河北省2022年中考數(shù)學(xué)人教版總復(fù)習(xí)教學(xué)案-第六章第2節(jié)與圓有關(guān)的位置關(guān)系

第二節(jié)與圓有關(guān)的位置關(guān)系【課標(biāo)要求】☆理解點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系．☆掌握切線的概念，探索切線與切點(diǎn)的半徑關(guān)系．☆掌握切線的性質(zhì)和判定方法．【教材對(duì)接】人教：九上第二十四章P92～99；冀教：九下第二十九章P1～15；北師：九下第三章P66，P89～96.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1．如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心O的距離為OP＝d，則(1)點(diǎn)P1在圓外?d1>r；(2)點(diǎn)P2在圓上?d2＝r；(3)點(diǎn)P3在圓內(nèi)?d3<r.直線與圓的位置關(guān)系2．設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為OP＝d，則直線l和圓的位置關(guān)系如下表．位置關(guān)系相離相切相交圖示d與r的關(guān)系d>rd＝rd<r公共點(diǎn)個(gè)數(shù)沒(méi)有公共點(diǎn)1個(gè)公共點(diǎn)2個(gè)公共點(diǎn)【基礎(chǔ)練1】在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)(3，2)為圓心，2為半徑的圓與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系為(C)A.與x軸相離、與y軸相切B．與x軸、y軸都相離C.與x軸相切、與y軸相離D．與x軸、y軸都相切切線及其性質(zhì)與判定3．切線：當(dāng)直線與圓有唯一一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，稱(chēng)直線與圓相切，此時(shí)這個(gè)公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)，這條直線叫做圓的切線．4．切線的性質(zhì)：(1)切線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；(2)切線到圓心的距離等于圓的半徑；(3)切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；(4)經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn)；(5)經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必過(guò)圓心．5．切線的判定方法：(1)利用切線的定義，即與圓有唯一一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線；(2)到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線；(3)切線判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．【方法點(diǎn)撥】(1)判斷直線與圓相切的兩種常見(jiàn)模型：①直線與圓的公共點(diǎn)已知時(shí)，連接過(guò)公共點(diǎn)的半徑，證這條半徑與直線垂直，可簡(jiǎn)述為：有切點(diǎn)，連半徑，證垂直；②直線與圓的公共點(diǎn)未知時(shí)，過(guò)圓心作直線的垂線，證垂線段等于半徑，可簡(jiǎn)述為：無(wú)切點(diǎn)，作垂線，證相等．(2)利用切線的性質(zhì)解決問(wèn)題，通常連過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造直角三角形來(lái)解決．(3)直角三角形的外接圓與內(nèi)切圓半徑的求法：若a，b是Rt△ABC的兩條直角邊，c為斜邊，則①直角三角形的外接圓半徑R＝eq\f(c,2)；②直角三角形的內(nèi)切圓半徑r＝eq\f(a＋b－c,2).【基礎(chǔ)練2】(2021·長(zhǎng)春中考)如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，若∠BAC＝35°，則∠ACB的大小為(C)A.35°B．45°C.55°D．65°切線長(zhǎng)定理6．切線長(zhǎng)：切線上一點(diǎn)與切點(diǎn)之間的線段長(zhǎng)叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)．7．切線長(zhǎng)定理：過(guò)圓外一點(diǎn)所畫(huà)的圓的兩條切線的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)與圓心的連線平分過(guò)這點(diǎn)的兩條切線所形成的夾角．【基礎(chǔ)練3】如圖，一圓外切四邊形ABCD，且BC＝10，AD＝7，則四邊形的周長(zhǎng)為(B)A.32B．34C.36D．