久期與債券價格波動

Ch05

債券價值分析2021/5/91zsq.zjgsu引言消極的（passive）債券管理:債券市場有效，不可能獲取持續(xù)超額收益。債券管理主要目標是風險控制，即市場上一些因素（主要是市場利率）發(fā)生變化時，所持的債券組合不會出現(xiàn)虧損或虧損很小。其特例就是組合免疫（immunization）策略。積極的（active）債券管理:債券市場并非完全有效，存在一些定價錯誤的債券，也存在有利的市場時機。對于積極的債券管理，需評價債券的合理價值或合理的投資收益率，需要預測未來利率的走向。2021/5/92zsq.zjgsu§1債券內在價值及投資收益率2021/5/93zsq.zjgsu內在價值（intrinsicvalue）又稱為現(xiàn)值或經(jīng)濟價值(economicvalue)

，是對債券投資未來預期收入的資本化。要估計債券的內在價值，必須估計：（1）預期現(xiàn)金流（cashflow），包括大小、取得的時間及其風險大小。注意債券價值只與未來預期的現(xiàn)金流有關，而與歷史已發(fā)生的現(xiàn)金流無關。

（2）預期收益率(expectedyield)，或要求的收益率(requiredyield)。2021/5/94zsq.zjgsu個人預期與市場預期不同投資者對現(xiàn)金流與收益率（主要是收益率）的估計不同，從而不同的投資者有自己的個人預期.市場對預期收益率所達成的共識，稱為市場資本化率（marketcapitalizationrate）。2021/5/95zsq.zjgsu影響債券價值的因素1.外部因素如市場利率、通脹和匯率波動等；2.內部因素到期期限、票面利率、早贖條款、稅收待遇、流動性、違約的可能性等，即債券六屬性。所以要估計債券的內在價值，首先必須對影響債券價值的內外因素進行分析。2021/5/96zsq.zjgsu內在價值的計算：現(xiàn)金流貼現(xiàn)模型(DCF)無論是買入-持有模式（buy-and-hold）還是到期前賣出模式,債券估價公式相同。2021/5/97zsq.zjgsu例1:附息票債券內在價值的計算01三峽債(120102)面值為100元,發(fā)行時期限為15年,息票率5.21%,每年付息一次.若投資者要求的收益率為5%,求該債券的內在價值.解:2021/5/98zsq.zjgsu例2:零息票債券內在價值的計算02進出04(020304)面值100元,發(fā)行時期限為2年,發(fā)行價格為96.24元.若投資者要求的收益率為2%,求該債券的內在價值.解:2021/5/99zsq.zjgsu例3:永久債券內在價值的計算英國統(tǒng)一公債(Consolidatedstock)息票率為2.5%,該債券每年支付固定的債息,但永遠不還本.2002年該債券投資者要求的收益率約為5%,試估計該債券的內在價值.解:2021/5/910zsq.zjgsu債券投資收益率

◆債券投資所獲收益主要包含三個方面（1）債息收入(couponincome)；（2）債息再投資收入(interestoninterest)；（3）資本利得(capitalgainsorlosses)。對這三方面的涵蓋不同，對應著以下收益率指標：息票率（couponrate）當期收益率（currentyield）持有期收益率（HPR）到期收益率（YTM）2021/5/911zsq.zjgsu投資收益率舉例2年前，張三在發(fā)行時以100元價格買入息票率為5%每年計息一次的5年期債券.該債券目前的價格為102元,現(xiàn)張三以該價格將債券賣給李四.計算上述幾種收益率.2021/5/912zsq.zjgsu息票率息票率即票面利率,在債券券面上注明.上例中的息票率為

