微專題05 將軍飲馬模型通關(guān)專練解析版

微專題05將軍飲馬模型通關(guān)專練一、單選題1．（2023·福建廈門·?？级＃┤鐖D，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，則四邊形PECF周長(zhǎng)的最小值為（）A．4 B．4+22 C．8 D．【答案】C【分析】作E關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)E'，連接E'F交BD于點(diǎn)O，根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)及兩點(diǎn)之間，線段最短，得到四邊形PECF【詳解】解：如圖，作E關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)E'，連接E'F交BD故點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，四邊形PECF的周長(zhǎng)最小，即OE+OF最小，∵E和E'關(guān)于BD則OE=O連接E'P，同樣E而E'F=所以當(dāng)P與O重合時(shí)，四邊形PECF周長(zhǎng)最小，即為4+2+2=8，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、軸對(duì)稱與最值問題等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB與點(diǎn)D，∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于（

）A．4cm B．2cm C．3cm D．1cm【答案】C【詳解】∵ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2ED，∵AE=6cm，∴ED=3cm.∵∠ACB=90°，BE平分∠ABC，∴ED=CE，∴CE=3cm.故選C.3．（2023·福建福州·八年級(jí)福州日升中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，EF垂直平分A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【分析】根據(jù)題意知點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，故當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，AP+BP的最小值，求出【詳解】解：∵EF垂直平分BC，∴B、C關(guān)于EF對(duì)稱，設(shè)AC交EF于D，∴當(dāng)P和D重合時(shí)，AP+BP的值最小，最小值等于AP+BP故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是找出P的位置．4．（2023秋·福建福州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，等邊△ABC中，BD⊥AC于D，QD＝15，點(diǎn)P、Q分別為AB、AD上的兩個(gè)定點(diǎn)且BP＝AQ＝20，在BD上有一動(dòng)點(diǎn)E使PE+QE最短，則PE+QE的最小值為（）A．35 B．40 C．50 D．60【答案】C【分析】作點(diǎn)Q關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)Q′，連接PQ′交BD于E，連接QE，此時(shí)PE+EQ的值最?。钚≈礟E+PQ=PE+EQ′=PQ′．【詳解】解：如上圖，∵△ABC是等邊三角形，∴BA=BC，∵BD⊥AC，∴AD=DC=AQ+QD=20+15=35cm，∴AB=AC=2AD=70，作點(diǎn)Q關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)Q′，連接PQ′交BD于E，連接QE，此時(shí)PE+EQ的值最小．最小值為PE+PQ=PE+EQ′=PQ′，∴QD=DQ′=15（cm），∴AQ′=AD+DQ′=35+15=50(cm)∵BP=20（cm），∴AP=AB-BP=70-20=50（cm）∴AP=AQ′=50（cm），∵∠A=60°，∴△APQ′是等邊三角形，∴PQ′=PA=50（cm），∴PE+QE的最小值為50cm．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，軸對(duì)稱最短問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最短問題．5．（2023春·福建龍巖·七年級(jí)龍巖初級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是直線l外一點(diǎn)，A，B，C，D都在直線上，下列線段最短的是（）A．PA B．PC C．PB D．PD【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離可直接進(jìn)行排除選項(xiàng)．【詳解】解：∵點(diǎn)P是直線l外一點(diǎn)，A，B，C，D都在直線上，∴PB<PC<PA<PD，∴線段最短的是PB；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)到直線的距離，熟練掌握點(diǎn)到直線的距離是解題的關(guān)鍵．6．（2023秋·福建寧德·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（-2，4），B（4，2），在x軸上取一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離之和最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（

