海南大學(xué)電磁場與電磁波第四版第一章矢量分析

電磁場與電磁波ElectromagneticFields

&MagneticWave

蔡汝元Telail:caruy@163.com第一周星期五3-4節(jié)4-204的課改在第二周星期一晚上9,10,11節(jié)地點(diǎn)：4-202前言一電磁場理論的主要研究領(lǐng)域、應(yīng)用方向二課程的結(jié)構(gòu)體系、內(nèi)容學(xué)習(xí)的目的、方法及其要求學(xué)習(xí)的有關(guān)資源電磁場與波理論推導(dǎo)、求解的觀點(diǎn)方法（場與路的結(jié)合）、結(jié)論環(huán)環(huán)相扣（特定的條件）研究天線、天線陣列、雷達(dá)?；鶐щ娐罚姶偶嫒?、信號完整性、高速電路設(shè)計）RFID(射頻集成電路）模擬信號的發(fā)射、接受（頻率、功率、阻抗）媒質(zhì)、信道特性電磁力定義指標(biāo)、單位、測量方式一：應(yīng)用方向

二：課程體系結(jié)構(gòu)

理論問題圍繞一張場圖展開：5場源場量媒質(zhì)位函數(shù)邊界條件能量結(jié)構(gòu)、參數(shù)公式較多（注意公式的物理意義，使用條件），掌握核心公式。重要的結(jié)論、電磁現(xiàn)象盡可能推導(dǎo)一遍，(壓縮恒定場、突出時變場)通信領(lǐng)域：關(guān)心信道的傳播特性、依波段、功率、傳輸線型研究器件結(jié)構(gòu)，指標(biāo)的測試等問題，由第七章、第八章引導(dǎo)進(jìn)入微波技術(shù)這門課。電磁波在無線領(lǐng)域的三大應(yīng)用方向：傳輸能量、傳遞信息、探測目標(biāo)，有著廣泛的應(yīng)用。掌握宏觀電磁場的基本屬性和運(yùn)動規(guī)律（麥?zhǔn)戏匠探M、波動方程）掌握宏觀電磁場問題的基本求解方法（矢磁位、電位的使用）了解宏觀電磁場的主要應(yīng)用領(lǐng)域及其原理（理解電磁現(xiàn)象）三學(xué)習(xí)的目的、方法及其要求訓(xùn)練分析問題、歸納問題的科學(xué)方法培養(yǎng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力獨(dú)立完成作業(yè)，做好課堂筆記精讀一本教學(xué)參考書（習(xí)題解答有電子版）后續(xù)微波技術(shù)與天線的學(xué)習(xí)，要進(jìn)一步研究器件結(jié)構(gòu)、特性（有關(guān)教學(xué)視頻）、指標(biāo)，掌握有關(guān)的仿真平臺使用（mathcad，ADS等）、測量儀器的使用等四：教學(xué)資源及主要教學(xué)參考書電磁場的精品課程網(wǎng)站（武漢大學(xué)、廈門大學(xué))

電磁場與微波論壇如（與非網(wǎng)的電磁場論壇）

【1】

謝處方，電磁場與電磁波，高等教育出版社包括習(xí)題解答【2】

周朗希等，電磁場與微波基礎(chǔ)（上、下冊），東南大學(xué)出版社【3】JinAuKong電磁波理論電子工業(yè)出版社11第一章矢量分析12本章內(nèi)容1.1矢量代數(shù)1.2

常用正交曲線坐標(biāo)系1.3

標(biāo)量場的梯度1.4

矢量場的通量與散度1.5

矢量場的環(huán)流和旋度1.6

無旋場與無散場1.7

拉普拉斯運(yùn)算與格林定理1.8

亥姆霍茲定理（重要）本章要交代矢量運(yùn)算的定義、物理意義及有關(guān)恒等式（附錄），坐標(biāo)系間的基本轉(zhuǎn)換關(guān)系（完成必要的推導(dǎo)），有關(guān)定理6課時141.標(biāo)量和矢量矢量的大小或模：矢量的單位矢量：標(biāo)量：一個只用大小描述的物理量。矢量的代數(shù)表示：1.1矢量代數(shù)矢量：一個既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字母或帶箭頭的字母表示。

