專題12 二次函數(shù)中的存在性問題專訓(xùn)（原卷版）

專題12二次函數(shù)中的存在性問題專訓(xùn)【題型目錄】題型一二次函數(shù)中直角三角形的存在性問題題型二二次函數(shù)中等腰三角形的存在性問題題型三二次函數(shù)中等腰直角三角形的存在性問題題型四二次函數(shù)中特殊角度的存在性問題題型五二次函數(shù)中平行四邊形的存在性問題題型六二次函數(shù)中矩形的存在性問題題型七二次函數(shù)中菱形的存在性問題題型八二次函數(shù)中正方形的存在性問題【經(jīng)典例題一二次函數(shù)中直角三角形的存在性問題】【例1】（2023秋·陜西安康·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知拋物線的頂點坐標為，與x軸交于A、B兩點（點A在點B的右側(cè)），與y軸交于點，點P在所在直線下方的拋物線上，過點P作軸，交于點D．

備用圖(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；(2)連接，問是否存在點P，使得是直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【變式訓(xùn)練】1．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考一模）拋物線經(jīng)過A、、三點．點D為拋物線的頂點，連接、、、．(1)求拋物線的解析式；(2)在y軸上是否存在一點E，使為直角三角形？若存在，請你直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由．2．（2023春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標系中，直線l：與x軸，y軸分別交于點A，B，拋物線經(jīng)過點B，且與直線l的另一個交點為．(1)求n的值和拋物線的解析式．(2)已知P是拋物線上位于直線下方的一動點（不與點B，C重合），設(shè)點P的橫坐標為a．當(dāng)a為何值時，的面積最大，并求出其最大值．(3)在拋物線上是否存在點M，使是以為直角邊的直角三角形？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．3．（2023春·山東菏澤·九年級菏澤市牡丹區(qū)第二十一初級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知拋物線的頂點坐標為，且與y軸交于點，與x軸交于A、B兩點（點A在點B的右側(cè)），點P是該拋物線上一動點，從點C沿拋物線向點A運動（點P與A不重合），過點P作軸，交線段于點D．(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)，的長度為l，求l與x的函數(shù)關(guān)系式，并求l的最大值；(3)當(dāng)是直角三角形時，求點P的坐標．【經(jīng)典例題二二次函數(shù)中等腰三角形的存在性問題】【例2】（2023秋·廣東湛江·九年級?？计谀┤鐖D，拋物線的頂點為，與軸相交于點，與軸交于點，（點在點的左邊）．(1)求拋物線的解析式．(2)如圖，連接，，．試判定的形狀，并說明理由；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點，使是等腰三角形？若存在，請求出點的坐標，若不存在，請說明理由；【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣西南寧·九年級?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標系中，拋物線過點，．(1)求拋物線的解析式；(2)在軸是否存在一個動點，使是以為腰的等腰三角形，若存在，求出點的坐標；(3)平移拋物線，平移后的頂點為，如果，設(shè)直線，在這條直線的右側(cè)原拋物線和新拋物線的均隨的增大而增大，求的取值范圍．2．（2023春·廣東云浮·九年級校考階段練習(xí)）如圖，已知拋物線與x軸相交于點A和點B（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，連接，點E在線段上運動．(1)求拋物線的對稱軸和直線的解析式．(2)過點E作x軸的垂線，交拋物線于點D，求的最大值和此時點D的坐標．(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得以為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．3．（2023秋·吉林·九年級統(tǒng)考期末）如圖，拋物線經(jīng)過，兩點，并且與軸交于點．(1)求此拋物線的解析式；(2)直接寫出直線的解析式為___________；(3)若點是第一象限的拋物線上的點，且橫坐標為，過點作軸的垂線交于點，設(shè)的長為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式及的最大值；(4)在軸的負半軸上是否存在點，使以，，三點為頂點的三角形為等腰三角形？如果存在，直接寫出點的坐標；如果不存在，說明理由．【經(jīng)典例題三二次函數(shù)中等腰直角三角形的存在性問題】【例3】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，已知拋物線與x軸交于，B兩點，頂點為，E為對稱軸上一點，D，F(xiàn)為拋物線上的點（點D位于對稱軸左側(cè)），且四邊形為正方形．(1)求該拋物線的解析式；(2)如圖1，求正方形的面積；(3)如圖2，連接，與交于點M，與y軸交于點N，若P為拋物線上一點，Q為直線上一點，且P，Q兩點均位于直線下方，當(dāng)是以點M為直角頂點的等腰直角三角形時，求點P的坐標．【變式訓(xùn)練】1．（2023·寧夏銀川·?？级＃┤鐖D，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于點A，B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，拋物線頂點為點D．(1)求B，C，D三點坐標；(2)如圖1，拋物線上有E，F(xiàn)兩點，且EF//x軸，當(dāng)△DEF是等腰直角三角形時，求線段EF的長度；(3)如圖2，連接BC，在直線BC上方的拋物線上有一動點P，當(dāng)△PBC面積最大時，點P坐標．2．（2023春·海南省直轄縣級單位·八年級文昌中學(xué)?？计谀┤鐖D，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．