）A．（-2，0） B．（0，0） C．（2，0） D．（4，0）【答案】C【分析】作A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C，連接AC交x軸于D，連接BC交交x軸于P，連接AP，此時(shí)點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離之和最小，求出C（的坐標(biāo)，設(shè)直線CB的解析式是y=kx+b，把C、B的坐標(biāo)代入求出解析式是y=x-2，把y=0代入求出x即可．【詳解】如圖：作A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C，連接AC交x軸于D，連接BC交交x軸于P，連接AP，則此時(shí)AP+PB最小，即此時(shí)點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離之和最小，∵A（-2，4），∴C（-2，-4），設(shè)直線CB的解析式是y=kx+b，把C、B的坐標(biāo)代入得：{2＝解得：k=1，b=-2，∴y=x-2，把y=0代入得：0=x-2，x=2，即P的坐標(biāo)是（2，0），故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題，一次函數(shù)的解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是能畫出P的位置，題目比較典型，是一道比較好的題目．7．（2023·福建·校聯(lián)考零模）如圖，等腰Rt△ABC中，AB⊥AC于A，AB=CA=DC=2，M為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)MA+MB+MC最短時(shí)，在直線BM上有一點(diǎn)E，連接CE．12BE+CEA．π B．263 C．63【答案】D【分析】由M為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)MA+MB+MC最短時(shí)，得M為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，以AC為邊向外作正三角形ACF，據(jù)費(fèi)馬點(diǎn)的特征，直線BM和直線BF為同一條直線，由題意容易求得∠MBC=30°，以BF為邊，B為頂點(diǎn)向∠MBC的外側(cè)作∠FBG，使∠FBG=30°，過E作BG的垂線，垂足為H，顯然12BE+CE=CE+EH；再過點(diǎn)C作BG的垂線，垂足為H'，由垂線段最短，知12BE+CE=CE+EH≥C【詳解】解：如下圖以AC為邊向外作正三角形ACF，以BF為邊，B為頂點(diǎn)向∠MBC的外側(cè)作∠FBG，使∠FBG=30°，過E作BG的垂線，垂足為H，過點(diǎn)C作BG的垂線，垂足為H由∠FBG=30°，HE⊥BG知HE=1∴1下面計(jì)算C∵AB=AC=2且AB⊥AC∴BC=22∵M(jìn)為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)MA+MB+MC最短時(shí)∴M為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)由費(fèi)馬點(diǎn)的特點(diǎn)知BM與BF為同一條直線∵正三角形ACF∴∠CAF=60°又AB⊥AC∴∠BAF=150°又AB=AC=AF∴∠ABF=15°又∠ABC=45°∴∠FBC=30°∴∠GBC=60°在RT△BCHC∴12BE+CE的最小值為故選：D．【點(diǎn)睛】此題是幾何最值問題——費(fèi)馬點(diǎn)和胡不歸的綜合．確定最短長(zhǎng)度時(shí)，要據(jù)30°角所對(duì)直角邊是斜邊的一半把問題轉(zhuǎn)化為“垂線段最短”來解決；計(jì)算最短值時(shí)要熟悉費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)．8．（2023秋·福建廈門·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠C=α°，∠B=∠D=90°，E，F(xiàn)分別是BC，DC上的點(diǎn)，當(dāng)△AEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，∠EAF的度數(shù)為（

）A．α B．2α C．180-α D．180-2α【答案】D【分析】要使△AEF的周長(zhǎng)最小，即利用點(diǎn)的對(duì)稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)A'，A″，即可得出【詳解】解：作A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)A'，A″，連接A'A″，交BC于E∴AF=A″F∴∠EA'A=∠EA則A'A″∵∠C=α，∠ABC=∠ADC=90°∴∠DAB=180°-α，∴∠AA∵∠EA'A=∠EA∴∠EAA∴∠EAF=180°-α-α=180°-2α，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題，涉及到平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出E，F(xiàn)的位置是解題關(guān)鍵．9．（2023秋·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，若要用尺規(guī)在直線l上確定一點(diǎn)P，使得AP+BP最短，則下列作圖正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：要得到滿足題意的點(diǎn)，首先要作A點(diǎn)（或B點(diǎn)）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，然后將此對(duì)稱點(diǎn)與B(A)點(diǎn)連接，所得連線與直線l的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)，觀察選項(xiàng)，只有C符合.