河北省2022年中考數(shù)學(xué)人教版總復(fù)習(xí)教學(xué)案-第一章第5節(jié)因式分解與分式

第五節(jié)因式分解與分式【課標(biāo)要求】☆能用提公因式法、公式法進(jìn)行因式分解．☆了解分式和最簡(jiǎn)分式的概念．☆能利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分和通分．☆能進(jìn)行簡(jiǎn)單的分式加、減、乘、除法運(yùn)算．【教材對(duì)接】人教：八上第十四、十五章P114～148；冀教：七下第十一章P141～156，八上第十二章P2～17；北師：八下第四、五章P91～124.因式分解及其基本方法1．因式分解：把一個(gè)多項(xiàng)式分解成幾個(gè)整式乘積的形式，叫做多項(xiàng)式的因式分解．2．因式分解與整式乘法的關(guān)系3．提公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．【溫馨提示】公因式的確定(1)系數(shù)：取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；(2)字母：取各項(xiàng)相同的字母；(3)指數(shù)：取各項(xiàng)相同字母的最低次數(shù)．4．運(yùn)用公式法(1)平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．(2)完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2．【方法點(diǎn)撥】因式分解的一般步驟【基礎(chǔ)練1】(1)(2021·吉林中考)因式分解：m2－2m＝m(m－2)．(2)(2021·東營(yíng)中考)因式分解：4a2b－4ab＋b＝b(2a－1)2．分式的有關(guān)概念5．分式：一般地，我們把形如eq\f(A,B)的代數(shù)式叫做分式，其中，A，B都是整式，且B含有字母．A叫做分式的分子，B叫做分式的分母．6．與分式有關(guān)的“五個(gè)條件”(1)分式eq\f(A,B)沒有意義時(shí)，B＝0；(2)分式eq\f(A,B)有意義時(shí)，B≠0；(3)分式eq\f(A,B)的值為零時(shí)，A＝0且B≠0；(4)分式eq\f(A,B)的值為正時(shí)，A，B同號(hào)，(5)分式eq\f(A,B)的值為負(fù)時(shí)，A，B異號(hào)，7．最簡(jiǎn)分式：分子和分母沒有公因式的分式．【基礎(chǔ)練2】(1)下列式子eq\f(1,a)，eq\f(m－n,5)，eq\f(a,2π)，eq\f(x3y,x2)，eq\f(1,x)＋3，分式的個(gè)數(shù)為(B)A.2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)(2)若eq\f(x－2,x2)為負(fù)數(shù)，則x的取值范圍是x＜2且x≠0．(3)化簡(jiǎn)：eq\f(0.25a－0.2b,0.1a＋0.3b)＝eq\f(5a－4b,2a＋6b)．分式的基本性質(zhì)及運(yùn)用8．分式的基本性質(zhì)：分式的分子和分母乘(或除以)同一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變．用式子表示為eq\f(A,B)＝eq\f(A×M,B×M)，eq\f(A,B)＝eq\f(A÷M,B÷M).其中，M是不等于0的整式．9．約分與通分(1)約分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分．約分的關(guān)鍵是確定分式的分子與分母的公因式．【方法點(diǎn)撥】確定最大公因式的方法(1)分子、分母能因式分解的先因式分解；(2)取分子、分母中相同因式的最低次冪(數(shù)字因式取最大公約數(shù)).(2)通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來的分式的值相等的同分母的分式，叫做分式的通分．通分的關(guān)鍵是確定幾個(gè)分式的最簡(jiǎn)公分母.【方法點(diǎn)撥】確定最簡(jiǎn)公分母的方法(1)先觀察各分母，能因式分解的先因式分解；(2)取各分母公有因式的最高次冪(數(shù)字因式取最小公倍數(shù))；(3)對(duì)于只在一個(gè)分母中含有的因式，則連同它的指數(shù)作為最簡(jiǎn)公分母的因式．【基礎(chǔ)練3】(1)(2021·邢臺(tái)模擬)若把x，y的值同時(shí)擴(kuò)大為原來的2倍，則下列分式的值保持不變的是(A)A.eq\f(（x＋y）2,x2)B．eq\f(xy,x＋y)C.eq\f(x＋2,y＋2)D．