2024屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)專題一高考中的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題第3課時利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點課件

第3課時利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點

函數(shù)的零點問題綜合了函數(shù)、方程、不等式等多方面的知識，考查轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合及函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想.函數(shù)的零點問題常與其他知識相結(jié)合綜合出題，解題難度較大，判斷零點存在性及零點個數(shù)是考查的一個熱點.題型一數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點令f′(x)＝0，得x＝e.當x∈(0，e)時，f′(x)<0；當x∈(e，＋∞)時，f′(x)>0，∴f(x)在(0，e)上單調(diào)遞減，在(e，＋∞)上單調(diào)遞增，∴當x＝e時，f(x)取得極小值f(e)＝2.則φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1).當x∈(0，1)時，φ′(x)>0，φ(x)在(0，1)上單調(diào)遞增；當x∈(1，＋∞)時，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減.∴x＝1是φ(x)的唯一極值點，且是極大值點，因此x＝1也是結(jié)合y＝φ(x)的圖象(如圖2-1)，可知：圖2-1【反思感悟】

含參數(shù)的函數(shù)的零點個數(shù)，可轉(zhuǎn)化為方程解的個數(shù).若能分離參數(shù)，可將參數(shù)分離出來后，用x表示參數(shù)的函數(shù)，作出該函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象特征求參數(shù)的范圍.【互動探究】解：(1)當a＝4時，g(x)＝(－x2＋4x－3)ex，g′(x)＝ex(－x2＋2x＋1)，∴g′(1)＝2e，又g(1)＝0，∴切線的斜率為2e，切點為(1，0).∴所求的切線方程為y－0＝2e(x－1)，即y＝2e(x－1).圖D17題型二函數(shù)性質(zhì)法研究函數(shù)的零點[例2]已知函數(shù)f(x)＝xsinx＋cosx，g(x)＝x2＋4.(1)討論f(x)在[－π，π]上的單調(diào)性；(2)令h(x)＝g(x)－4f(x)，試證明h(x)在R上有且僅有三個零點.(2)證明：h(x)＝x2＋4－4xsinx－4cosx，∵h(－x)＝x2＋4－4xsinx－4cosx＝h(x)，∴h(x)為偶函數(shù).又∵h(0)＝0，∴x＝0為函數(shù)h(x)的零點.下面討論h(x)在(0，＋∞)上的零點個數(shù)：h(x)＝x2＋4－4xsinx－4cosx＝x(x－4sinx)＋4(1－cosx).當x∈[4，＋∞)時，x－4sinx>0，4(1－cos

x)≥0，又h(0)＝0，且h(4)＝20－16sin4－4cos4>0，綜上，h(x)在(0，＋∞)上有唯一零點，又h(0)＝0且h(x)為偶函數(shù)，故h(x)在R上有且僅有三個零點.【反思感悟】

利用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)的零點，主要是根據(jù)函數(shù)單調(diào)性、最值或極值的符號確定函數(shù)零點的個數(shù)，此類問題在求解過程中可以通過數(shù)形結(jié)合的方法確定函數(shù)存在零點的條件.【互動探究】2.已知函數(shù)f(x)＝ex－ax－1(a∈R)(e是自然對數(shù)的底數(shù)).(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；解：(1)因為f(x)＝ex－ax－1，所以f′(x)＝ex－a，當a≤0時，f′(x)>0恒成立，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)，無單調(diào)遞減區(qū)間；當a>0時，令f′(x)<0，得x<lna，令f′(x)>0，得x>lna，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，lna)，單調(diào)遞增區(qū)間為(lna，＋∞).綜上，當a≤0時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)，無單調(diào)遞減區(qū)間；當a>0時，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，lna)，單調(diào)遞增區(qū)間為(lna，＋∞).由(1)知，當a≤0時，f(x)在R上單調(diào)遞增；當a>0時，f(x)在(－∞，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，＋∞)上單調(diào)遞增.①若a≤0，由f(0)＝0，知f(x)在區(qū)間[0，1]上有一個零點；②若a>0且ln

a≤0，即0<a≤1，則f(x)在[0，1]上單調(diào)遞增，所以f(x)在[0，1]上有一個零點；③若0<lna<1，即1<a<e，則f(x)在(0，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，1)上單調(diào)遞增，又f(1)＝e－a－1，所以當e－a－1≥0，即1<a≤e－1時，f(x)在[0，1]上有兩個零點，當e－a－1<0，即e－1<a<e時，f(x)在[0，1]上有一個零點；題型三構(gòu)造函數(shù)法求函數(shù)的零點(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當m≥1時，討論f(x)與g(x)圖象的交點個數(shù).②當m>1時，0<x<1或x>m時，F(xiàn)′(x)<0，1<x<m時，F(xiàn)′(x)>0，所以函數(shù)F(x)在(0，1)和(m，＋∞)上單調(diào)遞減，在(1，m)上以F(x)有唯一零點.綜上，函數(shù)F(x)有唯一零點，即函數(shù)f(x)與g(x)的圖象總有一個交點.【反思感悟】

(1)涉及函數(shù)的零點(方程的根)問題，主要利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點.根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)尋找函數(shù)在給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端點的函數(shù)值與0的關(guān)系，從而求得參數(shù)的取值范圍. (2)解決此類問題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)F