5%=(100*5%)/1002021/5/913zsq.zjgsu當期收益率投資者不一定就在發(fā)行日購買債券,而可能以市場價格在二級市場上購買債券,從而購買價格不一定等于面值.因此息票率難以反映投資者的真實業(yè)績.前例中的當期收益率為:CYisimportanttoincome-orientedinvestorswhowantcurrentcashflowfromtheirinvestment.Anexampleofsuchaninvestorwouldberetiredpersonwholivesonthisinvestmentincome.2021/5/914zsq.zjgsu持有期收益率持有期(holdingperiod)是指投資者買入債券到出售債券之間經(jīng)過的期間.持有期可分為歷史持有期與預期持有期.前例張三的(歷史)持有期收益為2021/5/915zsq.zjgsu到期收益率又稱為內涵收益率(Internalrateofreturn)上例李四的到期收益率為:2021/5/916zsq.zjgsu運用到期收益率時假設1.利息本金能準時足額獲得；2.投資者買入債券后一直持有到期；3.所得利息的再投資收益等于YTM。2021/5/917zsq.zjgsu課堂練習:到期收益率的計算01三峽債(120102)面值為100元,息票率5.21%,每年付息一次,現(xiàn)離到期還有14年,若目前的價格為103.3元(全價).求該債券的到期收益率.解:2021/5/918zsq.zjgsu

例：債券名稱:2005記賬式一期國債債券簡稱:國債0501

債券代碼:100501

上市日期:2005-03-11

債券發(fā)行總額:300億債券期限:10年（2005-02-28～2015-02-28）年利率:4.44%

計息方式:單利付息日:每年2月28日和8月28日付息,節(jié)假日順延06年2月27日凈價112.55，求到期收益率。2021/5/919zsq.zjgsu2021/5/920zsq.zjgsu

簡稱″03＇上海軌道債″發(fā)行總額：人民幣40億元。發(fā)行價格：平價發(fā)行,以1000元人民幣為一個認購單位債券期限：15年（2003年2月19日～2018年2月19日）。債券利率：固定利率,票面年利率4.51%。還本付息方式：每年付息一次,最后一期利息隨本金一并支付。06年2月20日凈價108.84，求到期收益率。2021/5/921zsq.zjgsu2021/5/922zsq.zjgsu贖回收益率YTC

若市場利率下調,對于不可贖回的債券來說,價格會上漲,但對于可贖回債券來說,當市場利率下調,債券價格上漲至贖回價格時,就存在被贖回的可能性,因此價格上漲存在壓力.若債券被贖回,投資者不可能將債券持有到期,因此到期收益率失去意義,從而需要引進贖回收益率的概念(yieldtocall).YTC一般指的是第一贖回收益率,即假設贖回發(fā)生在第一次可贖回的時間,從購買到贖回的內在收益率.2021/5/923zsq.zjgsu可贖回債券圖示2021/5/924zsq.zjgsu例:贖回收益率的計算(1)甲、乙兩債券均為10年期的可贖回債券(第一贖回時間為5年后)，贖回價格均為1100元，目前兩債券的到期收益率均為7%。其中債券甲的息票率為5%，乙為8%。假設當債券的未來現(xiàn)金流的現(xiàn)值超過贖回價格時就立即執(zhí)行贖回條款。若5年后市場利率下降到5%，問哪種債券會被贖回,贖回收益率為多少?解:債券甲目前的價值為：2021/5/925zsq.zjgsu例:贖回收益率的計算(2)當市場利率下降到5%時，債券甲的價值上升到1000元，債券甲不會被贖回.債券乙目前的價值為：5年后市場利率下降到5%，則其價值上升到：2021/5/926zsq.zjgsu例:贖回收益率的計算(3)這時債券乙將會以1100元的價格被贖回。債券乙的第一贖回收益率為2021/5/927zsq.zjgsu課堂提問

