專題14 幾何探究類問題（原卷版）

專題14幾何探究類問題目錄一、熱點題型歸納【題型一】閱讀理解型問題【題型二】開放探究型【題型三】動手操作型問題二、最新模考題組練【題型一】閱讀理解型問題【典例分析】請閱讀下列材料，并完成相應的任務：公元前300年前后，歐幾里得撰寫的《幾何原本》系統(tǒng)地論述了黃金分割，成為最早的有關黃金分割的論著．黃金分割（）是指把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長的比值等于較小部分與較大部分的比值．如圖①，在線段上找一個點C，C把分為和兩段，其中是較小的一段，如果，那么稱線段被C點黃金分割，點C叫做線段的黃金分割點，與的比值叫做黃金分割數(shù)．為簡單起見，設，則．∵，∴……任務：(1)請根據(jù)上面的部分解題過程，求黃金分割數(shù)．(2)如圖②，采用如下方法可以得到黃金分割點：①設是已知線段，過點B作且使；②連接，在上截取；③在上截?。粍t點C即為線段黃金分割點．你能說說其中的道理嗎？(3)已知線段，點C，D是線段上的兩個黃金分割點，則線段的長是．【提分秘籍】基本規(guī)律解決閱讀理解問題的關鍵是要認真仔細地閱讀給定的材料，弄清材料中隱含了什么新的數(shù)學知識、結論，或揭示了什么數(shù)學規(guī)律，或暗示了什么新的解題方法，然后依題意進行分析、比較、綜合、抽象和概括，或用歸納、演繹、類比等進行計算或推理論證，并能準確地運用數(shù)學語言闡述自己的思想、方法、觀點．展開聯(lián)想，將獲得的新信息、新知識、新方法進行遷移，建模應用，解決題目中提出的問題?！咀兪窖菥殹?．學習了平方差、完全平方公式后，小聰同學對學習和運用數(shù)學公式非常感興趣，他通過上網(wǎng)查閱，發(fā)現(xiàn)還有很多數(shù)學公式，如立方和公式：（a＋b）（a2－ab＋b2）＝a3＋b3，他發(fā)現(xiàn)，運用立方和公式可以解決很多數(shù)學問題，請你也來試試利用立方和公式解決以下問題：(1)【公式理解】公式中的字母可以代表任何數(shù)、字母或式子①化簡：（a－b）（a2＋ab＋b2）＝；②計算：（993＋1）÷（992－99＋1）＝；(2)【公式運用】已知：＋x＝5，求的值：(3)【公式應用】如圖，將兩塊棱長分別為a、b的實心正方體橡皮泥揉合在一起，重新捏成一個高為的實心長方體，問這個長方體有無可能是正方體，若可能，a與b應滿足什么關系？若不可能，說明理由．2．問題提出：如圖1，在四邊形ABCD中，，，若E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，則．(1)問題探究：小明同學進行了如下的推理：連接AF并延長AF交BC的延長線于點G．由AB=CD，AD=BC，根據(jù)定理①，可得四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∴，∠DAF=∠G，又DF=CF，∴，∴，，又AE=BE，根據(jù)定理②有，．請補全問題探究：定理①是______，定理②是______．（請將正確答案前面的序號填寫在橫線上）A．三角形的中位線等于第三邊的一半；B．兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；C．三角形的中位線平行于第三邊；D．兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．(2)拓展應用：①如圖2，在四邊形ABCD中，，，E，F(xiàn)分別AB，CD的中點，判斷線段EF，AD，BC之間的數(shù)量關系，并說明理由．②如圖3，已知直線l，且這兩條平行線間的距離為4，．點P為直線l上一動點，連接BP，點C為BP的中點，連接AC，作交直線l于點D，連接AD．設的面積為S，當時，直接寫出線段AD長度的取值范圍．【題型二】開放探究型【典例分析】如圖1，在中，，，，點分別是邊的中點，連接．將繞點逆時針方向旋轉，記旋轉角為．(1)問題發(fā)現(xiàn)當時，______；當時，______．(2)拓展探究試判斷：當時，的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明．(3)問題解決繞點逆時針旋轉至三點在同一條直線上時，請直接寫出線段的長______．【提分秘籍】基本規(guī)律由于開放探究型試題的知識覆蓋面較大，綜合性較強，靈活選擇方法的要求較高，再加上題意新穎，構思精巧，具有相當?shù)纳疃群碗y度，所以要求同學們在復習時，首先對于基礎知識一定要復習全面，并力求扎實牢靠；其次是要加強對解答這類試題的練習，注意各知識點之間的因果聯(lián)系，選擇合適的解題途徑完成最后的解答．由于題型新穎、綜合性強、結構獨特等，此類問題的一般解題思路并無固定模式或套路，但是可以從以下幾個角度考慮：1．