橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程課件

橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程“嫦娥二號”于2010年10月1日18時59分57秒在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空一:認(rèn)識橢圓一:認(rèn)識橢圓一:認(rèn)識橢圓一:認(rèn)識橢圓生活中的橢圓一:認(rèn)識橢圓二:嘗試探究、形成概念取一條定長的細(xì)繩;(1)若把它的兩端用圖釘固定在紙板上同一點處，用鉛筆尖把繩子拉直,使筆尖在紙板上慢慢移動，畫出的軌跡是一個圓。(2)若繩子的兩端拉開一段距離,再分別固定在紙板的兩點處，用鉛筆尖把繩子拉直,使筆尖在紙板上慢慢移動，畫出的軌跡是什么曲線？動手實驗(親身體驗)圓的定義圓OP

平面內(nèi)與一個定點的距離等于常數(shù)(大于0)的點的軌跡叫作圓.這個定點叫做圓的圓心,

定長叫做圓的半徑.

圓的定義：

平面內(nèi)與兩個定點的距離和等于常數(shù)(大于

)的點的軌跡叫作橢圓。21FF橢圓的定義：二:嘗試探究、形成概念

類比橢圓橢圓的定義MF2F1這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.F1F2M

平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡叫橢圓。

這兩個定點F1、F2叫做橢圓的焦點兩焦點之間的距離叫做橢圓的焦距。橢圓的定義兩個問題：①為什么要強(qiáng)調(diào)在平面內(nèi)？②為什么要強(qiáng)調(diào)繩長大于兩焦點的距離？三:概念透析平面內(nèi)：圓OP空間中空間中球面橢球面①為什么要強(qiáng)調(diào)在平面內(nèi)？三:概念透析平面內(nèi)：橢圓MF2F1繩長=＝繩長＜②為什么要強(qiáng)調(diào)繩長大于兩焦點的距離？注：定長所成曲線是橢圓定長所成曲線是線段定長無法構(gòu)成圖形理解定義的內(nèi)涵和外延數(shù)學(xué)概念是嚴(yán)謹(jǐn)、嚴(yán)密的，要多琢磨！多培養(yǎng)自己的嚴(yán)謹(jǐn)意識！步驟一：建立直角坐標(biāo)系；步驟二：設(shè)動點坐標(biāo)；步驟三：限制條件，列方程；步驟四：代入坐標(biāo)步驟五：化簡方程?；仡櫍呵笄€方程的步驟四:橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)（坐標(biāo)法）OxyOxyOxyOxy?探討建立平面直角坐標(biāo)系的方案建立平面直角坐標(biāo)系通常遵循的原則：對稱、“簡潔”MF1F2方案一F1F2方案二OxyM學(xué)生活動xF1F2Moy解：取過焦點F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系(如圖).

設(shè)M(x,y)是橢圓上任意一點，橢圓的焦距2c(c>0)，M與F1和F2的距離的和等于正常數(shù)2a(2a>2c)

，則F1、F2的坐標(biāo)分別是(

c,0)、(c,0).建構(gòu)數(shù)學(xué)問題：上式如何化簡呢？由橢圓的定義得，限制條件：代入坐標(biāo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)碰到這么有規(guī)律的代數(shù)式一定要好好研究，總結(jié)一下，積累下來！方案(1):

兩邊直接平方.(太繁瑣）方案(2):

考慮兩個根號下代數(shù)式的相似性這樣化簡可以減少平方次數(shù),而且為后面學(xué)習(xí)第二定義作了鋪墊為表述方便記：則m+n=2a

①又因為:

m-n=②化簡得即展開得兩邊除以①+②得2m=2a+得m=a+兩邊平方得xac2222222cayxaca-=+-則方程可化為即數(shù)學(xué)中的求美、求簡意識觀察左圖，你能從中找出表示a、c、的線段嗎？思考？橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程=b思考？如右圖,如果焦點F1、F2在y軸上,且坐標(biāo)分別為(0,

c),(0,c),a，b的意義同上，那么此時橢圓的方程是什么？橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在x上OXF1F2M(0,-c)(0,c)Y焦點在y上橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（兩種形式）方程特點(2)在橢圓兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，總有a>b>0；(3)焦點在分母較大的變量所對應(yīng)的坐標(biāo)軸上；(1)方程的左邊是兩項平方和的形式，等號的右邊是1；(4)a:表示橢圓上任意一點P到F1、F2距離和的一半(長半軸長)c:表示半焦距.且有關(guān)系式成立。焦點在x上焦點在y上OF1F2OF1F2隨堂練習(xí)1下列方程哪些表示的是橢圓,如果是,判斷它的焦點在哪個坐標(biāo)軸上？(3)已知橢圓上一點P到左焦點F1的距離等于6，則點P到右焦點的距離是

；(4)若CD為過左焦點F1的弦，則?CF1F2的周長為

，

?F2CD的周長為

。

已知橢圓方程為,則(1)a=

,b=

,c=

;(2)焦點在

軸上,其焦點坐標(biāo)為

,

焦距為

。隨堂練習(xí)2F1F2CD543(-3,0)、(3,0)6x41620變式一:將上題焦點改為(0，-4)、(0，4),結(jié)果如何？變式二:將上題改為兩個焦點的距離為8，橢圓上一點P到兩焦點的距離和等于10，結(jié)果如何？當(dāng)焦點在X軸時，方程為：當(dāng)焦點在Y軸時，方程為：寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程隨堂練習(xí)3已知兩個焦點的坐標(biāo)分別是(-4,0)、(4,0)，橢圓上一點P到兩焦點距離的和等于10；隨堂練習(xí)4方程表示的曲線是橢圓，求k的取值范圍.變式：(1)方程表示焦點在y軸上的橢圓,求k的取值范圍.(2)方程表示焦點坐標(biāo)為(±2，0)的橢圓，求k的值.k>0且k≠5/4

k>5/4k＝1/4

【錯解】

由橢圓方程知，a2＝4，b2＝m，∴a2－b2＝4－m.∵2c＝2，∴c＝1，∴4－m＝1，∴m＝3.【錯因】

忽視了對焦點在哪一坐標(biāo)軸上的討論．【正解】

當(dāng)焦點在x軸上時，a2＝4，b2＝m.又∵2c＝2，∴c＝1，∴4－m＝1，m＝3.當(dāng)焦點在y軸上時，a2＝m，b2＝4.又∵2c＝2，∴c＝1，∴m－4＝1，∴m＝5.綜上，m的值為3或5.

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