第二十一章 一元二次方程 重難點檢測卷（解析版）

第二十一章一元二次方程重難點檢測卷注意事項：本試卷滿分120分，考試時間120分鐘，試題共26題。答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置選擇題（10小題，每小題3分，共30分）1．（2023春·黑龍江大慶·九年級?？计谀┫铝蟹匠讨惺顷P于x的一元二次方程的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據一元二次方程的定義：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程，叫做一元二次方程，逐一判斷即可解答【詳解】解：不是方程，故A不符合題意；中，當時，方程不是一元二次方程，故B不符合題意；化簡后為，是一元二次方程，故C符合題意；為二元二次方程，故D不符合題意，故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，熟知定義是解題的關鍵．2．（2023·黑龍江·統(tǒng)考三模）某種品牌運動服經過兩次降價，每件零售價由元降為元．已知兩次降價的百分率都是，則x的值是（）A． B．25 C． D．20【答案】B【分析】根據經過兩次降價后的價格原價建立方程，解方程即可得．【詳解】解：由題意得：，解得或，當時，（不符合題意，舍去）．故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確建立方程是解題關鍵．3．（2023春·四川南充·九年級?？茧A段練習）關于的一元二次方程有兩個實數根，則的取值范圍是（

）A． B．且 C．且 D．【答案】C【分析】根據一元二次方程的定義得到，根據一元二次方程有兩個實數根得到，求出的取值范圍．【詳解】解：一元二次方程有兩個實數根，，解得，又，且．故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，掌握根的判別式與方程的解的關系是解題的關鍵，切記不要忽略一元二次方程二次項系數不為零這一隱含條件．4．（2023年湖北省省直轄縣級行政單位中考二模數學試題）已知關于的一元二次方程的兩個實數根為、，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據根的判別式以及根與系數的關系即可求出答案．【詳解】解：由題意可知：，，，，，，，故選：．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式以及根與系數的關系，解題的關鍵是熟練運用根的判別式以及根與系數的關系，本題屬于基礎題型．5．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根，則（

）A．－2 B．2 C．－4 D．4【答案】A【分析】由一元二次方程根的情況可得，再代入式子即可求解．【詳解】∵關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根∴∴，故選：A.【點睛】本題考查一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關鍵．6．（2023·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）我國南宋時期數學家楊輝于1261年寫下的《詳解九章算法》，書中記載的圖表給出了展開式的系數規(guī)律．1

1

1

1

2

1

1

3

3

1

當代數式的值為1時，則x的值為（

）A．2 B． C．2或4 D．2或【答案】C【分析】由規(guī)律可得：，令，，可得，再解方程即可．【詳解】解：由規(guī)律可得：，令，，∴，∵，∴，∴，∴或，故選：C．【點睛】本題考查的是從題干信息中總結規(guī)律，一元二次方程的解法，靈活的應用規(guī)律解題是關鍵．7．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的邊在y軸上，邊在x軸上，點B的坐標是，D為邊上一個動點，把沿折疊，若點A的對應點恰好落在矩形的對角線上，則點的坐標為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】過點作軸于點，先利用待定系數法求出直線的解析式為，從而可設點的坐標為，則，再根據折疊的性質可得，然后在中，利用勾股定理可求出的值，由此即可得．【詳解】解：如圖，過點作軸于點，

矩形的邊在軸上，邊在軸上，點B的坐標是，，設直線的解析式為，將點代入得：，解得，則直線的解析式為，設點的坐標為，則，由折疊的性質得：，在中，，即，解得或（不符合題意，舍去），，，故選：A．【點睛】本題考查了矩形的性質、一次函數的幾何應用、勾股定理、折疊的性質、一元二次方程的應用，正確求出直線的函數解析式是解題關鍵．8．（2023·廣東廣州·?？既＃┤粢辉畏匠虩o實數根，則一次函數的圖象不經過(

)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根據判別式的意義得到，解得，然后根據一次函數的性質可得到一次函數圖象經過的象限．【詳解】解：一元二次方程無實數根，，，，即，又，一次函數的圖象經過第一、二、四象限，不經過第三象限．故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式：當，方程有兩個不相等的實數根；當，方程有兩個相等的實數根；當，方程沒有實數根．也考查了一次函數圖象與系數的關系，掌握根的判別式是解題的關鍵．9．（2022·浙江·九年級自主招生）關于x的方程，給出下列四個題：①存在實數，使得方程恰有2個不同的實根