矢量的幾何表示：一個矢量可用一條有方向的線段來表示

注意：單位矢量不一定是常矢量。

矢量的幾何表示常矢量：大小和方向均不變的矢量。

一個純矢量表達(dá)式是通用于任何坐標(biāo)系的（基本方程均以純矢量關(guān)系表達(dá))場的關(guān)系通常借助于直角坐標(biāo)推導(dǎo)，改寫成純矢量表達(dá)，延伸到其他指標(biāo)系下使用,在某種具體坐標(biāo)下都有相應(yīng)的展開

場的性質(zhì)不應(yīng)坐標(biāo)系而異（一個坐標(biāo)系下成立的性質(zhì)，其他指標(biāo)下也成立）16矢量用坐標(biāo)分量表示zxy17（1）矢量的加減法

兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對角線,如圖所示。矢量的加減符合交換律和結(jié)合律2.矢量的代數(shù)運(yùn)算矢量的加法矢量的減法

在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：結(jié)合律交換律18（2）標(biāo)量乘矢量（3）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）——矢量的標(biāo)積符合交換律q矢量與的夾角19（4）矢量的矢積（叉積）用坐標(biāo)分量表示為若，則若，則qsinABq矢量與的叉積點(diǎn)P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐標(biāo)系

20qsinABq矢量與的叉積用坐標(biāo)分量表示為寫成行列式形式為記住，重要的推導(dǎo),有何規(guī)律思考：這兩個式子的幾何意義是什么？兩個矢量相等需要什么條件？22（5）矢量的混合運(yùn)算——

分配律——

標(biāo)量三重積式子均可以在直角坐標(biāo)系下證明,借助于幾何意義記住矢量三重組合運(yùn)算的幾何解釋BCA與Ｂ，Ｃ矢量共平面，可以通過伸縮Ｂ，Ｃ矢量來合成－C矢量三重組合運(yùn)算的幾何解釋BCA幾何意義是一個斜立方體的標(biāo)性體積，可以有不同的底面和高來表達(dá)這兩個式子常用于矢量置換，重要（記?。╊}例討論：１．６和１．８25

三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過三條相互正交曲線的交點(diǎn)來確定。1.2三種常用的正交曲線坐標(biāo)系

在電磁場與波理論中，三種常用的正交曲線坐標(biāo)系為：直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系。

三條正交曲線組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱為正交曲線坐標(biāo)系；三條正交曲線稱為坐標(biāo)軸；描述坐標(biāo)軸的量稱為坐標(biāo)變量。具體選用何種坐標(biāo)系有什么原則？(使場源、場量、邊界條件等表達(dá)盡可能維數(shù)少）選擇好合適的坐標(biāo)系，可以大大簡化分析和計算，今后的討論中要注意體會每組坐標(biāo)系有：線元，面元、體元變矢與單位矢量映射位置矢量與距離表達(dá)坐標(biāo)變換等基本關(guān)系注意處理混合坐標(biāo)的運(yùn)算271、直角坐標(biāo)系

位置矢量面元矢量線元矢量體積元坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量

點(diǎn)P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐標(biāo)系

x

yz直角坐標(biāo)系的長度元、面積元、體積元

odzdydx直角坐標(biāo)要注意的內(nèi)在約束關(guān)系，兩維矢量可以隨意表達(dá)，第三維不能隨意，要嚴(yán)格滿足右手螺旋關(guān)系直角坐標(biāo)系三個方向具有同樣的量綱，表達(dá)距離、夾角通常必須用直角坐標(biāo)系注意：302、圓柱面坐標(biāo)系坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量存在：兩組坐標(biāo)間場量的轉(zhuǎn)換，習(xí)題1.8討論32線元矢量體積元面元矢量注意：各個方向的線元思考：直角坐標(biāo)系與圓柱坐標(biāo)系單位矢量間有什么映射關(guān)系。

ofxy單位圓

直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系

f直角坐標(biāo)單位矢量與圓柱坐標(biāo)系單位矢量的映射關(guān)系難點(diǎn)，不要求強(qiáng)記注意距離、夾角均應(yīng)統(tǒng)一在直角坐標(biāo)系下完成363、球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量（變矢，隨兩個角度）注意幾何意義37球面坐標(biāo)系球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元位置矢量線元矢量體積元面元矢量注意各個方向的線元的表達(dá)坐標(biāo)變換關(guān)系距離、角度等問題仍需轉(zhuǎn)換為直角來進(jìn)行球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)間的單位矢量映射關(guān)系（難點(diǎn)，不要求強(qiáng)記）略加說明404、坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系

