專題04 點、直線與圓的位置關系（知識串講+8大考點）解析版

專題04點、直線與圓的位置關系考點類型知識串講（一）點與圓的位置關系位置關系圖形定義性質及判定點在圓外點在圓的外部QUOTEd>r?d>r?點QUOTEPP在QUOTE⊙O⊙O的外部.點在圓上點在圓周上QUOTEd=r?d=r?點QUOTEPP在QUOTE⊙O⊙O的圓周上.點在圓內點在圓的內部QUOTEd<r?d<r?點QUOTEPP在QUOTE⊙O⊙O的內部.（二）確定圓的條件若QUOTEA、B、CA、B、C三點不共線時，圓心是線段QUOTEABAB與QUOTEBCBC的中垂線的交點，而這個交點QUOTEOO是唯一存在的，這樣的圓有唯一一個．三點定圓的畫法：1）連接線段AB,BC。2）分別作線段AB,BC的垂直平分線。兩條垂直平分線交點為O，此時OA=OB=OC,于是點O為圓心，以OA為半徑，便可作出經過A、B、C的圓，這樣的圓只能是一個。定理：不在同一直線上的三點確定一個圓．（三）三角形的外接圓1）經過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內接三角形．2）三角形外心的性質：①三角形的外心是指外接圓的圓心，它是三角形三邊垂直平分線的交點，它到三角形各頂點的距離相等；②三角形的外接圓有且只有一個，即對于給定的三角形，其外心是唯一的，但一個圓的內接三角形卻有無數(shù)個，這些三角形的外心重合.3）直角三角形外接圓的圓心在直角三角形斜邊的中點（四）直線與圓的位置關系位置關系圖形定義性質及判定相離直線與圓沒有公共點直線與相離相切直線與圓有唯一公共點，直線叫做圓的切線，公共點叫做切點直線與相切相交直線與圓有兩個公共點，直線叫做圓的割線直線與相交考點訓練考點1：點與圓的位置關系典例1：（2023春·江西南昌·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，OB是斜邊AC上的中線，以O為圓心，OB為半徑畫圓，則下列各點中，在⊙O內的是（

A．點A B．點B C．點C D．點O【答案】D【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質即可求解．【詳解】解：因為三角形ABC是直角三角形又OB是斜邊AC上的中線∴OB=故A,B,C三點均在⊙O上，只有點O在⊙O內故選：D【點睛】本題考查直角三角形的“斜中半”定理．掌握定理結論是解題關鍵．【變式1】（2022春·九年級單元測試）如圖，⊙M的半徑為2，圓心M的坐標為3，4，點P是⊙M上的任意一點，PA⊥PB，且PA，PB與x軸分別交于A，B兩點，若點A，B關于原點

A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】由Rt△APB中AB=2PO知要使AB取得最小值，則PO需取得最小值，連接OM，當點P在線段OM上時，OP取得最小值，據(jù)此即可求解AB【詳解】解：連接PO．∵PA⊥PB，∴∠APB=90°．∵點A，B關于原點O對稱，∴AO=BO，∴AB=2PO．若要使AB取得最小值，則PO需取得最小值．連接OM，當點P在線段OM上時，OP取得最小值．∵M的坐標為3，∴OM=3又∵⊙M的半徑為2，∴OP=3，即OP的最小值為3，∴AB的最小值為6．故選：C．【點睛】本題主要考查點與圓的位置關系，解題的關鍵是根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出AB取得最小值時點P的位置．【變式2】（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）矩形ABCD中，AB=8，BC=35，點P在邊AB上，且BP=3AP，如果圓P是以點P為圓心，PD為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（

A．點B，C均在圓P外 B．點B在圓P外，點C在圓P內C．點B在圓P內，點C在圓P外 D．點B，C均在圓P內【答案】C【分析】由AB=8，BP=3AP得到AP=2，BP=6，再根據(jù)勾股定理，在Rt△ADP中計算出PD=7，在Rt△PBC中計算出PC=9，則【詳解】解：如圖，

∵四邊形ABCD為矩形，∴AD=BC=35∵AB=8，BP=3AP，∴AP=2，BP=6，在Rt△ADP中，AP=2，AD=3∴PD=A在Rt△PBC中，∵PB=6，BC=3∴PC=P∴PC>PD>PB，∴點B在圓P內，點C在圓P外．故選：C．【點睛】本題考查了點與圓的位置：設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP=d，則有：點P在圓外?d>r；點P在圓上?d=r；點P在圓內?d<r．【變式3】（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4．以點A為圓心，r為半徑作圓，當點C在⊙A內且點B在

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】由勾股定理求出AC的長度，再由點C在⊙A內且點B在⊙A外求解．【詳解】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=∵點C在⊙A內且點B在⊙A外，∴3<r<5，故選：B．【點評】本題考查點與圓的位置關系，解題關鍵是掌握勾股定理、明確判斷的方法．考點2：確定圓的條件典例2：（2023·上海松江·統(tǒng)考二模）下列命題正確的是（

）A．三點確定一個圓 B．圓的任意一條直徑都是它的對稱軸C．等弧所對的圓心角相等 D．平分弦的直徑垂直于這條弦【答案】C【分析】根據(jù)確定圓的條件對A進行判斷；根據(jù)圓的軸對稱性對B進行判斷；根據(jù)圓心角定理對C進行判斷；根據(jù)垂徑定理的推論對D進行判斷．【詳解】A．不共線的三點確定一個圓，故A是假命題；B．對稱是直線，而圓的直徑是線段，故B是假命題；C．弧相等，則弧所對的圓心角相等，故C是真命題；D．平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，故D是假命題．故選：C．【點睛】本題考查了命題、真命題和假命題的概念，任何一個命題非真即假，要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．【變式1】（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，點A(0,3),B(2,1)，C在平面直角坐標系中，則△ABC的外心在（

