專題09 解直角三角形【有答案】

專題09解直角三角形一選擇題1.（上海浦東新區(qū)一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果BC＝5，AB＝13，那么sinA的值為（）A． B． C． D．【解析】：如圖：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，sinA＝＝．故選：A．2.(上海市楊浦區(qū)一模)在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝2，cosA＝，那么AB的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．【解析】：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝2，又∵cosA＝＝，∴AB＝，故選：B．3.(紹興市一模)若小王沿坡度i＝3：4的斜坡向上行走10m，則他所在的位置比原來的位置升高了（）A．3m B．4m C．6m D．8m【解析】：∵斜坡的坡度i＝3：4，∴正切值為：tanα＝，設(shè)兩直角邊為3x，4x，則（3x）2+（4x）2＝102，解得：x＝2，故3x＝6（m），答：他所在的位置比原來的位置升高了6m．故選：C．4.（上海浦東新區(qū)一模））如圖，傳送帶和地面所成斜坡的坡度為1：3，它把物體從地面點(diǎn)A處送到離地面3米高的B處，則物體從A到B所經(jīng)過的路程為（）A．3米 B．2米 C．米 D．9米【解析】：∵BC：AC＝1：3，∴3：AC＝1：3，∴AC＝9，∴AB＝＝＝3，∴物體從A到B所經(jīng)過的路程為3，故選：A．5.(紹興市一模)如圖，一塊矩形木板ABCD斜靠在墻邊（OC⊥OB，點(diǎn)A，B，C，D，O在同一平面內(nèi)），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，則點(diǎn)A到OC的距離等于（）A．a(chǎn)sinx+bsinx B．a(chǎn)cosx+bcosx C．a(chǎn)sinx+bcosx D．a(chǎn)cosx+bsinx【解析】：作AE⊥OC于點(diǎn)E，作AF⊥OB于點(diǎn)F，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵∠ABC＝∠AEC，∠BCO＝x，∴∠EAB＝x，∴∠FBA＝x，∵AB＝a，AD＝b，∴FO＝FB+BO＝a?cosx+b?sinx，故選：D．6．(沈陽市一模)如圖，在距離鐵軌200米的B處，觀察由南寧開往百色的“和諧號(hào)”動(dòng)車，當(dāng)動(dòng)車車頭在A處時(shí)，恰好位于B處的北偏東60°方向上；10秒鐘后，動(dòng)車車頭到達(dá)C處，恰好位于B處的西北方向上，則這時(shí)段動(dòng)車的平均速度是（）米/秒．A．20（+1） B．20（﹣1） C．200 D．300【解析】：作BD⊥AC于點(diǎn)D．∵在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，∴AD＝BD?tan∠ABD＝200（米），同理，CD＝BD＝200（米）．則AC＝200+200（米）．則平均速度是＝20（+1）米/秒．故選：A．7.(濟(jì)南市槐蔭區(qū)一模)如圖，某建筑物的頂部有一塊標(biāo)識(shí)牌CD，小明在斜坡上B處測(cè)得標(biāo)識(shí)牌頂部C的仰角為45°，沿斜坡走下來在地面A處測(cè)得標(biāo)識(shí)牌底部D的仰角為60°，已知斜坡AB的坡角為30°，AB＝AE＝10米．則標(biāo)識(shí)牌CD的高度是（）米．A．15﹣5 B．20﹣10 C．10﹣5 D．5﹣5【解析】：過點(diǎn)B作BM⊥EA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN⊥CE于點(diǎn)N，如圖所示．在Rt△ABE中，AB＝10米，∠BAM＝30°，∴AM＝AB?cos∠BAM＝5米，BM＝AB?sin∠∠BAM＝5米．在Rt△ACD中，AE＝10米，∠DAE＝60°，∴DE＝AE?tan∠DAE＝10米．在Rt△BCN中，BN＝AE+AM＝（10+5）米，∠CBN＝45°°，∴CN＝BN?tan∠CBN＝（10+5）米，∴CD＝CN+EN﹣DE＝10+5+5﹣10＝（15﹣5）米．故選：A．二填空題8.(紹興市一模)如圖，在△ABC中，sinB＝，tanC＝，AB＝3，則AC的長(zhǎng)為．【解析】：過A作AD⊥BC，在Rt△ABD中，sinB＝，AB＝3，∴AD＝AB?sinB＝1，在Rt△ACD中，tanC＝，∴＝，即CD＝，根據(jù)勾股定理得：AC＝＝＝，故答案為：9.（南通市崇川區(qū)啟秀中學(xué)一模）某數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組制作了如下的三角函數(shù)計(jì)算圖尺：在半徑為1的半圓形量角器中，畫一個(gè)直徑為1的圓，把刻度尺CA的0刻度固定在半圓的圓心O處，刻度尺可以繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)．從圖中所示的圖尺可讀出sin∠AOB的值是______．【解析】：如圖，把刻度尺與圓的另一個(gè)交點(diǎn)記作D，連接AD．