利用特殊值（特殊點、特殊數(shù)量、特殊線段、特殊位置等）進行歸納、概括，從特殊到一般，從而得出規(guī)律．2．反演推理法（反證法），即假設結論成立,根據(jù)假設進行推理，看是推導出矛盾還是能與已知條件一致．3．分類討論法：當命題的題設和結論不唯一確定，難以統(tǒng)一解答時，則需要按可能出現(xiàn)的情況做到既不重復也不遺漏，分門別類加以討論求解，將不同結論綜合歸納得出正確結果。4．類比猜想法：即由一個問題的結論或解決方法類比猜想出另一個類似問題的結論或解決方法，并加以嚴密的論證?！咀兪窖菥殹?．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，和都是等邊三角形，點B、D、E在同一條直線上，連接．①的度數(shù)為______；②線段之間的數(shù)量關系為______；（2）拓展探究：如圖②，和都是等腰直角三角形，，點B、D、E在同一條直線上，為中邊上的高，連接，試求的度數(shù)及判斷線段之間的數(shù)量關系，并說明理由；（3）解決問題：如圖③，和都是等腰三角形，，點B、D，E在同一條直線上，請直接寫出的度數(shù)．2．【發(fā)現(xiàn)問題】(1)如圖1，已知和均為等邊三角形，在上，在上，易得線段和的數(shù)量關系是______．(2)將圖1中的繞點旋轉到圖2的位置，直線和直線交于點．①判斷線段和的數(shù)量關系，并證明你的結論；②圖2中的度數(shù)是______．(3)【探究拓展】如圖3，若和均為等腰直角三角形，，，，直線和直線交于點，分別寫出的度數(shù)，線段、間的數(shù)量關系，并說明理由．【題型三】動手操作型問題【典例分析】綜合實踐數(shù)學活動折紙，引起了許多同學的興趣．在經(jīng)歷圖形變換的過程中，進一步發(fā)展了同學們的空間觀念，積累了數(shù)學活動經(jīng)驗．(1)動手操作：對折矩形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平；再一次折疊紙片，使點落在上的點處，并使折痕經(jīng)過點，得到折痕，把紙片展平，連接，如圖，求的度數(shù)；(2)拓展延伸：如圖，折疊矩形紙片，使點落在邊上的點處，并且折痕交邊于點，交邊于點，把紙片展平，連接交于點，連接，求證：四邊形是菱形；(3)解決問題：如圖，矩形紙片中，，，點是邊上的一動點，折疊紙片，使點落在邊上的點處，并且折痕過點，交邊于點，把紙片展平．請你求出線段長度的取值范圍．【提分秘籍】基本規(guī)律解答實踐操作題的關鍵是要學會自覺地運用數(shù)學知識去觀察、分析、抽象、概括所給的實際問題，揭示其數(shù)學本質，并轉化為我們所熟悉的數(shù)學問題．解答實踐操作題的基本步驟為：從實例或實物出發(fā)，通過具體操作實驗，發(fā)現(xiàn)其中可能存在的規(guī)律，提出問題，檢驗猜想．在解答過程中一般需要經(jīng)歷操作、觀察、思考、想象、推理、探索、發(fā)現(xiàn)、總結、歸納等實踐活動過程，利用自己已有的生活經(jīng)驗和數(shù)學知識去感知發(fā)生的現(xiàn)象，從而發(fā)現(xiàn)所得到的結論，進而解決問題?！咀兪窖菥殹?．綜合與實踐動手實踐：一次數(shù)學興趣活動，張老師將等腰的直角頂點與正方形的頂點重合（），按如圖（1）所示重疊在一起，使點在邊上，連接．則可證：______，______三點共線；發(fā)現(xiàn)問題：（1）如圖（2），已知正方形，為邊上一動點，，交的延長線于，連結交于點．若，則______，______；嘗試探究：（2）如圖（3），在（1）的條件下若，求證：；拓展延伸：（3）如圖（4），在（1）的條件下，當______時，為的6倍（直接寫結果，不要求證明）．2．綜合與實踐在線上教學中，教師和學生都學習到了新知識，掌握了許多新技能．例如教材八年級下冊的數(shù)學活動﹣﹣折紙，就引起了許多同學的興趣．在經(jīng)歷圖形變換的過程中，進一步發(fā)展了同學們的空間觀念，積累了數(shù)學活動經(jīng)驗．實踐發(fā)現(xiàn)：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；再一次折疊紙片，使點A落在EF上的點N處，并使折痕經(jīng)過點B，得到折痕BM，把紙片展平，連接AN，如圖①．（1）折痕BM（填“是”或“不是”）線段AN的垂直平分線；請判斷圖中△ABN是什么特殊三角形？答：；進一步計算出∠MNE＝°；（2）繼續(xù)折疊紙片，使點A落在BC邊上的點H處，并使折痕經(jīng)過點B，得到折痕BG，把紙片展平，如圖②，則∠GBN＝°；拓展延伸：（3）如圖③，折疊矩形紙片ABCD，使點A落在BC邊上的點A'處，并且折痕交BC邊于點T，交AD邊于點S，把紙片展平，連接AA'交ST于點O，連接AT．