eq\f(x－2,y－2)(2)eq\f(5xy,20y2)，eq\f(x－y,（y－x）2)，eq\f(a2－b2,a2＋ab)，eq\f(m2－3m＋2,m2－m)約分的最大公因式分別是5y，x－y，a＋b，m－1；(3)eq\f(3,4a2b)，eq\f(6,6b2c)的最簡(jiǎn)公分母為12a2b2c；eq\f(1,x2－x)，eq\f(－1,x2－2x＋1)通分的結(jié)果為eq\f(x－1,x（x－1）2)，eq\f(－x,x（x－1）2)．分式的運(yùn)算10．分式的加減運(yùn)算法則：同分母的兩個(gè)分式相加(減)，分母不變，把分子相加(減)；異分母的兩個(gè)分式相加(減)，先通分，化為同分母的分式，再相加(減)，即eq\f(A,B)±eq\f(C,B)＝eq\f(A±C,B)；eq\f(A,B)＋eq\f(D,C)＝eq\f(AC＋BD,BC)．11．分式的乘除運(yùn)算法則：分式與分式相乘，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母；分式除以分式，把除式的分子與分母顛倒位置后，與被除式相乘，即eq\f(A,B)·eq\f(C,D)＝eq\f(A·C,B·D)；eq\f(A,B)÷eq\f(C,D)＝eq\f(A,B)·eq\f(D,C)＝eq\f(A·D,B·C).12．分式乘方的運(yùn)算法則：分式乘方是把分子、分母各自乘方，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,B)))eq\s\up12(n)＝eq\f(An,Bn)(n為整數(shù))．13．分式的混合運(yùn)算：在分式的混合運(yùn)算中，應(yīng)先算乘方，再算乘除，最后進(jìn)行加減運(yùn)算，遇到括號(hào)，先算括號(hào)里面的．分式運(yùn)算的結(jié)果要化成整式或最簡(jiǎn)分式．【溫馨提示】分式化簡(jiǎn)及求值的一般步驟(1)若有括號(hào)的，先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的分式運(yùn)算，括號(hào)內(nèi)如果是異分母加減運(yùn)算時(shí)，需將異分母分式通分化為同分母分式運(yùn)算，然后將分子合并同類項(xiàng)，把括號(hào)去掉，簡(jiǎn)稱去括號(hào)；(2)若有除法運(yùn)算的，將分式中除號(hào)(÷)后面式子的分子分母顛倒，并把這個(gè)式子前的“÷”變?yōu)椤啊痢?，保證幾個(gè)分式之間除了“＋”“－”就只有“×”或“·”，簡(jiǎn)稱除法變乘法；(3)利用因式分解、約分進(jìn)行分式乘法運(yùn)算；(4)最后按照式子順序，從左到右計(jì)算分式加減運(yùn)算，直到化為最簡(jiǎn)形式；(5)將所給數(shù)值代入求值，代入數(shù)值時(shí)要注意使原分式有意義(即使原分式的分母不為0).【基礎(chǔ)練4】(2021·石家莊模擬)有一道題：化簡(jiǎn)eq\f(x2,x－1)□eq\f(x,x2－2x＋1)＝x2－x，則□中的運(yùn)算符號(hào)是(D)A.＋B．－C．×D．÷eq\a\vs4\al(因式分解及應(yīng)用)【例1】(2021·恩施州中考)分解因式：a－ax2＝a(1＋x)(1－x)．【解題思路】首先提取公因式a，再利用平方差公式分解因式．【方法點(diǎn)撥】有公因式的先提公因式，然后再考慮套公式，最后注意要分解到不能再分解為止．【例2】(2020·唐山二模)若a＋b＝－1，ab＝－6，則代數(shù)式a3b＋2a2b2＋ab3的值為－6．【解題思路】根據(jù)提公因式法和完全平方公式可以將所求式子因式分解，然后根據(jù)已知條件即可求得所求式子的值．1．下列從左到右的變形，是因式分解的是(D)A.(3－x)(3＋x)＝9－x2B.(y＋1)(y－3)＝(3－y)(y＋1)C.4yz－2y2z＋z＝2y(2z－zy)＋zD.－8x2＋8x－2＝－2(2x－1)22．當(dāng)n為自然數(shù)時(shí)，(n＋1)2－(n－3)2一定能(D)A.被5整除B．被6整除C.被7整除D．被8整除3．(2021·菏澤中考)因式分解：－a3＋2a2－a＝－a(a－1)2．4．(2021·荊門中考)把多項(xiàng)式x3＋2x2－3x因式分解，結(jié)果為x(x＋3)(x－1)．5．(2021·十堰中考)已知xy＝2，x－3y＝3，則2x3y－12x2y2＋18xy3＝36．6．體育課上，甲、乙兩班學(xué)生進(jìn)行“引體向上”身體素質(zhì)測(cè)試，測(cè)試統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：甲班：全班同學(xué)“引體向上”總次數(shù)為n2；乙班：全班同學(xué)“引體向上”總次數(shù)為50n－625.(注：兩班人數(shù)均超過30人)請(qǐng)比較一下兩班學(xué)生“引體向上”總次數(shù)，甲班的次數(shù)多，多(n－25)2次．