）A．第四象限 B．第三象限 C．原點O處 D．y軸上【答案】B【分析】根據(jù)直角坐標系的特點作AB、BC的垂直平分線即可求解．【詳解】如圖，作AB、BC的垂直平分線，交點在第三象限，故選B．【點睛】此題主要考查三角形的外心的定義，解題的關鍵是根據(jù)題意作出垂直平分線求解．【變式2】（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，在平面直角坐標系中，點A、B、C的坐標為（1，3）、（5，3）、（1，－1），則△ABC外接圓的圓心坐標是（

）A．（1，3） B．（3，1） C．（2，3） D．（3，2）【答案】B【分析】根據(jù)三角形的外心的概念作出外心，根據(jù)坐標與圖形性質解答即可．【詳解】解：連接AB、AC，分別作AB、AC的垂直平分線，兩條垂直平分線交于點P，則點P為△ABC外接圓的圓心，由題意得：點P的坐標為（3，1），即△ABC外接圓的圓心坐標是（3，1），故選：B．【點睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心、坐標與圖形性質，掌握三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點是解題的關鍵．【變式3】（2023·廣東汕尾·統(tǒng)考一模）如圖，在5×5的正方形網格中（小正方形的連長為1），有6個點A、B、C、D、E、F，若過A、B、C三點作圓O，則點D、E、F三點中在圓O外的有（

）個A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】由圖可知∠ABC=90°，故過A、B、C三點作圓O，直徑為AC，圓心O在AC的中點，然后根據(jù)網格的特點用勾股定理計算半徑和點D、E、F三點到圓心的距離即可判定．【詳解】解：如圖，∵∠ABC=90°，∴過A、B、C三點作圓O，直徑為AC，圓心O在AC的中點，∴OA=OC=1OD=1OE=OF=3>5∴點F在圓O外，點D、E在圓O上，故選：B．【點睛】本題主要考查了直角三角形的外接圓圓心在斜邊的中點上，以及點與圓的位置關系，解題關鍵是關鍵網格的特點找到圓心的位置．考點3：三角形的外接圓與外心典例3：（2023·內蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，⊙O是銳角三角形ABC的外接圓，OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC，垂足分別為D,E,F，連接DE,EF,FD．若DE+DF=6.5,△ABC的周長為21，則EF的長為（

）

A．8 B．4 C．3.5 D．3【答案】B【分析】根據(jù)三角形外接圓的性質得出點D、E、F分別是AB、【詳解】解：∵⊙O是銳角三角形ABC的外接圓，OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC，∴點D、E、F分別是AB、∴DF=1∵DE+DF=6.5,△ABC的周長為21，∴CB+CA+AB=21即2DF+2DE+2EF=21，∴EF=4，故選：B．【點睛】題目主要考查三角形外接圓的性質及中位線的性質，理解題意，熟練掌握三角形外接圓的性質是解題關鍵．【變式1】（2023春·九年級課時練習）如圖，△ABC，A(-1,3)，B(-2,-2)，C(4,-2)，則△ABC外心的坐標為（

）A．(0,0) B．(1,1) C．(1,0) D．(1,-2)【答案】C【分析】如圖，取格點E，F(xiàn)，G，H，且直線GH是線段BC的垂直平分線，四邊形AFCE是正方形，則可得GH，EF的交點為Q為△ABC的外心，再分別求解GH，EF的解析式即可得到答案．【詳解】解：如圖，取格點E，F(xiàn)，G，H，則直線GH是線段BC的垂直平分線，四邊形AFCE是正方形，∴直線EF是線段AC的垂直平分線，記GH，EF的交點為Q，則Q為△ABC的外心，∵A(-1,3)，B(-2,-2)，C(4,-2)，∴直線GH為x=1，E4,3，F(xiàn)設直線EF為y=kx+b，∴4k+b=3-k+b=-2，解得：k=1∴直線EF為y=x-1，當x=1時，y=0，∴Q1,0，即△ABC的外心坐標為：1,0故選C．【點睛】本題考查的是坐標與圖形，正方形的性質，三角形的外心的性質，利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式，掌握“三角形的外心是三角形的三邊垂直平分線的交點”是解本題的關鍵．【變式2】（2023·北京昌平·統(tǒng)考二模）船航行的海岸附近有暗礁，為了使船不觸上暗礁，可以在暗礁的兩側建立兩座燈塔.只要留心從船上到兩個燈塔間的角度不超過一定的大小，就不用擔心觸礁.如圖所示的網格是正方形網格，點A,B,C,D,P,M,N是網格線交點，當船航行到點P的位置時，此時與兩個燈塔M,N間的角度（∠MPN的大小）一定無觸礁危險.那么，對于A,B,C,D四個位置，船處于___________時，也一定無觸礁危險.（）

A．位置A B．位置B C．位置C D．位置D【答案】B【分析】先利用格點找出△MNP的外接圓的圓心，再判斷哪個點在△MNP的外接圓上即可．【詳解】解：如圖，

由網格可知，點O是MN和MP垂直平分線的交點，即點O是△MNP的外接圓的圓心，∵OM=OB=1∴點M在△MNP的外接圓上，∴∠MPN=∠MBN，∴船處于位置B時，也一定無觸礁危險，故選B．【點睛】本題考查圓周角定理，三角形的外心，勾股定理與網格問題等，解題的關鍵有兩個，一是找出△MNP的外接圓的圓心，二是掌握同弧所對的圓周角相等．【變式3】（2022秋·河北石家莊·九年級?？计谥校┤鐖D，O為銳角三角形ABC的外心，四邊形OCDE為正方形，其中E點在△ABC的外部，判斷下列敘述不正確的是（

