小學數(shù)學最易混淆的基礎概念全套

小學數(shù)學最易混淆的基礎概念全套1最小的一位數(shù)是0還是1？這個問題在很長一段時間存在爭論。先來看看《九年義務教育六年制小學數(shù)學第八冊教師教學用書》第98頁“關于幾位數(shù)”的敘述：“通常在自然數(shù)里，含有幾個數(shù)位的數(shù)，叫做幾位數(shù)。例如“2”是含有一個數(shù)位的數(shù)，叫做一位數(shù)；“30”是含有兩個數(shù)位的數(shù)，叫做兩位數(shù)；“405”是含有三個數(shù)位的數(shù)，叫做三位數(shù)……但是要注意：一般不說0是幾位數(shù)。再來聽聽專家的說明：在自然數(shù)的理論中，對“幾位數(shù)”是這樣定義的，“只用一個有效數(shù)字表示的數(shù)，叫做一位數(shù)；只用兩個數(shù)字（其中左邊第一個數(shù)字為有效數(shù)字）表示的數(shù)，叫做兩位數(shù)……所以，在一個數(shù)中，數(shù)字的個數(shù)是幾（其中最左邊第一個數(shù)字為有效數(shù)字），這個數(shù)就叫幾位數(shù)。于此，所謂最大的幾位數(shù)，最小的幾位數(shù)，通常是在非零自然數(shù)的范圍研究。所以一位數(shù)共有九個，即：１、２、３、４、５、６、７、８、９。０不是最小的一位數(shù)。2為什么0也是自然數(shù)?課標教材對“０也是自然數(shù)”的規(guī)定，顛覆了人們對自然數(shù)的傳統(tǒng)認識。于此，中央教科所教材編寫組主編陳昌鑄如是說：國際上對自然數(shù)的定義一直都有不同的說法，以法國為代表的多數(shù)國家都認為自然數(shù)從0開始，我國教材以前一直都是遵循前蘇聯(lián)的說法，認為0不是自然數(shù)。2000年教育部主持召開教材改編會議時，已明確提出將0歸為自然數(shù)。這次改版也是與國際慣例接軌。從教學實踐層面來說，將“０”規(guī)定為“自然數(shù)”也有著積極的現(xiàn)實意義。?“0”作為自然數(shù)的“好處”眾所周知，數(shù)學中的集合被分為有限集合和無限集合兩類。有限集合是含有有限個元素的集合，像某班學生的集合。無限集合是含有的元素個數(shù)是非有限的集合，如分數(shù)的集合。因為自然數(shù)具有“基數(shù)”的性質，因此用自然數(shù)來描述有限集合中元素的個數(shù)是很自然的。但在有限集合中，有一個最主要也是最基本的集合，叫空集｛｝，元素個數(shù)為0。如果不把0作為自然數(shù)，那么空集的元素的個數(shù)就無法用自然數(shù)來表示了。如果把“0”作為一個自然數(shù)，那么自然數(shù)就可以完成刻畫“有限集合元素個數(shù)”的任務了。于此，從“自然數(shù)的基數(shù)性”這個角度，我們看到了把“0”作為自然數(shù)的好處。?把“0”作為自然數(shù)，不會影響自然數(shù)的“運算功能”“0”加入傳統(tǒng)的自然數(shù)集合，所有的“運算規(guī)則”依舊保持，如新自然數(shù)集合{0,1,2,…,ｎ,…}中的任何兩個自然數(shù)都可以進行加法和乘法運算，而運算結果仍然是自然數(shù)。同時，加法、乘法運算的結合律和交換律，以及乘法的分配律也不會受到影響。所以，“0”加盟到自然數(shù)集合實屬理所當然，而不僅僅是人為的“規(guī)定”。它讓我們更好地理解自然數(shù)和它的功能，同時也讓我們意識到教學時不僅要知道和記住數(shù)學的“定義”和“規(guī)定”，還應該思考“規(guī)定”背后的數(shù)學涵義。3什么是有效數(shù)字一無效數(shù)字？有效數(shù)字是對一個數(shù)的近似值的精確程度而提出的。同一個近似數(shù)如果在取舍時，保留的有效數(shù)字多，就比保留的有效數(shù)字少更精確。一般說，一個近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位。這時，從左邊第一個非零的數(shù)字起，到那一位上的所有數(shù)字都叫做這個數(shù)的有效數(shù)字。如近似數(shù)0．００３０９有三個有效數(shù)字：３、０、９；０．５２０也有三個有效字：５、２、０。而０．００３０９中左邊的三個零，０．５２０中左邊的一個零，都叫做無效數(shù)字。4加法與減法、乘法與除法是否互為逆運算？“加法與減法互為逆運算、乘法與除法互為逆運算”這似乎成了許多老師的口頭禪，這其實是一種誤解。