【一元二次方程中的認(rèn)知沖突與教學(xué)建議研究10000字（論文）】

一元二次方程中的認(rèn)知沖突與教學(xué)建議研究一、緒論 3（一）研究背景 3（二）研究意義 3（三）國內(nèi)外研究現(xiàn)狀 3（四）研究方法 4二、一元二次方程相關(guān)概念及認(rèn)知沖突分析 5（一）一元二次方程--定義 5（二）對一元二次方程解法的理解 6三、教學(xué)實(shí)錄分析 8（一）教學(xué)實(shí)錄內(nèi)容 8（二）教學(xué)實(shí)錄分析 9四、初中生對一元二次方程學(xué)習(xí)的現(xiàn)狀分析 11（一）學(xué)業(yè)成績數(shù)據(jù)對比分析 11（二）整體知識掌握情況 11（三）認(rèn)知發(fā)展情況 12（四）學(xué)生個(gè)體分析 13五、一元二次方程的教學(xué)建議 15（一）找出相應(yīng)的措施，使學(xué)生有信心學(xué)好一元二次方程 15（二）教學(xué)中強(qiáng)調(diào)思維過程，注重思維方法的教學(xué)浸透 15（三）熟練代數(shù)式的列出內(nèi)容 15（四）監(jiān)督一元二次方程的解題過程 16六、結(jié)語 17參考文獻(xiàn) 18附錄A 19附錄B 20附錄C 21一、緒論（一）研究背景現(xiàn)實(shí)生活中的方方面面都涉及到一元二次方程，其有助于培養(yǎng)并提高學(xué)生的應(yīng)用意識，而這也得益于其的特征，因此學(xué)生應(yīng)用意義和能力的培養(yǎng)要結(jié)合方程的學(xué)習(xí)，只有這樣才可以起到事半功倍的效果。部分同學(xué)認(rèn)為方程的學(xué)習(xí)難度非常高，而學(xué)生難學(xué)已經(jīng)成為了一個(gè)事實(shí)，但我國中考的重點(diǎn)考核內(nèi)容中也包含了方程，同時(shí)其構(gòu)成的數(shù)學(xué)模型適用于刻畫事件數(shù)量關(guān)系，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，例如函數(shù)、一元二次方程等。教師講解方程的過程就是學(xué)生學(xué)習(xí)方程的過程，學(xué)生通過教師的講解可以提高自身的學(xué)習(xí)和思維能力，并將其運(yùn)用的生活中。但部分初中生認(rèn)為一元二次方程的學(xué)習(xí)難度非常高，而這些學(xué)生的整體分?jǐn)?shù)也不高。導(dǎo)致學(xué)生得分率低的原因是什么？在解一元二次方程的應(yīng)用問題時(shí)出現(xiàn)了哪些錯(cuò)誤？錯(cuò)誤的產(chǎn)生原因是什么？同時(shí)以上問題也是本文的研究重點(diǎn)。（二）研究意義方程的核心就是一元二次方程，其也延續(xù)了一元一次方程和二次開發(fā)，同時(shí)其也是學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，例如二次函數(shù)、三角函數(shù)、立體幾何等，還可以通過一元二次方程來解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題。新課程標(biāo)準(zhǔn)中指出，實(shí)際問題的運(yùn)用應(yīng)該是教師教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，要培養(yǎng)并提高學(xué)生的思維和創(chuàng)新意識，教師在教學(xué)過程中要注重引導(dǎo)學(xué)生自主探索，盡量不要包辦，要多多鼓勵(lì)學(xué)生自主研究，在遇到困難時(shí)可以點(diǎn)撥，教師要充分發(fā)揮出學(xué)生的發(fā)展?jié)摿?，健全學(xué)生的思維品質(zhì)，這樣就可以實(shí)現(xiàn)自身教書育人的價(jià)值，所以，數(shù)學(xué)教師在教學(xué)時(shí)，要利用認(rèn)知沖突來設(shè)置問題情境。（三）國內(nèi)外研究現(xiàn)狀布魯納是美國著名的教育和認(rèn)知心理學(xué)家，其指出：“在問題情境中，學(xué)習(xí)者獲得更高價(jià)值的方式就是親身體驗(yàn)學(xué)習(xí)材料的發(fā)展過程?！奔幢阋呀?jīng)經(jīng)歷了半個(gè)多世紀(jì)，其提出的認(rèn)知結(jié)構(gòu)主義理論也在一直影響著教育界的發(fā)展，并且一直受到各領(lǐng)域?qū)W者的重視。