專(zhuān)題05 切線(xiàn)的性質(zhì)與判定+切線(xiàn)長(zhǎng)定理（知識(shí)串講+8大考點(diǎn)）解析版

專(zhuān)題05切線(xiàn)的性質(zhì)與判定+切線(xiàn)長(zhǎng)定理考點(diǎn)類(lèi)型知識(shí)串講（一）切線(xiàn)的判定與性質(zhì)（1）切線(xiàn)的定義：直線(xiàn)和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，這條直線(xiàn)叫做圓的切線(xiàn)，唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)．（2）切線(xiàn)的性質(zhì)：圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑；（3）切線(xiàn)的判定：①作垂直，證半徑；②連半徑，證垂直（二）切線(xiàn)長(zhǎng)定理（1）切線(xiàn)長(zhǎng)定義：在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線(xiàn)上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線(xiàn)段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線(xiàn)長(zhǎng)．（2）切線(xiàn)長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)，它們的切線(xiàn)長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線(xiàn)平分兩條切線(xiàn)的夾角．（三）三角形的內(nèi)切圓（1）概念：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心；內(nèi)心是三角形三個(gè)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)；它到三角形的三邊的距離相等，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形，（2）普通三角形與內(nèi)切圓的關(guān)系：r為內(nèi)切圓的半徑S△ABC=12×r×（AB+BC+AC（3）直角三角形的三邊與內(nèi)切圓的關(guān)系考點(diǎn)訓(xùn)練考點(diǎn)1：切線(xiàn)的判定——連半徑證垂直典例1：（2023·福建福州·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，以菱形ABCD的邊AD為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)E，連接DB交⊙O于點(diǎn)M，F(xiàn)是BC上的一點(diǎn)，且BF=BE，連接DF．

(1)求證：DM=BM；(2)求證：DF是⊙O的切線(xiàn)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）連接AM，根據(jù)AD是直徑，得出∠AMD=90°，根據(jù)菱形性質(zhì)得出AD=AB，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出DM=BM即可；（2）連接DE，根據(jù)AD是直徑，得出∠AED=90°，求出∠DEB=180°-90°=90°，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出∠DBE=∠DBF，AD∥BC，證明△DBE≌△DBFSAS，得出∠DFB=∠DEB=90°，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得出∠ADF=∠DFB=90°【詳解】（1）證明：連接AM，如圖所示：

∵AD是直徑，∴∠AMD=90°，∴AM⊥BD，∵四邊形ABCD為菱形，∴AD=AB，∴DM=BM；（2）證明：連接DE，如圖所示：

∵AD是直徑，∴∠AED=90°，∴∠DEB=180°-90°=90°，∵四邊形ABCD為菱形，∴∠DBE=∠DBF，AD∥∵BE=BF，DB=DB，∴△DBE≌△DBFSAS∴∠DFB=∠DEB=90°，∵AD∥∴∠ADF=∠DFB=90°，∴AD⊥DF，∵AD為直徑，∴DF是⊙O的切線(xiàn)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直徑所對(duì)的圓周角為直角，三角形全等的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，切線(xiàn)的判定，解題的關(guān)鍵是作出輔助線(xiàn)，熟練掌握切線(xiàn)的判定方法．【變式1】（2023·福建福州·校考三模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D為邊

(1)尺規(guī)作圖：在邊AB上作一點(diǎn)O，使得∠AOD=2∠BDO；（要求：不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑的圓與BC交于點(diǎn)E，且∠AOD=∠DOE．求證：AC與⊙O相切．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）作線(xiàn)段BD的垂直平分線(xiàn)與AB的交點(diǎn)即為所求；（2）先說(shuō)明OD為半徑，再證明OD⊥AC即可．【詳解】（1）如圖所示，點(diǎn)O即為所求．

（2）如圖，連接OD,OE．

∵∠AOD是△BOD的外角，∴∠AOD=∠OBD+∠ODB．∵∠AOD=2∠BDO，∴∠OBD=∠ODB．∴OB=OD即OD為半徑．∵∠AOE是△BOE的外角，∴∠AOE=∠OBE+∠OEB=∠AOD+∠DOE．∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB．∵∠AOD=∠DOE，∴∠AOD=∠OBE．∴OD∥BC．∴∠ADO=∠C=90°即∵OD為半徑，∴AC與⊙O相切．【點(diǎn)睛】本題主要考查切線(xiàn)的判定和基本作圖的綜合應(yīng)用．掌握切線(xiàn)的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023·福建廈門(mén)·廈門(mén)一中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC與⊙O相切于點(diǎn)B，連接OC，交⊙O于點(diǎn)E，弦AD∥OC．(1)求證：點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)；(2)求證：CD是⊙O的切線(xiàn)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）由AB是直徑推出AD⊥BD，再由AD∥OC得到OC⊥BD，再由垂徑定理可得DE=BE，即點(diǎn)E是（2）先證明△OCD≌△OCBSAS，從而∠ODC=∠OBC，由BC與⊙O相切于點(diǎn)B可知∠ODC=90°【詳解】（1）證明：連接BD，∵AB是直徑，∴AD⊥BD，∵AD∥OC，∴OC⊥BD，∴DE=BE，即點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)；（2）連接OD，由（1）知DE=∴∠1=∠2，∵OD=OB，∠1=∠2，OC=OC，∴△OCD≌△OCB∴∠ODC=∠OBC，∵BC與⊙O相切于點(diǎn)B，∴∠ODC=∠OBC=90°，∴CD是⊙O的切線(xiàn)．【點(diǎn)睛】本題考查了切線(xiàn)的判定和垂徑定理以及圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，注：在同圓或等圓中，圓心角、圓周角、弧、弦中有一組量相等，其余各組量也相等或互補(bǔ)．【變式3】（2023·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，E在CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上．給出以下三個(gè)條件：①AC是⊙O的直徑，②EB是⊙O的切線(xiàn)，③∠ABE=∠C．