故選：C．10．（2023·福建·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝4，tan∠ABC＝4，AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F(xiàn)點(diǎn)．若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△CDM周長(zhǎng)的最小值為（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】連接AD，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，得到AD⊥BC，利用正切的定義解得ADBD＝4，再由垂直平分線的性質(zhì)得到點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，根據(jù)軸對(duì)稱—【詳解】解：連接AD，∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∵BC＝4，∴BD＝2，∴tan∠ABC＝ADBD＝4解得AD＝8，∵EF是線段AC的垂直平分線，∴點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，∴AD的長(zhǎng)為CM+MD的最小值，∴△CDM的周長(zhǎng)最短＝（CM+MD）+CD＝AD+12BC＝8+12×4＝故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱—最短路線問題、等腰三角形三線合一的性質(zhì)、正切等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．二、填空題11．（2023春·福建福州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B，P，Q的坐標(biāo)分別為5,0，a,2，a+2,2，則△BPQ周長(zhǎng)的最小值為．【答案】2【分析】由題意，PB=(a-5)2+22，PQ=2，BQ=(a-3)2+22，推出當(dāng)PB+BQ=(a-5)2+22【詳解】解：∵B5,0，Pa,2，∴PB=(a-5)2+22∴當(dāng)PB+BQ=(a-5)2+欲求PB+BQ的最小值，相當(dāng)于在x軸上找一點(diǎn)Ea,0，使得點(diǎn)E到F5,2，如圖，作點(diǎn)G關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)L，連接FL交x軸于點(diǎn)E，此時(shí)EG+FE的值最小，∵L3,-2，EG+EF的最小值=FL=∴△BPQ的周長(zhǎng)的最小值為25故答案為：25【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱最短問題，勾股定理，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．12．（2023秋·福建南平·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，∠AOB=22°，點(diǎn)M，N分別是邊OA，OB上的定點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別是邊OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，記∠MQP=α，∠OPN=β，當(dāng)MQ+QP+PN最小時(shí)，則α與β的數(shù)量關(guān)系為．【答案】β-α=44°【分析】作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)M'，N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N'，連接M'N'交OA于P，交OB于Q，則MQ+QP+PN【詳解】解：如圖，作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)M'，N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N'，連接M'N'交OA于P，交OB∴∠OQM=∠OQM'=∠NQP∴∠PQN=1∴β-α=44°，故答案為：β-α=44°．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱—最短問題、三角形的內(nèi)角和定理．三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．13．（2023秋·福建莆田·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在銳角△ABC中，∠ACB=50°，邊AB上有一定點(diǎn)P,M,N分別是AC和BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，∠MPN的度數(shù)是．【答案】80°【分析】根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，易求得∠C+∠EPF=180°，由∠ACB=50°，易求得∠D+∠G=50°，繼而求得答案；【詳解】∵PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=90°，∴∠C+∠EPF=180°，∵∠C=50°，∵∠D+∠G+∠EPF=180°，∴∠D+∠G=50°，由對(duì)稱可知：∠G=∠GPN，∠D=∠DPM，L∴∠GPN+∠DPM=50°，∴∠MPN=130°-50°=80°，故答案為：80°．