拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（第2課時(shí)）高二數(shù)學(xué)（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)）

3.3.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（第2課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)課時(shí)教學(xué)內(nèi)容通過(guò)解決具體問(wèn)題體會(huì)經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的直線的重要性以及拋物線在實(shí)際生活動(dòng)中的應(yīng)用舉例.課時(shí)教學(xué)目標(biāo)1.了解拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．2.能利用性質(zhì)解決與拋物線有關(guān)的問(wèn)題．3.能利用方程與數(shù)形結(jié)合思想解決焦點(diǎn)弦問(wèn)題,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：解決拋物線綜合問(wèn)題和體會(huì)拋物線在實(shí)際生活中的應(yīng)用；難點(diǎn)：解決拋物線綜合問(wèn)題的解題思維培養(yǎng)教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境，引入課題我們已經(jīng)知道了拋物線的定義，并根據(jù)拋物線的定義得到了標(biāo)準(zhǔn)方程，通過(guò)定義和方程及圖像得到了拋物線的幾何性質(zhì)，現(xiàn)請(qǐng)同學(xué)完成下列表格.焦點(diǎn)位置圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程范圍對(duì)稱性頂點(diǎn)焦點(diǎn)在x正半軸上y2＝2px(p>0)(xxy關(guān)于x軸對(duì)稱坐標(biāo)原點(diǎn)焦點(diǎn)在x負(fù)半軸上y2＝－2px(p>0)(-xxy關(guān)于x軸對(duì)稱焦點(diǎn)在y正半軸上x(chóng)2＝2py(p>0)(0,yyx關(guān)于y軸對(duì)稱焦點(diǎn)在y負(fù)半軸上x(chóng)2＝－2py(p>0)0,-yyx關(guān)于y軸對(duì)稱【師生活動(dòng)】教師用多媒體展示表格，學(xué)生填寫(xiě).【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生回憶舊知識(shí)，以建立新舊知識(shí)之間的聯(lián)系。環(huán)節(jié)二觀察分析，感知概念例5經(jīng)過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)D，求證：直線DB平行于拋物線的對(duì)稱軸．【師生活動(dòng)】教師：如果使用坐標(biāo)法來(lái)證明這個(gè)結(jié)論，怎么轉(zhuǎn)化這個(gè)問(wèn)題？學(xué)生：只要證明證明點(diǎn)D的縱坐標(biāo)和點(diǎn)B的縱坐標(biāo)相等即可.教師：D、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)與問(wèn)題中的哪些幾何量有關(guān)？學(xué)生：D、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)與點(diǎn)A的坐標(biāo)和直線AB有關(guān)，【分析】既然D、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)與A有關(guān)，我們可以先把點(diǎn)A坐標(biāo)設(shè)出來(lái)，然后用點(diǎn)A的坐標(biāo)表示D、B的坐標(biāo).教師引導(dǎo)和板書(shū)，學(xué)生思考：分析：我們用坐標(biāo)法證明這個(gè)結(jié)論，即通過(guò)建立拋物線及直線的方程，運(yùn)用方程研究直線DB與拋物線對(duì)稱軸之間的位置關(guān)系．建立如圖3.3-5所示的直角坐標(biāo)系，只要證明點(diǎn)D的縱坐標(biāo)與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)相等即可．證明：如圖3.3-5，以拋物線的對(duì)稱軸為軸，拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)拋物線的方程為①點(diǎn)的坐標(biāo)為，則直線的方程為②拋物線的準(zhǔn)線方程是．③聯(lián)立②③，可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．因?yàn)榻裹c(diǎn)的坐標(biāo)是，當(dāng)時(shí)，直線的方程為④聯(lián)立①④，消去，可得，即．可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，于是平行于軸．當(dāng)時(shí)，易知結(jié)論成立．所以，直線平行于拋物線的對(duì)稱軸．環(huán)節(jié)三抽象概括，形成概念追問(wèn)1你還有其他證明方法碼？學(xué)生回答：由于點(diǎn)D、B的坐標(biāo)還和直線AB有關(guān)，我們還可以先設(shè)直線AB的方程.學(xué)生解答：解法二：以拋物線的對(duì)稱軸為軸，拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)拋物線的方程為，，設(shè)直線的方程為，將其代入，得，，設(shè)，，則，，過(guò)作垂直于拋物線的準(zhǔn)線，垂足為，則，則，，，即三點(diǎn)共線，所以與重合，從而直線平行于拋物線的對(duì)稱軸．環(huán)節(jié)四辨析理解深化概念例6如圖3.3-6，已知定點(diǎn)，軸于點(diǎn)，是線段上任意一點(diǎn)，軸于點(diǎn)，于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程．【師生活動(dòng)】教師：求軌跡方程的一般方法是什么？學(xué)生：建系，設(shè)點(diǎn)，找點(diǎn)滿足的關(guān)系.學(xué)生解答：解：設(shè)點(diǎn)，，其中，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．