例如：加法“２＋３＝５”，其逆算為“５－２＝３”，“５－３＝２”。故此，加法的逆運算只有減法；減法“５－２＝３”，其逆算有“５－３＝２”，“２＋３＝５”。故此，減法的逆運算有減法和加法兩種運算。綜上可知，只能說減法是加法的逆運算，而不能說加法與減法互為逆運算。同理，也只能說除法是乘法的逆運算，而不能說乘法與除法互為逆運算。5為什么不寫“倍”？在學習“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍”應用題時，很多小朋友會自然提出這樣的疑問，如：“飼養(yǎng)小組養(yǎng)了12只小雞，3只小鴨，小雞的只數(shù)是小鴨的幾倍？”為什么“12÷3＝4”的后面不寫“倍”呢？我們首先應該肯定學生的質疑（學生有較強的解題規(guī)范意識）。但同時又該對學生說明：在解答應用題時，得數(shù)后面一般要寫上的是數(shù)的單位名稱如：12只的“只”；8克的“克”。一個數(shù)只有帶上單位名稱，才能準確地表示出一個物體的多少、大小、長短、輕重等等。但是，“倍”不是單位名稱，它表示兩個數(shù)量之間的一種關系。例如，上面的計算結果“4”，表示12里面有4個3，就是12只小雞是3只小鴨的4倍。所以，在算式里不寫“倍”，以免“倍”與單位名稱發(fā)生混淆。6“倍”和“倍數(shù)”的區(qū)別在第一學段我們學習了“倍的初步認識”，認識了概念“倍”，而在第二學段,我們又學習到“倍數(shù)”這個概念。那么，“倍”和“倍數(shù)”這兩個詞到底是不是一回事呢？這兩個詞之間有什么區(qū)別呢？“倍”指的是數(shù)量關系，它建立在乘除法概念的基礎上。例如：男生有10人，女生有30人，因為“10×3=30”或者“30÷10=3”，我們就說，女生人數(shù)（30）是男生人數(shù)（10）的3倍，也可以說，男生人數(shù)（10）的3倍等于女生人數(shù)（30）。勿寧說，“倍”其實表示的是兩個數(shù)的商（這個商可以是整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)等各種表現(xiàn)形式）。“倍數(shù)”指的是數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系，它建立在整除概念的基礎上。例如，30能被6整除，30就是6的倍數(shù)。可見，“倍數(shù)”是不能獨立存在的（具有特定的指向性），而且對數(shù)的形式有特別的要求（必須為整數(shù)）。同時我們又看到，30也是6的5倍，因為6×5＝30，“6×5”表示6的5倍。所以從這個角度來說，“倍”的涵義應寬泛于“倍數(shù)”，后者可以視為前者在特定情形下的一種表現(xiàn)。7時和小時有什么不同？怎樣使用時和小時？首先應該明確的是，〔小〕時并非國際時間單位。在1984年國務院發(fā)布的《關于我國統(tǒng)一法定計量單位的命令》中，把秒作為時間的基本單位，把非國際單位制的時間單位天（日）、〔小〕時、分作為輔助單位。（注：〔〕里的字，在不致混淆的情況下，可以省略）。這樣，在我國范圍內使用的法定時間單位就有：天（日）、〔小〕時、分、秒。由此，“時”既可以表示時間，又可以表示時刻。由于“時間”和“時刻”這兩個不同的概念容易產生混淆，在實際應用時間單位“時”時，現(xiàn)行教材作了如下處理：?當列式計算出時間的長短時，在得數(shù)的括號里寫上時間的單位“時”。例如：超市營業(yè)時間：21-9=12（時）。（此處可省略“小”字）?在用語言表述時間的長短時，為避免“時間”和“時刻”這兩個概念產生混淆，則在“時”的前面加上一個“小”字。例如：超市營業(yè)時間12小時。?在用語言表示時刻時，一律不得出現(xiàn)“小時”字樣。例如：公園每天早上7時30分開園（而非7小時30分）。8“改寫”和“省略”是一樣的嗎？從形式上看，此例將“改寫”與“省略”兩種對數(shù)的變化置于了同一個要求之下（即改寫成用“億”作單位的數(shù)）。我們真希望編者不是有意而為之，因為“改寫”與“省略”其本質是完全不同的。表現(xiàn)在：?目的不同?！案膶憽钡哪康氖欠奖銓Υ髷?shù)的讀寫，而“省略”則是取數(shù)的近似值。?方法不同。此處的“改寫”是去掉“億”位后面的0，再寫上一個“億”字，而“省略”除了要找準“億”位，還要考慮被省略的尾數(shù)的最高位是幾，然后用四舍五入法求出近似數(shù)。?符號不同?！