∵OD是直徑，

∴∠OAD=90°，

∵∠AOB+∠AOD=90°，∠AOD+∠ADO=90°，

∴∠AOB10．(紹興市一模)如圖，∠MAN＝60°，若△ABC的頂點(diǎn)B在射線AM上，且AB＝2，點(diǎn)C在射線AN上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，BC的取值范圍是．【解析】：如圖，過點(diǎn)B作BC1⊥AN，垂足為C1，BC2⊥AM，交AN于點(diǎn)C2在Rt△ABC1中，AB＝2，∠A＝60°，∴∠ABC1＝30°∴AC1＝AB＝1，由勾股定理得：BC1＝，在Rt△ABC2中，AB＝2，∠A＝60°∴∠AC2B＝30°∴AC2＝4，由勾股定理得：BC2＝2，當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，點(diǎn)C在C1C2上移動(dòng)，此時(shí)＜BC＜2．故答案為：＜BC＜2．11.(上海市楊浦區(qū)一模)如圖，某商店?duì)I業(yè)大廳自動(dòng)扶梯AB的傾斜角為31°，AB的長(zhǎng)為12米，則大廳兩層之間的高度為米．（結(jié)果保留一位小數(shù)）【參考數(shù)據(jù)：sin31°＝0.515，cos31°＝0.867，tan31°＝0.601】【分析】根據(jù)題意和銳角三角函數(shù)可以求得BC的長(zhǎng)，從而可以解答本題．【解析】：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴BC＝AB?sin∠BAC＝12×0.515≈6.2（米），答：大廳兩層之間的距離BC的長(zhǎng)約為6.2米．故答案為：6.2．三簡(jiǎn)答題12.（蕪湖市一模）如圖是某斜拉橋引申出的部分平面圖，AE，CD是兩條拉索，其中拉索CD與水平橋面BE的夾角為72°，其底端與立柱AB底端的距離BD為4米，兩條拉索頂端距離AC為2米，若要使拉索AE與水平橋面的夾角為35°，請(qǐng)計(jì)算拉索AE的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈，sin72°≈，cos72°≈，tan72°≈）【解析】：由題意可得：tan72°＝＝＝，解得：BC＝，則AB＝BC+AC＝+2＝（m），故sin35°＝＝＝，解得：AE≈26.2，答：拉索AE的長(zhǎng)為26.2m．13.（南通市崇川區(qū)啟秀中學(xué)一模）京杭大運(yùn)河是世界文化遺產(chǎn)．綜合實(shí)踐活動(dòng)小組為了測(cè)出某段運(yùn)河的河寬(岸沿是平行的)，如圖，在岸邊分別選定了點(diǎn)A、B和點(diǎn)C、D，先用卷尺量得AB=160m，CD=40m，再用測(cè)角儀測(cè)得∠CAB=30°【解析】：過D作DE⊥AB，可得四邊形CHED為矩形，