直角坐標(biāo)與圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)與球坐標(biāo)系直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)系oqrz單位圓

柱坐標(biāo)系與求坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系qq

ofxy單位圓

直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系

f*上述關(guān)系可以寫成矩陣形式*單位矢量映射關(guān)系常用于混合坐標(biāo)下矢量運(yùn)算時的

統(tǒng)一坐標(biāo)*本課時作業(yè):

（1）什么是電磁兼容和信號完整性？（2）證明球坐標(biāo)下的位置矢量表達(dá)（3）（4）習(xí)題1.941圓柱坐標(biāo)下的矢量在直角坐標(biāo)中如何表達(dá)?球坐標(biāo)在表達(dá)點(diǎn)源的場量關(guān)系時經(jīng)常使用討論習(xí)題1.10*梯度運(yùn)算的物理意義和基本性質(zhì),相關(guān)題例說明*哈密頓算符的表達(dá)*通量,散度運(yùn)算的物理意義*三大坐標(biāo)系的散度公式推導(dǎo)*高斯定理,相關(guān)恒等式43第二次課要點(diǎn);441.3標(biāo)量場的梯度如果物理量是標(biāo)量，稱該場為標(biāo)量場。例如：溫度場、電位場、高度場等。如果物理量是矢量，稱該場為矢量場。例如：流速場、重力場、電場、磁場等。如果場與時間無關(guān)，稱為靜態(tài)場，反之為時變場。時變標(biāo)量場和矢量場可分別表示為：

確定空間區(qū)域上的每一點(diǎn)都有確定物理量與之對應(yīng)，稱在該區(qū)域上定義了一個場。從數(shù)學(xué)上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：標(biāo)量場和矢量場靜態(tài)標(biāo)量場和矢量場可分別表示為：45標(biāo)量場的等值面

標(biāo)量場的等值線(面)等值面:標(biāo)量場取得同一數(shù)值的點(diǎn)在空間形成的曲面。等值面方程：常數(shù)C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；標(biāo)量場的等值面充滿場所在的整個空間；標(biāo)量場的等值面互不相交。

等值面的特點(diǎn)：意義:形象直觀地描述了物理量在空間的分布狀態(tài)。46標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場關(guān)心的是物理量的分布變化規(guī)律.增量其中47標(biāo)量場梯度的物理意義等位面上等位面間,增量du相等,路徑dl以法線方向最短,變化率最大梯度代表著場點(diǎn)處標(biāo)量變化率最大的方向和最大變化率(梯度的物理意義）任意方向上的變化率稱為方向?qū)?shù),為梯度在其指定方向en上的投影:482.方向?qū)?shù)意義：方向性導(dǎo)數(shù)表示場沿某方向的空間變化率。概念：

——

u(M)沿方向增加；

——

u(M)沿方向減??；

——

u(M)沿方向無變化。

M0M方向?qū)?shù)的概念

特點(diǎn)：方向性導(dǎo)數(shù)既與點(diǎn)M0有關(guān)，也與方向有關(guān)。問題：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？——

的方向余弦。

式中：

49梯度的表達(dá)式(統(tǒng)一于線元的表達(dá)下)：圓柱面坐標(biāo)系

球面坐標(biāo)系直角面坐標(biāo)系

3、標(biāo)量場的梯度（或）意義：描述標(biāo)量場在某點(diǎn)的最大變化率及其變化最大的方向概念：，其中

取得最大值的方向記住此表達(dá)50標(biāo)量場的梯度是矢量場，它在空間某點(diǎn)的方向表示該點(diǎn)場變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場的空間變化率。標(biāo)量場在某個方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。梯度的性質(zhì)：梯度運(yùn)算的基本公式：標(biāo)量場的梯度垂直于通過該點(diǎn)的等值面（或切平面）51

題例

設(shè)一標(biāo)量函數(shù)

(x,y,z)=x2＋y2－z描述了空間標(biāo)量場。試求：

(1)該函數(shù)

在點(diǎn)P(1,1,1)處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量；

(2)求該函數(shù)