）A．O是△AEB的外心，O不是△AED的外心 B．O是△BEC的外心，O不是△BCD的外心C．O是△AEC的外心，O不是△BCD的外心 D．O是△ADB的外心，O不是△ADC的外心【答案】C【分析】根據(jù)三角形的外心得出OA=OC=OA，根據(jù)正方形的性質得出OA=OC<OD，求出OA=OB=OC=OE≠OD，再逐個判斷即可．【詳解】解：連接OB、OD、OA，∵O為銳角三角形ABC的外心，∴OA=OC=OA，∵四邊形OCDE為正方形，∴OA=OC<OD，∴OA=OB=OC=OE≠OD，即O不是△AED的外心，OA=OE=OB，即O是△AEB的外心，OA=OC=OE，即O是△ACE的外心，OB=OA≠OD，即O不是△ABD的外心，故選：C．【點睛】本題考查了正方形的性質和三角形的外心與外接圓，能熟記知識點的內容是解此題的關鍵，注意：三角形的外心到三個頂點的距離相等，正方形的四邊都相等．考點4：特殊三角形的外接圓——求半徑典例4：（2021秋·全國·九年級專題練習）如圖，RtΔABC中，AB⊥BC,AB=4,BC=3,P是ΔABC內部的一個動點，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長的最小值為（）A．1 B．1.6 C．13-2 D．【答案】C【分析】先說明點P在以AB為直徑的圓O上，連接OC與圓O交于點P，此時CP最小，最后利用勾股定理求出OC即可解答．【詳解】解：∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵∠PAB=∠PBC∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=90°，∴點P在以AB為直徑的圓O上，連接OC交圓O于點P，此時PC最小在Rt△BCO中，∠OBC=90°，BC=3，OB=12AB=2∴OC=O∴CP=13-2故選C．【點睛】本題考查點與圓位置關系、圓周角定理、最短距離問題等知識，確定點P位置是解答本題的關鍵．【變式1】（2022秋·江蘇徐州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4．以點A為圓心，r為半徑作圓，當點C在⊙A內且點B在⊙A外時，r的值可能是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】先利用勾股定理求得AC=3，再根據(jù)點與圓的位置關系求解即可．【詳解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4，∴AC=A∵點C在⊙A內且點B在⊙A外，∴3<r<5，故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理、點與圓的位置關系，解答的關鍵是熟知點與圓的位置關系：設圓半徑為r，點與圓心的距離為d，當d<r時，點在圓內；當d=r時，點在圓上；當d>r時，點在圓外．【變式2】（2022秋·湖北武漢·九年級?？计谀┤鐖D所示，△ABC的三個頂點的坐標分別為A-1,3、B-2,-2、C4,-2，則△ABC外接圓半徑的長為（A．32 B．23 C．10 D【答案】D【分析】三角形的外心是三邊垂直平分線的交點，設△ABC的外心為M，由B，C的坐標可知M必在直線x=1上，由圖可知線段AC的垂直平分線經過點1,0，由此可得M1,0，過點M作MD⊥BC于點D，連接MB，由勾股定理求出MB【詳解】解：設△ABC的外心為M，∵B-2,-2、C∴M必在直線x=-2+4由圖可知，線段AC的垂直平分線經過點1,0，∴M1,0如圖，過點M作MD⊥BC于點D，連接MB，Rt△MBD中，MD=2，BD=3由勾股定理得：MB=M即△ABC外接圓半徑的長為13．故選D．【點睛】本題考查求三角形外接圓的半徑，能夠根據(jù)網格和三角形頂點坐標判斷出△ABC外心的位置是解題的關鍵．【變式3】（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）已知直角三角形兩條直角邊為3，4，則它的外接圓半徑為（

）A．1.5 B．2 C．2.5 D．5【答案】C【分析】直角三角形的斜邊即外接圓的直徑，直接利用勾股定理求解即可．【詳解】直角三角形兩條直角邊為3，4那么此直角三角形的斜邊為3即外接圓的直徑為5，那么外接圓半徑為2.5故選：C【點睛】此題考查勾股定理以及求三角形的外接圓半徑，解題關鍵是判斷直角三角形的斜邊即外接圓的直徑．考點5：反證法典例5：（2023春·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）用反證法證明“在△ABC中，若AB=AC，則∠B<90°”時，以下三個步驟正確的排列順序是（

）步驟如下：①假設在△ABC中，∠B≥90°．②因此假設不成立，∴∠B<90°．③由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，∴∠A+∠B+∠C>180°，這與“三角形三個內角的和等于180°”產生矛盾．A．①③② B．①②③ C．③①② D．③②①【答案】A【分析】根據(jù)反證法的解題方法與步驟可得答案．【詳解】解：反證法的基本步驟：先假設結論的反面成立，再證明結論的反面與已知或公理，定理等互相矛盾，再否定假設，從而得到結論；∴以上步驟排序為：①③②，故選A．【點睛】本題考查的是反證法的步驟，熟記反證法的基本步驟是解本題的關鍵．【變式1】（2023春·浙江·八年級專題練習）已知ΔABC中，AB=AC，求證：∠B<90°，下面寫出運用反證法證明這個命題的四個步驟：①∴∠A+∠B+∠C>180°，這與三角形內角和為180°矛盾②因此假設不成立．∴∠B<90°③假設在ΔABC中，∠B≥90°④由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．這四個步驟正確的順序應是（