(1)請(qǐng)從上述三個(gè)條件中選兩個(gè)作為已知，剩下的一個(gè)條件作為結(jié)論，組合成一個(gè)新的真命題，并給予證明；(2)在（1）的條件下，若AB=AE，求∠C的度數(shù)．【答案】(1)選擇①②作為條件，③作為結(jié)論；選擇①③作為條件，②作為結(jié)論；證明見(jiàn)解析(2)30°【分析】（1）選擇①②作為條件，③作為結(jié)論：如圖所示，連接OB，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)和圓周角定理得到∠ABC=∠OBE=90°，則可得∠OBC=∠ABE，再由等邊對(duì)等角得到∠C=∠OBC，由此可得∠ABE=∠C；選擇①③作為條件，②作為結(jié)論：如圖所示，連接OB，由圓周角定理得到∠OBC+∠OBA=90°，由等邊對(duì)等角得到∠C=∠OBC，由此即可得到∠OBC=∠ABE，進(jìn)一步得到∠OBE=90°，則EB是⊙O的切線(xiàn)；（2）證明∠ABE=∠C=∠E，再由∠ABE+∠C+∠E+∠ABC=180°進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：選擇①②作為條件，③作為結(jié)論：如圖所示，連接OB，∵AC是⊙O的直徑，EB是⊙O的切線(xiàn)，∴∠ABC=∠OBE=90°，∴∠OBC=∠ABE，∵OB=OC，∴∠C=∠OBC，∴∠ABE=∠C；選擇①③作為條件，②作為結(jié)論：如圖所示，連接OB，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC=90，∴∠OBC+∠OBA=90°，∵OB=OC，∴∠C=∠OBC，∵∠ABE=∠C；∴∠OBC=∠ABE，∴∠ABE+∠OBA=90°，即∠OBE=90°，∵OB是⊙O的半徑，∴EB是⊙O的切線(xiàn)；

（2）解：∵AB=AE，∴∠ABE=∠E，又∵∠ABE=∠C，∴∠ABE=∠C=∠E，∵∠ABE+∠C+∠E+∠ABC=180°，∴3∠C+90°=180°，∴∠C=30°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線(xiàn)的性質(zhì)與判定，圓周角定理，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理等等，熟知切線(xiàn)的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)2：切線(xiàn)的判定——作垂直證半徑典例2：（2023·福建莆田·統(tǒng)考二模）（1）如圖1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AO平分∠BAC交BC于點(diǎn)O，以O(shè)B為半徑作⊙O．判斷直線(xiàn)AC是否為⊙O（2）如圖2，某濕地公園內(nèi)有一條四邊形ABCD型環(huán)湖路，∠ABC=90°．現(xiàn)要修一條圓弧形水上棧道，要求該圓弧形水上棧道所在的⊙O，圓心在BC上且與AB，CD相切．求作⊙O．（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）

【答案】（1）直線(xiàn)AC是⊙O的切線(xiàn)，理由見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AC與點(diǎn)D，利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得OB=OD，（2）延長(zhǎng)BA，CD相交于點(diǎn)E，作∠BEC的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OB為半徑畫(huà)圓即可．【詳解】解：（1）直線(xiàn)AC是⊙O的切線(xiàn)，理由：過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AC與點(diǎn)D，

，∵∠ABC=90°，AO平分∠BAC，∴OB=OD，∴直線(xiàn)AC是⊙O的切線(xiàn)；（2）如圖所示，⊙O即為所求．

．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)，切線(xiàn)的判定等知識(shí)，掌握切線(xiàn)的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2022秋·福建福州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，OD⊥AB于D，以O(shè)為圓心、OD為半徑作⊙O．求證：AC與⊙O相切．【答案】見(jiàn)詳解【分析】過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC于點(diǎn)E，由題意易得∠BDO=∠CEO=90°，OB=OC，∠B=∠C，則可證△BDO≌△CEO，進(jìn)而可得OD=OE，最后問(wèn)題可求解．【詳解】證明：過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC于點(diǎn)E，如圖所示：∵△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，∴∠B=∠C，OB=OC，∵OD⊥AB，∴∠BDO=∠CEO=90°，∴△BDO≌△CEOAAS∴OD=OE，即OE為⊙O的半徑，∴AC與⊙O相切．【點(diǎn)睛】本題主要考查切線(xiàn)的判定定理，熟練掌握切線(xiàn)的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022秋·福建福州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，以點(diǎn)D為圓心，BD為半徑作⊙D交AB于點(diǎn)E．(1)求證：⊙D與AC相切；(2)若AC=5，BC=3，試求AE的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)AE=1【分析】（1）過(guò)D作DF⊥AC于F，利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理可得BD=FD即可證明：⊙D與AC相切；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可求出AB的長(zhǎng)，設(shè)圓的半徑為x，利用切線(xiàn)長(zhǎng)定理可求出CF=BC=3，所以AF=2，AD=AB-x，利用勾股定理建立方程求出x，進(jìn)而求出AE的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：過(guò)D作DF⊥AC于F，∵∠B=90°，∴AB⊥BC，∵CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，∴BD=DF，∴⊙D與AC相切；（2）解：設(shè)圓的半徑為x，∵∠B=90°，BC=3，AC=5，∴AB=?A∵AC，BC是圓的切線(xiàn)，∴BC=CF=3，∴AF=AB-CF=2，∵AB=4，∴AD=AB-BD=4-x，在Rt△AFD中，(4-x)2解得：x=3∴AE=4-3=1．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線(xiàn)的判定、角平分線(xiàn)的性質(zhì)、切線(xiàn)長(zhǎng)定理以及勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理列方程．【變式3】（2022秋·福建福州·九年級(jí)校考期中）如圖，在△AOB中，OA=25,OB=45,OA⊥OB，O為圓心，【答案】見(jiàn)解析【分析】過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB于C，勾股定理求得AB=10，等面積法得出OC=4，根據(jù)題意可得OC為半徑，即可得證．【詳解】證明：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB于C∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，在Rt△OAB中，OA=25,OB=4∵S△AOB∴OC=AO?BO∵⊙O的半徑為4，∴OC為⊙O的半徑，∵OC⊥AB，∴AB是⊙O的切線(xiàn)．【點(diǎn)睛】本題考查了切線(xiàn)的判定，勾股定理，掌握切線(xiàn)的判定定理是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)3：切線(xiàn)的性質(zhì)——求線(xiàn)段典例3：（2022秋·福建福州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，圓O的圓心在梯形ABCD的底邊AB上，并與其它三邊均相切，若AB=10，AD=6，則CB長(zhǎng)（）A．4 B．5 C．6 D．無(wú)法確定【答案】A【分析】利用切線(xiàn)的性質(zhì)得出∠ADO=∠ODC，進(jìn)而得出∠ADO=∠AOD，即可得出OA=6，即：OB=4，同理：BC=OB即可得出結(jié)論.【詳解】解：連接OD．OC∵AD，CD是⊙O的切線(xiàn)，∴∠ADO=∠ODC，∵CD∥∴∠ODC=∠AOD，∴∠ADO=∠AOD∴AD=OA∵AD=6，∴OA=6，∵AB=10，∴OB=4，同理可得OB=BC=4，故選：A.【點(diǎn)睛】此題主要考查了切線(xiàn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是求出OA=6.【變式1】（2023·福建·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，從⊙O外一點(diǎn)P引圓的兩條切線(xiàn)PA，PB，切點(diǎn)分別是A，B，如果∠APB＝60°，PA＝6，那么弦AB的長(zhǎng)是（