【點(diǎn)睛】此題考查了最短路徑問題以及線段垂直平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．14．（2023秋·福建廈門·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB＝BC，AC＝2cm，S△ABC=3cm2，邊BC的垂直平分線為l，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是l上的動(dòng)點(diǎn)，則△【答案】4【分析】連接BD，由于AB=BC，點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn)，故BD⊥AC，再根據(jù)三角形的面積公式求出BD的長(zhǎng)，再根據(jù)直線l是線段BC的垂直平分線可知，點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，故BD的長(zhǎng)為CP+PD的最小值，由此即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接BD，∵AB=BC，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴BD⊥AC，∴S△ABC=12AC?BD=12×2×BD解得BD=3，∵直線l是線段BC的垂直平分線，∴點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，∴AB的長(zhǎng)為CP+PD的最小值，∴△CDP的周長(zhǎng)最短=（CP+PD）+CD=BD+12AC=3+1=4故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．15．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在ΔABC中，AB=AC，點(diǎn)D，E都在邊BC上，∠BAD=∠CAE，若BD=9，則CE的長(zhǎng)為.【答案】9.【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)椤鰽BC是等腰三角形，所以有AB=AC,∠BAD=∠CAE,∠ABD=∠ACE,所以△ABD?△ACE(ASA),所以BD=EC，EC=9.【點(diǎn)睛】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定與性質(zhì).16．（2023秋·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)C在直線MN上，∠BCN=30°，點(diǎn)P為MN上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，BP．當(dāng)AP+BP的值最小時(shí)，∠CBP的度數(shù)為【答案】15【分析】如圖，作B關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)D，連接AD,BD,CD，AP+BP的值最小，則MN交AD于P，由軸對(duì)稱易證∠CBP=∠CDP，結(jié)合∠BCN=30°證得△BCD是等邊三角形，可得AC=CD，結(jié)合已知根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可求出∠CDP，即可解決問題．【詳解】如圖，作B關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)D，連接AD,BD,CD，∵AP+BP的值最小，則MN交AD于P，由軸對(duì)稱可知：CB=CD，PB=PD，∴∠CBD=∠CDB,∠PBD=∠PDB,∴∠CBP=∠CDP，∵∠BCN=30°，∴∠BCD=2∠BCN=60°，∴△BCD是等邊三角形，∵AC=BC，∴AC=CD，∴∠CAD=∠CDA，∵∠ACB=90°，∠BCD=60°，∴∠CAD=∠CDA=1∴∠CBP=∠CDP=15°，故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形判定和性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、最短路徑問題、等腰三角形的性質(zhì)；熟練掌握相關(guān)性質(zhì)的聯(lián)系與運(yùn)用，會(huì)利用最短路徑解決最值問題是解答的關(guān)鍵．三、解答題17．（2023秋·福建南平·八年級(jí)福建省南平第一中學(xué)?？计谥校鰽BC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如下圖所示，點(diǎn)A(1,1)，點(diǎn)B(4,2)，點(diǎn)C(3,4)．(1)畫出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B(2)y軸上是否存在一點(diǎn)P，使得PA+PB的和最小．若存在，請(qǐng)你找出點(diǎn)P的位置．（保留作圖痕跡）(3)求出△A【答案】(1)畫圖見解析，A1-1,1，B(2)見解析(3)7【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)即可在圖中畫出△ABC關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形△A1B1C1，進(jìn)而得點(diǎn)（2）連接AB1或A1B，與（3）根據(jù)網(wǎng)格利用割補(bǔ)法計(jì)算即可．