Ⅲ〕由于數(shù)所產(chǎn)生的個數(shù)都是較小的數(shù)，而數(shù)所產(chǎn)生的個數(shù)都是較大的數(shù)