由題意，直線的方程為①因?yàn)辄c(diǎn)在上，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入①，得，②所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足②．直線的方程為③因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以點(diǎn)的坐標(biāo)滿足③．將②代入③，消去，得，即點(diǎn)的軌跡方程．追問(wèn)2問(wèn)題2中，若設(shè)點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為A，求點(diǎn)P的軌跡方程，其軌跡是什么？你能在生活中找到實(shí)際例子嗎？學(xué)生回答：軌跡方程為x2=-a【師生活動(dòng)】教師展示問(wèn)題，待學(xué)生回答問(wèn)題后，用網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板演示點(diǎn)P的軌跡，最后讓學(xué)生根據(jù)直觀軌跡圖像聯(lián)想到生活中的實(shí)例.網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板動(dòng)畫(huà)演示地址：/resource_web/course/#/641692【設(shè)計(jì)意圖】師生活動(dòng)目的是復(fù)習(xí)求軌跡方程的方法，提醒學(xué)生解題方向;追問(wèn)2目的是把拋物線聯(lián)系到實(shí)際生活中，借助網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示更加直觀貼切.環(huán)節(jié)五概念應(yīng)用，鞏固內(nèi)化例6中，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則方程．對(duì)應(yīng)的軌跡是常見(jiàn)的拋物拱(圖3.3-7)．拋物拱在現(xiàn)實(shí)中有許多原型，如橋拱(圖3.3-8)、衛(wèi)星接收天線等，拋擲出的鉛球在空中劃過(guò)的軌跡也是拋物拱的一部分．教師提出問(wèn)題，學(xué)生思考：(1)解決拋物線的綜合問(wèn)題時(shí)，一般的基本解題思路是什么？，(2)生活中還有哪些事物與拋物線有關(guān)？師生活動(dòng)：學(xué)生思考、小組談?wù)?，推選代表發(fā)言.教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想進(jìn)行小結(jié)，并對(duì)學(xué)生回答情況進(jìn)行評(píng)價(jià)和補(bǔ)充.環(huán)節(jié)六歸納總結(jié),反思提升問(wèn)題7請(qǐng)同學(xué)們回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容,并回答下列問(wèn)題：1.本節(jié)課學(xué)習(xí)的概念有哪些？2.在解決問(wèn)題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？1．知識(shí)清單：(1)直線和拋物線的位置關(guān)系．(2)拋物線中的弦長(zhǎng)問(wèn)題．(3)中點(diǎn)弦問(wèn)題．2．方法歸納：直接法、定義法、代數(shù)法．3．常見(jiàn)誤區(qū)：軌跡方程的等價(jià)性；數(shù)學(xué)運(yùn)算的失誤．環(huán)節(jié)七 目標(biāo)檢測(cè)，作業(yè)布置完成教材：第138頁(yè)1-5題；練習(xí)（第138頁(yè)）1．求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)為；（2）關(guān)于軸對(duì)稱，與直線相交所得線段的長(zhǎng)為12；（3）關(guān)于軸對(duì)稱，以焦點(diǎn)和準(zhǔn)線上的兩點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是邊長(zhǎng)為的等邊三角形．1．解析：（1）由題意知，可設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為，，準(zhǔn)線方程為，又∵焦點(diǎn)關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)為，，，∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，因?yàn)橹本€與拋物線相交所得線段的長(zhǎng)為12，所以點(diǎn)在拋物線上，代入得：，解得：，所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．（3）如圖所示，當(dāng)焦點(diǎn)在軸正半軸時(shí)，設(shè)方程為．為正三角形，且，則，∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．同理可求當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在軸的負(fù)半軸時(shí)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．2．點(diǎn)在拋物線上，為焦點(diǎn)，直線與準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，求．2．解析：因點(diǎn)在拋物線上，則，即，而焦點(diǎn)，直線，即，而拋物線的準(zhǔn)線為，由，得點(diǎn)，，所以．3．設(shè)拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離為4，點(diǎn)到軸的距離為，求拋物線的方程和點(diǎn)的坐標(biāo)．3．解析：拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，由已知結(jié)合拋物線定義得，又點(diǎn)到軸的距離為，于是得點(diǎn)，而點(diǎn)在拋物線上，從而有，整理得，而，解得，所以拋物線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．4．兩條直線和分別與拋物線相交于不同于原點(diǎn)的，兩點(diǎn)，為何值時(shí)，直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)?4．