2024年中考數學常見幾何模型全歸納之模型解讀與提分精練（全國通用）：專題09 三角形中的重要模型-弦圖模型、勾股樹模型（原卷版）

專題09三角形中的重要模型-弦圖模型、勾股樹模型趙爽弦圖分為內弦圖與外弦圖，是中國古代數學家趙爽發(fā)現，既可以證明勾股定理，也可以以此命題，相關的題目有一定的難度，但解題方法也常常是不唯一的。弦圖之美，美在簡約，然不失深厚，經典而久遠，被譽為“中國數學界的圖騰”。弦圖蘊含的割補思想，數形結合思想、圖形變換思想更是課堂教學中數學思想滲透的絕佳載體。一個弦圖集合了初中平面幾何線與形，位置與數量，方法與思想，小身板，大能量，它就是數學教育里的不老神話。廣受數學教師和數學愛好者研究，近年來也成為了各地中考的熱點問題。模型1、弦圖模型（1）內弦圖模型：如圖1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于點E，BF⊥CG于點F，CG⊥DH于點G，DH⊥AE于點H，則有結論：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH；S正方形ABCD=4S△EAB+S正方形EFGH。圖1圖2圖3（2）外弦圖模型：如圖2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分別是正方形ABCD各邊上的點，且四邊形EFGH是正方形，則有結論：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH；S正方形ABCD=4S△EAB+S正方形EFGH。（3）內外組合型弦圖模型：如圖3，2S正方形EFGH=S正方形ABCD+S正方形PQMN.例1．（2023秋·湖北·九年級校聯考開學考試）如圖，2002年8月在北京召開的國際數學家大會會標其原型是我國古代數學家趙爽的《勾股弦圖》，它是由四個全等的直角三角形拼接而成如．如果大正方形的面積是16，直角三角形的直角邊長分別為a，b，且，那么圖中小正方形的面積是（

）A．2 B．3 C．4 D．5例2．（2022·安徽安慶·八年級期末）漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，構造了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，如圖，大正方形由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成，若，，則的面積為（）A．24 B．6 C． D．例3．（2023·山西八年級期末）如圖，圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的，若，將四個直角三角形中的邊長為的直角邊分別向外延長一倍，得到圖2所示的“數學風車”，則這個風車的外圍周長是（）A． B． C． D．例4．（2022·杭州九年級月考）我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”．如圖是由弦圖變化得到，它是用八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝12，則下列關于S1、S2、S3的說法正確的是（）A．S1＝2 B．S2＝3 C．S3＝6 D．S1+S3＝8例5．（2023·廣東·九年級專題練習）公元三世紀，我國漢代數學家趙爽在注解《周髀算經》題時給出了“趙爽弦圖”．將兩個“趙爽弦圖”（如圖1）中的兩個正方形和八個直角三角形按圖2方式擺放圍成正方形，記空隙處正方形，正方形的面積分別為，，則下列四個判斷：①②；③若，則；④若點A是線段的中點，則，其中正確的序號是

模型2.勾股樹模型例1．（2022·福建·八年級期末）如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，如果正方形、、、的邊長分別為3，4，1，2．則最大的正方形的面積是___．例2．（2022·浙江·樂清市八年級期中）如圖，在四邊形ABCD中，，分別以AB，BC，CD，DA為一邊向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲，S乙，S丙，S丁來表示它們的面積，那么下列結論正確的是（

）A．B．C．D．例3．（2022·河南八年級期末）如圖，正方形的邊長為2，其面積標記為，以為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標記為，…按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則的值為（）A． B． C． D．例4．（2023春·山東菏澤·八年級?？茧A段練習）“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復這一過程所畫出來的圖形，因為重復數次后的形狀好似一棵樹而得名．假設如圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，如果第一個正方形面積為1，則第2023代勾股樹中所有正方形的面積為．

例5．（2023·浙江八年級期中）如圖，以的三邊為直徑，分別向外作半圓，構成的兩個月牙形面積分別為、，的面積．若，，則的值為________．例6．（2022春·浙江溫州·九年級校考開學考試）如圖1，是數學家畢達哥拉斯根據勾股定理所畫的“勾股樹”．如圖2，在Rt△ABC中，，以其三邊為邊分別向外作正方形，延長EC，DB分別交GF，AH于點N，K，連接KN交AG于點M，若，則為（