(1)求拋物線的解析式；(2)點是拋物線的頂點，請畫出四邊形，并求出四邊形的面積；(3)點是拋物線上一動點，設(shè)點的橫坐標為，點為拋物線對稱軸上一點．若是等腰直角三角形，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標，并寫出其中一種情況的計算過程．3．（2023·吉林松原·校聯(lián)考三模）在平面直角坐標系中，已知拋物線(a為常數(shù)，且)，此拋物線與y軸交于點A，過點A作y軸的垂線與此拋物線交于點B，點A與點B不重合．

(1)拋物線的對稱軸為直線_______；(2)當(dāng)拋物線經(jīng)過坐標原點時，①求此拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)表達式；②當(dāng)(m為常數(shù))時，y的最小值為，求m的值；(3)若點P是拋物線對稱軸上的點，其縱坐標為，當(dāng)以點A，B，P三個點為頂點的三角形是等腰直角三角形時，求出a的值．【經(jīng)典例題四二次函數(shù)中特殊角度的存在性問題】【例4】（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考二模）如圖，已知拋物線M交x軸于與兩點，交y軸于點，點在拋物線上運動．(1)求出拋物線的解析式；(2)是否存在點（在上方），使得？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東汕頭·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知拋物線與軸交于點，，與軸交于點．點是拋物線上一動點，且在直線的下方，過點作軸，垂足為，交直線于點．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)連接，若，求點的坐標；(3)連接，求四邊形面積的最大值．2．（2023·山西晉城·校聯(lián)考模擬預(yù)測）綜合與探究拋物線與軸交于A，兩點（點A在點的左側(cè)），與軸交于點．已知點A的坐標為，點的坐標為，是線段上的一個動點，點從點出發(fā)沿方向向點A移動，運動速度為每秒2個單位長度，過點作軸的垂線，與拋物線交于點，設(shè)點的運動時間為．(1)求拋物線的函數(shù)表達式和點的坐標．(2)如圖1，當(dāng)時，作直線，是直線上方拋物線上一點，連接，，是拋物線對稱軸上的一個動點．當(dāng)?shù)拿娣e最大，且是等腰三角形時，請直接寫出點的坐標．(3)如圖2，連接，，是否存在某一時刻，使？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．3．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點和點，與軸交于點，且頂點的坐標為，對稱軸與直線交于點，與軸交于點，連接．

(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)點在上方二次函數(shù)圖象上，且的面積等于6，求點的坐標；(3)在二次函數(shù)圖象上是否存在一點，使得？若存在，求出直線與軸的交點的坐標；若不存在，請說明理由．【經(jīng)典例題五二次函數(shù)中平行四邊形的存在性問題】【例5】（2023秋·山西大同·九年級大同一中?？计谀┤鐖D，拋物線與軸交于，兩點，直線與拋物線交于、兩點，與軸交于點．

(1)求出拋物線與直線的解析式；(2)已知點為線段上一動點，過點作軸的平行線交拋物線于點，連接、，求的最大面積；(3)若點是軸上的一動點，點是拋物線上一動點，當(dāng)以點、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，請你直接寫出符合條件的點的坐標．【變式訓(xùn)練】1．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點，拋物線與軸相交于點，，頂點為A點，連接．

(1)點A的坐標和的度數(shù)；(2)將拋物線向右平移個單位長度，再向下平移個單位長度，得到拋物線其頂點為連接和，把沿翻折得到四邊形，試判斷其形狀，說明理由；(3)在（2）的情況下，判斷點是否在拋物線上，請說明理由；(4)為軸上的一個動點，在拋物線上是否存在點，使以，，，為頂點的四邊形平行四邊形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．2．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，直線過點B，與y軸交于點D，點C與點D關(guān)于x軸對稱．點P是線段上一動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點M，交直線于點N．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求點P的坐標；(3)在（2）的條件下，在y軸上是否存在點Q，使得以Q，M，N，D為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，求出點Q的坐標；若不存在；說明理由3．（2023春·山東日照·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點C，對稱軸為直線，點的坐標為．