解析：直線和斜率互為相反數(shù)，且都過(guò)原點(diǎn)，則兩直線關(guān)于軸對(duì)稱，又拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則，兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，由可得，即，則，要使直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，則，解得，所以當(dāng)時(shí)，直線AB經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．5．已知圓心在軸上移動(dòng)的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與軸、軸分別交于，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程．5．解析：因圓心在軸上移動(dòng)，且該圓過(guò)點(diǎn)和，則線段是圓的直徑，圓心，而點(diǎn)在圓上，則，即，化簡(jiǎn)整理得，所以點(diǎn)的軌跡方程．習(xí)題3.3（第138頁(yè)）1．求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程：（1）；（2）；（3）；（4）．1．解析：（1）焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為；（2）焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為；（3）焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為；（4）焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為．2．填空題．（1）準(zhǔn)線方程為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是；（2）拋物線上與焦點(diǎn)的距離等于6的點(diǎn)的坐標(biāo)是．2．解析：（1）；（2）拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為直線．設(shè)是到焦點(diǎn)距離等于6的點(diǎn)，由拋物線定義知，，解得，此時(shí)，，即點(diǎn)的坐標(biāo)為或．3．拋物線上一點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離，求點(diǎn)的坐標(biāo)．3．解析：設(shè)是拋物線上滿足條件的點(diǎn)，由題意知，焦點(diǎn)為準(zhǔn)線方程為．因?yàn)?，由拋物線定義知，，解得，將代入，得，因此，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．4．根據(jù)下列條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并畫(huà)出圖形：（1）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是軸，并且頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離等于6；（2）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是軸，并經(jīng)過(guò)點(diǎn)．4．解析：（1）∵拋物線的焦點(diǎn)可能在軸的正半軸，也可能在軸的負(fù)半軸，不妨設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意，得即，∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．圖形如圖所示．(2)設(shè)拋物線的方程為，把點(diǎn)代入得，解得，∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．圖形如圖所示．5．如圖，是拋物線上的一點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，以為始邊、為終邊的角，求．5．解析：（解法一）由拋物線的方程可知，焦點(diǎn)的坐標(biāo)為．因?yàn)?，所以線段所在直線的斜率，因此直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，得，消去，得，解得，，所以，．由題圖知不合題意，舍去，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．因此．（解法二）拋物線的準(zhǔn)線為，過(guò)作垂直于直線，垂足為，作于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，如圖：則軸，即，四邊形是矩形，中，，由拋物線定義知，，而，，則，解得．（解法三）．6．如圖，直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，求證：．6．證明：將代入中，得，即，解得，，則，，所以．所以．(方法2)同方法1得方程．設(shè)，，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可知，．因?yàn)?，，所以所以，所以?．如圖，吊車梁的魚(yú)腹部分AOB是拋物線的一段，寬為7m，高為0．7m．根據(jù)圖中的坐標(biāo)系，求這條拋物線的方程．7．解：設(shè)所求拋物線的方程為，依題意，知點(diǎn)在拋物線上，代入方程，得，解得，∴所求拋物線的方程為．8．圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在時(shí)，拱頂離水面2m，水面寬4m．水面下降1m后，水面寬多少?(精確到0.1m)8．解：在拋物線形拱橋上，以拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平方向?yàn)檩S，豎直方向?yàn)檩S，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖．設(shè)該拋物線的方程為．∵拱頂離水面2m，水面寬4m，∴點(diǎn)在拋物線上，∴，解得，∴拋物線的方程為．當(dāng)水面下降1m時(shí)，，代入，得，即．這時(shí)水面寬為．9．從拋物線上各點(diǎn)向軸作垂線段，求垂線段的中點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明它是什么曲線．9．