在該領(lǐng)域的研究中，占比最大的研究主題就是“認(rèn)知沖突”，筆者在查閱文獻(xiàn)資料后發(fā)現(xiàn)，共有3000余篇的研究主題為“認(rèn)知沖突”。怎樣在教學(xué)中融入認(rèn)知沖突是我國學(xué)者的重點(diǎn)研究內(nèi)容，在優(yōu)化課堂教學(xué)內(nèi)容時(shí)，可以通過設(shè)置認(rèn)知沖突的方式來完成。在研究認(rèn)知沖突時(shí)，基本都是圍繞以下兩個(gè)論點(diǎn)：首先是，其在教學(xué)中的作用；其次是，如何在中小學(xué)的教學(xué)中融入認(rèn)知沖突。有關(guān)一元二次方程的研究也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)研究內(nèi)容。（四）研究方法（1）文獻(xiàn)分析法搜集整理有關(guān)數(shù)學(xué)教學(xué)的文獻(xiàn)資料，例如數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)模型等，掌握有關(guān)認(rèn)知沖突的研究現(xiàn)狀，再結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)情況，明確本文的研究方向。（2）問卷調(diào)查法本篇論文的研究內(nèi)容為，學(xué)生在求解方程的過程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤及形成原因，這也就意味著需要掌握學(xué)生的解題情況，而這一情況可以從學(xué)生的測試卷中了解。根據(jù)學(xué)生的解題情況設(shè)定調(diào)查問卷，問卷的內(nèi)容包括以下三個(gè)方面：首先是解題現(xiàn)狀、其次是學(xué)習(xí)現(xiàn)狀、最后是方程求解現(xiàn)狀。（3）訪談法筆者在整理了調(diào)查問卷和學(xué)生測試卷后，為進(jìn)一步完善數(shù)據(jù)信息，便以訪談法的形式深入了解學(xué)生現(xiàn)狀。調(diào)查問卷和學(xué)生的測試卷中反應(yīng)出來的信息只停留在表面，無法了解到填寫者的狀態(tài)，更無法了解學(xué)生的思維方式。因此，訪談法可以掌握學(xué)生的解題思維和內(nèi)心的真實(shí)想法，有利于總結(jié)學(xué)生產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因[13]。（4）統(tǒng)計(jì)分析法通過Excel軟件來處理分析已經(jīng)收集完成的信息數(shù)據(jù)。

二、一元二次方程相關(guān)概念及認(rèn)知沖突分析（一）一元二次方程--定義由于一元二次方程的定義中包含了三個(gè)要素：只有同時(shí)具備三個(gè)要素的方程，才可以被稱為一元二次方程：（a）有且僅有一個(gè)未知數(shù)、（b）2是未知數(shù)的最高次數(shù)是2、（c）整式方程；可以通過代數(shù)表達(dá)式來定義一元二次方程的一般形式。所以，筆者會從以下兩個(gè)方面來分析“什么是一元二次方程”：首先是，學(xué)生怎樣定義一元二次方程；其次是學(xué)生在描述一元二次方程時(shí)會出現(xiàn)哪些錯(cuò)誤。表2-1學(xué)生對“什么是一元二次方程”的描述方式統(tǒng)計(jì)人數(shù)占比文字性描述正確3713.1代數(shù)表達(dá)式描述正確134.0文字性描述錯(cuò)誤21874.6代數(shù)表達(dá)式描述錯(cuò)誤41.1未作答217.2合計(jì)293100.0從上表中可知，有87.8%的學(xué)生以文字的形式描述一元二次方程的定義，但是描述正確的僅有14.8%，占比為13%；有5.1%的學(xué)生以代數(shù)表達(dá)式描述一元二次方程的定義，也就是方程的一般式，回答正確的學(xué)生有80.4%，占比為4.1%。從這里可以看出，學(xué)生在定義一元二次方程時(shí)，基本會選擇文字性表述，但是代數(shù)表達(dá)式描述的正確率卻高于文字性描述。學(xué)生在用文字定義一元二次方程時(shí)，經(jīng)常會缺失要素c這一條件，即“整式方程”，從表2-2中可以得知，在用文字定義一元二次方程時(shí)，有189人缺少了要素c，占比為64.5%。