38【知識(shí)拓展】與圓有關(guān)的七大模型圖示模型點(diǎn)撥相交弦模型若AB，CD相交于點(diǎn)P，則△ACP∽△DBP，PA·PB＝PC·PD垂徑定理模型若AB是直徑，AB⊥CD于點(diǎn)P，則CP＝DP，eq\x\to(BC)＝eq\x\to(BD)，eq\x\to(AC)＝eq\x\to(AD)等腰三角形模型若AB＝BC，連接OB，則△ABC∽△AOB弦切角模型若AB與⊙O相切于點(diǎn)P，則∠APC＝∠PDC，∠BPD＝∠PCD雙切線模型若PA，PB是⊙O的兩條切線，則PA＝PB，PO平分∠APB續(xù)表圖示模型點(diǎn)撥角平分線模型若CD平分∠ACB，則OD∥BC，△ABC∽△ADO直角三角形模型若∠ABC＝90°，AB是⊙O的直徑，AC交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，則△ABC∽△ADB【基礎(chǔ)練4】(1)如圖，若弦BC經(jīng)過(guò)⊙O的半徑OA的中點(diǎn)P，且PB＝3，PC＝4，則⊙O的直徑為(B)A．7B．8C．9D．10[第(1)題圖][第(2)題圖](2)如圖，已知AB是⊙O的直徑，PC切⊙O于點(diǎn)C，∠PCB＝35°，則∠B＝55°.eq\a\vs4\al(切線的判定與性質(zhì))【例1】(2021·石家莊模擬)如圖，已知⊙O的直徑AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)求DE的長(zhǎng)．【解題思路】(1)連接OD，欲證明DE是⊙O的切線，只要證明OD⊥DE即可．(2)過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AC于點(diǎn)F，只要證明四邊形OFED是矩形即可得到DE＝OF，在Rt△AOF中利用勾股定理求出OF即可．【解答】(1)證明：連接OD.∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAB.∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAO.∴∠ODA＝∠DAE.∴OD∥AE.∵DE⊥AC，∴OD⊥DE.∴DE是⊙O切線；(2)解：過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AC于點(diǎn)F.∴AF＝CF＝3.∴OF＝eq\r(AO2－AF2)＝eq\r(52－32)＝4.∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，∴四邊形OFED是矩形．∴DE＝OF＝4.1．(2021·山西中考)如圖，在⊙O中，AB切⊙O于點(diǎn)A，連接OB交⊙O于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作AD∥OB交⊙O于點(diǎn)D，連接CD.若∠B＝50°，則∠OCD為(B)A．15°B．20°C．25°D．30°2．(2021·河北模擬)如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，直徑AD交BC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)F，使DF＝2OD，連接FC并延長(zhǎng)交過(guò)點(diǎn)A的切線于點(diǎn)G，且滿(mǎn)足AG∥BC，連接OC，若cos∠BAC＝eq\f(1,3)，BC＝6.(1)求證：∠COD＝∠BAC；(2)求⊙O的半徑OC；(3)求證：CF是⊙O的切線．(1)證明：∵AG是⊙O的切線，AD是⊙O的直徑，∴∠GAF＝90°.∵AG∥BC，∴AE⊥BC.∴CE＝BE.∴∠BAC＝2∠EAC.∵∠COE＝2∠CAE，∴∠COD＝∠BAC；(2)解：∵∠COD＝∠BAC，∴cos∠BAC＝cos∠COE＝eq\f(OE,OC)＝eq\f(1,3).∴設(shè)OE＝x，OC＝3x.∵BC＝6，∴CE＝3.∵CE⊥AD，∴OE2＋CE2＝OC2.∴x2＋32＝9x2.∴x＝eq\f(3\r(2),4)(負(fù)值已舍去).∴OC＝3x＝eq\f(9\r(2),4).∴⊙O的半徑OC為eq\f(9\r(2),4)；(3)證明：∵DF＝2OD，∴OF＝3OD＝3OC.∴eq\f(OE,OC)＝eq\f(OC,OF)＝eq\f(1,3).∵∠COE＝∠FOC，∴△COE∽△FOC.∴∠OCF＝∠OEC＝90°.∴CF是⊙O的切線．eq\a\vs4\al(切線長(zhǎng)定理)【例2】如圖，PA，PB分別與半徑為3的⊙O相切于點(diǎn)A，B，直線CD分別交PA，PB于點(diǎn)C，D，并切⊙O于點(diǎn)E，當(dāng)PO＝5時(shí)，△PCD的周長(zhǎng)為(C)A.4B．5C．8D．10【解題思路】連接OA.根據(jù)切線的性質(zhì)，得Rt△OAP，利用勾股定理可得PA＝eq\r(PO2－OA2)＝4，由切線長(zhǎng)定理，得AC＝CE，DE＝BD，PA＝PB，進(jìn)而推出△PCD的周長(zhǎng)．3．如圖，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盤(pán)擺放而成，點(diǎn)A為60°角與直尺的交點(diǎn)，點(diǎn)B為光盤(pán)與直尺的唯一交點(diǎn)，若AB＝3，則光盤(pán)的直徑是(A)A．6eq\r(3)B．3eq\r(3)C．6D．3eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第3題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第4題圖）))4．如圖，已知OT是Rt△ABO斜邊AB上的高，AO＝BO.