）A．3 B．6 C．63 D．103【答案】B【分析】由從⊙O外一點(diǎn)P引圓的兩條切線(xiàn)PA、PB，根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理，可得PA=PB，又由∠APB=60°，可證得△PAB是等邊三角形即可得解．【詳解】解：∵PA、PB都是⊙O的切線(xiàn)，∴PA=PB，∵∠APB=60°，∴△PAB是等邊三角形，∴AB=PA=6．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓的切線(xiàn)性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線(xiàn)長(zhǎng)定理是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022秋·福建福州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB是小圓的切線(xiàn)，點(diǎn)P為切點(diǎn).若大圓半徑為2，小圓半徑為1，則AB的長(zhǎng)為（）

A．3 B．23 C．5 D．【答案】B【分析】由題意可得OP⊥AB，AP=BP，根據(jù)勾股定理可得AP的長(zhǎng)，即可求AB的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖：連接OP，AO∵AB是⊙O切線(xiàn)∴OP⊥AB，∴AP=PB=12AB在Rt△APO中，AP=AO2-O∴AB=23，故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，熟練運(yùn)用垂徑定理是本題是關(guān)鍵．【變式3】（2023·福建泉州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知⊙O上三點(diǎn)A，B，C，半徑OC＝2，∠ABC＝30°，切線(xiàn)PA交OC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P，則PA的長(zhǎng)為（

）A．4 B．1 C．22 D．【答案】D【分析】如圖，連接OA，根據(jù)圓周角定理可知∠AOC=60°，由切線(xiàn)的性質(zhì)可得∠OAP=90°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得OP的長(zhǎng)，利用勾股定理即可求出AP的長(zhǎng)．【詳解】連接OA，∵∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∵PA為切線(xiàn)，∴∠OAP=90°，∴∠P=30°，∵OA=OC=2，∴OP=2OA=4，∴PA=OP2-OA故選D．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、切線(xiàn)的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半；圓的切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的直徑；熟練掌握切線(xiàn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)4：切線(xiàn)的性質(zhì)——求半徑典例4：（2023春·福建廈門(mén)·九年級(jí)廈門(mén)海滄實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，若以點(diǎn)C為圓心，r為半徑的⊙C與直線(xiàn)AB相切，則r的值為（A．2.4 B．3 C．4.8 D．5【答案】C【分析】如圖所示，過(guò)C作CD⊥AB，交AB于點(diǎn)D，在直角三角形ABC中，由AC與BC的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，利用面積法求出CD的長(zhǎng)，即為所求的r．【詳解】解：如圖所示，過(guò)C作CD⊥AB，交AB于點(diǎn)D，在Rt△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，根據(jù)勾股定理得：AB=AC2+BC∵S△ABC=12BC?AC=12AB?∴12×6×8=12×10×解得：CD=4.8，則r=4.8（cm）．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，勾股定理，以及三角形面積求法，熟練掌握切線(xiàn)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式1】（2022秋·福建福州·九年級(jí)福建省福州第八中學(xué)校考期中）如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA為⊙O的切線(xiàn)，A為切點(diǎn)，PO交⊙O于點(diǎn)B，∠P=30°，OB=4，則線(xiàn)段OP的長(zhǎng)為（）A．6 B．43 C．4 D．8【答案】D【分析】連接OA，通過(guò)直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】連接OA，∴OA=OB=4，∵PA為⊙O的切線(xiàn)，A為切點(diǎn)，∴∠OAP=90°，∵∠P=30°，∴OP=2OA=8，故選D．【點(diǎn)睛】此題考查了圓的切線(xiàn)的性質(zhì)，涉及了直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A切線(xiàn)的有關(guān)性質(zhì)．【變式2】（2023·福建·一模）如圖，已知AB是半圓O的直徑，PE是半圓O的切線(xiàn)，切半圓O于點(diǎn)D,BD是半圓O的弦，∠BDE=60°,BD=3，則PAA．3 B．3 C．1 D．3【答案】A【分析】連接DO，AD，由PD為圓O的切線(xiàn)，利用切線(xiàn)的性質(zhì)得到OD垂直于PE，由∠BDE=60°，得到∠ODB=∠OBD=30°；又因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角是直角，得【詳解】解：如解圖，連接DO，AD，∵PE是半圓O的切線(xiàn)，DO為半圓O的半徑，∴DO⊥PE.∵∠BDE=60°,∴∠ODB=∠OBD=∴∠ADB=90°,∠DAB=∴AD=BD?tan30°∴∠PDA=∠DPA=30故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查切線(xiàn)的性質(zhì)，突破此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握切線(xiàn)的性質(zhì)與判定及與切線(xiàn)有關(guān)的證明及計(jì)算.錯(cuò)因分析：1、對(duì)圓切線(xiàn)的性質(zhì)掌握不熟練，不能靈活的運(yùn)用切線(xiàn)性質(zhì)解題；2、看到切線(xiàn)，不能靈活地連接切點(diǎn)和圓心構(gòu)造直角三角形解題，屬于容易題.【變式3】（2022秋·福建廈門(mén)·九年級(jí)廈門(mén)大學(xué)附屬科技中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，⊙O過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)AB且與CD邊相切，若AB＝2，則圓的半徑為（）A．43 B．54 C．52【答案】B【分析】作OM⊥AB于點(diǎn)M，連接OB，在直角△OBM中根據(jù)勾股定理即可得到一個(gè)關(guān)于半徑的方程，即可求得．【詳解】解：作OM⊥AB于點(diǎn)M，連接OB，設(shè)圓的半徑是x，則在直角△OBM中，OM＝2﹣x，BM＝1，∵OB2＝OM2+BM2，∴x2＝（2﹣x）2+1，解得x＝54故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線(xiàn)性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)的知識(shí)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)5：切線(xiàn)的性質(zhì)——求角度典例5：（2023春·福建福州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，PA，PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A，B，C是AB上一點(diǎn)，若∠APB＝

A．110° B．100° C．140° D．80°【答案】A【分析】連接OA、OB，作AB所對(duì)的圓周角∠ADB，如圖，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得到∠OAP=∠OBP=90°，再利用四邊形的內(nèi)角和計(jì)算出∠AOB=140°，接著根據(jù)圓周角定理得到∠ADB=70°，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠ACB的度數(shù)．【詳解】解：連接OA、OB，作AB所對(duì)的圓周角∠ADB，如圖，∵PA，PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A，B，C，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP=∠OBP=90°，∴∠AOB=180°-∠APB=180°-40°=140°，∴∠ADB=1∵∠ACB+∠ADB=180°，∴∠ADB=180°-70°=110°．故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)：圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了圓周角定理．【變式1】（2023·福建·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D分別在兩個(gè)半圓上，過(guò)點(diǎn)C的切線(xiàn)與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于E．∠D與∠E的關(guān)系是（