在美國，像“華爾街日報”等報紙上所載的中長期國債是溢價債券的贖回收益率與折價債券的到期收益率（中長期國債的贖回價格就是面額）。為什么？2021/5/928zsq.zjgsu收益率結構（yieldstructure）通常，用到期收益率來描述和評價性質不同的債券的市場價格結構，即收益率結構。收益率=純粹利率+預期通脹率+風險溢酬任何債券都有兩項共同的因素，即純粹利率（pureinterestrate）和預期通脹率（expectedinflation），風險溢酬（riskpremium）才是決定債券預期收益率的惟一因素2021/5/929zsq.zjgsu收益率結構（續(xù)）債券投資的主要風險有：利率風險、再投資風險、流動性風險、違約風險、贖回風險和匯率風險等。分析時，一般假定其他因素不變，著重分析某一性質的差異所導致的定價不同。如期限結構（termstructure）、風險結構（riskstructure）等。2021/5/930zsq.zjgsu預期通脹率Fishereffect：IringFisher（1930）Fisher認為，實際利率不受預期通脹率的影響。然而實際上，預期通脹率不僅影響名義利率，也影響實際利率。當預期預期通賬率增加時，實際利率降低。因為預期通脹率增加，人們減少對現(xiàn)金的持有而轉移至其他資產(chǎn)，造成可貸資金供給的增加，從而實際利率下降。在低通脹時，實際利率一般較高，而在高通脹時，實際利率較低，甚至是負數(shù)。如美國的1940S、1970S高通脹、負的實際利率，我國1992~1994年，實際利率也是負數(shù)。2021/5/931zsq.zjgsu*指數(shù)化債券（indexedbonds）：對通脹風險的規(guī)避美國財政部從1997年起發(fā)行指數(shù)化債券，稱為通賬保護國債（TIPS）；我國也在1980s末、1990s初發(fā)行了保值公債。2021/5/932zsq.zjgsu違約風險（defaultofcreditrisk）債券收益率與其違約風險的關系稱為利率的風險結構（riskstructure）。違約風險溢酬并非固定不變。一般在經(jīng)濟繁榮時期，不同信用等級債券的收益率差額較小。而在經(jīng)濟蕭條時期，違約風險溢酬增加：“Flighttoquality”信用評級：主要的信用評級機構：Moody’s，S&P’s等投資級（Investment-grade）：BBB或等級更高的債券；投機級（Speculative-grade）或垃圾債券（junkbonds）、高收益?zhèn)╤igh-yieldbonds）2021/5/933zsq.zjgsu流動性風險（liquidityrisk）當投資者于債券到期日之前出售債券時，可能面臨流動性風險，即可能難以以合理的價格出售債券。流動性風險的高低可以用債券的買價（bidprice）與賣價（askprice）的差額來衡量。買賣差價小，表示交易容易成功，投資者容易取得接近合理價格的賣價，債券的流動性風險較低。2021/5/934zsq.zjgsu§2債券定價定理

BurtonG.Malkiel（1962）最先系統(tǒng)地提出債券定價五定理（定理1~定理5），定理6由SidneyHomerandMartinL.Liebowitz（1972）提出。2021/5/935zsq.zjgsu定理1債券價格與到期收益率成反向關系。若到期收益率大于息票率，則債券價格低于面值，稱為折價債券（discountbonds）；若到期收益率小于息票率，則債券價格高于面值，稱為溢價債券（premiumbonds）；若息票率等于到期收益率，則債券價格等于面值，稱為平價債券（parbonds）。對于可贖回債券，這一關系不成立。2021/5/936zsq.zjgsu定理2債券價格對利率變動的敏感性與到期時間成正向關系，即期限越長，價格波動性越大。例:三債券的面值都等于1000元,息票率為10%,當?shù)狡谑找媛蕪?0%上升到12%時到期日(年)11020價格982.19887.02850.64價格變動(%)1.7811.3014.942021/5/937zsq.zjgsu定理3若到期收益率在債券存續(xù)期內始終不變，隨著到期日的臨近，債券價格波動幅度以遞增的速度減??；而到期時間越長，價格的波動幅度越大，且增大的幅度是遞減的。2021/5/938zsq.zjgsu定理4若債券期限一定，同等收益率變化下，債券收益率上升導致價格下跌的量，要小于收益率下降導致價格上升的量。例:三債券的面值都為1000元,到期期限5年,息票率7%,當?shù)狡谑找媛首兓瘯r到期收益率(%)678價格1042.121000960.07債券價格變化率(%)4.210-4.002021/5/939zsq.zjgsu定理5債券的票面利率越高，債券價格對收益率的變化越不敏感。例:債券甲乙的面值都為1000元,到期期限都為10年,債券甲的息票率為10%,債券乙是零息票債券,當?shù)狡谑找媛蕪?0%上升至12%時債券甲乙價格變化(%)-11.3-16.472021/5/940zsq.zjgsu*定理6當債券以一較低的初始收益率出售時，債券價格對收益率變化更敏感。如債券A、B的期限都為30年，息票率均為3%，初始到期收益率A為10%，B為6%，則B對收益率變化較為敏感。另外，若到期收益率不變，隨著到期日的臨近，貼水債券的市場價格上升，升水債券的市場價格下降，都向面值接近，即折扣或溢價逐漸減小，且以遞增的速度減小。2021/5/941zsq.zjgsuMaturityDateParValuePriceofapremiumbondPriceofadiscountbondpremiumdiscount2021/5/942zsq.zjgsu§3久期與凸性