沿單位矢量el=

excos60

＋ey

cos45

＋ezcos60

方向的方向?qū)?shù)，并以點(diǎn)P(1,1,1)處的方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。

解

(1)由梯度計算公式，可求得P點(diǎn)的梯度為52表征其方向的單位矢量

(2)由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知，沿el方向的方向?qū)?shù)為對于給定的P點(diǎn)，上述方向?qū)?shù)在該點(diǎn)取值為53而該點(diǎn)的梯度值為

顯然，梯度描述了P點(diǎn)處標(biāo)量函數(shù)

的最大變化率，即最大的方向?qū)?shù)，故恒成立。關(guān)于距離R的梯度運(yùn)算距離為標(biāo)量,(x,y,z)為場點(diǎn),(x’,y’,z’)為場源所在的源點(diǎn)存在54上述重要結(jié)論的證明見例1.3.1。基本結(jié)論：梯度是對標(biāo)量場的微分運(yùn)算，結(jié)果為矢量梯度代表標(biāo)量場場點(diǎn)處變化率最大的方向和速率記住哈密爾頓算符的具體阻抗掌握各種具體坐標(biāo)系下的梯度運(yùn)算55矢量場關(guān)心的問題圍繞一張場圖展開：56場源場量媒質(zhì)位函數(shù)邊界條件能量結(jié)構(gòu)、參數(shù)借助于流速場，首先解決場量分布已知，場源如何定位？定義什么運(yùn)算來定位場源？其次要明確矢量的場源有那些具體形式，如何分類？通量，散度，環(huán)流，旋度都是相關(guān)的概念。亥姆霍斯回答了場源的類型。57581.4矢量場的通量與散度

1、矢量線

意義：形象直觀地描述了矢量場的空間分布狀態(tài)。矢量線方程：概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一點(diǎn)的切線方向代表了該點(diǎn)矢量場的方向。矢量線oM

592、矢量場的通量

問題：如何定量描述矢量場的大?。恳胪康母拍?。

通量的概念：其中：——面積元矢量；——面積元的法向單位矢量；——穿過面積元dS

的通量；

如果曲面S是閉合的，則規(guī)定曲面法矢由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場對閉合曲面的通量是：面積元矢量60通過閉合曲面有凈的矢量線穿出有凈的矢量線進(jìn)入進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等矢量場通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果

閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場的源的關(guān)系。通量的物理意義矢量閉合面通量的物理意義是尋找場域閉合面內(nèi)標(biāo)性場源的宏觀總量,對標(biāo)性場源的定位是不精確的,需要在點(diǎn)源意義下進(jìn)行定位61623、矢量場的散度divF

為了定量研究場與源之間的關(guān)系，需建立場空間任意點(diǎn)（小體積元）的通量源與矢量場（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利用極限方法得到這一關(guān)系：稱為矢量場的散度。

散度是矢量通過包含該點(diǎn)的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。散度代表著標(biāo)性場源的點(diǎn)密度63柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系散度的表達(dá)式(推導(dǎo)論證)：散度的有關(guān)公式：64直角坐標(biāo)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo)

由此可知，穿出前、后兩側(cè)面的凈通量值為oxy在直角坐標(biāo)系中計算?·FzzDxDyDP

不失一般性，令包圍P點(diǎn)的微體積

V為一直平行六面體，如圖所示。則M(x,y,z)65根據(jù)定義，則得到直角坐標(biāo)系中的散度表達(dá)式為

同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點(diǎn)P穿出該六面體的凈通量為借助于直角坐標(biāo)系推導(dǎo),整理成矢性表達(dá),利用場性質(zhì)不因坐標(biāo)而變的性質(zhì)推廣到其他坐標(biāo)系是非常重要的手段此結(jié)果如何驗(yàn)證？66園柱面坐系散度公式的推導(dǎo)驗(yàn)算結(jié)合習(xí)題1.17證明如下：67球面坐標(biāo)系散度推導(dǎo)(作業(yè)）684、散度定理體積的剖分VS1S2en2en1S

從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場的散度的體積分，即

(物理意義是標(biāo)性場源宏觀總量平衡)

散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用（也是驗(yàn)證散度表達(dá)式是否正確的手段之一）。本章的重要結(jié)論散度定理的幾個應(yīng)用:*驗(yàn)算散度的表達(dá)推導(dǎo)是否正確,如果散度(標(biāo)性點(diǎn)源)的體積分(宏觀總量),與矢量閉合面的積分(宏觀總量)相等,證明散度推導(dǎo)出來的表達(dá)式是正確的習(xí)題1.18求（1）矢量