(1)求該拋物線的表達式及頂點坐標；(2)在直線的下方的拋物線上存在一點M，使得的面積最大，請求出點M的坐標(3)點F是拋物線上的動點，點D是拋物線頂點坐標，作交軸于點，是否存在點F，使得以A、D、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請寫出所有符合條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由．【經(jīng)典例題六二次函數(shù)中矩形的存在性問題】【例6】（2023·北京朝陽·統(tǒng)考二模）圖1是一塊鐵皮材料的示意圖，線段長為，曲線是拋物線的一部分，頂點C在的垂直平分線上，且到的距離為．以中點O為原點，建立如圖2所示的平面直角坐標系．

(1)求圖2中拋物線的表達式（不要求寫出自變量的取值范圍）；(2)要從此材料中裁出一個矩形，使得矩形有兩個頂點在上，另外兩個頂點在拋物線上，求滿足條件的矩形周長的最大值．【變式訓(xùn)練】1．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與坐標軸相交于，兩點，點D為直線下方拋物線上一動點，過點D作x軸的垂線，垂足為G；交直線于點E．(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)求的最大值；(3)過點B的直線交y軸于點C，交直線于點F，H是y軸上一點，當(dāng)四邊形是矩形時，求點H的坐標．2．（2023·山東泰安·校考二模）如圖所示，在平面直角坐標系中，直線交坐標軸于B、C兩點，拋物線經(jīng)過B、C兩點，且交x軸于另一點．點D為拋物線在第一象限內(nèi)的一點，過點D作，交于點P，交x軸于點Q．(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)點P的橫坐標為m，在點D的移動過程中，存在，求出m值；(3)在拋物線上取點E，在平面直角坐標系內(nèi)取點F，問是否存在以C、B、E、F為頂點且以為邊的矩形？如果存在，請求出點F的坐標；如果不存在，請說明理由．3．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）綜合與探究如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，．

(1)求拋物線解析式，并直接寫出直線的解析式；(2)點在此拋物線的對稱軸上，當(dāng)最大時，點的坐標為______；(3)若點是第三象限內(nèi)拋物線上的一個動點，過點作軸于點，交于點，過點作交直線于點，求周長的最大值及此時點的坐標；(4)點在拋物線上，在平面內(nèi)是否存在點，使以點、、、為頂點的四邊形是以為邊的矩形，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【經(jīng)典例題七二次函數(shù)中菱形的存在性問題】【例7】（2023·西藏拉薩·統(tǒng)考一模）如圖，已知經(jīng)過，兩點的拋物線與軸交于點．(1)求此拋物線的解析式及點的坐標；(2)若線段上有一動點不與、重合，過點作軸交拋物線于點．①求當(dāng)線段的長度最大時點M的坐標；②是否存在一點，使得四邊形為菱形？若存在，求出的坐標；若不存在，請說明理由．【變式訓(xùn)練】1．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線L：與x軸交于，兩點，其對稱軸直線l與x軸交于點D．(1)求拋物線L的函數(shù)表達式．(2)將拋物線L向左平移得到拋物線，當(dāng)拋物線經(jīng)過原點時，與原拋物線的對稱軸相交于點E，點F為拋物線對稱軸上的一點，點M是平面內(nèi)一點，若以點A，E，F(xiàn)，M為頂點的四邊形是以為邊的菱形，請求出滿足條件的點M的坐標．2．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，拋物線與軸交于點和點．與軸交于點，連接．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點是第二象限內(nèi)拋物線上的一點，當(dāng)點到，距離相等時，求點的坐標；(3)如圖2，點在拋物線上，點在直線上，在拋物線的對稱軸上是否存在點，使四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．3．（2023秋·重慶南川·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與軸于，兩點，與y軸交于C點，點P是直線BC下方拋物線上一動點．(1)求這個二次函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)動點Р運動到什么位置時，使四邊形ACPB的面積最大，求出此時四邊形ACPB的面積最大值和P的坐標；(3)如圖2，點M在拋物線對稱軸上，點N是平面內(nèi)一點，是否存在這樣的點M、N，使得以點M、N、A、C為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有M點的坐標；若不存在，請說明理由．【經(jīng)典例題八二次函數(shù)中正方形的存在性問題】【例8】（2023·陜西西安·校考三模）如圖，拋物線與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C．點B坐標為，點C坐標為，點D是拋物線的頂點．(1)求拋物線的解析式及點D的坐標；(2)點M是拋物線上的動點，過點M作軸與拋