∴HE=CD=40m，

設(shè)CH=DE=xm，

在Rt△BDE中，∠DBA=60°，

∴BE=33xm，

在Rt△14.（宿州市一模）（10分）如圖，在筆直的公路AB上觀察點(diǎn)C，在A點(diǎn)觀察是北偏東60°，在B點(diǎn)觀察是北偏西45°，已知A、B兩點(diǎn)距離為10千米，求點(diǎn)C到AB的最短距離．（結(jié)果保留根號(hào)）【解析】：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，∴BD＝CD，在Rt△CAD中，tan∠ACD＝，∴AD＝CD?tan∠ACD＝CD，由題意得，CD+CD＝10，解得，CD＝5﹣5，答：點(diǎn)C到AB的最短距離為（5﹣5）千米．15.(上海市楊浦區(qū)一模)某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組的學(xué)生進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)時(shí)，想利用所學(xué)的解直角三角形的知識(shí)測(cè)量教學(xué)樓的高度，他們先在點(diǎn)D處用測(cè)角儀測(cè)得樓頂M的仰角為30°，再沿DF方向前行40米到達(dá)點(diǎn)E處，在點(diǎn)E處測(cè)得樓項(xiàng)M的仰角為45°，已知測(cè)角儀的高AD為1.5米．請(qǐng)根據(jù)他們的測(cè)量數(shù)據(jù)求此樓MF的高．（結(jié)果精到0.1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732，≈2.449）【解析】：設(shè)MC＝x，∵∠MAC＝30°，∴在Rt△MAC中，AC＝＝＝x．∵∠MBC＝45°，∴在Rt△MCB中，MC＝BC＝x，又∵AB＝DE＝40，∴AC﹣BC＝AB＝40，即x﹣x＝40，解得：x＝20+20≈54.6，∴MF＝MC+CF＝54.6+1.5＝56.1（米），答：樓MF的高56.1米．16.(合肥168中一模)身高1.65米的兵兵在建筑物前放風(fēng)箏，風(fēng)箏不小心掛在了樹上．在如圖所示的平面圖形中，矩形CDEF代表建筑物，兵兵位于建筑物前點(diǎn)B處，風(fēng)箏掛在建筑物上方的樹枝點(diǎn)G處(點(diǎn)G在FE的延長(zhǎng)線上).經(jīng)測(cè)量，兵兵與建筑物的距離BC=5米，建筑物底部寬FC=7米，風(fēng)箏所在點(diǎn)G與建筑物頂點(diǎn)D及風(fēng)箏線在手中的點(diǎn)A在同一條直線上，點(diǎn)A距地面的高度AB=1.4米，風(fēng)箏線與水平線夾角為37°．

(1)求風(fēng)箏距地面的高度GF；

(2)在建筑物后面有長(zhǎng)5米的梯子MN，梯腳M在距墻3米處固定擺放，通過計(jì)算說明：若兵兵充分利用梯子和一根5米長(zhǎng)的竹竿能否觸到掛在樹上的風(fēng)箏？

(參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，【解析】：(1)過A作AP⊥GF于點(diǎn)P．

