福建省福州市永泰縣第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

福建省福州市永泰縣第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列命題為真命題的是（

）（A）若為真命題，則為真命題 （B）“”是“”的充分不必要條件（C）命題“若，則”的否命題為“若，則” （D）若命題：，使，則：，使參考答案：B2.如圖，△是邊長為的正三角形，點(diǎn)在△所在的平面內(nèi)，且（為常數(shù)）.下列結(jié)論中，正確的是………………（

）.當(dāng)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)有且只有一個(gè)..當(dāng)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)有三個(gè)..當(dāng)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)..當(dāng)為任意正實(shí)數(shù)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)總是有限個(gè).

參考答案：C略3.下列語句中：①

②

③

④

⑤

⑥

其中是賦值語句的個(gè)數(shù)為（

）A．6

B．5

C．4

D．3參考答案：C4.已知且，函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是（

）參考答案：C略5.若函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則(A).

(B).(C).

(D).參考答案：A略6.設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，，，，則的大小關(guān)系是（

）A．

B．C．

D．參考答案：B試題分析：由題意．∵，，，∴．又∵f（x）在（-∞，0]上是增函數(shù)且為偶函數(shù)，∴f（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)．∴c＜b＜a．故選：B．考點(diǎn)：1．奇偶性與單調(diào)性的綜合；2．對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．7.設(shè)全集且,,則等于A．

B．

C．

D．參考答案：答案：C8.已知，則的表達(dá)式是

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略9.已知為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，給出下列4個(gè)命題：①若

②若③若

④若其中真命題的序號(hào)為（

）

A．①②

B．②③

C．③④

D．①④參考答案：B略10.已知為異面直線，⊥平面，⊥平面.直線滿足⊥，⊥，則

A.∥且∥

B.⊥且⊥

C.與相交，且交線垂直于

D.與相交，且交線平行于參考答案：D【知識(shí)點(diǎn)】平面與平面之間的位置關(guān)系；平面的基本性質(zhì)及推論．G3G4解析：由m⊥平面α，直線l滿足l⊥m，且l?α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l?β，所以l∥β．由直線m，n為異面直線，且m⊥平面α，n⊥平面β，則α與β相交，否則，若α∥β則推出m∥n，與m，n異面矛盾．故α與β相交，且交線平行于l．故選D．【思路點(diǎn)撥】由題目給出的已知條件，結(jié)合線面平行，線面垂直的判定與性質(zhì)，可以直接得到正確的結(jié)論．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的定義域是

.參考答案：由得，則定義域?yàn)椋?2.向量，則=

．參考答案：0【考點(diǎn)】9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】根據(jù)條件容易求出，的值，而，從而求出該數(shù)量積的值．【解答】解：；∴=5﹣5=0．故答案為：0．13.函數(shù)的定義域?yàn)開_________.參考答案：略14.求值：=

．參考答案：2【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)lgM﹣lgN=lg以及l(fā)gMn=nlgM進(jìn)行化簡(jiǎn)運(yùn)算即可得到答案．【解答】解：=，∴=2．故答案為：2．15.已知函數(shù)且，其中為奇函數(shù),為偶函數(shù)，若不等式對(duì)任意恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.參考答案：略16.已知集合，，則集合的真子集的個(gè)數(shù)為

．參考答案：15

考點(diǎn)：集合的包含關(guān)系．17.16．定義：曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離，已知曲線C1：y=x2+a到直線l:y=x的距離等于曲線C2：x2+(y+4)2=2到直線l:y=x的距離，則實(shí)數(shù)a=_______。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知各項(xiàng)為正的數(shù)列{an}滿足，，n∈N*．（Ⅰ）證明：0＜an＜an+1＜1（n∈N*）；（Ⅱ）求證：（n∈N*）．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】（Ⅰ）由，得（an+3），從而＞0，進(jìn)而an+1＜1，由，得0＜an＜1，（n∈N*），由此證明0＜an＜an+1＜1（n∈N*）．（Ⅱ）由=＜，得1﹣an=（1﹣a1）×××…×，由此能證明（n∈N*）．【解答】證明：（Ⅰ）由，得（an+3），即，得＞0，∴=＞0，∴an+1＜1，又，∴0＜an＜1，（n∈N*），∴=（1﹣an）＞0，∴an+1＞an，綜上，得：0＜an＜an+1＜1（n∈N*）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：=＜=（1+）≤=，則n≥2時(shí)，1﹣an=（1﹣a1）×××…×，∴（1﹣a1）+（1﹣a2）+（1﹣a3）+…+（1﹣an）＜，即n﹣（a1+a2+a3+…+an）＜=[1﹣（）n]，∴（n∈N*）．19.2018年2月22日上午，山東省省委、省政府在濟(jì)南召開山東省全面展開新舊動(dòng)能轉(zhuǎn)換重大工程動(dòng)員大會(huì)，會(huì)議動(dòng)員各方力量，迅速全面展開新舊動(dòng)能轉(zhuǎn)換重大工程.某企業(yè)響應(yīng)號(hào)召，對(duì)現(xiàn)有設(shè)備進(jìn)行改造，為了分析設(shè)備改造前后的效果，現(xiàn)從設(shè)備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了200件產(chǎn)品作為樣本，檢測(cè)一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，若該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在[20,40)內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品，否則為不合格品.圖1是設(shè)備改造前的樣本的頻率分布直方圖，表1是設(shè)備改造后的樣本的頻數(shù)分布表.表1：設(shè)備改造后樣本的頻數(shù)分布表質(zhì)量指標(biāo)值[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45]頻數(shù)4369628324（1）完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與設(shè)備改造有關(guān)；