）A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②【答案】D【分析】根據(jù)反證法的一般步驟判斷即可．【詳解】解：運用反證法證明這個命題的四個步驟1、假設在ΔABC中，∠B≥90°2、由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°3、∴∠A+∠B+∠C>180°，這與三角形內角和為180°矛盾4、因此假設不成立．∴∠B<90°綜上所述，這四個步驟正確的順序應是：③④①②故選：D【點睛】本題考查的是反證法，反證法的一般步驟是：①假設命題的結論不成立；②從這個假設出發(fā)，經過推理論證，得出矛盾；③由矛盾判定假設不正確，從而肯定原命題的結論正確．【變式2】（2023春·浙江·八年級專題練習）用反證法證明命題：“在△ABC中，∠A≠∠B，則AC≠BC”．應先假設（

）A．AC>BC B．AC<BC C．∠A=∠B D【答案】D【分析】假設結論不成立，即AC=BC【詳解】∵命題：“在△ABC中，∠A≠∠B，則AC≠BC”，∴假設為：AC=BC，故選：D【點睛】本題考查了用反證法證明命題，掌握反證法的假設為結論不成立是解決問題的關鍵【變式3】（2023春·江西九江·八年級濂溪一中校考階段練習）用反證法證明命題鈍角三角形中必有一個內角小于45°時，首先應該假設這個三角形中（）A．每一個內角都大于等于45° B．每一個內角都小于45°C．有一個內角大于等于45° D．有一個內角小于45°【答案】A【分析】反證法的步驟是假設結論不成立即可．【詳解】用反證法證明命題鈍角三角形中必有一個內角小于45°時，應先假設鈍角三角形中每一個內角都不小于45°，即每一個內角都大于等于45°，故選：A．【點睛】此題考查了反證法，解題的關鍵是懂得反證法的意義及步驟．考點6：直線與圓的位置關系典例6：（2023·河北滄州·?？既＃╊}目：“如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，以點B為圓心的⊙B的半徑為r，若對于r的一個值，⊙B與AC只有一個交點，求r的取值范圍．”對于其答案，甲答：r=4．乙答：3<r<4．丙答：r=125

A．只有乙答的對 B．甲、乙的答案合在一起才完整C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．三人的答案合在一起才完整【答案】D【分析】由勾股定理求出BC=4，再根據(jù)等面積法求出斜邊AC上的高為125，再根據(jù)半徑r【詳解】解：∵AB=3，AC=5，∴BC=A∴斜邊AC上的高為：3×45當r=4時，畫出圖如圖所示：

，此時△ABC在圓內部，⊙B與AC只有一個交點，當3<r<4時，畫出圖如圖所示，

，此時⊙B與AC只有一個交點，當r=12

，此時⊙B與AC只有一個交點，∴三人的答案合在一起才完整，故選：D．【點睛】本題主要考查了勾股定理，直線與圓的位置關系，等面積法，熟練掌握直線與圓的位置關系是解題的關鍵．【變式1】（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）如果x的取值范圍是a＜x＜b，我們就將b與a的差叫做x的變化區(qū)間長度．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC交BD于點O，且AC＝16，BD＝12．如果以O為圓心，r為半徑的⊙O與菱形ABCD的各邊有8個公共點，那么r的變化區(qū)間長度是（）A．165 B．125 C．85【答案】D【分析】根據(jù)題意求出r變化的臨界值，根據(jù)變化區(qū)間長度的定義即可求解．【詳解】解：四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝12AC＝8，OB＝12BD＝∴AB＝OA2+O過點O作OH⊥AB于點H，如圖，∵SΔOAB=12OA·OB＝∴OA·OB＝AB·OH，∴OH＝245∵菱形的中心O到各邊的距離都相等，∴以點O為圓心，245為半徑畫圓，該圓與菱形的各邊都相切，此時⊙O與菱形ABCD的各邊有4當以點O為圓心，6為半徑畫圓，該圓過點B、D，與菱形ABCD的各邊有6個公共點，∴如果以O為圓心，r為半徑的⊙O與菱形ABCD的各邊有8個公共點，則245＜r＜6∴r的變化區(qū)間長度是6﹣245故選：D．【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關系，點和圓的位置關系，勾股定理，菱形的性質等知識，求得r變化的臨界值是解題的關鍵．【變式2】（2022秋·河北石家莊·九年級統(tǒng)考期末）已知圓O的半徑為3，點O到某條直線的距離為23，則這條直線可以是（

A．l1 B．l2 C．l3【答案】D【分析】根據(jù)若d<r，則直線與圓相交；若d=r，則直線于圓相切；若d>【詳解】解：∵圓O的半徑為3，點O到某條直線的距離為23而3<23∴d>∴直線與圓相離，∴這條直線與圓沒有公共點，∴這條直線可以是l4故選：D．【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關系，根據(jù)圓心距與半徑關系得出位置關系是解決問題的關鍵．【變式3】（2022秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期中）已知⊙A的半徑為3，△ABC是邊長為4的等邊三角形，則直線BC與⊙A的位置關系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定【答案】C【分析】在△ABC中過點A作AD⊥BC于點D，則BD=12BC=2,再根據(jù)勾股定理可得AD的長度，比較AD【詳解】過點A作AD⊥BC于點D∵△ABC是邊長為4的等邊三角形∴BD=在Rt△ABDAD=∵2∴直線BC與⊙A的位置關系是相離，故選：C【點睛】本題考查的是直線與圓的位置關系，解決此類問題的關鍵是通過比較圓心到直線距離與圓半徑大小關系完成判定．考點7：直線與圓的位置關系——求半徑典例7：（2023·上海虹口·校聯(lián)考二模）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AB=5，BC=12．分別以點O、D為圓心畫圓，如果⊙O與直線AD相交、與直線CD相離，且⊙D與⊙O內切，那么⊙D的半徑長r的取值范圍是（