則AP=BF=12，AB=PF=1.4，∠GAP=37°，

在Rt△PAG中，tan∠PAG=GPAP，

∵兵兵與建筑物的距離BC=5米，

∴AP=BF=FC+CB=5+7=12

∴GP=AP?tan17.（合肥市天鵝湖教育集團(tuán)一模）很多交通事故是由于超速行駛導(dǎo)致的，為集中治理超速現(xiàn)象，高速交警在距離高速路40米的地方設(shè)置了一個(gè)測(cè)速觀察點(diǎn)，現(xiàn)測(cè)得測(cè)速點(diǎn)的西北方向有一輛小型轎車從B處沿西向正東方向行駛，2秒鐘后到達(dá)測(cè)速點(diǎn)北偏東的方向上的C處，如圖．（1）求該小型轎車在測(cè)速過程中的平均行駛速度約是多少千米/時(shí)（精確到1千米/時(shí)）？（參考數(shù)據(jù)：）（2）我國交通法規(guī)定：小轎車在高速路行駛，時(shí)速超過限定速度10%以上不到50%的處200元罰款，扣3分；時(shí)速超過限定速度50%以上不到70%的處1500元罰款，扣12分；時(shí)速超過限定時(shí)速70%以上的處1500元罰款，扣12分．若該高速路段限速120千米/時(shí)，你認(rèn)為該小轎車駕駛員會(huì)受到怎樣的處罰．【解析】（1）過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，則AD=40m，∵∠BAD=45°，∴∠ABD=45°，∴BD=AD=40m，∵∠DAC=60°，∴CD=AD×tan60°=40m，∴BC=40+40≈109.28m，∴小轎車速度=（千米/小時(shí)），答：該小型轎車在測(cè)速過程中的平均行駛速度約是197千米/時(shí)；（2）（197-120）÷120≈0.64=64％，∵50％＜64％＜70％，∴小轎車的駕駛員會(huì)受到1500元罰款，扣12分的處罰．18.（天津市河北區(qū)一模）如圖，已知一居民樓AD前方30m處有一建筑物BC，小敏在居民樓的頂部D處和底部A處分別測(cè)得建筑物頂部B的仰角為19°和41°，求居民樓的高度AD和建筑物的高度BC（結(jié)果取整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：tan19°≈0.34，tan41°≈0.87）【解析】：過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，則DE＝AC＝30，AD＝EC，由題意得，∠BDE＝19°，∠BAC＝41°，在Rt△ABC中，BC＝AC?tan∠BAC＝30×tan41°≈26.1≈26，在Rt△BDE中，BE＝DE?tan∠BDE＝30×tan19°≈10.2，∴AD＝BC﹣BE＝26.1﹣10.2＝15.9≈16．答：居民樓的高度AD約為16米，建筑物的高度BC約為26米．19.（淮北市名校聯(lián)考一模）如圖，一艘船由A港沿北偏東70°方向航行以302海里/時(shí)的速度航行2小時(shí)達(dá)到小島B處，稍作休整，然后再沿北偏西35°方向航行至C港，C港在A港北偏東25°方向，求A，C兩港之間的距離．(精確到1海里)(參考數(shù)據(jù)：2～1.41，3【解析】：作BD⊥AC于D，

由題意得，∠CBA=180°-70°-35°=75°，AB=302×2=602，

∴∠CBD=75°-45°=30°，

在Rt△ADB中，∠CAB=45°，

∴20.（珠海市香洲區(qū)一模)如圖，一名滑雪愛好者先從山腳下A處沿登山步道走到點(diǎn)B處，再沿索道乘坐纜車到達(dá)頂部C．已知在點(diǎn)A處觀測(cè)點(diǎn)C，得仰角為35°，且A，B的水平距離AE＝1000米，索道BC的坡度i＝1：1，長(zhǎng)度為2600米，求山的高度（即點(diǎn)C到AE的距離）（參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，≈1.41，結(jié)果保留整數(shù)）【解析】：如圖，作CD⊥AE于點(diǎn)D，BF⊥CD于點(diǎn)F．又∵BE⊥AD，∴四邊形BEDF是矩形．在Rt△BCF中，∵BC的坡度i＝1：1，∴∠CBF＝45°．∵BC＝2600米，∴米．∴米．∵A，B的水平距離AE＝1000米，∴米．∵∠CAD＝35°，∴（米）．答：山高CD約為1983米．21.（唐山市遵化市一模）圖1是某浴室花灑實(shí)景圖，圖2是該花灑的側(cè)面示意圖．已知活動(dòng)調(diào)節(jié)點(diǎn)B可以上下調(diào)整高度，離地面CD的距離BC=160cm.設(shè)花灑臂與墻面的夾角為α，可以扭動(dòng)花灑臂調(diào)整角度，且花灑臂長(zhǎng)AB=30cm.假設(shè)水柱AE垂直AB直線噴射，小華在離墻面距離CD=120cm處淋?。?/p>

(1)當(dāng)α=30°時(shí)，水柱正好落在小華的頭頂上，求小華的身高DE．

(2)如果小華要洗腳，需要調(diào)整水柱AE，使點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，調(diào)整