）A． B． C． D．例7．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考二模）如圖1，畢達哥拉斯樹，也叫“勾股樹”，是由畢達哥拉斯根據勾股定理所畫出來的一個可以無限重復的樹形圖形．在圖2中，，分別以的三條邊為邊向外作正方形，連接，、，交于點Q，若，，則四邊形的面積是．

例8．（2023秋·浙江·八年級專題練習）【背景閱讀】勾股定理是人類最偉大的十個科學發(fā)現之一，西方國家稱之為畢達哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數學家趙爽為了驗證勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．【實踐操作】（1）請敘述勾股定理；（2）驗證勾股定理，人們已經找到了400多種方法，請從下列幾種常見的驗證方法中任選一種來驗證該定理：（以下圖形均滿足驗證勾股定理所需的條件）【探索發(fā)現】（3）如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關系滿足的有個；（4）如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設圖中兩個月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為、，直角三角形面積為，請判斷、、的關系并說明理由．課后專項訓練1．（2022·云南九年級一模）如圖是按照一定規(guī)律“生長”的“勾股樹”：經觀察可以發(fā)現：圖（1）中共有3個正方形，圖（2）在圖（1）的基礎上增加了4個正方形，圖（3）在圖（2）的基礎上增加了8個正方形，……，照此規(guī)律“生長”下去，圖（6）應在圖（5）的基礎上增加的正方形的個數是（）A．12 B．32 C．64 D．1282．（2022·浙江初三期中）勾股定理是人類最偉大的科學發(fā)現之一，在我國古算書《周髀算經》中早有記載．如圖，以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形，再把較小的兩張正方形紙片按圖的方式放置在最大正方形內．若圖中陰影部分的面積為，且，則的長為（）圖1圖2A． B． C． D．3．（2023·浙江·杭州八年級階段練習）如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分別以△ABC的三邊為邊作正方形ABDE，正方形BCFG，正方形ACHI，AI交CF于點J．三個正方形沒有重疊的部分為陰影部分，設四邊形BGFJ的面積為S1，四邊形CHIJ的面積為S2，若S1﹣S2＝12，S△ABC＝4，則正方形BCFG的面積為（）A．16 B．18 C．20 D．224．（2023春·湖北黃岡·八年級統(tǒng)考期中）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數學的驕傲，設直角三角形較長直角邊長為，較短直角邊長為．若，大正方形的面積為，則的長為（

）

A． B． C． D．5.（2022·四川成都·模擬預測）勾股定理是人類最偉大的科學發(fā)現之一，在我國古算書《周髀算經》中早有記載．如圖1，以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形，再將較小的兩個正方形分別繞直角三角形斜邊上的兩頂點旋轉得到圖2．則圖2中陰影部分面積等于（

）A．直角三角形的面積 B．最大正方形的面積C．最大正方形與直角三角形的面積和 D．較小兩個正方形重疊部分的面積6．（2023春·廣東潮州·九年級?？计谀┪覈糯鷶祵W家趙爽巧妙地用“弦圖”證明了勾股定理，標志著中國古代的數學成就．如圖所示的“弦圖”，是由四個全等的直角三角形和中間的一個小正方形拼成的一個大正方形．直角三角形的斜邊長為13，一條直角邊長為12，則小正方形的面積的大小為（

）

A．144 B．100 C．49 D．257．（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）大約公元222年我國漢代數學家趙爽為《周髀算經》一書作序時介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”，如圖，四個全等的直角三角形拼成大正方形，中空的部分是小正方形，連接相交于點O，與相交于點P，若，則直角三角形的邊與之比是（

）

A． B． C． D．8．（2023春·江蘇泰州·七年級統(tǒng)考期末）大約在公元222年，趙爽為《周髀算經》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（如圖1）．某數學興趣小組類比“趙爽弦圖”構造出圖2：為等邊三角形，、、圍成的也是等邊三角形．已知點、、分別是、、的中點，若的面積為14，則的面積是（