）A．∠D+∠E=90°B．12∠D+∠E=90°C．2∠D-∠E=90° D【答案】C【分析】連接BC,OC，根據(jù)圓周角定理及等邊對(duì)等角得出∠D=∠ABC=∠OCB，再由等量代換及各角之間的關(guān)系計(jì)算即可．【詳解】解：連接BC,OC，如圖所示：則CE⊥OC，∵OB=OC，∴∠ABC=∠OCB∴∠D=∠ABC=∠OCB．∴2∠ABC+∠BOC=180°，∠BOC+∠E=90°．∴2∠D-∠E=90°，故選：C．【點(diǎn)睛】題目主要考查切線(xiàn)的性質(zhì)及圓周角定理，等邊對(duì)等角，作出輔助線(xiàn)，熟練掌握運(yùn)用這些基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．【變式2】（2023·福建福州·統(tǒng)考二模）如圖，△ABC中，O是BC上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OC長(zhǎng)為半徑作半圓與AB相切于點(diǎn)D．若∠BCD=20°，∠ACD=30°，則∠A的度數(shù)是（

）

A．75° B．80° C．85° D．90°【答案】B【分析】由切線(xiàn)的性質(zhì)得到∠ODB=90°，由等腰三角形的性質(zhì)，得到∠ODC=∠OCD=20°，由三角形外角的性質(zhì)得到∠BOD=∠OCD+∠ODC=40°，由直角三角形的性質(zhì)得到∠B=50°，由三角形內(nèi)角和定理即可求出∠A的度數(shù)．【詳解】解：連接OD，

∵AB與⊙O相切于D，∴半徑OD⊥AB，∴∠ODB=90°，∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCD=20°，∴∠BOD=∠OCD+∠ODC=40°，∴∠B=90°-∠BOD=50°，∵∠BCD=20°，∠ACD=30°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=50°，∴∠A=180°-∠ACB-∠B=80°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查切線(xiàn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023·福建福州·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，⊙O是以AB為直徑的圓，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，連接BC、OC，延長(zhǎng)OC交過(guò)點(diǎn)A的切線(xiàn)于點(diǎn)P，若∠P=40°，則∠ABC的度數(shù)是（）A．35° B．20° C．30° D．25°【答案】D【分析】根據(jù)PA是⊙O的切線(xiàn)，OA是⊙O的半徑得∠PAO=90°，∠P=40°，即可得∠AOC=50°，根據(jù)圓周角定理即可得．【詳解】解：∵PA是⊙O的切線(xiàn)，OA是⊙O的半徑，∴∠PAO=90°，∵∠P=40°，∴∠AOC=180°-∠P-∠PAO=180°-40°-90°=50°，∴∠ABC=1故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握?qǐng)A周角定理，切線(xiàn)的性質(zhì)．考點(diǎn)6：切線(xiàn)長(zhǎng)定理——求周長(zhǎng)典例6：（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，D、E、F為切點(diǎn)，AB=18cm，BC=20cm，AC=12cm，MN切⊙O交AB于M，交BC于N，則△BMN

A．20cm B．22cm C．24cm【答案】D【分析】利用切線(xiàn)長(zhǎng)定理得到等邊，再利用給出的三條邊長(zhǎng)，設(shè)未知數(shù)列方程組，計(jì)算出邊長(zhǎng)，再利用等邊換邊得到△BMN的周長(zhǎng)．【詳解】∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓,AB、AC、BC是⊙O的切線(xiàn)，又∵M(jìn)N切⊙O于點(diǎn)K，

∴AF=MK、AE=AF、CE=CD、ND=NK、BF=BD，∴△BMN的周長(zhǎng)為：BM+MN+BN=BM+MK+NK+BN=(BM+MF)+(BN+ND)=BF+BD設(shè)AE=AF=a，BF=BD=b，CE=CD=c，則AB=18=b+a、BC=20=b+c、AC=12=a+c，解得a=5b=13∴△BMN的周長(zhǎng)為：BF+BD=2b=26cm．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查切線(xiàn)長(zhǎng)定理及邊長(zhǎng)的計(jì)算，需要理清目標(biāo)和條件，正確且有條理的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2022秋·遼寧大連·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別切⊙O于點(diǎn)A、B，AC是⊙O的直徑，若AC=10，∠BAC=30°，則△PAB的周長(zhǎng)為（A．8 B．103 C．20 D．【答案】D【分析】如圖所示，連接OB，先根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得到∠ABC=90°，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出AB=53，再根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)和切線(xiàn)長(zhǎng)定理得到PA=PB，∠PAB=60°，進(jìn)而證明△PAB【詳解】解：如圖所示，連接OB，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC=90°，∵∠BAC=30°，∴BC=1∴AB=A∵PA、PB分別切⊙O于點(diǎn)A、∴PA=PB，∴∠PAB=∠OAP-∠BAC=60°，∴△PAB是等邊三角形，∴PA=PB=AB=53∴△PAB的周長(zhǎng)為PA+PB+AB=153故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，切線(xiàn)長(zhǎng)定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，直徑所對(duì)的圓周角是直角，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等等，正確作出輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023春·浙江·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖為△ABC的內(nèi)切圓，點(diǎn)D，E分別為邊AB，AC上的點(diǎn)，且DE為⊙I的切線(xiàn)分別交AB，AC于D、E兩點(diǎn)，若△ABC的周長(zhǎng)與△ADE的周長(zhǎng)的差等于A(yíng)．12 B．10 C．8 D．6【答案】D【分析】設(shè)⊙I與DE的切點(diǎn)為點(diǎn)M，⊙I與△ABC三邊的切點(diǎn)分別為N、G、H，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得到DM=DN，EM=EH，BN=BG，【詳解】解：如圖，設(shè)⊙I與DE的切點(diǎn)為點(diǎn)M，⊙I與△ABC三邊的切點(diǎn)分別為N、G、H，∵⊙I為△ABC的內(nèi)切圓，∴DM=DN∵△ABC的周長(zhǎng)與△ADE的周長(zhǎng)的差等于12，∴AB+AC+BC-AD+DE+AE即AD+DN+BN+AE+EH+CH+BC-AD+DM+EM+AE∴2BC=12，∴BC=6；故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了圓的切線(xiàn)的性質(zhì)定理，切線(xiàn)長(zhǎng)定理，正確理解切線(xiàn)長(zhǎng)定理是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，點(diǎn)D、E分別為邊AC、BC上的點(diǎn)，且DE為⊙O的切線(xiàn)，若△ABC的周長(zhǎng)為25，BC的長(zhǎng)是9，則△ADE的周長(zhǎng)是（