缺少要素a，即缺少“有且僅有一個(gè)未知數(shù)”的占比為2%，缺少要素b，即缺少“2是未知數(shù)最高次數(shù)”的占比為33.8%，要素a和b的容錯(cuò)率要遠(yuǎn)低于要素c的容錯(cuò)率。表2-2學(xué)生對“什么是一元二次方程”的回答統(tǒng)計(jì)回答類型人數(shù)占比均正確回答4816.1缺少要素c9633.0缺少要素b82.5缺少要素b和要素c8830.3缺少要素a和要素c41.0缺少要素a和要素b21.0均回答錯(cuò)誤165.9空白3110.1合計(jì)293100.0在理解一元二次方程時(shí)，在問題2(2)中設(shè)定了9個(gè)方程，讓293名學(xué)生從這些方程中選出一元二次方程。均回答正確的學(xué)生人數(shù)為153名，占比為52.3%。綜合來看，正確率要低于判斷是否是方程的正確率，通過研究發(fā)現(xiàn)，造成正確率較低的根本原因是方程中較多條件都符合一元二次方程的三要素。從表2-3中可知，學(xué)生們判斷前4個(gè)等式以及第6、第八個(gè)等式是否為一元二次方程時(shí)，正確率較高，均大于95%。判斷第1、第5、第9個(gè)等式的是否為一元二次方程時(shí)，正確率并不高。表2-3學(xué)生對“什么是一元二次方程”的回答統(tǒng)計(jì)等式123456789正確率（%）10097.395.698.483.297.385.796.887.8（二）對一元二次方程解法的理解在掌握學(xué)生們求解一元二次方程的情況時(shí)，在調(diào)查問卷中設(shè)計(jì)了“問題3”。要求學(xué)生們在求解方程時(shí)選用兩種及兩種以上的方法。這些問題中，簡單題和難題并存，有些題目的系數(shù)比較簡單，而有些題目的系數(shù)比較大，表2-4就是學(xué)生們的求解結(jié)果。表2-4學(xué)生求解一元二次方程的情況統(tǒng)計(jì)題號方法開平方配方公式因式分解合計(jì)空白√×√×√×√×√×1人數(shù)比例23580.0176.230.60062.0154.9176.220.426188.73511.3002人數(shù)比例000040.810.47224.4155.418462.6185.625587.33511.741.03人數(shù)比例000061.60093.030.427493.161.828698.184.0004人數(shù)比例00006521.6134.615151.74616.100155.621373.27626.4005人數(shù)比例000058.441.33010.7155.621472.961.626791.5228.0006人數(shù)比例000030.90051.782.227392.7123.827894.7145.200在求解第一道題目時(shí)，有86.1%的學(xué)生使用開平方的辦法求解，有234名學(xué)生回答正確，總占比為80%；有0.7%的學(xué)生使用配方法求解；有2.0%的學(xué)生使用公式法求解；有6.3%的學(xué)生使用因式分解法求解，這三種解法的共同點(diǎn)就是把方程轉(zhuǎn)化成一元二次方程，之后在按照相應(yīng)的步驟求解。在設(shè)計(jì)第2道題目、第3道題目、第5道題目時(shí)，將最優(yōu)解法設(shè)定為直接因式分解法，這三道題目的不同之處就是第2道題目的系數(shù)均為質(zhì)數(shù)，后兩道題目則可以通過分解常數(shù)項(xiàng)來求解，但是第4道題目的解題難度要高于第3道題目，因?yàn)榈?道題目的系數(shù)比較大，且分解難度較高。在求解第2道題目時(shí)有68.3%的學(xué)生使用了直接因式分解法，回答正確的人數(shù)為183名，占比為91.5%，占學(xué)生總數(shù)的62.5%；在求解第3道題目時(shí)有94.9%的學(xué)生使用了直接因式分解法，回答正確的人數(shù)為273名，占比為98.2%，占學(xué)生總數(shù)的93.2%；在求解第5道題目時(shí)有74.1%的學(xué)生使用了直接因式分解法，回答正確的人數(shù)為213名，占比為98.2%，占學(xué)生總數(shù)的72.7%。第2、3、5、6道題目的最優(yōu)解法均為因式分解，但第6道題目的解題步驟復(fù)雜的程度高，因?yàn)槠湫枰獙⒎匠剔D(zhuǎn)化成一般式，轉(zhuǎn)化之后的方程為x2-3X-18=0，系數(shù)分解難度較低，所以有95.9%的學(xué)生在求解時(shí)選用了因式分解，回答正確的人數(shù)為271名，但是正確率卻小于第3道題目，造成正確率較低的原因?yàn)橐话闶睫D(zhuǎn)化不正確?？