的散度；（2）求

對中心在原點(diǎn)的一個單位立方體的積分；（3）求

對此立方體表面的積分，驗(yàn)證散度定理。69*散度定理用于積分轉(zhuǎn)換,一個方向計算復(fù)雜換另一個方向可能較簡明。如：換成散度的體積分去完成較快，避免了混合坐標(biāo)的下矢量的面積分計算.70*用于公式整和，尤其是基本方程微分形式和積分形式的相互轉(zhuǎn)換*本課時內(nèi)容小結(jié)71每日練習(xí):習(xí)題1.17,驗(yàn)證散度定理判斷圓柱坐標(biāo)的散度表達(dá)是否正確已知:72面積分方向73體積份方向:因此圓柱坐標(biāo)的散度表達(dá)是正確的7475利用散度定理證明如下結(jié)論:其中:高斯散度定理先證積分方向,在轉(zhuǎn)化微分方向76因此有*本課時要點(diǎn):*了解環(huán)流、旋度運(yùn)算的物理意義，借助直角坐標(biāo)系完成推導(dǎo)，推廣到其他坐標(biāo)系，結(jié)合斯托克斯定理加于驗(yàn)算。*了解主要的矢量恒等式*了解雙重微分運(yùn)算的展開形式*了解亥姆霍茲定理的內(nèi)容，場的分類，位函數(shù)引用的條件*歸納本章要點(diǎn)*討論部分重點(diǎn)習(xí)題77第三次課矢量場的環(huán)流和旋度

78矢量場的環(huán)流與旋渦源

例如：流速場

不是所有的矢量場都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場的力線是閉合的，它對于任何閉合曲面的通量為零。但在場所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。（對于旋渦源，矢量閉合面的積分恒等于零，需要定義其他的運(yùn)算）1.5矢量場的環(huán)流和旋度79

如磁場沿任意閉合曲線的積分與通過閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即：上式建立了磁場的環(huán)流與電流的關(guān)系。

交鏈的電流總量I80如果矢量場的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場為無旋場，又稱為保守場。如果矢量場對于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場為有旋矢量場，能夠激發(fā)有旋矢量場的源稱為旋渦源。電流是磁場的旋渦源。環(huán)流的概念（旋渦源只能用強(qiáng)度矢量的線積分來尋找定位）

矢量場對于閉合曲線C的環(huán)流定義為該矢量對閉合曲線C的線積分，即環(huán)流的物理意義：指定路徑上的旋渦源宏觀總量，標(biāo)性的結(jié)果81如果矢量場在指定閉合回路的環(huán)流為零，可能場域無源，也可能正負(fù)旋渦源抵消，也可能是路徑與旋渦源垂直。因此環(huán)流運(yùn)算對旋渦源的定位是不精確的，需要在點(diǎn)源意義下表達(dá)。定義旋度為旋度運(yùn)算結(jié)果為矢量，代表旋渦點(diǎn)源的強(qiáng)度和方向完成旋度運(yùn)算只需要計算旋渦源在坐標(biāo)三個面上的投影82

過點(diǎn)M作一微小曲面

S，它的邊界曲線記為C，曲面的法線方向n與曲線的繞向成右手螺旋法則。當(dāng)

S

0時，極限稱為矢量場在點(diǎn)M處沿方向n的環(huán)流面密度。

矢量場的環(huán)流給出了矢量場與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源的宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點(diǎn)矢量場與旋渦源的關(guān)系，引入矢量場的旋度。

特點(diǎn)：其值與點(diǎn)M處的方向n有關(guān)。2、矢量場的旋度（）

（1）環(huán)流面密度83而

推導(dǎo)