【詳解】（1）解：如圖，△AA1-1,1，B1（2）如圖，點(diǎn)P即為所求；（3）S△【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-軸對(duì)稱變換，軸對(duì)稱-最短路線問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)．18．（2023春·福建泉州·七年級(jí)福建省泉州第一中學(xué)校考期末）如圖，在正方形網(wǎng)格上有一個(gè)△ABC（三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）．(1)作△ABC關(guān)于直線HG的軸對(duì)稱圖形△A(2)畫出△ABC中BC邊上的高AD；(3)在HG上畫出點(diǎn)P，使PB+PC最?。敬鸢浮?1)作圖見解析；(2)作圖見解析；(3)作圖見解析．【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)作圖即可；（2）根據(jù)三角形的高的概念過點(diǎn)A作AD垂直于線段CB的延長(zhǎng)線，垂足為D即可；（3）連接CB1，交HG于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．【詳解】（1）解：如圖1，△A（2）解：如圖2，過點(diǎn)A作AD垂直于線段CB的延長(zhǎng)線，垂足為D，則線段AD就是△ABC中BC邊上的高；（3）解：如圖3，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，連接CB1，交HG于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查作軸對(duì)稱圖形，作高、以及最短路線問題，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．19．（2023春·福建泉州·七年級(jí)福建省永春第一中學(xué)?？计谀?）如圖1，在△ABC中∠A＝60o，BD、CE均為△ABC的角平分線且相交于點(diǎn)O.①填空：∠BOC＝度；②求證：BC＝BE+CD．(寫出求證過程)（2）如圖2，在△ABC中，AB=AC=m，BC=n，CE平分∠ACB．①若△ABC的面積為S，在線段CE上找一點(diǎn)M，在線段AC上找一點(diǎn)N，使得AM+MN的值最小，則AM+MN的最小值是．(直接寫出答案)；②若∠A=20°，則△BCE的周長(zhǎng)等于．(直接寫出答案)．【答案】（1）①120；②證明見解析；（2）①2sn(或m2-【詳解】試題分析：（1）①根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，則2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，再根據(jù)角平分線的定義得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，則2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB，易得∠BOC=90°+12∠A，由∠A＝60o即可得∠BOC②采用截長(zhǎng)法在BC上截取BF＝BE，連接OF，由邊角邊證得△EBO≌△FBO，再由角邊角證得△DCO≌△FCO，即可得證；（2）①當(dāng)AM⊥BC時(shí)，AM+MN的值最??；②在CA上截取CD=CB,以E為圓心EC為半徑畫弧，與AC交于點(diǎn)F，通過構(gòu)造全等三角形，利用等腰三角形的判定和性質(zhì)即可求解.試題解析：（1）①在△OBC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，∴2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，∵BD、CE均為△ABC的角平分線，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，∴2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB，∴∠BOC=90°+12∠A∵∠A＝60o，∴∠BOC=90°+12×60o=120°故答案為120°；②證明：由（1）①∠BOC＝120°，∴∠BOE＝∠COD＝180°－120°＝60°，在BC上截取BF＝BE，連接OF，∵BD平分∠ABC，∴∠EBO＝∠FBO，又∵BO＝BO(公共邊相等)∴△EBO≌△FBO(SAS)∴∠BOF＝∠BOE＝60°，∴∠COF＝∠BOC－∠BOF＝120°－60°＝60°＝∠COD，∵CE平分∠ACB，∴∠DCO＝∠FCO，又∵CO＝CO(公共邊相等)∴△DCO≌△FCO(ASA)∴CD＝CF，∴BC＝BF+CF＝BE+CD；（2）①如圖：當(dāng)AM⊥BC時(shí)，與BC交于點(diǎn)D，過M作MN⊥AC交AC與點(diǎn)D，∵CE平分∠ACB，∴DM=DN，∴AD=AM+MD=AM+MN,此時(shí)，AM+MN的值最小，由S△ABC=12BC·AD，BC=n，△ABC的面積為S得AD=2s或∵AB=AC,AD⊥BC,AB=AC=m，BC=n，∴BD=CD=n2在Rt△ACD中，由勾股定理得AD=m2故答案為2sn(或m②如圖：在CA上截取CD=CB,以E為圓心EC為半徑畫弧，與AC交于點(diǎn)F，∵AB=AC=m，∠A=20°，∴∠B=∠C=80°,∵CE平分∠ACB,∴∠BCE=∠DCE=40°,∵CE=CE,∴△BCE≌△DCE,∴∠CDE=∠B=80°,∠DEC=∠BEC=60°,BE=DE,∴∠CDE=40°,∵EC=EF,∴∠EFC=∠ECF=40°,∴∠DEF=∠CDE-∠DFE=40°,∴DE=DF,∠AEF=∠DFE-∠A=40°-20°=20°,∴EF=AF,∴BE=DF,CE=AF,∴△BCE的周長(zhǎng)=BC+CE+BE=CD+AF+DF=AC=m.點(diǎn)睛：此題考查了角平分線的定義和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，最短路徑問題等知識(shí).