②存在實數，使得方程恰有4個不同的實根③存在實數，使得方程恰有5個不同的實根

④存在實數，使得方程恰有8個不同的實根其中假命題的個數是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】首先將分類討論得到兩個方程，然后根據根的判別式得出根的個數即可．【詳解】解:時，或方程化為：①時，方程化為：②當，即時，方程①的根為：方程②的根為：分析可得時，即：時，有5個不相等的實根時，則中，不符合題意，故有2個實數根中，，均不符合題意故時，有2個實數根共有8個不相等的實數根當，即時，方程①的根為：，方程②的根為：，故共有4個不相等的實數根當，即時，方程沒有實數根綜上，方程可能有個、個、個、個實數根故選A．【點睛】本題考查了一元二次方程跟的情況，相關知識點有：根的判別式、絕對值、分類思想等，分類討論是本題的解題關鍵．10．（2022秋·全國·九年級專題練習）對于一元二次方程，有下列說法：①若，則方程必有一個根為1；②若方程有兩個不相等的實根，則方程必有兩個不相等的實根；③若是方程的一個根，則一定有成立；④若是一元二次方程的根，則．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】按照方程的解的含義、一元二次方程的實數根與判別式的關系、等式的性質、一元二次方程的求根公式等對各選項分別討論，可得答案．【詳解】解：①若x=1時，方程ax2+bx+c=0，則a+b+c=0，∵無法確定a-b+c=0．故①錯誤；②∵方程ax2+c=0有兩個不相等的實根，∴△=0-4ac＞0∴-4ac＞0則方程ax2+bx+c=0的判別式，△=b2-4ac＞0∴方程ax2+bx+c=0必有兩個不相等的實根，故②正確；③∵c是方程ax2+bx+c=0的一個根，則ac2+bc+c=0∴c（ac+b+1）=0若c=0，等式仍然成立，但ac+b+1=0不一定成立，故③錯誤；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，則由求根公式可得：或，∴或∴b2?4ac＝(2ax0+b)2，故④錯誤．故選：A．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的實數根與判別式的關系，牢固掌握二者的關系并靈活運用，是解題的關鍵．二、填空題（8小題，每小題3分，共24分）11．（2023春·吉林四平·八年級校聯考階段練習）方程的解是__________．【答案】或【分析】利用因式分解法求解即可．【詳解】解：，因式分解得：，∴或，解得：或，故答案為：或．【點睛】本題考查了解一元二次方程，能夠根據方程特點靈活選用不同的解法是解題關鍵．12．（2023·內蒙古·統(tǒng)考中考真題）若是一元二次方程的兩個實數根，則________．【答案】/【分析】由一元二次方程的根與系數的關系得，，，然后代入求解即可．【詳解】解：由一元二次方程的根與系數的關系得，，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的根與系數的關系，代數式求值．解題的關鍵在于熟練掌握：一元二次方程的兩個實數根，滿足，．13．（2021春·廣東江門·九年級臺山市新寧中學?？计谥校┮阎P于一元二次方程有兩個相等的實數根，則的值為___________．【答案】【分析】直接根據判別式判斷即可得出答案．【詳解】解：由題意可知：，解得．故答案為：．【點睛】本題考查一元二次方程根的判別式，解題的關鍵是熟練掌握一元二次方程的解與判別式之間的關系．14．（2023春·黑龍江大慶·八年級校聯考期中）用一段長為的籬笆圍成一個靠墻的矩形菜園，若菜園的面積為，墻的長度為．設垂直于墻的一邊長為，則x的值為________．

【答案】10【分析】設垂直于墻的一邊長為，則平行于墻的一邊長為，根據菜園的面積為，列出一元二次方程，解之得出的值，再結合墻的長度為，即可確定的值．【詳解】解：設垂直于墻的一邊長為，則平行于墻的一邊長為，依題意得：，整理得：，解得：，，當時，，不合題意，舍去；當時，，符合題意；即的值為10，故答案為：10．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．15．（上海市長寧區(qū)2022-2023學年八年級下學期期末數學試題）已知方程，如果設，那么原方程轉化為關于y的整式方程為______．【答案】【分析】根據換元法即可求解．【詳解】解：方程，如果設，∴即，故答案為：．【點睛】本題考查了換元法解分式方程，熟練掌握換元法是解題的關鍵．16．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，分別以為邊長作正方形，已知且滿足，．