偟膩碚f，若方程的系數(shù)比較小，學(xué)生們通過因式分解法來求解方程的正確率較高。在第六道題目中，正確率較低的是第四小題，正確率僅為73.4%。第4小題的解法為公式法和配方法都，從表2-4中可知，使用公式法和配方法的學(xué)生人數(shù)分別為199名、77名，回答正確的學(xué)生人數(shù)分別為152名、63名，占比分別為76.4%、81.8%，分別占學(xué)生總數(shù)的51.9%、21.5%。從正確率中可以看出，公式法的正確率要小于配方法。配方法正確率較高的原因?yàn)?，公式法能夠直接代入?shù)據(jù)，而配方法則需要分步計(jì)算，但學(xué)生們在使用公式法求解方程的過程中會遇到各種問題，例如開方、符號變化等。三、教學(xué)實(shí)錄分析（一）教學(xué)實(shí)錄內(nèi)容在掌握了教師在“一元二次方程的解法”這一章節(jié)中的教學(xué)內(nèi)容后，還需進(jìn)一步細(xì)化教學(xué)內(nèi)容，只有這樣才能夠細(xì)化知識點(diǎn)，形成完整的知識體系。所以，筆者基于有關(guān)文獻(xiàn)資料，與一線教師共同制作了自主學(xué)習(xí)內(nèi)容陳述表，該表中涵蓋了“一元二次方程的解法”的所有知識點(diǎn)，例如定義、求解方法、方程特征等，具體內(nèi)容如表3-1所示。表3-1自主學(xué)習(xí)內(nèi)容陳述表編號學(xué)習(xí)內(nèi)容內(nèi)容稱述S1直接開平方法的過程1.將方程移項(xiàng)，例如ax2+b=c或者a(x-b)2=c；將二次項(xiàng)系數(shù)轉(zhuǎn)化為1；2.二次項(xiàng)系數(shù)轉(zhuǎn)化為1，也就是x2=c-b/a或(x-b)2=c/a；3.開平方移項(xiàng)求解。S2直接開平方法的特征可以使用直接開平方法的方程形式為（x+m）2=n，且n≥0)N1因式分解法的過程1.將方程右邊化為0；2.將方程左邊進(jìn)行同類項(xiàng)合并；3.將方程左邊寫成兩個(gè)一次式的乘積；4.通過一次方程寫出方程的兩個(gè)解。N2因式分解法的特征可以使用因式分解法的方程形式為（ax+m）(bx+n)=0。M1配方法的過程1.將方程轉(zhuǎn)化為x2+bx+c=0的形式；2.方程右邊為常數(shù)項(xiàng)；3.方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；4.將等式右邊合并同類項(xiàng)，將左邊轉(zhuǎn)化為完全平方；5.同時(shí)開方；6.方程求解。M2配方法的特征一元二次方程的一次項(xiàng)系數(shù)是偶數(shù)，且二次項(xiàng)系數(shù)等于1。F1公式法的過程1.將方程轉(zhuǎn)化為x2+bx+c=0的形式；2.寫出a，b，c項(xiàng)的系數(shù)；3.計(jì)算△=b2-4ac；4.直接將數(shù)值代入公式；5.得出原方程根F2公式法的特征形如ax2＋bx＋c＝0的一元二次方程求根公式x=（b2-4ac≥0）（二）教學(xué)實(shí)錄分析在設(shè)計(jì)一元二次方程的教學(xué)時(shí)，要從方程的四種解法入手，全方位的講解其的解題步驟和特征，并融合求解方程的一般過程?？梢酝ㄟ^設(shè)置情境來歸納四種解法的適用范圍，并提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用水平。因此，教學(xué)內(nèi)容中要包含以下幾個(gè)環(huán)節(jié)：首先是情境導(dǎo)入；其次是個(gè)性化、針對性學(xué)習(xí)；最后是總結(jié)交流。圖3.1便是詳細(xì)的教學(xué)內(nèi)容。圖3.1教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)圖如圖3.1所示，教學(xué)內(nèi)容中要包含以下幾個(gè)環(huán)節(jié)：首先是情境導(dǎo)入；其次是個(gè)性化、針對性學(xué)習(xí)；最后是總結(jié)交流。在第一個(gè)環(huán)節(jié)中，教師要放映一段視頻，而視頻內(nèi)容就是怎樣通過鑰匙特征來找出符合其特征的門，每個(gè)鑰匙都有其對應(yīng)的門。視頻放映完畢后，教師隨機(jī)抽取兩名學(xué)生提問，若融合視頻內(nèi)容和教學(xué)目的，那么一元二次方程和方程解法分別對應(yīng)的就是門和鑰匙。