求證：四邊形SATA'是菱形．解決問題：（4）如圖④，矩形紙片ABCD中，AB＝10，AD＝26，折疊紙片，使點A落在BC邊上的點A'處，并且折痕交AB邊于點T，交AD邊于點S，把紙片展平．同學們小組討論后，得出線段AT的長度有4，5，7，9．請寫出以上4個數(shù)值中你認為正確的數(shù)值．1．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考一模）問題提出：（1）“弦圖”是中國古代數(shù)學成就的一個重要標志．小明用邊長為的正方形制作了一個“弦圖”：如圖①，在正方形內取一點，使得，作，，垂足分別為、，延長交于點．若，求的長；變式應用：（2）如圖②，分別以正方形的邊長和為斜邊向內作和，連接，若已知，，的面積為，，則正方形的面積為．拓展應用：（3）如圖③，公園中有一塊四邊形空地，米，米，米，，空地中有一段半徑為米的弧形道路（即），現(xiàn)準備在上找一點將弧形道路改造為三條直路（即、、），并要求，三條直路將空地分割為、和四邊形三個區(qū)域，用來種植不同的花草．①則的度數(shù)為；②求四邊形的面積．2．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考一模）已知菱形中，點E是對角線上一點，點F是邊上一點，連接、、，【特例探究】(1)如圖1，若且，線段、滿足的數(shù)量關系是________；(2)如圖2，若且，判定線段、滿足的數(shù)量關系，并說明理由；(3)【一般探究】如圖3，根據(jù)特例的探究，若，，請求出的值（用含的式子表示）；(4)【發(fā)現(xiàn)應用】如圖3，根據(jù)“一般探究”中的條件，若菱形邊長為1，，點F在直線上運動，則面積的最大值為________，3．（2023·江蘇宿遷·一模）數(shù)學實驗是通往數(shù)學之源、數(shù)學之品、數(shù)學之用、數(shù)學之奇、數(shù)學之美、數(shù)學之謎的創(chuàng)造之門，小瑞同學是一位數(shù)學“小迷神”，酷愛做數(shù)學實驗，今天特邀大家和他做如下實驗，并回答相關問題：小瑞把兩塊完全相同的三角板按圖1方式擺放，其中，，，，，在直線上，點與點重合．(1)______，______(2)小瑞將三角板的直角頂點沿方向滑動，同時頂點沿方向在射線上滑動，如圖2．①當點恰好是線段中點時，求的度數(shù)．②當點從初始位置滑動到點處時，求點所經(jīng)過的路徑長；(3)在（2）中，過點、分別作、的垂線，兩條垂線相交于點，連接，線段的長度是否為定值？如果是，請直接寫出結果；如果不是，請說明理由．4．（2023·江蘇揚州·模擬預測）【神奇的變換】（1）如圖，在四邊形中，，垂足為，則______．（填“”、“<”或“”）【翻折一下】（2）若將圖1中的沿直線翻折（如圖2所示），其它條件不變，（1）中的結論還成立嗎？請說明理由．【旋轉一下】（3）若，（1）中的其它條件不變（如圖3所示），將繞點按逆時針方向旋轉度后得到圖4，求證：．【平移一下】（4）若將圖1中的沿直線平移，使得和重合，得到（如圖5所示），連接、，則有．利用該結論，解決問題：如圖6，在中，，是內一點，若，，且，則的最大值為______．5．（2023·江蘇南通·模擬預測）【問題提出】為了保持室內空氣的清新，某倉庫的自動換氣窗采用了以下設計：如圖①，窗子的形狀是一個五邊形，它可看作是由一個矩形和一個組成，該窗子關閉時可以完全密封，根據(jù)室內的溫度和濕度也可以自動打開窗子上的通風口換氣．通風口是一個矩形形狀的聯(lián)動裝置，頂點P、Q只能在邊框上滑動，頂點M、N可在其它邊框上滑動，聯(lián)動裝置的四邊都是長度可自動伸縮的金屬桿，當金屬桿上下移動時，其他金屬桿也隨之移動，圖①、圖②是通風口打開時的兩種不同情況．試確定金屬桿的位置，使通風口（矩形）面積最大．設窗子的邊框、分別為，，窗子的高度（窗子的最高點到邊框的距離）為．【初步探究】（1）若，，（即點E到的距離為2），與之間的距離為，通風口的面積為．①分別求出當和時y與x之間的函數(shù)表達式；②金屬桿移動到什么位置時，通風口面積最大，最大面積是多少？【深入探究】（2）若金屬桿移動到高于所在位置的某一處時通風口面積達到最大值．①c需要滿足的條件是_______________，通風口的最大面積是_______________（用含a、b、c的代數(shù)式表示）．②用直尺和圓規(guī)在圖③中作出通風口面積最大時金屬桿所在的位置（保留作圖痕跡，不寫作法）．（3）若將窗子的上部分邊框改為以的中點O為圓心的圓?。ǎ┬螤睿ㄈ鐖D④所示），其他條件不變，金屬桿移動到什么位置時，通風口面積最大（直接寫出答案，不必說明理由）．6．（2023·江蘇泰州·模擬預測）學習了圖形的旋轉之后，小明知道，將點繞著某定點順時針旋轉一定的角度，能得到一個新的點．經(jīng)過進一步探究，小明發(fā)現(xiàn)，當上