解析：如圖，設(shè)是拋物線上的任一點(diǎn)，軸，垂足為，則，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，即，因?yàn)樵趻佄锞€上，所以，即．即垂線段中點(diǎn)的軌跡方程為，其軌跡是焦點(diǎn)坐標(biāo)為，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線．10．已知等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，求這個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)．10．解析：由對(duì)稱性可設(shè)等邊三角形的另兩個(gè)頂點(diǎn)為，，依題意，得．于是有，即，解得或．顯然不合題意，由，得，即，．所以等邊三角形的邊長(zhǎng)為．11．已知，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，直線，相交于點(diǎn)，且直線的斜率與直線的斜率的差是2，求點(diǎn)的軌跡方程．11．解析：設(shè)，則，整理，得．動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是．12．已知拋物線的方程為，直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，討論直線與拋物線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，并回答下列問(wèn)題：（1）畫(huà)出圖形表示直線與拋物線的各種位置關(guān)系，從圖中你發(fā)現(xiàn)直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)是什么情況?（2）與直線的方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)與公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是什么關(guān)系?12．解析：（1）如圖所示．直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線與拋物線相切或直線與拋物線相交于一個(gè)公共點(diǎn)（此時(shí)直線與軸平行）．（2）直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為，方程為，即，由，消去得：，時(shí)，直線的方程為，，方程組只有一個(gè)解，由圖知直線與拋物線相交，只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線的斜率為0；時(shí)，，當(dāng)，即或時(shí)，方程組有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)解，由圖知直線與拋物線相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線的斜率分別為；當(dāng)，即時(shí)，方程組有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，由圖知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，直線的斜率；當(dāng)，即時(shí)，方程組沒(méi)有實(shí)數(shù)解，由圖知直線與拋物線相離，沒(méi)有公共點(diǎn)，直線的斜率；直線的斜率不存在時(shí)，的方程為，顯然方程組沒(méi)有實(shí)數(shù)解，由圖知直線與拋物線相離，沒(méi)有公共點(diǎn)，直線的斜率不存在；所以拋物線與直線的方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)與拋物線與直線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)相等．13．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)(不同于拋物線的頂點(diǎn))反射，證明反射光線平行于拋物線的對(duì)稱軸．13．解析：如圖，設(shè)直線與拋物線有唯一公共點(diǎn)，從焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)反射，反射光線為，將代入，得．整理得關(guān)于的方程．于是即．可得點(diǎn)的坐標(biāo)為．過(guò)點(diǎn)作直線垂直于，與軸交于點(diǎn)，則直線的方程為，可得，又，得，，所以，因此．由于光線的入射角等于反射角，所以，因此，于是軸．所以反射光線平行于拋物線的對(duì)稱軸．復(fù)習(xí)參考題3（第145頁(yè)）1．如圖，我國(guó)發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道，是以地心（地球的中心）為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓．已知它的近地點(diǎn)（離地面最近的點(diǎn)）A距地面439km，遠(yuǎn)地點(diǎn)（離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）B距地面2384km，并且，A，B在同一直線上，地球半徑約為6371km．求：（1）衛(wèi)星運(yùn)行的軌道方程（精確到1km）；（2）衛(wèi)星軌道的離心率．1．【答案】（1）；（2）【解析】根據(jù)題意，以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)衛(wèi)星運(yùn)行的軌道的橢圓方程為，則由題知，解得，所以，由于，所以所求橢圓方程為．（2）由（1）得，故此時(shí)衛(wèi)星軌道的離心率．2．選擇題（1）曲線與曲線的A．長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等 B．短軸長(zhǎng)相等 C．離心率相等 D．焦距相等（2）與圓及圓都外切的圓的圓心在（）A．一個(gè)橢圓上 B．雙曲線的一支上C．一條拋物線 D．一個(gè)圓上2．【答案】（1）D（2）B【解析】（1）曲線表示焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，短軸長(zhǎng)為6，離心率為，焦距為8．曲線表示焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，離心率為，焦距為8．對(duì)照選項(xiàng)，則D正確．