）

A．7 B．8 C．9 D．16【答案】A【分析】根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理，進(jìn)行線(xiàn)段的等量轉(zhuǎn)換即可解答．【詳解】

解：如圖，將三角形三邊以及DE與圓的切點(diǎn)，分別標(biāo)為G、∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，且DE為⊙O的切線(xiàn)，∴DF=DG，EF=EH，BG=BI，CH=CI，∴△ADE的周長(zhǎng)=AD+AE+FD+FE=AD+AE+DG+EH=AG+AH=AB+AC-BG-CH=AB+AC-BC∵△ABC的周長(zhǎng)為25，BC的長(zhǎng)是9，∴△ADE的周長(zhǎng)=△ABC的周長(zhǎng)-2BC=25-2×9=7．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了切線(xiàn)長(zhǎng)定理，熟練進(jìn)行線(xiàn)段的等量轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)7：直角三角形與內(nèi)切圓典例7：（2023·廣東廣州·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┤鐖D，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，則△ABC的內(nèi)切圓的半徑r是（

A．2 B．3 C．4 D．無(wú)法判斷【答案】A【分析】根據(jù)等積法求內(nèi)切圓半徑，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=6如圖：設(shè)△ABC的內(nèi)切圓與各邊的切點(diǎn)分別為點(diǎn)D,E,F，連接OD,OE,OF，則：OD=OE=OF=r,OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB，

∵S△ABC∴12AC?BC=1∴r=2；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查求三角形內(nèi)切圓的半徑．熟練掌握等積法求內(nèi)切圓的半徑，是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在ΔABC中，AB+AC=52BC,AD⊥BC于D，⊙O為ΔABC的內(nèi)切圓，設(shè)⊙O的半徑為R，AD的長(zhǎng)為h，則RA．12 B．27 C．13【答案】B【分析】⊙O分別與ΔABC的三邊切于P，Q，T，連接OA,OB,OC,OP,OQ,OT，利用SΔABC=S【詳解】如圖，令⊙O分別與ΔABC的三邊切于P，Q，T，連接OA,OB,OC,OP,OQ,OT∴OP⊥AB,OQ⊥AC,OT⊥BC∴SΔABC=1=1=又∵AB+AC=∴S又∵AD⊥BC,AD=h∴S∴7∴7∴R故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，解答的關(guān)鍵是，充分利用已知條件將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求幾個(gè)三角形面積的和．【變式2】（2022秋·山東濟(jì)寧·九年級(jí)校考期末）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)D、E、F，且AB=8，BC=17，CA=15，則陰影部分（即四邊形AEOF）的面積是（）A．4 B．6.25 C．7.5 D．9【答案】D【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，再利用正方形的判定確定四邊形OFAE是正方形，進(jìn)而利用圓的切線(xiàn)性質(zhì)可知線(xiàn)段的關(guān)系，進(jìn)而求出陰影部分的面積．【詳解】解：∵AB=8，BC=17，CA=15，∴AB∴△ABC為直角三角形，∠A=90°，∵⊙O與AB，AC分別相切于點(diǎn)F、∴OF⊥AB，OE⊥AC，OF=OE，∴四邊形OFAE是正方形，設(shè)OE=r，則AE=AF=r，∵△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)D、E、F，∴BD=BF=8-r，CD=CE=15-r，∴8-r+15-r=17，∴r=8+15-17∴陰影部分的面積是：32故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等，三角形的內(nèi)心到頂點(diǎn)的連線(xiàn)平分這個(gè)內(nèi)角；勾股定理的逆定理和切線(xiàn)性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)．熟練運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式3】（2023·甘肅隴南·?？家荒＃┤鐖D，⊙O與∠A=90°的Rt△ABC的三邊AB、BC、AC分別相切于點(diǎn)D、E、FA．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】連接OD，OF，首先根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理得到BD=BE=10，CE=CF=3，然后證明出四邊形ADOF是正方形，然后設(shè)【詳解】如圖，連接OD，∵AC、AB、∴BD=BE=10，CE=CF=3，AD=AF，OD⊥AB，OF⊥AC，∴∠ADO=∠AFO=90°，∵∠BAC=90°，∴四邊形ADOF是矩形，∴矩形ADOF是正方形，∴AD=OD，設(shè)AD=AF=x，Rt△ABC中，AB=BD+AD=x+10，AC=CF+AF=x=3，BC=BE+CE=13由勾股定理得，AB∴10+x2∴x1∴OD=2，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的內(nèi)切圓，切線(xiàn)長(zhǎng)定理，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．考點(diǎn)8：一般三角形與內(nèi)切圓典例8：（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市湘郡培粹實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┤鐖D，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，若△ABC的周長(zhǎng)為18，面積為9，則⊙O的半徑是（）