解題的關(guān)鍵是添加正確的輔助線構(gòu)造出全等三角形，對(duì)線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化.20．（2023秋·福建福州·八年級(jí)福建省福州第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A1,1，B4,2，(1)請(qǐng)畫出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A(2)在x軸上求作一點(diǎn)P，使△PAB的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)畫出△PAB，并簡(jiǎn)要說明理由.【答案】(1)圖見解析(2)圖見解析【分析】（1）先根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)找到A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1、B1、（2）作點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)B'，連接AB'交x軸于點(diǎn)P，連接AP【詳解】（1）解：如圖，△A（2）解：作點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)B'，連接AB'交x軸于點(diǎn)P，連接AP則AP+BP=AP+B根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，此時(shí)△PAB的周長(zhǎng)最小，△PAB如圖所示．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變換-軸對(duì)稱、最短路徑問題，能根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)正確作出對(duì)稱圖形是解答的關(guān)鍵．21．（2023春·福建三明·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，網(wǎng)格中有一個(gè)格點(diǎn)△ABC（即三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）

(1)在圖中畫出△ABC關(guān)于直線l對(duì)稱的△A(2)在直線l上找出點(diǎn)P，使得△PBC周長(zhǎng)最小，在圖中標(biāo)出點(diǎn)P的位置；(3)已知點(diǎn)D在格點(diǎn)上，且△BCD和△BCA全等，請(qǐng)畫出所有滿足條件的△BCD（點(diǎn)D與點(diǎn)A不重合）．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）找到△ABC關(guān)于直線l對(duì)稱的點(diǎn)，再依次連接即可；（2）連接B1C，與直線l交于點(diǎn)（3）根據(jù)全等三角形的判定畫圖即可．【詳解】（1）解：如圖，△A

（2）如圖，點(diǎn)P即為所求；（3）如圖，△BCD即為所求，共有3個(gè)．

【點(diǎn)睛】此題主要考查了作圖—軸對(duì)稱變換，全等三角形的判定，最短路徑，解題的關(guān)鍵是掌握相應(yīng)的畫圖方法．22．（2023秋·福建福州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)△ABC．(1)寫出△ABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)畫出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A(3)在y軸上作出點(diǎn)P，使得AP+BP的值最?。敬鸢浮?1)A(－4，5)，B(－3，1)，C(－1，3)(2)見解析(3)見解析【分析】（1）按要求寫出橫縱坐標(biāo)即可；（2）關(guān)于y軸對(duì)稱的時(shí)候，x值變成相反數(shù)，其余不變；（3）連接B和A的對(duì)稱點(diǎn)A1，該直線與y軸的交點(diǎn)就是AP+BP值的最小【詳解】（1）A（－4，5），B（－3，1），C（－1，3）；（2）如圖△A1B1C1就是所求的圖形；（3）如圖所作的點(diǎn)P即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查圖形的對(duì)稱，平面直角坐標(biāo)系，熟練掌握軸對(duì)稱求最短距離的方法是解題的關(guān)鍵．23．（2023春·福建泉州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．(1)在網(wǎng)格中畫出△ABC向下平移4個(gè)單位得到的△A(2)在網(wǎng)格中畫出△ABC關(guān)于直線m對(duì)稱的△A(3)在直線m上畫一點(diǎn)P，使得△ACP的周長(zhǎng)最?。敬鸢浮?1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)分別作出點(diǎn)A、B、C平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1、B1、C1，再順次連接即可得△A（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)分別作出點(diǎn)A、B、C關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)A2、B2、C2，再順次連接即可得△A（3）連接A2C交直線m于點(diǎn)P即可．（1）解：如圖，△A1（2）解：如圖，△A2（3）解：如圖，點(diǎn)P即為所求