durationandconvexity§2債券定價定理總結了債券價格及其變動(主要由于市場利率變動而產(chǎn)生)與一些基本因素之間的關系,并對這些關系作了描述,但沒有對這種關系背后的原因進行分析.§3會對這一問題給出答案.2021/5/943zsq.zjgsu久期的含義債券投資風險主要是利率利率風險,債券價格的變動主要取決于市場利率的變化。債券利率風險的大小是指債券價格對于市場利率變動的敏感程度。由債券定價理論，影響債券價格對市場利率變動的敏感性的主要因素有到期期限、息票率及市場利率等，將這三者結合起來的綜合衡量指標就是久期或持續(xù)期（duration）。久期有不同的衡量方法，其中Macaulay’sduration是最簡單、最常用的方法。2021/5/944zsq.zjgsuMacaulay’sDuration由FrederickMacaulay(1938)提出?！镆⒁獾氖?這里的y是每一期的收益率,計算出來D的單位也是期數(shù),要轉化成年數(shù)要作相應的調整.2021/5/945zsq.zjgsu久期與債券價格波動2021/5/946zsq.zjgsu修正的久期MD（modifiedduration）因此對于每年付息m次的債券來說2021/5/947zsq.zjgsu例:久期的計算(1)某債券的面值為100元，票面利率5%，每半年付息一次，現(xiàn)離到期日還有4年，目前市場利率為6%，計算久期與修正久期，并估計利率從6%降至4%債券價格的變化。解:1.計算各期現(xiàn)金流在6%利率下的現(xiàn)值2021/5/948zsq.zjgsu例:久期的計算(2)2.計算債券在6%利率時的內在價值3.計算債券在6%利率時的久期與修正久期2021/5/949zsq.zjgsu例:久期的計算(3)4.利用修正久期估計利率從6%下降至4%時債券價格的變動而利率從6%下降至4%時債券價格的實際變動2021/5/950zsq.zjgsu有關Macaulay’sDuration的幾個結論1.零息票債券的久期等于其到期期限。2.其他因素不變，久期隨息票率的降低而延長。3.其他因素不變，到期收益率越低，久期越長。4.息票率不變時，久期通常隨到期時間的增加而增加：對平價或溢價債券，久期隨到期期限以遞減的速度增加；對折價債券，在相當長的時間內，久期隨到期期限以遞減的速度增加，然后減少。然而，所有可交易的債券都可安全得假定久期隨到期時間的增加而增加。2021/5/951zsq.zjgsu*有關Macaulay’sDuration的幾個結論(續(xù))5.永久債券的久期等于（1+y）/y。6.平價債券的久期為