（1）若，則圖1陰影部分的面積是__________；（2）若圖1陰影部分的面積為，圖2四邊形的面積為，則圖2陰影部分的面積是__________．【答案】【分析】（1）根據正方形的面積公式進行計算即可求解；（2）根據題意，解方程組得出，根據題意得出，進而得出，根據圖2陰影部分的面積為，代入進行計算即可求解．【詳解】解：（1），圖1陰影部分的面積是，故答案為：．（2）∵圖1陰影部分的面積為3，圖2四邊形的面積為，∴，，即∴（負值舍去）∵，．解得：∵①∴，∴，∴②聯立①②解得：（為負數舍去）或∴，圖2陰影部分的面積是故答案為：．【點睛】本題考查了整式的乘方與圖形的面積，正方形的性質，勾股定理，二元一次方程組，解一元二次方程，正確的計算是解題的關鍵．17．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考二模）在中，，，將沿翻折到，的垂直平分線與相交于點E．若，則的長為______．

【答案】【分析】連接，根據線段垂直平分線的性質得出，設，在中，利用勾股定理可求，利用折疊的性質和等腰三角形的性質可證，利用勾股定理可得，由可構建關于x的方程，然后解方程即可求解．【詳解】解：連接，

∵的垂直平分線與相交于點E，∴，設，則，在中，由勾股定理得，即，∴，由折疊可知，，，，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，即，解得，（不符合題意，舍去），∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了折疊的性質、垂直平分線的性質、等腰三角形的性質、勾股定理、一元二次方程的解法等知識點，正確作出輔助線、構造合適的直角三角形是解答本題的關鍵．18．（2022秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）對于一切不小于2的自然數n，關于x的一元二次方程的兩個根為，則__________．【答案】【分析】由根與系數的關系得，，所以，則，然后代入即可求解．【詳解】由根與系數的關系得，，所以，則，則．故答案為：．【點睛】本題考查了根與系數的關系，難度較大，關鍵是根據根與系數的關系求出一般形式再進行代入求值．三、解答題（8小題，共66分）19．（2023春·黑龍江大慶·九年級?？计谀┙庀铝蟹匠蹋?1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據配方法解一元二次方程即可求解；（2）根據因式分解法解一元二次方程即可求解．【詳解】（1）解：．移項得：，配方得：，即，開方得：，∴原方程的解是：．（2）．因式分解得，∴或，∴．【點睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．20．（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）已知關于x的一元二次方程．(1)求證：無論m取何值時，方程都有兩個不相等的實數根；(2)設該方程的兩個實數根為a，b，若，求m的值．【答案】(1)證明見解析(2)的值為1或【分析】（1）根據一元二次方程根的判別式可進行求解；（2）根據一元二次方程根與系數的關系可進行求解．【詳解】（1）證明：∵，∴無論取何值，方程都有兩個不相等的實數根．（2）解：∵的兩個實數根為，∴．∵，∴，．∴．即．解得或．∴的值為1或．【點睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式及根與系數的關系，熟練掌握一元二次方程根的判別式及根與系數的關系是解題的關鍵．21．（2023春·山西太原·九年級山西實驗中學?？计谥校╇妱榆囕p巧易操作，讓我們的生活更加舒適便捷．本學期高老師為了方便上下班也買了一輛電動自行車．請解決以下兩個問題：(1)高老師家離學校有2000米的路程，她騎電動車上班時間比原來步行上班時間節(jié)省了20分鐘．已知電動車的速度是步行速度的5倍．求高老師的步行速度．(2)某天，高老師路過電動車專賣店，發(fā)現之前購買的那款電動車經過兩個月后，售價由2620元降到了元，已知每月降價的百分率相同，求每月降價的百分率．【答案】(1)80米/分(2)【分析】（1）設高老師的步行速度為，根據騎電動車上班時間比原來步行上班時間節(jié)省了20分鐘列出方程，解之即可；（2）設每月降價的百分率為y，根據售價由2620元降到了元，列出方程，解之即可．【詳解】（1）解：設高老師的步行速度為，由題意可得：，解得：，經檢驗：是原方程的解，∴高老師的步行速度為80米/分．（2）設每月降價的百分率為y，由題意可得：，解得：或（舍），∴每月降價的百分率為．【點睛】本題考查了分式方程，一元二次方程的實際應用，解題的關鍵是讀懂題意，找到等量關系，列出方程．22．