教師可以設(shè)計(jì)以下兩個(gè)問題：首先是，視頻中的鑰匙是萬能鑰匙嗎？一把鑰匙可以打開所有的門嗎？其次是。視頻中鑰匙具備哪幾項(xiàng)特征？而設(shè)置情境的根本目的就是，讓學(xué)生們知道一種解法并不能求解所有的方程，因?yàn)槊恳环N方法的特征都不同，繼而引出教學(xué)主題。在第二個(gè)環(huán)節(jié)中，學(xué)生們先自主學(xué)習(xí)，每位學(xué)生自主學(xué)習(xí)的過程都不一樣，學(xué)生們根據(jù)學(xué)習(xí)單內(nèi)容，通過移動(dòng)終端中的學(xué)習(xí)資料進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，而每位學(xué)生的學(xué)習(xí)資料都是根據(jù)其的認(rèn)知起點(diǎn)來分配的。這樣學(xué)生們就可以根據(jù)自身特點(diǎn)，進(jìn)行針對性的學(xué)習(xí)并提高認(rèn)知水平，也就不會出現(xiàn)全盤接受知識的情況。在本環(huán)節(jié)中，學(xué)生們需要通過移動(dòng)設(shè)備學(xué)習(xí)，也就是個(gè)性化學(xué)習(xí)，簡而言之，就是學(xué)生根據(jù)個(gè)人的認(rèn)知起點(diǎn)來學(xué)習(xí)對應(yīng)的資料，因此每位學(xué)生的學(xué)習(xí)過程也不同。隨后，教師需要在PPT上總結(jié)出一元二次方程以及四種解法的基礎(chǔ)知識和特征。該環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)目的就是，梳理總結(jié)學(xué)習(xí)支持系統(tǒng)的內(nèi)容。之后學(xué)生們按照以下流程進(jìn)行自由研究：首先是，學(xué)生自主判斷四種解法適用于哪個(gè)方程，即通過四種解法求解一元二次方程；其次是，學(xué)生們根據(jù)教師制作的思維導(dǎo)圖，總結(jié)四種解法的特征和步驟，并延申出方程的解題步驟；然后是，各個(gè)學(xué)習(xí)小組展開討論，完善解題步驟并填寫思維導(dǎo)圖；再者是，各小組輪流發(fā)言，教師和其他學(xué)習(xí)小組進(jìn)行點(diǎn)評；最后是，教師歸納總結(jié)。本環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)目的在于提高學(xué)生的自主研究和解題水平，通過進(jìn)行全方位的分析點(diǎn)評，來提升學(xué)生的分析能力。課堂中最重要的就是師生間的交流溝通，因?yàn)檫@個(gè)過程就是思維碰撞的過程，有利于提高學(xué)生的綜合能力。在最后一個(gè)環(huán)節(jié)中，教師隨機(jī)挑選幾名學(xué)生分享本節(jié)課的收獲和掌握的知識。設(shè)計(jì)目的在于通過學(xué)生自主總結(jié)來鞏固所學(xué)知識點(diǎn)。在課堂的最后，教師通過PPT再次回顧并總結(jié)本節(jié)課中涉及的知識點(diǎn)。本環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)目的在于通過教師梳理總結(jié)知識點(diǎn)，讓學(xué)生更好的理解知識點(diǎn)并將納入到認(rèn)知體系中。

四、初中生對一元二次方程學(xué)習(xí)的現(xiàn)狀分析（一）學(xué)業(yè)成績數(shù)據(jù)對比分析筆者立足于研究階段獲得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，也就是實(shí)驗(yàn)組成績，即前測和后測成績，在檢驗(yàn)樣本t時(shí)，是通過SPSS22軟件分配并檢驗(yàn)的，進(jìn)而研究學(xué)生成績，最終的實(shí)驗(yàn)結(jié)果為：在0.01水平上，實(shí)驗(yàn)組之間存在差異性，圖4-1為詳細(xì)情況：圖4-1實(shí)驗(yàn)組前后測配對樣本t檢驗(yàn)如上圖所示，經(jīng)過測試后t的值為-46.314，雙尾值，也就是顯著性為0.000＜0.01，因此，在0.01水平上，實(shí)驗(yàn)結(jié)果之間存在差異性，證明個(gè)性化學(xué)習(xí)可以有效提高學(xué)生在某一特定知識點(diǎn)的學(xué)業(yè)水平，表4-1為實(shí)驗(yàn)組前測成績和后測成績。