）

A．12<r<4 B．52<r<6 C．【答案】C【分析】過點O作OE⊥AD，勾股定理求得BD=13，進而根據(jù)平行線分線段成比例得出OE=1【詳解】解：如圖所示，當圓O與AD相切時，過點O作OE⊥AD，∵矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AB=5，BC=12．∴AD⊥CD，CD=AB=5，AD=BC=12，BD=A∴OE∴OE=1則r=OD+5

當圓O與CD相切時，過點O作OF⊥CD于點F，如圖所示，

則OF=則r=∴⊙O與直線AD相交、與直線CD相離，且⊙D與⊙O內切時，9<r<25故選：C．【點睛】本題考查了矩形的性質，勾股定理，平行線分線段成比例，直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系，根據(jù)題意畫出圖形是解題的關鍵．【變式1】（2022春·九年級課時練習）如圖，已知⊙O是以數(shù)軸的原點O為圓心，半徑為1的圓，∠AOB=45°，點P在數(shù)軸上運動，若過點P且與OA平行的直線⊙O有公共點，設OP=x，則x的取值范圍是（

）A．0<x≤2 B．-2≤x≤2 C．【答案】A【分析】根據(jù)題意，知直線和圓有公共點，則相切或相交．相切時，設切點為C，連接OC．根據(jù)等腰直角三角形的直角邊是圓的半徑1，求得斜邊是2．所以x的取值范圍是0＜x≤2．【詳解】解：設切點為C，連接OC，則圓的半徑OC=1，OC⊥PC，∵∠AOB=45°，OA//∴∠OPC=45°，∴PC=OC=1，∴OP=2同理，原點左側的距離也是2，且線段是正數(shù)．所以x的取值范圍是0<x≤2．故選A【點睛】此題注意求出相切的時候的x值，即可分析出X的取值范圍．【變式2】（2023·全國·九年級專題練習）如圖，已知RtΔABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，如果以點C為圓心的圓與斜邊AB有公共點，那么⊙C的半徑r的取值范圍是（A．0≤r≤125 B．125≤r≤3【答案】C【分析】作CD⊥AB于D，根據(jù)勾股定理計算出AB=13，再利用面積法計算出CD=125然后根據(jù)直線與圓的位置關系得到當125≤r≤4時，以C為圓心、【詳解】解：作CD⊥AB于D，如圖，∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB∵∴CD∴以C為圓心、r為半徑作的圓與斜邊AB有公共點時，r的取值范圍為12故選：C【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系：設⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d：直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d=r；直線l和⊙O相離?d＞r．【變式3】（2022春·九年級課時練習）如圖，OA是⊙О的一條半徑，點P是OA延長線上一點，過點P作⊙O的切線PB，點B為切點．若PA=1，PB=2，則半徑OA的長為（

）A．43 B．32 C．85【答案】B【分析】由題意得，△PBO是直角三角形，設OA=x，則OB=x，在Rt△PBO中，PO=x+1，根據(jù)勾股定理得，x2+2【詳解】解：由題意得，PA=1，PB=2，∠PBO=90°，∴△PBO是直角三角形，設OA=x，則OB=x，在Rt△PBO中，PO=x+1，根據(jù)勾股定理得，xx解得x=3則半徑OA的長為32故選B．【點睛】本題考查了圓，勾股定理，解題的關鍵是掌握這些知識點．考點8：直線與圓的位置關系——求距離典例8：（2022春·九年級課時練習）如圖，在平面直角坐標系中，⊙P的圓心是(2,a)(a>2)，半徑為2，函數(shù)y=x的圖象被⊙P截得的弦AB的長為23，則a的值是（

A．23 B．2+22 C．2+2【答案】C【分析】過P點作PE⊥AB于E，過P點作PC⊥x軸于C，交AB于D，連接PA．分別求出PD、DC，相加即可．【詳解】解：過P點作PE⊥AB于E，過P點作PC⊥x軸于C，交AB于D，連接PA．∵PE⊥AB，AB=23，半徑為2∴AE=12AB=根據(jù)勾股定理得：PE=2∵點A在直線y=x上，∴∠AOC=45°，∵∠DCO=90°，∴∠ODC=45°，∴ΔOCD是等腰直角三角形，∴OC=CD=2，∴∠PDE=∠ODC=45°，∴∠DPE=∠PDE=45°，∴DE=PE=1，∴PD=2∵⊙P的圓心是(2,a)，∴a=PD+DC=2+2故選：C．【點睛】本題綜合考查了一次函數(shù)與幾何知識的應用，題中運用圓與直線的關系以及直角三角形等知識求出線段的長是解題的關鍵．注意函數(shù)y=x與x軸的夾角是45°．【變式1】（2022春·九年級課時練習）如圖，點A的坐標為（－3，－2），⊙A的半徑為1，P為坐標軸上一動點，PQ切⊙A于點Q，在所有P點中，使得PQ長最小時，點P的坐標為（）A．（0，－2） B．（0，－3） C．（－3，0）或（0，－2） D．（－3，0）【答案】D【分析】連結AQ、AP，由切線的性質可知AQ⊥QP，由勾股定理可知QP=AP2-AQ2，故此當AP【詳解】連接AQ，AP.根據(jù)切線的性質定理，得AQ⊥PQ；要使PQ最小，只需AP最小，根據(jù)垂線段最短，可知當AP⊥x軸時，AP最短，∴P點的坐標是(?3,0).故選D.【點睛】此題主要考查垂線段的性質，解題的關鍵是熟知圓的位置關系.【變式2】（2022春·九年級課時練習）如圖，半徑r=22的⊙M在x軸上平移，且圓心M在x軸上，當⊙M與直線y=x+2相切時，圓心M的坐標為（

