現(xiàn)代控制理論大作業(yè)

課題背景2023/11/201

兩輪自平衡小車的左右輪共軸、獨(dú)立驅(qū)動(dòng)、整個(gè)車身質(zhì)心基本位于車輪軸正上方，

通過(guò)車輪前后運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)平衡，并且可以實(shí)現(xiàn)直立行走。作為人為駕駛的代步工具，將會(huì)使得人們小范圍、短距離的上班出行變得更加方便、靈活、環(huán)保。課題背景2023/11/202雙輪機(jī)器人屬于動(dòng)態(tài)穩(wěn)定而靜態(tài)不穩(wěn)定的系統(tǒng)，本身具有多變量、非線性、強(qiáng)耦合等特性，它能有效反映諸如穩(wěn)定性、魯棒性、隨動(dòng)性等控制理論中的關(guān)鍵問(wèn)題，對(duì)于學(xué)生掌握控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的基本方法十分有幫助，因而具有較大的研究?jī)r(jià)值。課題背景2023/11/203系統(tǒng)工作原理課題背景2023/11/204系統(tǒng)工作原理前進(jìn)（后仰）前進(jìn)（糾正前傾）后退（前傾）后退（糾正后仰）

由于車身是不斷變化，檢測(cè)、反饋就不斷隨之變化，動(dòng)態(tài)地跟蹤車身的傾角狀態(tài)，使車身一直保持平衡狀態(tài)，這就是動(dòng)態(tài)自平衡原理?？刂茖?duì)象分析與建模2023/11/205忽略空氣阻力后，可以將兩輪平衡車抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如下圖所示：其中，M——小車質(zhì)量m——擺桿質(zhì)量b——小車的摩擦系數(shù)

l——

擺桿的轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到質(zhì)心的長(zhǎng)度

I——擺桿慣量F——施加給小車的力x——小車的位置

θ——擺桿與垂直向下方向的夾角

φ——擺桿與垂直向上方向的夾角自平衡車系統(tǒng)簡(jiǎn)圖圖2小車及擺桿受力分析控制對(duì)象分析與建模2023/11/206忽略空氣阻力后，可以將兩輪平衡車抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如下圖所示：其中，M——小車質(zhì)量m——擺桿質(zhì)量b——小車的摩擦系數(shù)

l——

擺桿的轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到質(zhì)心的長(zhǎng)度

I——擺桿慣量F——施加給小車的力x——小車的位置

θ——擺桿與垂直向下方向的夾角

φ——擺桿與垂直向上方向的夾角圖1自平衡車系統(tǒng)簡(jiǎn)圖圖2小車及擺桿受力分析控制對(duì)象分析與建模2023/11/201.分析小車在水平方向所受合力可得：2.分析擺桿在水平方向所受合力可得：(1)(2)3.把（2）式帶入（1）式可得系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程：(3)4.對(duì)擺桿垂直方向受力分析可得：(4)5.把（4）式帶入（3）式可得系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程：(5)控制對(duì)象分析與建模2023/11/206.被控對(duì)象的輸入力F用u表示，線性化后得到運(yùn)動(dòng)方程：(6)7.整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程：(7)控制對(duì)象分析與建模2023/11/206.各物理量取以下數(shù)值，得到狀態(tài)空間矩陣為：M=1.096kgm=0.109kgb=0.1N/(m·s)I=0.034kg·m2l=0.25mg=9.8m/s2狀態(tài)變量

控制變量

輸出變量

狀態(tài)方程

控制對(duì)象分析與建模2023/11/207.能控性和能觀性分析：Matlab程序：結(jié)論：Rank（M）=4系統(tǒng)完全能控Rank（N）=4系統(tǒng)完全能觀symsImMlbgxfai;M=1.096;m=0.109;b=0.1;I=0.034;l=0.25;g=9.8;t=I*(M+m)+M*m*l^2;A=[0,1,0,0;0,-(I+m*l^2)*b/t,m^2*g*l^2/t,0;

0,0,0,1;0,-m*l*b/t,m*g*l*(M+m)/t,0;]B=[0;(I+m*l^2)/t;0;m*l/t;]C=[1,0,0,0;

0,0,1,0;]Uc=ctrb(A,B)Vo=obsv(A,C)rankc=rank(Uc)ranko=rank(Vo)namid=eig(A)計(jì)算結(jié)果：rankc=4ranko=4穩(wěn)定性分析2023/11/20運(yùn)用Matlab解出矩陣A的特征值如下：namid=eig(A)namid=