表4-1實(shí)驗(yàn)組前后測成績情況表測試類別組別人數(shù)成績標(biāo)準(zhǔn)差.成績變化相關(guān)性前測成績實(shí)驗(yàn)組156.345.54+73.320.764*后測成績實(shí)驗(yàn)組1579.629.24如上表所示，經(jīng)過測試后，前測成績的相關(guān)系數(shù)為0.767，前測成績的相關(guān)系數(shù)為0.767，這也就證明在0.01水平上，前測和后測成績表現(xiàn)為顯著相關(guān)。從上表中可知，實(shí)驗(yàn)組前測和后測的平均成績（百分制）分別為6.33分、79.66分，相對來說，前測成績遠(yuǎn)小于后測成績，二者之間的分差為73.33分，這也證明個(gè)性化學(xué)習(xí)的教學(xué)效果較好。實(shí)驗(yàn)組前測和后測成績的標(biāo)準(zhǔn)差分別為5.55、9.25，這也說明雖然個(gè)性化學(xué)習(xí)的教學(xué)效果較好，但還是存在發(fā)展不平衡的現(xiàn)象。（二）整體知識掌握情況筆者立足于研究階段獲得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，也就是實(shí)驗(yàn)組問卷回答情況，即前測和后測問卷，研究實(shí)驗(yàn)組學(xué)生是否熟練掌握有關(guān)一元二次方程的四種解法，其中包含了以下幾個(gè)方面：首先，是否掌握方法概念；其次，是否能夠熟練運(yùn)用四種解法；然后是否能夠靈活運(yùn)用四種解法；最后是是否熟練掌握四個(gè)維度的知識點(diǎn)，圖4.1為詳細(xì)情況：圖4.1實(shí)驗(yàn)組學(xué)生整體知識掌握情況如上圖所示，在“一元二次方程的解法”中，前測學(xué)生對該內(nèi)容囊括的四個(gè)維度的掌握情況較差，若將每個(gè)維度的分?jǐn)?shù)設(shè)定為25分，5.67分表示相對掌握四種求解方法的概念和特征，特定方法求解、靈活選用方法求解以及通過四種解法求解應(yīng)用題的計(jì)算和應(yīng)用維度分別為0.97分、0.42分、0分，證明學(xué)生并沒有掌握有關(guān)通過四種解法求解應(yīng)用題的知識點(diǎn)。在經(jīng)過個(gè)性化學(xué)習(xí)后，依舊將將每個(gè)維度的分?jǐn)?shù)設(shè)定為25分，17.67分表示相對掌握四種求解方法的概念和特征，特定方法求解、靈活選用方法求解以及通過四種解法求解應(yīng)用題的計(jì)算和應(yīng)用維度分別為21.11分、13.61分、23.54分。通過對比可知，在經(jīng)過個(gè)性化學(xué)習(xí)后，提高了實(shí)驗(yàn)組學(xué)生對于這四個(gè)維度的掌握程度，特別是通過四種解法求解應(yīng)用題和特定方法求解的應(yīng)用和計(jì)算維度。（三）認(rèn)知發(fā)展情況在正式研究階段，筆者累計(jì)進(jìn)行了三次實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)內(nèi)容為診斷實(shí)驗(yàn)組學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，因此本研究立足于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，深入了解其是否已經(jīng)掌握一元二次方程四種解法的有關(guān)屬性，也就是學(xué)生是否掌握了A1-A15的屬性，之后再對比每次診斷后學(xué)生認(rèn)知屬性的變化情況，進(jìn)而研究其的認(rèn)知發(fā)展現(xiàn)狀，圖4.2為實(shí)驗(yàn)組三次認(rèn)知起點(diǎn)的變化情況：圖4.2實(shí)驗(yàn)組學(xué)生各屬性掌握情況如上圖所示，在首次診斷實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生已基本掌握移項(xiàng)等已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識，已經(jīng)有9名學(xué)生掌握了A2屬性，占比為60%,且大于50%，除此之外，其他屬性的掌握情況均小于50%，證明學(xué)生的屬性遷移能力較差。