案膶憽敝桓淖兞藬?shù)的表現(xiàn)形式，大小并未改變，所以用“=”號連接；而“省略”既改變了數(shù)的形式，又改變的數(shù)的大小，所以用“≈”連接。9“路程”就是“距離”嗎？這兩個詞在許多老師的教學語言中是替代使用的，其實不然?！奥烦獭笔侵笍囊粋€地點到另一個地點所經(jīng)過路線的長度；而“距離”則指連接兩個地點而成的直線段的長度?！奥烦獭彼?jīng)過的路線可以是曲形線，也可以是直形線，還可能是折形線。一般情況下，兩個地點之間的“路程”要大于它們之間的“距離”，只有當兩個地點之間的路線為直線時，路程和距離才相等。雖然老師們都知道這個等式是成立的,但我們的學生卻沒有相應的知識儲備,怎樣繞開”極限”尋找能為小學生所理解和接受的證明途徑。10最大的分數(shù)單位是1/2還是1/1？先看看分數(shù)單位的含義：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份的數(shù)。顯然，在分數(shù)意義中，關鍵是“分”，沒有“分”，就沒有“份”。因為把單位“1”平均分成的最少份數(shù)是2份（如果是1份，也就無所謂“分”），由此得到的分數(shù)單位是1/2，所以1/2是最大的分數(shù)單位。盡管就廣義的分數(shù)來說，1/1也可視作分數(shù)，但它已不是我們通常意義上認識的與整數(shù)對立的那種分數(shù)（在平均分的基礎上所產生），故此，最大的分數(shù)單位應以1/2為宜。11像0/3、0.2/3、3/0.2這樣的數(shù)是不是分數(shù)?分數(shù)的定義明確告訴我們:把單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數(shù),叫分數(shù)。其中，分成的份數(shù)叫做分數(shù)的分母，要表示的份數(shù)叫做分子。由此可知，分數(shù)的分子和分母都應該是非零自然數(shù)。從這個意義來說，以上這幾個數(shù)徒具分數(shù)的形式，而不具分數(shù)的實質，因此都不應該視為分數(shù)。進而，在考查學生對“分數(shù)”涵義的理解時，應著眼于通常意義上的分數(shù)，將上述這些變異形式納入思考的范圍，其本身對訓練學生的思維并無多大實際意義，而且會令諸如“分數(shù)都大于0”等命題的真與假陷入尷尬。12比6多1/2的數(shù)應該是61/2還是6×（11/2）要弄清這個問題，先得弄清“6”的性質。顯然，此處的“6”其實質是一個“數(shù)”，而非一個“量”，求“比6多1/2的數(shù)”應屬于“求比一個數(shù)多幾的數(shù)”的范疇，問題中的“多幾”都是確定的具體數(shù)，這里的“幾”既可以是整數(shù)，也可以是小數(shù)或分數(shù)。所以，這里的“1/2”是指在6的基礎上“多1/2”這個“1/2”數(shù)的本身，而非“6的1/2”。所以，“比6多1/2的數(shù)”應該是“61/2”。當然，如果題目確定為“比6多它的1/2的數(shù)”，那答案則屬于后者。13計算出勤率可不可以不乘100%？先來看看新人教版、北師大版和蘇教版三個不同版本的教材對類似問題的理解。同一課程標準下，不同的教材給出了不同的理解，這給執(zhí)教者帶來了困惑：到底可不可以不乘100%呢？筆者以為，求“××率”其結果必定為百分率。以出勤率為例，就是求實際出勤人數(shù)占應出勤人數(shù)的百分之幾。如果公式只寫成：出勤率=實際出勤人數(shù)／應出勤人數(shù)，我們說這只是分數(shù)形式（也即是求實際出勤人數(shù)占應出勤人數(shù)的“幾分之幾”），并不是百分數(shù)。因此，在公式后面乘上“１００％”，既可以使計算數(shù)值大小不變，又能保證結果形式滿足百分數(shù)的要求。因此，計算出勤率、發(fā)芽率、出粉率、合格率……的公式中，都應乘“１００％”。同時建議各版本教材的編委統(tǒng)一思想，以免給一線教師造成認識上的混亂。14小于９０度的角都是銳角嗎？根據(jù)課標教材定義：小于９０度的角叫做銳角。答案似乎是肯定的，但由此又產生一個新的問題：０度的角是什么角，也是銳角嗎？事實是，銳角定義有一個隱含的前提，就是小學數(shù)學中所討論的角都是正角。習慣上，我們把射線按逆時針方向旋轉而得到的角叫做正角，射線按順時針方向旋轉而得到的角叫做負角，當一條射線沒有做任何旋轉時，就把它看成零角。如果將角的概念推廣到任意大小的角，就應分為正角、負角、和零角。由此，嚴格意義上的銳角定義應是：大于０度而小于９０度的角叫做銳角。15足球比賽記分牌上的3：2是數(shù)學中的比嗎？我