eq\a\vs4\al(分式的有關(guān)概念及其基本性質(zhì))【例3】(2021·雅安中考)若分式eq\f(|x|－1,x－1)的值等于0，則x的值為(A)A.－1B．0C．1D．±1【解題思路】根據(jù)分式值為零的條件“分子為零且分母不為零”求解即可．7．下列關(guān)于分式的判斷，正確的是(B)A.當(dāng)x＝2時(shí)，eq\f(x＋1,x－2)的值為零B．無(wú)論x為何值，eq\f(3,x2＋1)的值總為正數(shù)C.無(wú)論x為何值，eq\f(3,x＋1)不可能得整數(shù)值D.當(dāng)x≠3時(shí)，eq\f(x－3,x)有意義8．下列各式從左到右的變形正確的是(D)A.eq\f(x＋y,x＋y)＝0B．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,a＋b)C.eq\f(2（b＋c）,a＋3（b＋c）)＝eq\f(2,a＋3)D．eq\f(x－y,x2＋y2－2xy)＝eq\f(1,x－y)eq\a\vs4\al(分式化簡(jiǎn)及求值)【例4】先化簡(jiǎn)，再求值：(xy2＋x2y)·eq\f(x,x2＋2xy＋y2)÷eq\f(x2y,x2－y2)，其中x＝(π－1)0－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(－1)，y＝eq\r(2)tan45°－eq\r(8).【解題思路】原式利用除法法則變形，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果，求出x與y的值，代入計(jì)算即可．【解答】解：原式＝xy(x＋y)·eq\f(x,（x＋y）2)·eq\f(（x＋y）（x－y）,x2y)＝x－y.當(dāng)x＝1－3＝－2，y＝eq\r(2)×1－2eq\r(2)＝－eq\r(2)時(shí)，原式＝－2＋eq\r(2).9．已知eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(1,3)，則eq\f(ab,a－b)的值是(A)A.－3B．－eq\f(1,3)C．3D．eq\f(1,3)10．(2021·河北模擬)已知A＝－6x＋b(b為常數(shù))，B＝x＋1，則下列說法正確的是(D)A.當(dāng)x＝－1時(shí)，eq\f(B,A)的值為0B.當(dāng)x＝0時(shí)，eq\f(A,B)無(wú)意義C.當(dāng)b＝6時(shí)，分式eq\f(A,B)＝－6D.當(dāng)b＝－6，x≠－1時(shí)，分式eq\f(A－B,B)＝－711．(2021·隨州中考)先化簡(jiǎn)，再求值：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x＋1)))÷eq\f(x2－4,2x＋2)，其中x＝1.解：原式＝eq\f(x＋1＋1,x＋1)·eq\f(2（x＋1）,（x＋2）（x－2）)＝eq\f(x＋2,x＋1)·eq\f(2（x＋1）,（x＋2）（x－2）)＝eq\f(2,x－2).當(dāng)x＝1時(shí)，原式＝eq\f(2,1－2)＝－2.12．(2021·廣州中考)已知A＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,n)－\f(n,m)))·eq\f(\r(3)mn,m－n).(1)化簡(jiǎn)A；(2)若m＋n－2eq\r(3)＝0，求A的值．解：(1)A＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m2,mn)－\f(n2,mn)))·eq\f(\r(3)mn,m－n)＝eq\f(（m＋n）（m－n）,mn)·eq\f(\r(3)mn,m－n)＝eq\r(3)(m＋n)；(2)∵m＋n－2eq\r(3)＝0，∴m＋n＝2eq\r(3).∴A＝eq\r(3)(m＋n)＝eq\r(3)×2eq\r(3)＝6.13．(2021·滄州青縣模擬)嘉嘉準(zhǔn)備完成題目：化簡(jiǎn)：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(▲－\f(1,x＋1)))÷eq\f(x,x2－1).發(fā)現(xiàn)“▲”處被墨水污染了，看不清楚．(1)琪琪給嘉嘉提供了一個(gè)信息：當(dāng)x＝2時(shí)，求值的結(jié)果是1，請(qǐng)你幫嘉嘉求出“▲”代表的是幾？(2)琪琪又給出了正確的化簡(jiǎn)結(jié)果是x－1，請(qǐng)驗(yàn)證(1)中所求“▲”是否正確．解：(1)將x＝2代入eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(▲－\f(1,x＋1)))÷eq\f(x,x2－1)，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(▲－\f(1,2＋1)))÷eq\f(2,22－1)＝1.