）

A．1 B．2 C．3 D．49．（2023·河北石家莊·?？级＃┤鐖D1，畢達哥拉斯樹，也叫“勾股樹”，是由畢達哥拉斯根據勾股定理所畫出來的一個可以無限重復的樹形圖形．在圖2中，，分別以的三條邊為邊向外作正方形，連接，，交于點Q．若，，則四邊形的面積是（

）

A． B． C． D．10．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）我國漢代數學家趙爽證明勾股定理時創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”，它是由4個全等的直角三角形和一個小正方形組成．如圖，直角三角形的直角邊長為a、b，斜邊長為c，若，則每個直角三角形的面積為．

11．（2022秋·四川成都·八年級?？计谥校肮垂蓤D”有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣．年希臘發(fā)行了以“勾股圖”為背景的郵票（如圖1），歐幾里得在《幾何原本》中曾對該圖做了深入研究．如圖2，在中，，分別以的三條邊為邊向外作正方形，連接分別與相交于點．若，則的值為.

12．（2022春·安徽合肥·八年級合肥市第四十二中學?？计谥校┤鐖D①，在Rt△ACB中∠ACB=90°，分別以AC、BC、AB為邊，向形外作等邊三角形，所得的等邊三角形的面積分別為S1、S2、S3，請解答以下問題：（1）S1、S2、S3滿足的數量關系是．（2）現將△ABF向上翻折，如圖②，若陰影部分的S甲=6、S乙=5、S丙=4，則=．13．（2023·湖北孝感·統(tǒng)考三模）“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復這一過程所畫出來的圖形，因為重復數次后的形狀好似一棵樹而得名．假設如圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，則第五代勾股樹中正方形的個數為．14．（2022·山東臨沂·統(tǒng)考二模）中國古代的數學家們對于勾股定理的發(fā)現和證明，在世界數學史上具有獨特的貢獻和地位尤其是三國時期的數學家趙爽，不僅最早對勾股定理進行了證明，而且創(chuàng)制了“勾股圓方圖”，開創(chuàng)了“以形證數”的思想方法．在圖中，小正方形ABCD的面積為1，如果把它的各邊分別延長一倍得到正方形A1B1C1D1（如圖1），則正方形的面積為；再把正方形A1B1C1D1的各邊分別延長一倍得到正方形A2B2C2D2（如圖2），如此進行下去，得到的正方形AnBnCnDn的面積為（用含n的式子表示，n為正整數）．15．（2023·浙江臺州·八年級?？计谥校┤鐖D1，是一個封閉的勾股水箱，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分是可盛水的正方形，且相互聯通，已知∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，開始時Ⅲ剛好盛滿水，而Ⅰ，Ⅱ無水．（1）如圖2擺放時，Ⅰ剛好盛滿水，而Ⅱ無水，則Ⅲ中有水部分的面積為；（2）如圖3擺放時，水面剛好經過Ⅲ的中心O（正方形兩條對角線的交點），則Ⅱ中有水部分的面積為．16．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）如圖，是我國漢代的趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的一個大正方形．設圖中，，連接，若與的面積相等，則．

17．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考二模）如圖，四個全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，得到正方形與正方形．連接，若平分，且正方形的面積為2，則正方形的面積為．

18．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）魏朝時期，劉徽利用下圖通過“以盈補虛，出入相補”的方法，即“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類”證明了勾股定理．如圖，四邊形、四邊形和四邊形都是正方形，交于E，若，，則的長為．

19．（2022·寧夏吳忠·統(tǒng)考一模）2002年8月，在北京召開的國際數學家大會會標取材于我國古代數學家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形（如圖1），且大正方形的面積是17，直角三角形的較短直角邊為a，較長直角邊為b．如果將四個全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，則圖2中最大的正方形的面積為31．試求圖1中小正方形的面積是為．20．（2023·山東濟寧·統(tǒng)考二模）勾股定理是人類最偉大的十個科學發(fā)現之一，西方國家稱之為畢達哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．勾股定理內容為：如果直角三角形的兩條直角邊分別為，，斜邊為，那么．

(1)如圖2、3、4，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關系滿足的有______個；(2)如圖5所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設圖中兩個月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為，，直角三角形面積為，請判斷，，的關系并證明；(3)如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復這一過程就可以得到如圖6所示的“勾股樹”．在如圖所示的勾股樹的某部分圖形中，設大正方形的邊長為