0-0.0830-2.57822.5769A的特征值中有一個(gè)零點(diǎn)和一個(gè)整根，故系統(tǒng)的狀態(tài)是不穩(wěn)定的。傳遞函數(shù)：階躍輸入的響應(yīng)曲線

極點(diǎn)配置2023/11/201.狀態(tài)反饋矩陣K的計(jì)算已知該系統(tǒng)不穩(wěn)定，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須重新配置極點(diǎn)，因?yàn)闋顟B(tài)矩陣完全能控，所以可以采用狀態(tài)反饋來(lái)使系統(tǒng)穩(wěn)定。通過(guò)設(shè)置不同的極點(diǎn)，可以得到不同的狀態(tài)反饋矩陣，再通過(guò)比較不同輸入下的響應(yīng)曲線的響應(yīng)速度和穩(wěn)定性，可以得出一組較好的極點(diǎn)以及狀態(tài)反饋矩陣。pole=[-1,-2,-3,-4];K=place(A,B,pole)A1=A-B*K;pole=[-3,-4,-5,-6];K=place(A,B,pole)A2=A-B*K;pole=[-8,-9,-10,-11];K=place(A,B,pole)A3=A-B*K;Matlab計(jì)算程序:極點(diǎn)為[-1,-2,-3,-4]時(shí)：K1=[-4.3530-9.168880.540631.3573]極點(diǎn)為[-3,-4,-5,-6]時(shí)：K2=[-65.2954-62.1306321.1232124.8984]極點(diǎn)為[-8,-9,-10,-11]時(shí)：K3=[-1436.5-613.53121.3986.3]計(jì)算結(jié)果:極點(diǎn)配置2023/11/202.階躍輸入下的響應(yīng)Matlab計(jì)算程序:sys1=ss(A1,B,C,D);curve1=step(sys1);sys2=ss(A2,B,C,D);curve2=step(sys2);sys3=ss(A3,B,C,D);curve3=step(sys3);figure;holdon;plot(curve1(:,1),'color','blue');plot(curve2(:,1),'color','red');plot(curve3(:,1),'color','green');xlabel(‘時(shí)間（s）');ylabel(‘位移（m）');holdofffigure;holdon;plot(curve1(:,2),'color','blue');plot(curve2(:,2),'color','red');plot(curve3(:,2),'color','green');xlabel(‘時(shí)間（s）');ylabel(‘?dāng)[動(dòng)角度（rad）');holdoff極點(diǎn)配置2023/11/202.階躍輸入下不同狀態(tài)反饋矩陣K的響應(yīng)曲線極點(diǎn)配置2023/11/202.白噪聲輸入下不同狀態(tài)反饋矩陣K的響應(yīng)曲線。Matlab計(jì)算程序:figurey1=wgn(100,1,0);t=1:100;sys=ss(A,B,C,D);lsim(sys,y1,t);sys1=ss(A1,B,C,D);curve1=lsim(sys1,y1,t);sys2=ss(A2,B,C,D);curve2=lsim(sys2,y1,t);sys3=ss(A3,B,C,D);curve3=lsim(sys3,y1,t);figure;holdon;plot(curve1(:,1),'color','blue');plot(curve2(:,1),'color','red');plot(curve3(:,1),'color','green');xlabel(‘時(shí)間（s）');ylabel(‘位移（m）');holdofffigure;holdon;plot(curve1(:,2),'color','blue');plot(curve2(:,2),'color','red');plot(curve3(:,2),'color','green');xlabel(‘時(shí)間（s）');ylabel(‘?dāng)[動(dòng)角度（rad）');holdoff極點(diǎn)配置2023/11/202.白噪聲輸入下不同狀態(tài)反饋矩陣K的響應(yīng)曲線狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)2023/11/20系統(tǒng)能觀，故可以設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器。設(shè)置極點(diǎn)設(shè)為-2,-3,-4,-51.全維狀態(tài)觀測(cè)器Matlab計(jì)算程序:全維觀測(cè)器方程:A=[0100;0-0.08430.15020;0001.0000;0-0.05636.64370;]C=[1,0,0,0;

0,0,1,0;]op=[-2,-3,-4,-5];G=(place(A,C',op))‘;G=[3.998,-0.003487603.4,-2207.0