的示意圖如圖所示。oyDz

DyCMzx1234計算的示意圖

直角坐標(biāo)系中、、的表達(dá)式84于是

同理可得故得概念：矢量場在M點(diǎn)處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M點(diǎn)的環(huán)流面密度最大值，其方向?yàn)槿〉铆h(huán)量密度最大值時面積元的法線方向，即物理意義：旋渦源點(diǎn)密度矢量。性質(zhì)：（2）矢量場的旋度85旋度的計算公式(統(tǒng)一于線元意義下）直角坐標(biāo)系圓柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系86旋度的有關(guān)公式：矢量場的旋度的散度恒為零標(biāo)量場的梯度的旋度恒為零物理意義：旋渦點(diǎn)源永遠(yuǎn)無法用矢量的閉合面積分來發(fā)現(xiàn)就研究天線而言，旋度關(guān)系比散度重要關(guān)于旋度有五個重要恒等式第三個為漩渦源永遠(yuǎn)無法用矢量的閉合面來發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)源意義下也如此第四個為梯度的旋度恒等于零無旋場可以引入位函數(shù)，先求位函數(shù)在以梯度求場量這兩個恒等式即可直接在直角坐標(biāo)系下證明，也可利用矢量恒等式證明習(xí)題1.31即可直接在直角坐標(biāo)系下證明，也可利用斯托克斯定理來證明911.5.3、Stokes定理（物理意義：旋渦點(diǎn)源宏觀總量平衡,重要）

Stokes定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個變換關(guān)系式，在電磁場理論中有廣泛的應(yīng)用。曲面的剖分方向相反大小相等結(jié)果抵消

從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即第五個旋度重要恒等式923、Stokes定理（物理意義：旋渦點(diǎn)源宏觀總量平衡）

*Stokes定理可以用于驗(yàn)證旋度所推導(dǎo)的表達(dá)是否正確Stokes可以用于積分轉(zhuǎn)換，一種運(yùn)算有時換成另一個方向去完成

可能較簡明Stokes定理也常用于公式整合、推導(dǎo)*題例討論習(xí)題：1.21、1.22及習(xí)題1.31閉合路徑，交聯(lián)的宏觀總量漩渦點(diǎn)源的面積分，也是宏觀總量習(xí)題1.31即可直接在直角坐標(biāo)系下證明，也可利用斯托克斯定理來證明任意閉合路徑的標(biāo)量的增量為零習(xí)題1.21討論：一方面要驗(yàn)證旋度表達(dá)的推導(dǎo)是否正確，另一方面要考慮那個方向積分較容易表明旋度的推導(dǎo)和表達(dá)是正確的對于習(xí)題1.22，旋度的面積分計算較快974、散度和旋度的區(qū)別

無散無旋場有散無旋場無散有旋場有散有旋場1.6無旋場與無散場981、矢量場的源散度源：是標(biāo)量，產(chǎn)生的矢量場在包圍源的封閉面上的通量等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和，源在一給定點(diǎn)的（體）密度等于（或正比于）矢量場在該點(diǎn)的散度；

旋度源：是矢量，產(chǎn)生的矢量場具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回路的環(huán)量，在給定點(diǎn)上，這種源的（面）密度等于（或正比于）矢量場在該點(diǎn)的旋度。任何無界的矢量場都只有散度和旋度兩種源，需要采用兩個物理量來表達(dá)992、矢量場按源的分類（1）無旋場性質(zhì)：，線積分與路徑無關(guān)，是保守場。僅有散度源而無旋度源的矢量場，無旋場可以用標(biāo)量場的梯度表示為例如：靜電場對于習(xí)題1.25，完成積分什么路徑最合理，最快？101（2）無散場僅有旋度源而無散度源的矢量場，即性質(zhì)：無散場可以表示為另一個矢量場的旋度例如，恒定磁場102（3）無旋、無散場（源在所討論的區(qū)域之外）（4）有散、有旋場這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分無旋場部分無散場部分103基于上式還可獲得下列兩式：上兩式稱為標(biāo)量第二格林定理。(略，用于矢量推導(dǎo)證明）

格林定理說明了區(qū)域V中的場與邊界S上的場之間的關(guān)系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場的求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄龅那蠼鈫栴}。

此外，格林定理反映了兩種標(biāo)量場之間滿足的關(guān)系。因此，如果已知其中一種場的分布，即可利用格林定理求解另一種場的分布。

格林定理廣泛地用于電磁理論。104亥姆霍茲定理:(場源的高度概括）

若矢量場在無限空間中處處單值，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，源分布在有限區(qū)域中，則當(dāng)矢量場的散度及旋度給定后，該矢量場可表示為式中：

亥姆霍茲定理說明：在無界空間區(qū)域，矢量場可由其散度及旋度