2021/5/952zsq.zjgsu*有效持續(xù)期Maucaulay’sDuration不適用于衡量現(xiàn)金流容易變動債券的利率風險，如浮動利率債券、可贖回債券（可以看成為不可贖回的債券和對該債券的利息與本金的買入期權組成的證券，即投資者買入債券，賣出買入期權。）這時需引進有效久期或有效持續(xù)期（effectiveduration）的概念。有效持續(xù)期考慮了利率變化對債券未來現(xiàn)金流的影響。2021/5/953zsq.zjgsu*有效持續(xù)期(續(xù))Q:注意這兒的利率變化為假設的利率變化，而不是債券到期收益率的變化，為什么？A：因為存在隱含期權，所以到期收益率沒有意義。2021/5/954zsq.zjgsu*例:有效持續(xù)期的計算某可贖回債券，贖回價格為1050元，現(xiàn)市場價格為980元。由于含有可贖回條款，不能用久期來衡量債券價格對于收益率變動的敏感性，而必須用有效持續(xù)期來衡量。利用期權定價的方法，若我們知道市場利率上升50個基點，債券價格將下跌到930元，而若市場利率下降50個基點，債券價格將上漲到1010元。則：2021/5/955zsq.zjgsu凸性（convexity）久期本身也會隨著利率的變化而變化。所以它不能完全描述債券價格對利率變動的敏感性，1984年StanleyDiller引進凸性的概念。由債券定價定理1與4可知，債券價格-收益率曲線是一條從左上向右下傾斜，并且下凸的曲線。右圖中b>a。P0Yr0r-r+ab2021/5/956zsq.zjgsu*凸性的計算久期描述了價格-收益率曲線的斜率，凸性描述了曲線的彎曲程度。凸性是債券價格對收益率的二階導數(shù)。2021/5/957zsq.zjgsu*凸性的性質凸性隨久期的增加而增加。若收益率、久期不變，票面利率越大，凸性越大。利率下降時，凸性增加。對于沒有隱含期權的債券來說，凸性總大于0，即利率下降，債券價格將以加速度上升；當利率上升時，債券價格以減速度下降。含有隱含期權的債券的凸性一般為負，即價格隨著利率的下降以減速度上升，或債券的有效持續(xù)期隨利率的下降而縮短，隨利率的上升而延長。因為利率下降時買入期權的可能性增加了。2021/5/958zsq.zjgsu*組合免疫immunization利率下調、利率上升的長短期影響“中期”:久期“組合免疫”策略:債券組合的久期等于投資者預計要投資的年限.

資產(chǎn)組合的久期等于負債組合的久期,資產(chǎn)組合的現(xiàn)值等于負債組合的現(xiàn)值.2021/5/959zsq.zjgsu§4利率的期限結構

termstructureofinterestrate1.期限結構的表示:收益率曲線及其構建2.遠期利率2.期限結構理論2021/5/960zsq.zjgsu利率期限結構的含義利率的期限結構研究在其他因素不變的情況下，債券收益率與到期期限之間的關系。利率期限結構一般用零息票國債的收益率曲線（yieldcurve）來表示。零息票國債的到期收益率稱為即期利率(spotrate).2021/5/961zsq.zjgsu課堂提問

Q:1.為什么不能用公司債券的收益率曲線?2.為什么不能用全息票國債？A：1.排除違約風險等因素;2.全息票債券具有再投資風險。2021/5/962zsq.zjgsu利率期限結構的構建(1)在某一時刻,下述不同期限零息票國債的市場價格1.計算各期限的即期利率maturity12345price943.4873.52801.39731.86668.372021/5/963zsq.zjgsu利率期限結構的構建(2)2021/5/964zsq.zjgsu利率期限結構的構建(3)2.根據(jù)上述即期利率畫出收益率曲線2021/5/965zsq.zjgsu*STRIPS

