專題18 等腰、等邊三角形問題【無答案】

專題18等腰、等邊三角形問題一、等腰三角形1.定義：兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫腰，第三條邊叫底邊，兩腰的夾角叫頂角，底邊和腰的夾角叫底角.2.等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）．性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡稱“三線合一”）．3.等腰三角形的性質(zhì)的作用性質(zhì)1證明同一個三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個重要依據(jù)．性質(zhì)2用來證明線段相等，角相等，垂直關(guān)系等．4.等腰三角形是軸對稱圖形等腰三角形底邊上的高（頂角平分線或底邊上的中線）所在直線是它的對稱軸，通常情況只有一條對稱軸．5.等腰三角形的判定如果一個三角形中有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱“等角對等邊”）.要點詮釋：等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù).等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理.二、等邊三角形1.定義：三邊都相等的三角形叫等邊三角形．2.性質(zhì)性質(zhì)1：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個角都等于60°；性質(zhì)2：等邊三角形是軸對稱圖形，并且有三條對稱軸，分別為三邊的垂直平分線。3.判定（1）三個角都相等的三角形是等邊三角形；（2）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形；（3）有兩個角是60°的三角形是等邊三角形。三、解題方法要領(lǐng)1.等腰（邊）三角形是一個特殊的三角形，具有較多的特殊性質(zhì)，有時幾何圖形中不存在等腰（邊）三角形，可根據(jù)已知條件和圖形特征，適當(dāng)添加輔助線，使之構(gòu)成等腰（邊）三角形，然后利用其定義和有關(guān)性質(zhì)，快捷地證出結(jié)論。2.常用的輔助線有：（1）作頂角的平分線、底邊上的高線、中線。（2）在三角形的中線問題上，我們常將中線延長一倍，這樣添輔助線有助于我們解決有關(guān)中線的問題。3.分類討論是等腰三角形問題中常用的思想方法，在已知等腰三角形的邊和角的情況下求其他三角形的邊或角，要對已知的邊和角進行討論，分類的標(biāo)準(zhǔn)一般是根據(jù)邊是腰還是底來分類?！纠}1】（2020?臨沂）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CD∥AB，則∠BCD＝（）A．40° B．50° C．60° D．70°【對點練習(xí)】如圖所示，點D是△ABC的邊AC上一點（不含端點），AD=BD，則下列結(jié)論正確的是（）A．AC＞BCB．AC=BCC．∠A＞∠ABCD．∠A=∠ABC【例題2】（2020?寧波）△BDE和△FGH是兩個全等的等邊三角形，將它們按如圖的方式放置在等邊三角形ABC內(nèi)．若求五邊形DECHF的周長，則只需知道（）A．△ABC的周長 B．△AFH的周長 C．四邊形FBGH的周長 D．四邊形ADEC的周長【對點練習(xí)】如圖所示，在等邊三角形ABC的邊BC、AC上分別取點D、E，使BD=CE，AD與BE相交于點P．則∠APE的度數(shù)為°．【例題3】（2020?臺州）如圖，已知AB＝AC，AD＝AE，BD和CE相交于點O．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）判斷△BOC的形狀，并說明理由．【對點練習(xí)】如圖，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC與BD交于點O，AC=BD.求證：(1)BC=AD；(2)△OAB是等腰三角形.【對點練習(xí)】已知：在△ABC中，AB=AC，D為AC的中點，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為點E，F(xiàn)，且DE=DF．求證：△ABC是等邊三角形．【對點練習(xí)】如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分線交AB于E，D為垂足，連接EC．（1）求∠ECD的度數(shù)；（2）若CE=5，求BC長．一、選擇題1．（2020?聊城）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，點D是BC邊上任意一點，過點D作DF∥AB交AC于點E，則∠FEC的度數(shù)是（）A．120° B．130° C．145° D．150°2．（2020?南充）如圖，在等腰△ABC中，BD為∠ABC的平分線，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，則CD＝（）A．a(chǎn)+b2 B．a(chǎn)-b2 C．a(chǎn)﹣b D．b3．（2020?徐州）如圖，AB是⊙O的弦，點C在過點B的切線上，OC⊥OA，OC交AB于點P．若∠BPC＝70°，則∠ABC的度數(shù)等于（）A．75° B．70° C．65° D．60°4.已知等邊三角形的邊長為3，點P為等邊三角形內(nèi)任意一點，則點P到三邊的距離之和為（）A．B．C．D．不能確定5.（2019?浙江衢州）“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來的。借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角。這個三等分角儀由兩根有槽的棒OA，OB組成，兩根棒在O點相連并可繞O轉(zhuǎn)動，C點固定，OC=CD=DE，點D，E可在槽中滑動，若∠BDE=75°，則∠CDE的度數(shù)是（

）A.

60°

B.

65°

C.

75°

D.

80°6.（2019?湖南長沙）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分別以點A和點B為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點，作直線MN，交BC于點D，連接AD，則∠CAD的度數(shù)是（）A．20°B．30°C．45° D．60°二、填空題7．（2020?臺州）如圖，等邊三角形紙片ABC的邊長為6，E，F(xiàn)是邊BC上的三等分點．分別過點E，F(xiàn)沿著平行于BA，CA方向各剪一刀，則剪下的△DEF的周長是．8．（2020?牡丹江）如圖，在Rt△ABC中，CA＝CB，M是AB的中點，點D在BM上，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，連接EM．則下列結(jié)論中：①BF＝CE；②∠AEM＝∠DEM；③AE﹣CE=2ME④DE2+DF2＝2DM2；⑤若AE平分∠BAC，則EF：BF=2：1⑥CF?DM＝BM?DE，正確的有．（只填序號）9．如圖所示，D是等邊△ABC的AC邊上的中點，點E在BC的延長線上，DE=DB，△ABC的周長是9，則∠E=°，CE=．10.(2019黑龍江綏化)如圖,在△ABC中,AB＝AC,點D在AC上,且BD＝BC＝AD,則∠A＝______度.三、解答題11．（2020?紹興）問題：如圖，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延長線上取點E，C，作△AEC，使EA＝EC．若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度數(shù)．答案：∠DAC＝45°．思考：（1）如果把以上“問題”中的條件“∠B＝45°”去掉，其余條件不變，那么∠DAC的度數(shù)會改變嗎？說明理由．（2）如果把以上“問題”中的條件“∠B＝45°”去掉，再將“∠BAE＝90°”改為“∠BAE＝n°”，其余條件不變，求∠DAC的度數(shù)．12．（2020?涼山州）如圖，點P、Q分別是等邊△ABC邊AB、BC上的動點（端點除外），點P、點Q以相同的速度，同時從點A、點B出發(fā)．（1）如圖1，連接AQ、CP．