A．1 B．2 C．1.5 D．2【答案】A【分析】作輔助線(xiàn)如解析圖，根據(jù)S△ABC=【詳解】解：如圖，設(shè)⊙O與△ABC的各邊分別相切于點(diǎn)E、F、G，連接OE,OF,OG,OA,OB,OC，設(shè)⊙O的半徑為r，則OE⊥AB,OF⊥AC,OG⊥BC，OE=OF=OG=r，∵S==1又△ABC的周長(zhǎng)為18，面積為9，∴9=1∴r=1，故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用三角形的面積求三角形的內(nèi)切圓半徑，掌握求解的方法是解題的關(guān)鍵.【變式1】（2022春·湖北武漢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB+AC=53BC，AD⊥BC于D，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，設(shè)⊙O的半徑為R，AD的長(zhǎng)為h，則RA．38 B．27 C．13【答案】A【分析】根據(jù)三角形內(nèi)切圓的特點(diǎn)作出圓心和三條半徑，分別表示出△ABC的面積，利用面積相等即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖所示：O為△ABC中∠ABC、∠ACB、∠BAC的角平分線(xiàn)交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O分別作垂線(xiàn)交AB、AC、BC于點(diǎn)E、G、F，S△ABC∵AB+AC=5∴S∵AD的長(zhǎng)為h，∴S∴1∴h=8∴R故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)切圓的相關(guān)性質(zhì)，本題掌握三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，根據(jù)已知條件利用三角形ABC面積相等推出關(guān)系式是解題關(guān)鍵．【變式2】（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，△ABC中，AB＝7cm，AC＝8cm，BC＝6cm，點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，過(guò)點(diǎn)O作EF//AB，與AC、BC分別交于點(diǎn)E、F，則△CEF的周長(zhǎng)為（）A．14cm B．15cm C．13cm D．10.5cm【答案】A【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)心的定義得到AO、BO是∠CAB和∠CBA的角平分線(xiàn)，結(jié)合平行線(xiàn)的性質(zhì)可證明∠EAO＝∠EOA，∠FOB＝∠FBO，于是得到EO＝EA，OF＝FB，故此可得到EF＝AE＋BF，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】解：連接OA、OB．∵點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，∴AO、BO分別是∠CAB和∠CBA的角平分線(xiàn)．∴∠EAO＝∠BAO，∠FBO＝∠ABO．∵EF//BA，∴∠EOA＝∠OAB，∠FOB＝∠OBA．∴∠EAO＝∠EOA，∠FOB＝∠FBO．∴EO＝EA，OF＝FB．∴EF＝AE＋BF，∴△CEF的周長(zhǎng)＝CE＋CF＋EF＝CE＋EA＋CF＋FB＝CA＋CB＝14，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是三角形的內(nèi)心、平行線(xiàn)的性質(zhì)、等腰三角形的判定，明確三角形的內(nèi)心是三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023春·湖北武漢·九年級(jí)校聯(lián)考期中）《數(shù)書(shū)九章》是我國(guó)南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，書(shū)中提出了已知三角形三邊a，b，c求面積的公式S=14c2a2-c2+a2-b2A．54 B．52 C．102【答案】B【分析】把三角形的三邊長(zhǎng)代入面積公式，得出三角形的面積為45，然后設(shè)這個(gè)三角形內(nèi)切圓的半徑為r，再根據(jù)三角形的內(nèi)切圓的半徑垂直于三角形的三邊，結(jié)合三角形的面積公式，得出S=12【詳解】解：∵三角形的三邊a，b，c分別為7，6，3，∴S======45如圖，設(shè)這個(gè)三角形內(nèi)切圓的半徑為r，則S=1即12∵三角形的三邊a，b，c分別為7，6，3，∴12解得：r=5∴這個(gè)三角形內(nèi)切圓的半徑為52故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓、求代數(shù)式的值、二次根式的運(yùn)算，解本題的關(guān)鍵在正確求出代數(shù)式的值．同步過(guò)關(guān)一、單選題1．（2022春·重慶·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）△ABC的邊BC經(jīng)過(guò)圓心O，AC與圓相切于點(diǎn)A，若∠B=20°，則∠C的大小等于（

）A．50° B．25° C．40° D．20°【答案】A【分析】連接OA，根據(jù)圓周角定理求出∠AOC，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得到∠OAC=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【詳解】解：連接OA，∵∠B=20°，∴∠AOC=2∠B=40°，∵AC與圓相切于點(diǎn)A，∴∠OAC=90°，∴∠C=90°-40°=50°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是切線(xiàn)的性質(zhì)、圓周角定理，掌握?qǐng)A的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·安徽淮南·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，BD與⊙O相切于點(diǎn)B，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，連接AC并延長(zhǎng)，交BD于點(diǎn)D，連接OC，BC，若∠BOC＝50°，則∠D的度數(shù)為（）A．50° B．55° C．65° D．75°【答案】C【分析】首先證明∠ABD＝90°，由∠BOC＝50°，根據(jù)圓周角定理求出∠A的度數(shù)即可解決問(wèn)題．【詳解】解：∵BD是切線(xiàn)，∴BD⊥AB，∴∠ABD＝90°，∵∠BOC＝50°，∴∠A＝12∠BOC＝25°∴∠D＝90°﹣∠A＝65°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是切線(xiàn)的性質(zhì)、圓周角定理，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．3．（2022秋·安徽阜陽(yáng)·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知PA與⊙O相切于點(diǎn)A，∠P=22°，則∠POA=（

）A．55° B．58° C．68° D．88°【答案】C【分析】根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)求出∠OAP=90°，結(jié)合∠P=22°可得結(jié)果．【詳解】解：∵PA與⊙O相切，∴∠OAP=90°，∵∠P=22°，∴∠POA=90°-22°=68°，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握切線(xiàn)與過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直．4．（2022秋·湖北恩施·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，半徑為1的⊙O與直線(xiàn)l相切于點(diǎn)A，C為⊙O上的一點(diǎn)，CB⊥l于點(diǎn)B，則AB+BC的最大值是（

）A．2 B．12+3 C．2【答案】C【分析】延長(zhǎng)AB到點(diǎn)D，使BD=BC，則AB+BC=AB+BD=AD，當(dāng)DC與⊙O相切于點(diǎn)C時(shí)，AD最大，則此時(shí)連接AO并延長(zhǎng)交DC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，則AE⊥AD，根據(jù)∠CDB=45°，可得OC=CE=1，根據(jù)勾股定理可得OE的長(zhǎng)，繼而可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)D，使BD=BC，則AB+BC=AB+BD=AD，當(dāng)DC與⊙O相切于點(diǎn)C時(shí)，AD最大，則此時(shí)連接AO并延長(zhǎng)交DC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，則AE⊥AD，∵CB⊥l∴∠DBC=90°∵BD=BC∴∠CDB=45°∵⊙O與直線(xiàn)l相切于點(diǎn)A，∴OA⊥l∴∠OAD=90°∴∠AED=45°連接OC，則OC⊥DE在Rt△OCE中，OC=CE=1，由勾股定理得，OE=∴AD=AE=AO+OE=1+∴AB+BC的最大值是1+2故選：Ｃ．【點(diǎn)睛】本題考查切線(xiàn)的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握切線(xiàn)的性質(zhì)．5．（2022·遼寧撫順·一模）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的兩點(diǎn)，∠CDB=30°，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線(xiàn)交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P，則∠P的度數(shù)為（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【分析】連接OC，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得到∠OCP=90°，再由圓周角定理求出∠COB=60°，即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，連接OC，∵CP是圓O的切線(xiàn)，∴∠OCP=90°，∵∠CDB=30°，∴∠BOC=2∠CDB=60°，∴∠P=90°-∠COP=30°，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形兩銳角互余，正確作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)儀征市第三中學(xué)階段練習(xí)）等邊三角形的內(nèi)切圓半徑和外接圓半徑之比為()A．1：2 B．1：2 C．1：3 D【答案】B【分析】連接OD、OE，根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理和等邊三角形的性質(zhì)證明△AOD為直角三角形且∠OAD為30°，即可求出OD、OA的比．【詳解】如圖，連接OD、OE；∵AB、AC切圓O于E、D，所以O(shè)E⊥AB，OD⊥AC；且又∵△ABC∴∠BAC∴∠OAC∴OD：AO=1：故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓和外接圓，等邊三角形的性質(zhì)和判定，切線(xiàn)長(zhǎng)定理以及直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋·廣東汕頭·九年級(jí)林百欣中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，PA，PB是⊙O的切線(xiàn)，A，B是切點(diǎn)，若∠P=70°，則∠ABO=（