短期國庫券就是短期零息票債券，而交易活躍的長期零息票國債數(shù)量有限。在美國，長期零息票債券一般由附息票債券在美國財政部的幫助下創(chuàng)造出來的,這種由附息票債券創(chuàng)造出來的品種稱為離拆單售本息債券(separatetradingofregisteredinterestandprincipalofsecurities）購買附息票債券的經(jīng)紀人可要求財政部終止債券的現(xiàn)金支付，使其成為獨立的債券系列，這時每一債券獲得原始債券收益的要求權。2021/5/966zsq.zjgsu*STRIPS(continued)例如，一張10年期債券被“剝離”成20份債券，其到期日從6個月到10年，最后本金支付是另一張獨立形式的零息票債券。每張債券都有自己的CUSIP號碼（由統(tǒng)一證券鑒定程序委員會頒布)，具有這種標志符的證券可在連接聯(lián)邦儲備銀行及其分支機構的網(wǎng)絡上進行電子交易。2002年10月23日,國開行開始推出本息分離式債券.

2021/5/967zsq.zjgsu收益率曲線的形狀2021/5/968zsq.zjgsu中國收益率曲線:2004年3月13日2021/5/969zsq.zjgsu美國收益率曲線:2004年3月12日2021/5/970zsq.zjgsu遠期利率遠期利率(forwardrate)是由當前即期利率隱含的,將來某段時間的投資收益率.2021/5/971zsq.zjgsu遠期利率的計算T年期的投資可由下述兩種方式來實現(xiàn)后者稱為滾動投資（Roll-overinvestments）,若不存在不確定因素,兩種方式在t年的收益相同,因此2021/5/972zsq.zjgsu遠期利率的計算(續(xù))遠期利率按公式(*)確定按上述公式確定的就稱為遠期利率,又叫做隱含的遠期利率(impliedforwardrates),以區(qū)別于市場遠期利率(marketforwardrates)在不確定的現(xiàn)實世界里，遠期利率不一定等于未來的真實利率。2021/5/973zsq.zjgsu例:遠期利率的計算2021/5/974zsq.zjgsu利率期限結構理論1.純市場預期理論（pure

marketexpectationtheory）或稱為無偏差預期理論

2.流動偏好理論（liquiditypreferencetheory）

3.市場分割理論（marketsegmentationtheory）2021/5/975zsq.zjgsu純市場預期理論決定利率期限結構的重要因素主要來自市場對未來短期利率的預期，遠期利率是市場整體對未來短期利率的無偏估計。長期、短期債券可以完全相互替代，到期收益率唯一由現(xiàn)行的和未來預期的單期利率決定。2021/5/976zsq.zjgsu正常的收益率曲線預期未來的短期利率將上升，從而長期即期利率大于短期即期利率時，形成向上傾斜的收益率曲線。t12345F(%)6899.59.5Y(%)66.77.668.128.392021/5/977zsq.zjgsu其它形狀的收益率曲線2021/5/978zsq.zjgsu流動偏好理論短期投資者認為長期債券比短期債券風險大，故不愿意投資于長期債券，除非遠期利率高于未來預期的短期利率，才能誘使其投資于長期債券；長期投資者認為短期債券比長期債券風險大，故不愿意投資于短期債券，除非滾動投資所獲得的預期收益率高于遠期利率，才能誘使其投資于短期債券。短期投資者多于長期投資者，故遠期利率應大于預期的短期利率，兩者之差稱為流動性溢酬（liquiditypremium）。2021/5/979zsq.zjgsu存在流動性溢價時的收益率曲線（1）若流動性溢價不變2021/5/980zsq.zjgsu存在流動性溢價時的收益率曲線（2）2021/5/981zsq.zjgsu存在流動性溢價時的收益率曲線（3）2021/5/982zsq.zjgsu存在流動性溢價時的收益率曲線（4）2021/5/983zsq.zjgsu流動偏好理論小結遠期利率增加的原因：

1.投資者預期未來利率將上升；

2.投資者對持有長期債券有一個很高的流動性溢酬要求（流動性溢酬也可能為負值，如大多數(shù)投