（2023·浙江杭州·校考三模）如圖，點A與點C表示的數分別為1和3，宸宸同學在數軸上以C為直角頂點作，，再以A為圓心，為半徑畫圓，交數軸于D、E兩點，蓮蓮同學說，若D、E分別表示和，我發(fā)現是一元二次方程的一個根，琮琮說一定不是此方程的根．(1)寫出與表示的數(2)求出的值(3)你認為琮琮說的對嗎？為什么？【答案】(1)(2)(3)琮琮說的不對，理由見詳解【分析】（1）先根據勾股定理求出的長度，再根據，利用點的平移即可得出結果；（2）把代入一元二次方程，即可得出結果；（3），求出一元二次方程的解，即可得出結論．【詳解】（1）解：，在中，，以A為圓心，為半徑畫圓，交數軸于D、E兩點，，；（2）解：是一元二次方程的一個根，，解得：；（3）解：琮琮說的不對，理由如下：，則一元二次方程為，解這個方程得：而，即一定是此方程的根，故琮琮說的不對．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義及解法，勾股定理，點的平移與點的坐標之間的關系，本題的關鍵是理解一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的解法．23．（2023春·江蘇南通·八年級啟東市長江中學?？茧A段練習）已知關于x的一元二次方程(1)求證：此方程總有兩個實數根；(2)若此方程的兩個實數根都是整數，求m的整數值；(3)若此方程的兩個實數根分別為、，求代數式的值．【答案】(1)見解析；(2)；(3)5．【分析】（1）根據判別式定理，運用配方法求解；（2）根據求根公式確定解的形式，結合整數根的條件求解；（3）根據根與系數關系，結合完全平方公式對代數式變形，運算求解．【詳解】（1）解：由題意，∴方程有兩個實數根．（2）時，化簡，得或方程有整數根，則（3）由題知，，∴∴，∴原式=【點睛】本題考查一元二次方程判別式，根與系數關系，完全平方公式，根據公式靈活對代數式變形是解題的關鍵．24．（2023·內蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）閱讀材料：材料1：關于x的一元二次方程的兩個實數根和系數a，b，c有如下關系：，．材料2：已知一元二次方程的兩個實數根分別為m，n，求的值．解：∵m，n是一元二次方程的兩個實數根，∴．則．根據上述材料，結合你所學的知識，完成下列問題：(1)應用：一元二次方程的兩個實數根為，則___________，___________；(2)類比：已知一元二次方程的兩個實數根為m，n，求的值；(3)提升：已知實數s，t滿足且，求的值．【答案】(1)，(2)(3)的值為或．【分析】（1）直接利用一元二次方程根與系數的關系求解即可；（2）利用一元二次方程根與系數的關系可求出，，再根據，最后代入求值即可；（3）由題意可將s、t可以看作方程的兩個根，即得出，，從而由，求得或，最后分類討論分別代入求值即可．【詳解】（1）解：∵一元二次方程的兩個根為，，∴，．故答案為：，；（2）解：∵一元二次方程的兩根分別為m、n，∴，，∴；（3）解：∵實數s、t滿足，∴s、t可以看作方程的兩個根，∴，，∵，∴或，當時，，當時，，綜上分析可知，的值為或．【點睛】本題考查一元二次方程根與系數的關系，完全平方公式的變形計算，分式的混合運算．理解題意，掌握一元二次方程根與系數的關系：和是解題關鍵．25．（2022秋·廣東梅州·九年級校考階段練習）圖，在矩形中，，，，，分別從，，，出發(fā)沿，，，方向在矩形的邊上同時運動，當有一個點先到達所在運動邊的另一個端點時即停止．已知在相同時間內，若（），則，，．(1)當為何值時，，長度相等？(2)當為何值時，以，為兩邊，以矩形的邊（或）的一部分為第三邊能構成一個三角形？(3)當為何值時，以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？【答案】(1)當為時，，長度相等(2)當時，以，為兩邊，以矩形的邊（或）的一部分為第三邊能構成一個三角形(3)當或時，以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形【分析】（1）由題意得出方程，解方程即可；（2）分兩種情況，由題意得出方程，解方程即可；（3）分兩種情況，由題意得出方程，解方程即可【詳解】（1）解：，，時，即，解得：或（舍去），當為時，，長度相等；（2）解：當點與點重合或點與點重合時，以，為兩邊，以矩形的邊（或）的一部分為第三邊可能構成一個三角形，當點與點重合時，由題意得：，解得：，（舍去），，此時點與點不重合，符合題意；當點與點重合時，由題意得：，解得：，此時，不符合題意，點與點不能重合．綜上所述，所求的值為：；（3）解：當點到達點時，，此時點和點還未相遇，點只能在點的左側，當點在點的左側時，如圖所示：由題意得：，解得：（舍去），，當時四邊形是平行四邊形；當點在點的右側時，如圖所示：由題意得：，解得：（舍去），，當時，四邊形是平行四邊形；綜上所述，當或時，以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形．【點睛】