2024屆高考數(shù)學一輪總復習專題三數(shù)列的綜合問題課件

專題三數(shù)列的綜合問題

數(shù)列是歷年高考的熱點，根據(jù)近幾年高考試題統(tǒng)計，全國卷中的數(shù)列與三角函數(shù)基本上交替考查，難度不大.考查多從等差數(shù)列、等比數(shù)列這兩個特殊的數(shù)列入手，考查內容主要集中在兩個方面：一是以選擇題和填空題的形式考查等差、等比數(shù)列的運算和性質，題目多為常規(guī)試題；二是等差、等比數(shù)列的通項與求和問題，有時結合函數(shù)、方程、不等式等進行綜合考查，涉及內容較為全面，試題題型規(guī)范、方法可循.題型一等差、等比數(shù)列的綜合問題

等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應用時常出現(xiàn)在全國各地高考試卷中，主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本概念、基本公式、基本性質及基本運算，對于Sn與an的關系式，備考復習時應該予以重視.[例1](2022年濱州市模擬)已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝2，b2＝4，an＝2log2bn，n∈N*.(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；(2)設數(shù)列{an}中不在數(shù)列{bn}中的項按從小到大的順序構成數(shù)列{cn}，記數(shù)列{cn}的前n項和為Sn，求S100.解：(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d，因為b2＝4，所以a2＝2log2b2＝4，所以d＝a2－a1＝2，所以an＝2＋(n－1)×2＝2n.又因為an＝2log2bn，即2n＝2log2bn，所以n＝log2bn，所以bn＝2n.(2)由(1)得bn＝2n＝2·2n-1＝，即bn是數(shù)列{an}中的第2n-1項.設數(shù)列{an}的前n項和為Pn，數(shù)列{bn}的前n項和為Qn，因為b7＝＝a64，b8＝

＝a128，所以數(shù)列{cn}的前100項是由數(shù)列{an}的前107項去掉數(shù)列{bn}的前7項后構成的，

【題后反思】對等差、等比數(shù)列的綜合問題，應重點分析等差、等比數(shù)列項之間的關系.數(shù)列的求和主要是等差、等比數(shù)列的求和及裂項相消法求和與錯位相減法求和，本題中利用裂項相消法求數(shù)列的和，然后利用b1＝1，d＞0證明不等式成立.另外本題在探求{an}與{cn}的通項公式時，考查累加、累乘兩種基本方法.【互動探究】1.已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5.(1)求{an}的通項公式；(2)求b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1.解：(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d.因為a1＝1，a2＋a4＝10，所以2a1＋4d＝10，解得d＝2.所以an＝2n－1.(2)設等比數(shù)列{bn}的公比為q.因為b2b4＝a5，所以b1q·b1q3＝9.又因為b1＝1，所以q2＝3.所以b2n－1＝b1q2n-2＝3n-1.題型二數(shù)列與不等式的綜合問題

數(shù)列與不等式知識相結合的考查方式主要有三種：一是判斷數(shù)列問題中的一些不等關系；二是以數(shù)列為載體，考查不等式的恒成立問題；三是考查與數(shù)列問題有關的不等式的證明.在解決這些問題時，如果是證明題要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法等.如果是解不等式問題，要使用不等式的各種不同解法，如數(shù)軸法、因式分解法等.解：若選擇條件①，令2n－6>0，得n>3，bn>0；令2n－6<0，又n∈N*，∴0<n<3，bn<0.∵2Sn＝3n+1－3，∴2Sn＋1＝3n+2－3，則2Sn＋1－2Sn＝3n+2－3n+1，得2an＋1＝3·3n+1－3n+1＝2×3n+1，則an＋1＝3n+1，an＝3n(n≥2)，故當n＝1時，2S1＝31+1－3即a1＝S1＝3，滿足an＝3n，【互動探究】題型三數(shù)列與函數(shù)的交匯因為q＞1，所以a2＝4，a3＝8，故q＝2，

答案：1022

【題后反思】數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題關鍵在于通過函數(shù)關系尋找數(shù)列的遞推關系，求出數(shù)列的通項或前n項和，再利用數(shù)列或數(shù)列對應的函數(shù)解決最值、極值、范圍問題，通過放縮進行不等式的證明.

【互動探究】解：(1)設{an}的公差為d(d≠0)，則S1＝a1，S2＝2a1＋d，S4＝4a1＋6d.因為S1，S2，S4成等比數(shù)列，所以a1·(4