A．(0，0) B．(2，0) C．（-6，0） D．(2，0)或（-6，0）【答案】D【分析】根據(jù)題意，進行分情況討論，分別為圓位于直線右側并與直線相切和位于直線左側并于直線相切兩種情況，進而根據(jù)相切的性質及等腰直角三角形的相關性質進行求解即可得解．【詳解】①當圓位于直線右側并與直線相切時，連接MA，如下圖所示：∵y=x+2∴A(0,2)，B(-2,0)，△AOB是等腰直角三角形，∠ABO=45°∴AB=2∵r=2∴△ABM是等腰直角三角形，∠BAM=90°∴⊙M與直線AB相切于點A∵AO⊥BM∴OB=OM=2∴圓心M的坐標為(2,0)；②當圓位于直線左側并與直線相切時，過點M作MC⊥AB于點C，如下圖所示：∵⊙M與直線AB相切，MC⊥AB∴MC=r=2根據(jù)直線AB的解析式：y=x+2可知∠ABO=∠MBC=45°∴△BCM是等腰直角三角形∴MB=∵B(-2,0)∴圓心M的坐標為(-6,0)，綜上所述：圓心M的坐標為(2,0)或(-6,0)，故選：D．【點睛】本題主要考查了切線的性質，等腰直角三角形的性質及動圓問題，熟練掌握相關幾何求解方法并進行分類討論是解決本題的關鍵．【變式3】（2022春·九年級單元測試）如圖，⊙C的圓心C的坐標為1,1，半徑為1，直線l的表達式為y=-2x+6，P是直線l上的動點，Q是⊙C上的動點，則PQ的最小值是（）A．355-1 B．655-1【答案】A【分析】求出點C1,1到直線y=-2x+6的距離d即可求得PQ【詳解】解：過點C作CP⊥直線l，交圓C于Q點，此時PQ的值最小，連接BC、AC，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，∵y=-2x+6，∴A3,0，B∴OA=3，OB=6，∴AB=3∵四邊形OMCN是正方形，∴OM=ON=1，∴AM=3-1=2，BN=6-1=5，設PC=d，PB=m，則AP=35∵BN2+C∴52+1解得：d=3∵⊙C的半徑為1，∴PQ=3故選：A．【點睛】此題主要考查與圓相關的動點問題，解題的關鍵是熟知勾股定理的應用、點到直線的距離的性質．同步過關一、單選題1．（2022秋·江蘇蘇州·九年級?？计谥校┮阎袿的半徑為5cm，若點A到圓心O的距離為3cm，則點A（

）A．在⊙O內 B．在⊙O上C．在⊙O外 D．與⊙O的位置關系無法確定【答案】A【分析】根據(jù)點到圓心的距離與圓的半徑大小的比較，確定點A與⊙O的位置關系．【詳解】解：∵OA=3cm＜5cm，∴點A在⊙O內．故選：A．【點睛】本題考查的是點與圓的位置關系，根據(jù)點到圓心的距離比圓的半徑小，可以確定點A在圓內．2．（2022秋·河南漯河·九年級統(tǒng)考期末）⊙O的半徑為R，點P到圓心O的距離為d，并且d≥R，則P點（

）A．在⊙O內或⊙O上 B．在⊙O外C．在⊙O上 D．在⊙O外或⊙O上【答案】D【分析】根據(jù)⊙O的半徑為R和點P到圓心O的距離為d之間的關系，對點與圓的位置關系進行判斷即可．【詳解】解：∵d≥R，∴點P在⊙O上或點P在⊙O外．故選D．【點睛】本題考查了點與圓的位置關系，設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：點P在圓外?d＞r；點P在圓上?d＝r點P在圓內?d＜r．解題關鍵是熟記點和圓的位置關系與圓的半徑和點到圓心的距離的關系．3．（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級校考階段練習）已知⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d．若直線l與⊙O有交點，則下列結論正確的是（）A．d＝r B．d≤r C．d≥r D．d＜r【答案】B【分析】根據(jù)直線l與⊙O有交點，則可知直線和圓相切或相交．【詳解】解：∵直線l與⊙O有交點，∴直線與圓相交或相切，∴d≤r．故選：B．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系,熟悉直線與圓的位置關系是解題關鍵.4．（2022·浙江·九年級專題練習）已知⊙O的半徑為2cm，若點P到圓心O的距離為3cm，則點P（A．在⊙O內 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．與⊙O的位置關系無法確定【答案】C【分析】根據(jù)點到圓心的距離與圓的半徑大小的比較，確定點P與⊙O的位置關系．【詳解】解：∵OP=3cm＞2cm，∴點P在⊙O外．故選：C．【點睛】本題考查的是點與圓的位置關系，根據(jù)點到圓心的距離比圓的半徑小，可以確定點P在圓外．5．（2023春·九年級單元測試）已知⊙O的半徑為3cm，⊙O所在平面上有一點P.若PO＝3.5cm，則點P在()A．⊙O內 B．⊙O上C．⊙O外 D．以上都有可能【答案】C【分析】半徑為r，點到圓心的距離為d，當d＞r時，點在圓外；當d=r時，點在圓上，當d＜r時，點在圓內，依此可得答案．【詳解】由題意，得d=3，r=2．∵d＞r，∴點P在⊙O外，故選C．【點睛】考查了點與圓的位置關系．關鍵要記住若半徑為r，點到圓心的距離為d，當d＞r時，點在圓外；當d=r時，點在圓上，當d＜r時，點在圓內．6．（2022秋·廣西南寧·九年級南寧十四中校聯(lián)考期中）已知⊙O的半徑為4，OA=5，則點A和⊙O的位置關系是（