第二次診斷測驗(yàn)是在完成四種求解方式基礎(chǔ)內(nèi)容的教學(xué)任務(wù)后開展的，相對首次測驗(yàn)的結(jié)果，本次測驗(yàn)中學(xué)生的掌握情況有所提升，除A7，A11，A13-A15這些屬性外，其他屬性的掌握比例均大于50%，有明顯提升，因此，在之后的個(gè)性化學(xué)習(xí)中，需加強(qiáng)學(xué)生對于A7，A11，A13-A15這些屬性的掌握情況。（四）學(xué)生個(gè)體分析在分析實(shí)驗(yàn)組的學(xué)習(xí)情況后，又分析了每位學(xué)生的個(gè)人學(xué)習(xí)情況，分析內(nèi)容包含以下幾項(xiàng)：首先是前測成績、其次是后測成績、然后是認(rèn)知起點(diǎn)的變化、最后是知識點(diǎn)的掌握情況，附件E為詳細(xì)分析。以何同學(xué)為例，從圖4.3中可知，相對其的前測成績，其后測成績明顯提升；而在三次診斷測驗(yàn)中，首次測驗(yàn)其只掌握了A6屬性，第二次測驗(yàn)中除A13屬性和A14屬性外，已掌握其他屬性，在第三次測驗(yàn)中，已掌握所有屬性，從這里可以看出其的認(rèn)知起點(diǎn)的變化較為明顯，也證明何同學(xué)的認(rèn)知發(fā)展水平較高；通過對比數(shù)據(jù)和查閱雷達(dá)圖后發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在經(jīng)過個(gè)性化學(xué)習(xí)后，在知識點(diǎn)的掌握方面，相比前測成績均有所提高。圖4.3學(xué)生個(gè)體分析情況案例圖五、一元二次方程的教學(xué)建議（一）找出相應(yīng)的措施，使學(xué)生有信心學(xué)好一元二次方程教師在一元二次方程的教學(xué)過程中，要慎重選擇講解題目，保證題目的難度系數(shù)在學(xué)生的接受范圍內(nèi)，以靈活、豐富的教學(xué)方式，積極與學(xué)生進(jìn)行交流互動(dòng)，還要保留時(shí)間以便于學(xué)生自主消化知識點(diǎn)，學(xué)生在自主分析的過程中，教師可以適當(dāng)引導(dǎo)，確保學(xué)生能夠獨(dú)立解答問題，這樣在提高其學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)，還增強(qiáng)了學(xué)習(xí)信心。（二）教學(xué)中強(qiáng)調(diào)思維過程，注重思維方法的教學(xué)浸透在教學(xué)環(huán)節(jié)，雖然有部分同學(xué)具備一些基礎(chǔ)知識和解題經(jīng)驗(yàn)，但是卻無法將其運(yùn)用到實(shí)操中，而造成這種現(xiàn)象的主要原因?yàn)?，學(xué)生并沒有掌握學(xué)習(xí)方法以及不了解知識形成原因，認(rèn)識度較低。所以，要將數(shù)學(xué)思維模式與一元二次方程結(jié)合起來。①要提升學(xué)生們的審題能力，這也是教師在教學(xué)過程中需要重視的一點(diǎn)。教師在教學(xué)過程中要提醒學(xué)生注重知識的積累，提高自己的理解能力。教師要告知學(xué)生一元二次方程的審題順序，即先大致了解，再仔細(xì)審題，縮短審題時(shí)間，同時(shí)還可以將題干中的重點(diǎn)標(biāo)記出來，通過視覺，來加深自身對于題意的理解。要重點(diǎn)突出審題思維，教師以典型題目為例來講解如何求解一元二次方程，常用的求解方式有以下三種：首先是綜合法、其次是分析法、最后是綜合分析法，要切實(shí)提高學(xué)生們對于求解該方程的思維能力。②注重等量關(guān)系。在教學(xué)過程中，教師可以通過表格的形式來加深學(xué)生對于典型方程模型一元二次方程的記憶力。學(xué)生在解答數(shù)學(xué)題時(shí)，教師可以適當(dāng)引導(dǎo)，讓其熟練運(yùn)用各種公式，并從解答過程中出現(xiàn)的重點(diǎn)數(shù)據(jù)找出它們之間的聯(lián)系，例如“數(shù)字關(guān)系相等”。因此，教師要多多引用例題，協(xié)助學(xué)生快速確定相等關(guān)系。③教師可以設(shè)置多種例題，引導(dǎo)學(xué)生掌握快速解題的技巧，而快速解題技巧的種類較多，教師可以通過舉例的形式，引導(dǎo)學(xué)生自主分析解題技巧中存在的優(yōu)點(diǎn)和不足，這樣有助于學(xué)生快速掌握一元二次方程應(yīng)用題的解題技巧。④在教學(xué)過程中，教師可以通過講解例題的方式，幫助學(xué)生快速掌握有關(guān)于數(shù)學(xué)問題的解答技巧，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)水平。