設(shè)備改造前設(shè)備改造后合計(jì)合格品

不合格品

合計(jì)

（2）根據(jù)圖1和表1提供的數(shù)據(jù)，試從產(chǎn)品合格率的角度對(duì)改造前后設(shè)備的優(yōu)劣進(jìn)行比較；（3）根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，設(shè)備改造后，每生產(chǎn)一件合格品企業(yè)可獲利180元，一件不合格品虧損100元，用頻率估計(jì)概率，則生產(chǎn)1000件產(chǎn)品企業(yè)大約能獲利多少元？附：0.1500.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635參考答案：（1）根據(jù)圖1和表1得到列聯(lián)表：

設(shè)備改造前設(shè)備改造后合計(jì)合格品172192364不合格品28836合計(jì)200200400將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算得：.∵，∴有99%的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與設(shè)備改造有關(guān).（2）根據(jù)圖1和表1可知，設(shè)備改造后產(chǎn)品為合格品的概率約為，設(shè)備改造前產(chǎn)品為合格品的概率約為；即設(shè)備改造后合格率更高，因此，設(shè)備改造后性能更好.（3）用頻率估計(jì)概率，1000件產(chǎn)品中大約有960件合格品，40件不合格品，，所以該企業(yè)大約獲利168800元.20.已知函數(shù)f（x）=xlnx+ax（a∈R）．（Ⅰ）若a=﹣2，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若對(duì)任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，求正整數(shù)k的值．（參考數(shù)據(jù)：ln2=0.6931，ln3=1.0986）參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】函數(shù)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（I）利用導(dǎo)數(shù)判斷f（x）的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間；（II）分離參數(shù)得出k＜，使用導(dǎo)數(shù)求出右側(cè)函數(shù)的最小值，得出k的范圍．【解答】解：（I）a=﹣2時(shí)，f（x）=xlnx﹣2x，則f′（x）=lnx﹣1．令f′（x）=0得x=e，當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x＞e時(shí)，f′（x）＞0，∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，e），單調(diào)遞增區(qū)間為（e，+∞）．（II）若對(duì)任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，則xlnx+ax＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，即k（x﹣1）＜xlnx+ax﹣ax+x恒成立，又x﹣1＞0，則k＜對(duì)任意x∈（1，+∞）恒成立，設(shè)h（x）=，則h′（x）=．設(shè)m（x）=x﹣lnx﹣2，則m′（x）=1﹣，∵x∈（1，+∞），∴m′（x）＞0，則m（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．∵m（1）=﹣1＜0，m（2）=﹣ln2＜0，m（3）=1﹣ln3＜0，m（4）=2﹣ln4＞0，∴存在x0∈（3，4），使得m（x0）=0，當(dāng)x∈（1，x0）時(shí)，m（x）＜0，即h′（x）＜0，當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，m（x）＞0，h′（x）＞0，∴h（x）在（1，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，+∞）上單調(diào)遞增，∴h（x）的最小值hmin（x）=h（x0）=．∵m（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，∴l(xiāng)nx0=x0﹣2．∴h（x0）==x0．∴k＜hmin（x）=x0．∵3＜x0＜4，∴k≤3．∴k的值為1，2，3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值，函數(shù)恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)求出h（x）的最小值是解題關(guān)鍵，屬于難題．21.已知函數(shù)f(x)＝x2＋alnx.(1)當(dāng)a＝－2時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若g(x)＝f(x)＋在[1，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：解：(1)易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)．當(dāng)a＝－2時(shí)，f(x)＝x2－2lnx，f′(x)＝2x－＝.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)和f(x)的變化情況如下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)遞減極小值遞增由上表可知，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間是(1，＋∞)，極小值是f(1)＝1.(2)由g(x)＝x2＋alnx＋，得g′(x)＝2x＋－.若函數(shù)g(x)為[1，＋∞)上的單調(diào)增函數(shù)，則g′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，即不等式2x－＋≥0在[1，＋∞)上恒成立．也即a≥－2x2在[1，＋∞)上恒成立．令φ(x)＝－2x2，則φ′(x)＝－－4x.當(dāng)x∈[1，＋∞)時(shí)，φ′(x)＝－－4x＜0，∴φ(x)＝－2x2在[1，＋∞)上為減函數(shù)，∴φ(x)max＝φ(1)＝0.∴a≥0，即a的取值范圍為[0，＋∞)22.（本小題滿分12分）從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取20件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量得到如圖3的頻率分布直方圖，從左到右各組的頻數(shù)依次記為，，，，．⑴求圖3中的值；⑵圖4是統(tǒng)計(jì)圖3中各組頻數(shù)的一個(gè)算法流程圖，求輸出的結(jié)果；⑶從質(zhì)量指標(biāo)值分布在、的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，求所抽取兩件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值之差大于10的概率．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；程序框圖．K2L1⑴；⑵18；（3）

解析：⑴依題意，……2分解得……3分⑵，，，，……6分（、、各1分）輸出的……8分（列式、結(jié)果各1分）⑶記質(zhì)量指標(biāo)在的4件產(chǎn)品為，，，，質(zhì)量指標(biāo)在的1件產(chǎn)品為，則從5件產(chǎn)品中任取2件產(chǎn)品的結(jié)果為：，，，，，，，，，，共10種……10分記“兩件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)之差大于10”為事