）A．點A在圓上 B．點A在圓外 C．點A在圓內 D．圓不經過點A【答案】B【分析】根據(jù)點與圓的位置關系的判定方法進行判斷．【詳解】解：∵⊙O的半徑為4，OA=5，即點A到圓心O的距離大于圓的半徑，∴點A在⊙O外．故選：B．【點睛】本題考查了點與圓的位置關系：設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP=d，則有點P在圓外?d>r；點P在圓上?d=r；點P在圓內?d<r．7．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考二模）如圖，等腰△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm．動點D從點C出發(fā)，沿線段CB以2cm/s的速度向點B運動，同時動點O從點B出發(fā)，沿線段BA以1cm/s的速度向點A運動，當其中一個動點停止運動時另一個動點也隨時停止．設運動時間為t（s），以點O為圓心，OB長為半徑的⊙O與BA交于另一點E，連接ED．當直線DE與⊙O相切時，t的取值是（）A．169 B．32 C．43【答案】A【分析】如圖，作AF⊥BC于F，利用等腰三角形的性質得BF=CF=4,利用切線的判定方法，當BE⊥DE,直線DE與⊙O相切，則∠BED=90°,然后利用cos∠B=BFAB=45,可得cos∠B=BE【詳解】由題意可知0＜t≤4，過點A作AF⊥BC于點∵AB=AC，則BF＝CF＝4cm，∴cos∠B＝BFAB當直線DE與⊙O相切時，DE⊥AB，則cos∠B=BEBD即2t8-2t=4故選A.【點睛】本題考查了切線的判定定理:經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，等腰三角形的性質、三角函數(shù)性質，掌握三角函數(shù)的性質是解題的關鍵.8．（2022秋·全國·九年級專題練習）當一個三角形的內心與外心重合時，這個三角形一定是（

）A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形【答案】D【分析】根據(jù)內心和外心的概念，三角形的內心是三個內角平分線的交點，外心是三邊的垂直平分線的交點；再根據(jù)等邊三角形中三線合一性質，所以一個三角形的外心與內心恰好重合，這個三角形是等邊三角形．【詳解】解：根據(jù)等邊三角形的性質可知，一個三角形的外心與內心恰好重合，這個三角形是等邊三角形．故選：D．【點睛】本題考查三角形的內心、外心的相關知識，熟悉相關性質是解題的關鍵．9．（2022春·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期末）下列命題中，假命題是（