⑤在解答數(shù)學(xué)題的過程中，若學(xué)生遇到問題，教師應(yīng)在一旁給予幫助，引導(dǎo)學(xué)生解題。在課堂教學(xué)過程中，教師還應(yīng)當(dāng)教授學(xué)生怎樣分步求解數(shù)學(xué)應(yīng)用題，提高學(xué)生對于解題技巧的重視。（三）熟練代數(shù)式的列出內(nèi)容教師在教學(xué)過程中要注重實(shí)際語言和代數(shù)式之間的轉(zhuǎn)換，并將生活語言轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)語言，在課堂上，教師還需要用文字語言來講解代數(shù)式。學(xué)生們會受到算術(shù)思維的影響，進(jìn)而影響到了學(xué)生的代數(shù)思維列式，也就導(dǎo)致部分學(xué)生不知道如何列代數(shù)式，因此學(xué)生在解答數(shù)學(xué)題的過程中，會更加偏向于使用代數(shù)和一元二次方程來解答數(shù)學(xué)題，所以，教師在課堂中要向?qū)W生們講解代數(shù)法的優(yōu)點(diǎn)，并提高學(xué)生們利用一元二次方程來解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題的意識。（四）監(jiān)督一元二次方程的解題過程波利亞解題表既是自我監(jiān)控表，又是程序化的解題系統(tǒng)，在其背后的相關(guān)性問題種類較多，在提高學(xué)生的分析水平的同時(shí)，還可以監(jiān)督學(xué)生的解題過程。因此，在教學(xué)過程中可以融入波利亞解題表，通過其中的提示性語言，引導(dǎo)學(xué)生快速理解題意，監(jiān)督解題步驟。

六、結(jié)語在總結(jié)了本篇研究的實(shí)驗(yàn)結(jié)果、研究方向以及數(shù)據(jù)信息后，筆者歸納整理了本研究最終的研究結(jié)果，并將其劃分為以下兩個(gè)方面：（1）學(xué)生在理解掌握有關(guān)一元二次方程的概念和解題方法時(shí)，有些教師會認(rèn)為學(xué)生們經(jīng)常會遺忘關(guān)于一元二次方程的前提條件，特別是二次項(xiàng)系數(shù)不等于0，其還認(rèn)為學(xué)生們不能很好的理解并掌握有關(guān)參數(shù)方程的應(yīng)用題。在查閱師生的調(diào)查問卷和訪談內(nèi)容后發(fā)現(xiàn)，有50%的學(xué)生無法準(zhǔn)確的判斷一元二次方程，而每位學(xué)生對于一元二次方程的“三因素”的理解也不盡相同；只有少數(shù)的學(xué)生能夠準(zhǔn)確的描述出一元二次方程的概念和定義，而導(dǎo)致這種現(xiàn)象的原因，我們可以將其歸結(jié)于學(xué)生理解的定義與方程的實(shí)際定義之間存在差異，也就是學(xué)生雖理解了正確的定義，但無法用數(shù)學(xué)語言或者是文字語言表述出來。（2）在學(xué)生求解方程的過程中，教師會認(rèn)為其會存在以下四個(gè)方面的問題：首先是，選擇求解方式；其次是，部分一元二次方程的系數(shù)比較復(fù)雜，在這個(gè)時(shí)候?qū)W生往往會選擇因式分解法來求解方程；然后是，學(xué)生在處理一次項(xiàng)系數(shù)時(shí)，往往會選擇配方法；最后是，如何正確運(yùn)用求根公式。在查閱學(xué)生的調(diào)查問卷和訪談內(nèi)容后發(fā)現(xiàn)，在求解一元二次方程的時(shí)候，大部分學(xué)生都是根據(jù)自己的方式，但這個(gè)方式不一定是最優(yōu)解法；若一元二次方程的系數(shù)比較簡單，那么其的最優(yōu)解法就是因式分解法，而學(xué)生也會選擇該方法來求解方程；在配方法和公式法中，學(xué)生選擇公式法來求解一元二次方程的頻率較高，即便公式法的錯(cuò)誤率要遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過配方法，筆者認(rèn)為公式法使用頻率較高的原因?yàn)?，其可以將?shù)據(jù)直接代入到公式中，而其錯(cuò)誤率高于配方法的原因在于，學(xué)生在使用公式法求解時(shí)，會忽略系數(shù)前的符號問題，導(dǎo)致無法得到正確答案。

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