）A．30° B．35° C．45° D．55°【答案】B【分析】先運(yùn)用圓的切線(xiàn)長(zhǎng)定理可以得到：PA=PB，再利用等腰三角形的性質(zhì)即可求出∠PAB的度數(shù)，最后利用切線(xiàn)的性質(zhì)解題即可.【詳解】解：∵PA，PB是⊙O的切線(xiàn)，∴PA=PB∴∠PAB=∠PBA∵∠P=70°∴∠PBA=(180°-70°)÷2=55°∵OB⊥PB∴∠OBP=90°∴∠ABO=90°-55°=35°故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線(xiàn)的性質(zhì)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.8．（2022秋·江蘇連云港·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上一點(diǎn)，∠CDB=25°，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線(xiàn)交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，則∠E等于（

）A．35° B．40° C．45° D．50°【答案】B【分析】連接OC，由CE為圓O的切線(xiàn)，利用切線(xiàn)的性質(zhì)得到OC垂直于CE，由OA=OC，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，再利用外角性質(zhì)求出∠COE的度數(shù)，即可求出∠E的度數(shù)．【詳解】解：連接OC，∵CE為圓O的切線(xiàn)，∴OC⊥CE，∴∠OCE=90°，∵∠CDB與∠BAC都對(duì)BC，且∠CDB=25°，∴∠BAC=∠CDB=25°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=25°，∵∠COE為△AOC的外角，∴∠COE=50°，則∠E=40°．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，以及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握切線(xiàn)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．9．（2023·四川內(nèi)江·威遠(yuǎn)中學(xué)校校考一模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E，C在⊙O上，點(diǎn)A是EC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線(xiàn)，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，連接AC，EC．若∠ACE=32°，則∠ADB的度數(shù)為（

）A．48° B．52° C．58° D．68°【答案】C【分析】根據(jù)垂徑定理得到BA⊥EC，求得∠BAC，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠B，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得到BA⊥AD，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵點(diǎn)A是EC的中點(diǎn)，∴BA⊥EC，∵∠ACE=32°，∴∠BAC=90°-∠ACE=58°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠BAC=32°，∵AD是⊙O的切線(xiàn)，∴BA⊥AD，∴∠ADB=90°-∠B=58°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是切線(xiàn)的性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理，掌握?qǐng)A的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋·天津和平·九年級(jí)天津二十中?？计谀┤鐖D，AB、CD分別與半圓OO切于點(diǎn)A，D，BC切⊙O于點(diǎn)E，若AB=4，CD=9，則⊙O的半徑為（）A．12 B．63 C．6 D．5【答案】C【分析】過(guò)B作CD的垂線(xiàn)，設(shè)垂足為F；由切線(xiàn)長(zhǎng)定理知：BA=BE，CE=CD；即BC=AB+CD；在構(gòu)建的Rt△BFC中，BC=AB+CD，CF=CD-AB，根據(jù)勾股定理即可求出BF即圓的直徑，進(jìn)而可求出⊙O的半徑【詳解】過(guò)B作BF⊥CD于F，∵AB、CD與半圓O切于A(yíng)、D，∴∠BAD=∠CDA=∠BFD=90°，∴四邊形ADFB為矩形，∴AB=DF，BF=AD，∵AB=BE=4，CD=CE=9；∴BC=BE+CE=13；∵AB、CD與半圓O相切，∴四邊形ADFB為矩形；∴CF=CD-FD=9-4=5，在Rt△BFC中，BF=BC2-CF∴AD=BF=12，∴⊙O的半徑為6．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查切線(xiàn)的性質(zhì)、勾股定理、矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造特殊四邊形解決問(wèn)題．二、填空題11．（2022秋·江蘇宿遷·九年級(jí)沭陽(yáng)縣懷文中學(xué)?？计谀┤鐖D，P為⊙O外一點(diǎn)，PA切⊙O于A(yíng)，若PA＝3，∠APO＝45°，則⊙O的半徑是．

【答案】3．【分析】連接OA，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得出OA⊥PA，由已知條件可得△OAP是等腰直角三角形，進(jìn)而可求出OA的長(zhǎng)，問(wèn)題得解．【詳解】解：連接OA，∵PA切⊙O于點(diǎn)A，∴OA⊥PA，∴∠OAP＝90°，∵∠APO＝45°，∴OA＝PA＝3，故答案為：3．