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(▲－\f(1,3)))÷eq\f(2,3)＝1.▲＝1×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)＝1.∴“▲”代表的是1；(2)∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(▲－\f(1,x＋1)))÷eq\f(x,x2－1)＝x－1，∴▲－eq\f(1,x＋1)＝(x－1)×eq\f(x,x2－1)＝eq\f(x,x＋1).∴▲＝eq\f(x,x＋1)＋eq\f(1,x＋1)＝1.∴(1)中答案正確．分式運(yùn)算時(shí)未注意正確運(yùn)用運(yùn)算法則及符號(hào)的變化，以及求值時(shí)忽略了要選取使分式有意義的值【例】先化簡(jiǎn)，再求值：eq\f(4,x2－4x＋4)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,x－2)－x－2))，其中|x|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－1).【錯(cuò)解分析】本題考查了因式分解的方法和分式的四則運(yùn)算，嚴(yán)格按照運(yùn)算法則和方法進(jìn)行運(yùn)算是解題的關(guān)鍵，注意符號(hào)的確定，不要隨意地變動(dòng)正負(fù)號(hào)．最后求值時(shí)，要注意使原式有意義，即所代值不能使原式的分母或除式為0.【正確解答】解：原式＝eq\f(4,（x－2）2)÷eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x2,x－2)－\f(（x＋2）（x－2）,x－2)))＝eq\f(4,（x－2）2)÷eq\f(x2－（x2－4）,x－2)＝eq\f(4,（x－2）2)·eq\f(x－2,4)＝eq\f(1,x－2).∵|x|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－1)＝2，x－2≠0，∴x只能為－2.當(dāng)x＝－2時(shí)，原式＝eq\f(1,－2－2)＝－eq\f(1,4).1．在化簡(jiǎn)分式eq\f(x－3,x2－1)＋eq\f(3,1－x)的過程中，開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的步驟是(B)A．eq\f(x－3,x2－1)－eq\f(3（x＋1）,（x＋1）（x－1）)B．eq\f(x－3－3x＋1,（x－1）（x＋1）)C.eq\f(－2x－2,（x＋1）（x－1）)D．－eq\f(2,x－1)2．若a滿足a2＝1，則分式eq\f(a2－a,a2－2a＋1)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,a－1)－2))的值為(B)A．－1B．－eq\f(1,3)C．0D．eq\f(1,3)3．(2021·石家莊模擬)先化簡(jiǎn)，再計(jì)算：eq\f(m2＋m,m2－2m＋1)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,m－1)－\f(1,m)))，其中m滿足使關(guān)于x的二次三項(xiàng)式x2－(m－1)x＋1是完全平方式．解：原式＝eq\f(m（m＋1）,（m－1）2)÷eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2m,m（m－1）)－\f(m－1,m（m－1）)))＝eq\f(m（m＋1）,（m－1）2)÷eq\f(m＋1,m（m－1）)＝eq\f(m（m＋1）,（m－1）2)·eq\f(m（m－1）,m＋1)＝eq\f(m2,m－1).∵m滿足使關(guān)于x的二次三項(xiàng)式x2－(m－1)x＋1是完全平方式，且m≠±1，∴m－1＝±2.∴m1＝3，m2＝－1(不合題意，舍去).當(dāng)m＝3時(shí)，原式＝eq\f(9,3－1)＝eq\f(9,2).因式分解及應(yīng)用(5年3考)1．(2020·河北中考)對(duì)于①x－3xy＝x(1－3y)，②(x＋3)(x－1)＝x2＋2x－3，從左到右的變形，表述正確的是(C)A.都是因式分解B.都是乘法運(yùn)算C.①是因式分解，②是乘法運(yùn)算D.①是乘法運(yùn)算，②是因式分解2．(2020·河北中考)若eq\f(（92－1）（112－1）,k)＝8×10×12，則k等于(B)A.12B．10C．8D．63．(2021·河北中考)現(xiàn)