（2）設(shè)動(dòng)圓的圓心為，半徑為，而圓的圓心為，半徑為1；圓，即的圓心為，半徑為2．依題意得，，則，所以點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支．故選：B．3．當(dāng)從0到變化時(shí)，方程表示的曲線怎樣變化？3．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，曲線即，表示兩條直線；（2）當(dāng)時(shí)，，曲線，表示圓；（3）當(dāng)時(shí)，，曲線表示橢圓；（4）當(dāng)時(shí)，，曲線表示雙曲線．4．如果直線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)，求的取值范圍．4．【答案】或【解析】直線方程與雙曲線方程聯(lián)立：得：，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，直線與漸近線平行，有一個(gè)公共點(diǎn)，舍去；當(dāng)時(shí)，，即或，無(wú)公共點(diǎn)．綜上所述：或．5．設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)拋物線上一點(diǎn)且垂直于軸的直線與軸交于點(diǎn)．求證：．5．【解析】設(shè)拋物線方程為，則焦點(diǎn)為，聯(lián)立解得，則，，，設(shè)，則，且，，，則．6．已知等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于拋物線的焦點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，求這個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)．6．【解析】因?yàn)閽佄锞€關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于拋物線的焦點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)，在拋物線上，所以兩個(gè)頂點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，所以設(shè)，，由于拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以等邊三角形的邊長(zhǎng)為，高為，所以，解方程得，所以等邊三角形的邊長(zhǎng)為．解法二：因?yàn)閽佄锞€關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于拋物線的焦點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)，在拋物線上，設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為，則，將點(diǎn)坐標(biāo)代入，得，配方，得，，所以等邊三角形的邊長(zhǎng)為．7．已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，且在軸上方，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線斜率為，求的面積．7．【解析】橢圓化成標(biāo)準(zhǔn)形式為．，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，，，設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，則，且消去，得，，．當(dāng)時(shí)，，不滿足，舍去．由，得．的面積．8．從橢圓上一點(diǎn)向軸作垂線，垂足恰好為左焦點(diǎn)，是橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)，是橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)，且，，求此橢圓方程．8．【解析】由橢圓方程可知：，，設(shè)橢圓焦點(diǎn)，又，則，，，，整理可得：，又，，，，，此橢圓的方程為：．9．已知點(diǎn)，的坐標(biāo)分別是，．直線，相交于的，且它們的斜率之和是2，求點(diǎn)的軌跡方程．9．【解析】設(shè)，，的斜率存在，，又，，∴由，得：，整理得：，∴點(diǎn)的軌跡方程為：．10．如圖，已知直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且，交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的值．10．【解析】，，，，則直線的方程為：，即，設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，聯(lián)立，消得：，，，，．11．已知的兩個(gè)頂點(diǎn)，的坐標(biāo)分別是，，且，所在直線的斜率之積等于，試探求頂點(diǎn)的軌跡．11．【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由已知得：直線的斜率，直線的斜率，由題意知，整理得，當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，并除去兩點(diǎn)，；當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，并除去兩點(diǎn)，；當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)的軌跡是圓，并除去兩點(diǎn)，；當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，并除去兩點(diǎn)，．12．在拋物線上求一點(diǎn)，使得點(diǎn)到直線的距離最短．12．【解析】根據(jù)題意設(shè)，所以點(diǎn)到直線的距離為：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最短，為．13．當(dāng)變化時(shí)，指出方程表示的曲線的形狀．13．【解析】對(duì)于方程，當(dāng)時(shí)，方程為，即，表示軸；當(dāng)時(shí)，方程為，即，表示軸；當(dāng)且時(shí)，方程為，若，即時(shí)，方程為圓，，表示以原點(diǎn)為圓心的單位圓；若，即或時(shí)，方程表示雙曲線；若且時(shí)，即且時(shí)，方程表示橢圓；綜上，當(dāng)時(shí)，表示軸；當(dāng)時(shí)，表示軸；時(shí)，方程表示以原點(diǎn)為圓心的單位