【點(diǎn)睛】本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)：圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線(xiàn)，必連過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．12．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖PA切⊙O于點(diǎn)A，∠PAB=30°，則∠AOB=度，∠ACB【答案】6030【分析】根據(jù)圓周角定理和弦切角定理求解即可．【詳解】由圓周角定理知，∠AOB=由弦切角定理知，∠C=故答案為：60°；30°．【點(diǎn)睛】本題利用了圓周角定理和弦切角定理求解．13．（2022·新疆昌吉·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙M與x軸相切于點(diǎn)A，與y軸交點(diǎn)分別為B、C，圓心M的坐標(biāo)是（4，5），則弦BC的長(zhǎng)度為．【答案】6【分析】連接BM、AM，作MH⊥BC于H，由垂徑定理得到BC=2HB，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)及M點(diǎn)的坐標(biāo)得到OH，OB，在Rt△MBH中，由勾股定理可求出BH，即可得到BC的長(zhǎng)度．【詳解】解：如圖，連接BM、AM，作MH⊥BC于H，則BH=CH，∴BC=2HB，∵⊙M與x軸相切于點(diǎn)A，∴MA⊥OA，∵圓心M的坐標(biāo)是(4，5)，∴MA=5，MH=4，∴MB=MA=5，在Rt△MBH中，由勾股定理得：MH=M∴BC=2×3=6．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查切線(xiàn)的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理的知識(shí)．解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形．14．（2022·福建泉州·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A2,0，點(diǎn)B是直線(xiàn)y=-x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以A為圓心，以線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為半徑作⊙A，當(dāng)⊙A與直線(xiàn)y=-x相切時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為【答案】1,-1【分析】根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)證明AB⊥OB，根據(jù)直線(xiàn)為y=-x可判斷∠AOB=45°，則可利用三角函數(shù)求出OB的長(zhǎng)，繼而求出點(diǎn)B坐標(biāo)．【詳解】當(dāng)⊙A與直線(xiàn)y=-x相切時(shí)，AB⊥OB，∵點(diǎn)B是直線(xiàn)y=-x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(m，-m)，點(diǎn)B到x軸的距離與到y(tǒng)軸的距離相等，∴∠AOB=45°，∵點(diǎn)A坐標(biāo)為2,0，∴OA=2，∴OB=OA?cos∴m=OB?cos∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，-1)，故答案為：(1，-1)．【點(diǎn)睛】本題考查了圓、一次函數(shù)和三角函數(shù)，解題關(guān)鍵在于根據(jù)切線(xiàn)性質(zhì)證明AB⊥OB從而求出相關(guān)線(xiàn)段長(zhǎng)．15．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)期中）如圖，PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A，B，點(diǎn)M在PB上，且OM//AP，MN⊥AP，垂足為點(diǎn)N．若⊙O的半徑R=3，PA=9，則OM的長(zhǎng)是．【答案】5【分析】首先證明四邊形OANM是矩形，然后證明Rt△OBM≌Rt△MNP，得出OM=MP，最后在Rt△MNP中利用勾股定理即可解題．【詳解】如圖，連接OA，OB，∵PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A，B，∴OA⊥AP，OB⊥BP∵M(jìn)N⊥AP，∴OA//MN∵OM//AP，∴四邊形OANM是矩形，∴OA=MN=3．∵OA=MN,OA=OB，∴OB=MN．∵OM//AP，∴∠BMO=∠NPM，∴Rt△OBM≌Rt△MNP，∴OM=MP．設(shè)OM=x，則NP=9-x，∵M(jìn)P2∴x2解得x=5，即OM=5．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的綜合問(wèn)題，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)，切線(xiàn)的性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．16．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）邊長(zhǎng)為6，8，10的三角形，其內(nèi)心和外心間的距離為．【答案】5【分析】根據(jù)題意作圖．利用在Rt△ABC，可求得AB=10cm，根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)可判定四邊形OECD是正方形，所以用r分別表示：CE=CD=r，AE=AN=6-r，BD=BN=8-r，利用AB作為相等關(guān)系求出r=2cm，則可得AN=4cm，N為圓與AB的切點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形中外接圓的圓心是斜邊的中點(diǎn)，即M為外接圓的圓心，在Rt△OMN中，先求得MN=AM-AN=1cm，由勾股定理可求得OM=5cm．【詳解】解：如圖：在Rt△ABC，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm．設(shè)Rt△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，則OD=OE=r，∵∠C=90°，∴CE=CD=r，AE=AN=6-r，BD=BN=8-r，∴8-r+6-r=10，解得r=2cm，∴AN=4cm，在Rt△OMN中，MN=AM-AN=1cm，∴OM=5cm.故答案是：5cm.【點(diǎn)睛】考查了直角三角形的外心與內(nèi)心概念，及內(nèi)切圓的性質(zhì)．三、解答題17．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在△OAB中，OA=OB，⊙O與AB相切于點(diǎn)C．求證：AC=BC．【答案】見(jiàn)解析【分析】連結(jié)OC，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】證明：連結(jié)OC，∵⊙O與AB相切于點(diǎn)C，∴OC⊥AB，∵OA=OB，∴AC=BC．【點(diǎn)睛】本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（2023·山東濟(jì)寧·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過(guò)點(diǎn)C的直線(xiàn)與AB延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)P．若∠COB＝2∠PCB，求證：PC是⊙O的切線(xiàn)．【答案】證明見(jiàn)解析．【分析】利用半徑OA＝OC可得∠COB＝2∠A，然后利用∠COB＝2∠PCB即可證得結(jié)論，再根據(jù)圓周角定理，易得∠PCB＋∠OCB＝90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切線(xiàn)．【詳解】連接AC，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO．∴∠COB＝2∠ACO．又∵∠COB＝2∠PCB，∴∠ACO＝∠PCB．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACO+∠OCB＝90°．∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP．∵OC是⊙O的半徑，∴PC是⊙O的切線(xiàn)．【點(diǎn)睛】此題主要考查了圓的切線(xiàn)的判定及圓周角定理的運(yùn)用，關(guān)鍵是利用半徑OA＝OC可得∠COB＝2∠A．19．（2023·廣東·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知：如圖，AB是⊙O的直徑，BC是和⊙O相切于點(diǎn)B的切線(xiàn)，⊙O的弦AD平行于OC．求證：DC是⊙O的切線(xiàn).【答案】證明見(jiàn)解析【分析】連接OD，要證明DC是⊙O的切線(xiàn)，只要證明∠ODC=90°即可．根據(jù)題意，可證△OCD≌△OCB，即可得∠CDO=∠CBO=90°，由此可證DC是⊙O的切線(xiàn)．【詳解】證明：連接OD,∵BC是和⊙O相切于點(diǎn)B的切線(xiàn)∴∠CBO=90°.∵AD平行于OC，∴∠COD=∠ODA，∠COB=∠A；∵∠ODA=∠A，∴∠COD=∠COB，OC=OC，OD=OB，∴△OCD≌△OCB，∴∠CDO=∠CBO=90°．∴DC是⊙O的切線(xiàn)．20．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考二模）如圖，AB是半圓O的直徑，C、D是半圓O上不同于A(yíng)、B的兩點(diǎn)，AC與BD相交于點(diǎn)F，BE是半圓O所在圓的切線(xiàn)，與AC的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)E．(1)若AD＝BC，證明：△ABC≌△BAD；(2)若BE＝BF，∠DAC＝29°，求∠EAB的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)29°【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得∠ADB＝∠ACB＝90°，根據(jù)HL進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)，得∠ABE＝90°，再由等角的余角相等，等邊對(duì)等角，得∠EAB＝∠DAC，即可得出結(jié)論.（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，在Rt△ABC與Rt△BAD中，AD=BC∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）；（2）解：∵BE＝BF，∴∠E＝∠BFE，∵BE是半圓O所在圓的切線(xiàn)，∴∠ABE＝90°，∴∠E+∠BAE＝90°，由（1）知∠D＝90°，∴∠DAF+∠AFD＝90°，∵∠AFD＝∠BFE，∴∠AFD＝∠E，∵∠DAF＝90°﹣∠AFD，∠BAF＝90°﹣∠E，∴∠EAB＝∠DAC，∵∠DAC＝29°，∴∠EAB＝29°．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，切線(xiàn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握切線(xiàn)性質(zhì)和圓周角定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.21．（2022秋·江蘇·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作⊙O交BC與點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線(xiàn)EF，交AC于點(diǎn)E，交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．求證：（1）BD＝CD；（2）∠BAC＝2∠EDC．【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析.【分析】(1)連接AD，由AB是⊙O的直徑得到∠ADB=90°，則AD⊥BC，因?yàn)锳B=AC，所以BD=CD;(2)連接OD.由AB是⊙O的切線(xiàn)，得到∠ODE=90°，則AD⊥BC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到OD=OA，由（1）得BD