）A．在直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半B．等腰三角形頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高相互重合C．有一個角是60°的三角形是等邊三角形D．三角形三條邊的垂直平分線的交點叫做這個三角形的外心【答案】C【分析】根據(jù)30°的直角三角形性質：30°角所對的直角邊等于斜邊的一半判斷A正確，不符合題意；根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質判斷B正確，不符合題意；根據(jù)等邊三角形的判定定理：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形判斷C錯誤，符合題意；根據(jù)三角形外心的定義判斷D正確，不符合題意．【詳解】解：A．根據(jù)30°的直角三角形性質：30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，所以A選項正確，不符合題意；B．根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合，所以B選項正確，不符合題意；C．根據(jù)等邊三角形的判定定理：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形，所以C選項錯誤，符合題意；D．根據(jù)外心定義：三角形三條邊的垂直平分線的交點叫做這個三角形的外心，所以D選項正確，不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查命題與定理：命題的“真”“假”是就命題的內容而言，任何一個命題非真即假，要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．10．（2022秋·九年級課時練習）在△ABC中，AB=AC=2，∠A=150°，那么半徑長為1的⊙B和直線AC的位置關系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定【答案】B【詳解】過B作BD⊥AC交CA的延長線于D,∵∠BAC=150,∴∠DAB=30°,∴BD=12即B到直線AC的距離等于⊙B的半徑,∴半徑長為1的⊙B和直線AC的位置關系是相切,故選B.【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系的應用,過B作BD⊥AC交CA的延長線于D,求出BD和⊙B的半徑比較即可,主要考查學生的推理能力.二、填空題11．（2022秋·湖南長沙·九年級長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學校?？茧A段練習）在同一平面內，⊙O的直徑為2cm，點P到圓心O的距離是3cm，則點P與⊙O的位置關系是．【答案】圓外【分析】根據(jù)比較點到圓心的距離與半徑的大小可得答案．【詳解】解：設點P到圓心O的距離的距離為d，半徑為r，由題意可得：d=3，r=1，則d>r，∴則點P在⊙O的外部．故答案為：圓外．【點睛】本題考查了點與圓的位置關系，準確地認識圓是解題的關鍵．12．（2022秋·浙江杭州·九年級杭州綠城育華學校?？计谥校┮阎袿的半徑為4cm，OP=2cm，則點P在⊙O．（填“內”、“外”或“上【答案】內【分析】根據(jù)點到圓心的距離和圓的半徑之間的數(shù)量關系，即可判斷點和圓的位置關系．點到圓心的距離小于圓的半徑，則點在園內；點到圓心的距離等于圓心的半徑，則點在圓上；點到圓心的距離大于圓的半徑，則點在圓外．【詳解】解：∵OP=2<4，∴點P在⊙O內，故答案為：內．【點睛】本題考查了點和圓的位置關系，熟悉點和圓的位置關系的判斷是關鍵．13．（2022秋·九年級課時練習）經過一點P可以作個圓；經過兩點P、Q可以作個圓，圓心在上；經過不在同一直線上的三個點可以作個圓，圓心是的交點．【答案】無數(shù)，無數(shù)，線段PQ的垂直平分線，一個，三邊中垂線.【詳解】試題分析：經過一點P可以作無數(shù)個圓；經過兩點P、Q可以作無數(shù)個圓，圓心在線段PQ的垂直平分線上；經過不在同一直線上的三個點可以作一個個圓，圓心是三邊中垂線的交點．14．（2022秋·廣東珠海·九年級珠海市第九中學?？计谥校┤簟裀的半徑為5，圓心P的坐標為（﹣3，4），則平面直角坐標系的原點O與⊙P的位置關系是．【答案】點O在⊙P上【分析】由勾股定理等性質算出點與圓心的距離d，則d＞r時，點在圓外；當d=r時，點在圓上；當d＜r時，點在圓內．【詳解】解：由勾股定理，得OP＝(-3)2+4d＝r＝5，故點O在⊙P上．故答案為點O在⊙P上.【點睛】此題考查點與圓的位置關系的判斷．解題關鍵在于要記住若半徑為r，點到圓心的距離為d，則有：當d＞r時，點在圓外；當d=r時，點在圓上，當d＜r時，點在圓內．15．（2022秋·江蘇蘇州·九年級蘇州草橋中學階段練習）已知⊙O的半徑為6cm，點A在⊙O外，OA=d，則d的長度范圍是．【答案】d>6【分析】根據(jù)點A在圓外?d＞【詳解】∵⊙O的半徑為6，點A在⊙O外，∴OA＞6，即故答案為d＞【點睛】本題考查了點與圓的位置關系：點與圓的位置關系有3種．設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP=d，則有：點P在圓外?d＞r；點P在圓上?d=r；點P在圓內?16．（2022秋·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期中）在Rt△ABC中，斜邊AB=10，直角邊AC=8，以C為圓心,r為半徑，若要使⊙C與邊AB只有一個公共點，則r的取值范圍是.【答案】r=4.8或6＜r≤8【詳解】如圖，∵斜邊AB=10，直角邊AC=8，∴BC=102當圓和斜邊相切時,則半徑即是斜邊上的高,r=CD=6×810當圓和斜邊相交，且只有一個交點在斜邊上時，可以讓圓的半徑大于短直角邊而小于長直角邊，則6<r?8.故答案為r=4.8或6<r?8.點睛：本題考查的是直線與圓的位置關系，在解答此題時要注意分兩種情況討論，不要漏解.三、解答題17．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以點C為圓心作⊙C，半徑為r．（1）當r取什么值時，點A在⊙C外？（2）當r取什么值時，點A在⊙C內，點B在⊙C外．【答案】（1）r<3時，點A在⊙C外；（2）3<r<4時，點A在⊙C內，點B在⊙C外【分析】（1）根據(jù)點A在圓外，則點A到圓心C的距離大于半徑r，從而可得r的取值；（2）根據(jù)點A在圓內，則點A到圓心C的距離小于半徑r，根據(jù)點B在圓外，則點B到圓心C的距離大于半徑r，兩者結合起來即可得到r的取值范圍．【詳解】（1）點A在⊙C外，則AC>r，即r<3即當r<3時，點A在⊙C外；（2）點A在⊙C內，則AC<r，即r>3；點B在⊙C外，則BC>r，即r<4，綜合起來，當3<r<4時，點A在⊙C內，點B在⊙C外．【點睛】本題考查了點與圓的位置關系，根據(jù)點到圓心的距離與圓的半徑的大小關系即可確定點與圓的位置關系，掌握它是解答本題的關鍵．18．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）在直角坐標平面內，⊙O的半徑是5，圓心O的坐標為-1，-4，試判斷點P3，-1【答案】點P在⊙O上【分析】先用兩點距離公式計算出OP，再跟5作比較即可得出結論．【詳解】解：OP=-1-3因為半徑為5，所以點P在⊙O上．【點睛】本題主要考查的是兩點距離公式以及點與圓的位置關系，掌握兩點距離公式是解題的關鍵．19．（2023春·九年級課時練習）如圖所示，在四邊形ABCD，∠B=∠D=90°，求證：A、B、C、D四點在同一個圓上．【答案】證明見解析【分析】根據(jù)圓的定義進行判斷即可，圓的定義:平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓.連AC，取AC的中點O，連接OB、OD，利用直角三角形斜邊上的中線可得OB=OA=OC=OD，即可推出A、B、C、D四點在同一個圓上．【詳解】證明：連AC，取AC的中點O，連接OB、OD，∵∠B=∠D=90°，∴OB=12AC，OD=12AC．即∴A、B、C、D四點在同一圓上．【點睛】本題考查圓的定義，直角三角形斜邊上的中線，解題的關鍵是連AC，取AC的中點O，連接OB、OD，構造直角三角形.20．（2022秋·浙江杭州·九年級杭州市豐潭中學?？计谥校﹫A圓在解答問題“在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，以A為圓心作⊙A，使得B，C，D三點中至少有一點在⊙A內，有一點在⊙A外，求⊙A的半徑r的取值范圍？”時，答案為“【答案】不正確，正確過程見解析【分析】連接AC并根據(jù)勾股定理計算出AC的長度，經分析，以A為圓心作⊙A，使得B，C，D三點中至少有一點在⊙A內，有一點在⊙A外，則點B必須在圓內，點C必須在圓外，根據(jù)點與圓的位置關系即可進行解答．【詳解】解：圓圓的結果不正確．連接AC，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠B=90°