以點(diǎn)O為圓心，OT為半徑的圓交OA于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線CD，交AB于點(diǎn)D，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(D)A．DC＝DTB．AD＝eq\r(2)DTC．BD＝BOD．2OC＝5AC盲目套用“d＝r?直線與圓相切”而錯(cuò)解【例】如果直線l上一點(diǎn)M與⊙O的圓心的距離等于⊙O的半徑，那么這條直線與⊙O的位置關(guān)系是()A．相交B．相切C．相交或相切D．以上都不正確【錯(cuò)解分析】在判斷直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，不要一看到距離，就把這個(gè)距離誤認(rèn)為是d，因?yàn)橹本€上一點(diǎn)與一個(gè)圓的圓心的距離不一定是圓心到直線的距離，圓心到直線的距離應(yīng)小于或等于這個(gè)距離．【正確解答】C1．已知⊙O的半徑為5cm，圓心O到直線l的距離為5cm，則直線l與⊙O的位置關(guān)系為(B)A．相交B．相切C．相離D．無(wú)法確定2．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA＝eq\f(4,5)，以點(diǎn)B為圓心，r為半徑作⊙B，當(dāng)r＝3時(shí)，⊙B與AC的位置關(guān)系是(B)A.相離B．相切C．相交D．無(wú)法確定切線的性質(zhì)及判定(5年2考)1．(2019·河北中考)如圖，?ABCD中，AB＝3，BC＝15，tan∠DAB＝eq\f(4,3).點(diǎn)P為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作⊙O切CP于點(diǎn)P，設(shè)BP＝x.(1)如圖1，x為何值時(shí)，圓心O落在AP上？若此時(shí)⊙O交AD于點(diǎn)E，直接指出PE與BC的位置關(guān)系；(2)當(dāng)x＝4時(shí)，如圖2，⊙O與AC交于點(diǎn)Q，求∠CAP的度數(shù)，并通過(guò)計(jì)算比較弦AP與劣弧eq\x\to(PQ)長(zhǎng)度的大??；(3)當(dāng)⊙O與線段AD只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出x的取值范圍．圖1圖2備用圖解：(1)∵⊙O切CP于點(diǎn)P，∴OP⊥PC，即∠CPB＝90°.由?ABCD得AD∥BC.∴tan∠CBP＝tan∠DAB＝eq\f(4,3).設(shè)PC＝4k，BP＝3k，則BC＝eq\r(PC2＋BP2)＝5k.∴5k＝15，即k＝3.∴PC＝12，BP＝9.∴當(dāng)x＝9時(shí)，圓心O落在AP上．此時(shí)PE與BC的位置關(guān)系為PE⊥BC；(2)連接OP，OQ，過(guò)點(diǎn)C作CK⊥AP于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AP于點(diǎn)H，與(1)同理，得CK＝12，BK＝9.∵AK＝AB＋BK＝12，∴CK＝AK.∴∠CAP＝∠ACK＝45°.∵AP＝AB＋BP＝7，∴HP＝eq\f(1,2)AP＝eq\f(7,2).又∵PK＝BK－BP＝5，∴PC＝eq\r(PK2＋CK2)＝13.∵∠HOP＝90°－∠OPH＝∠CPK，∴Rt△HOP∽R(shí)t△KPC.∴eq\f(OP,PC)＝eq\f(PH,CK)，即eq\f(OP,13)＝eq\f(\f(7,2),12).∴OP＝eq\f(91,24).∵∠POQ＝2∠PAQ＝90°，∴l(xiāng)eq\x\to(PQ)＝eq\f(90π×\f(91,24),180)＝eq\f(91π,48).∵eq\f(91π,48)<7，∴AP>leq\x\to(PQ)；(3)x≥18.2．(2018·河北中考)如圖，點(diǎn)A在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為26，以原點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作優(yōu)弧eq\x\to(AB)，使點(diǎn)B在點(diǎn)O右下方，且tan∠AOB＝eq\f(4,3).在優(yōu)弧eq\x\to(AB)上任取一點(diǎn)P，且能過(guò)點(diǎn)P作直線l∥OB交數(shù)軸于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)Q在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為x，連接OP.(1)若優(yōu)弧eq\x\to(AB)上一段eq\x\to(AP)的長(zhǎng)為13π，求∠AOP的度數(shù)及x的值；(2)求x的最小值，并指出此時(shí)直線l與eq\x\to(AB)所在圓的位置關(guān)系；(3)若線段PQ的長(zhǎng)為12.5，直接寫(xiě)出這時(shí)x的值．解：(1)設(shè)∠AOP＝n°，則eq\f(nπ×26,180)＝13π.解得n＝90.∴∠AOP＝90°.∵l∥OB，∴∠PQO＝∠AOB.∴tan∠PQO＝eq\f(OP,OQ)＝eq\f(26,x)＝eq\f(4,3).∴x＝19.5；(2)要使x變小，則l向左平移．當(dāng)l平移到與eq\x\to(AB)所在圓相切位置l1時(shí)，如圖，O與