專題22.4 解題技巧專題：待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式之六大模型（解析版）

專題22.4解題技巧專題：待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式之六大模型【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【模型一一點一參數(shù)代入求二次函數(shù)的解析式】 1【模型二兩點兩參數(shù)代入求二次函數(shù)的解析式】 5【模型三三點三參數(shù)代入求二次函數(shù)的解析式】 10【模型四一點一對稱軸求二次函數(shù)的解析式】 17【模型五已知頂點式求二次函數(shù)的解析式】 28【模型六已知交點式求二次函數(shù)的解析式】 33【典型例題】【模型一一點一參數(shù)代入求二次函數(shù)的解析式】例題：（2023·浙江湖州·統(tǒng)考二模）如圖，已知在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點．

(1)求該拋物線的解析式；(2)將該拋物線向下平移n個單位，使得平移后的拋物線經(jīng)過點，求n的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）把點代入可求出b，從而得解；（2）根據(jù)拋物線向下平移n個單位，得到新拋物線的解析式，再將點代入可求出n的值．【詳解】（1）解：把點代入得：，解得，∴拋物線的解析式為：（2）拋物線向下平移n個單位后得：，把點代入得：解得：即n的值為1．【點睛】本題考查待定系數(shù)法和拋物線的平移，掌握待定系數(shù)法和拋物線的平移是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）已知一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點．(1)求b的值；(2)求拋物線關(guān)于x軸對稱的拋物線的解析式．【答案】(1)(2)【分析】（1）把代入二次函數(shù)解析式即可求出b的值；（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得拋物線關(guān)于x軸對稱的圖象橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)，然后可得答案．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，∴把點代入得，解得：；（2）解：由（1）可知二次函數(shù)解析式為，∵拋物線關(guān)于x軸對稱的圖象橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)，∴所得拋物線解析式為，即．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江溫州·校聯(lián)考三模）已知拋物線經(jīng)過點．(1)求拋物線的函數(shù)表達式和頂點坐標．(2)拋物線與軸的另一交點為，將線段向上平移個單位，平移后的線段與拋物線分別交于點（點在點左側(cè)），若，求的值．【答案】(1)，頂點坐標為(2)3【分析】（1）將代入表達式，進行計算求出的值即可得到解析式，再根據(jù)求頂點坐標的公式進行求解即可；（2）由對稱性可得到點的坐標，從而得到的長度，再由可得到的長度，最后根據(jù)對稱性即可求出點的橫坐標，代入表達式即可求出縱坐標，從而即可得到答案．【詳解】（1）解：把代入表達式，得：，解得：，函數(shù)表達式為，當時，，頂點坐標為；（2）解：，對稱軸為直線，由對稱性可知，，，∴，點在點左側(cè)，由對稱性可得，點的橫坐標為：，當時，，．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的頂點坐標、二次函數(shù)的對稱性，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．3．（2023·浙江溫州·溫州市第八中學(xué)?？既＃┤鐖D，拋物線，C為y軸正半軸上一點，過點C作軸交拋物線于點A，B（A在B的左側(cè)），且，．

(1)求該拋物線的對稱軸及函數(shù)表達式．(2)當，最大值與最小值的差是9，求t的取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)拋物線的對稱軸公式直接求出對稱軸，再根據(jù)對稱軸求出點A的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)的表達式；（2）先求出拋物線的頂點坐標，根據(jù)二次函數(shù)圖形的性質(zhì)，針對，和三種情況進行分析即可得到答案．【詳解】（1）解：拋物線的對稱軸為：，即；如下圖所示，設(shè)對稱軸交于點E，交x軸于點F，設(shè)拋物線頂點為D，

∵對稱軸，，，∴∴∴將代入拋物線的解析式得：，解得，∴拋物線的解析式為：；（2）解：∵，∴拋物線的頂點為，當時，，即為點，∵頂點為，∴當時，，最大值與最小值的差是不等于9，當時，最大值為，最小值為點，最大值于最小值相差為9，當時，最大值大于，此時，最大值于最小值相差不等于9，∴當，最大值與最小值的差是9，t的取值范圍為：【點睛】本題考查拋物線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握對稱軸的公式和二次函數(shù)的圖像性質(zhì)．【模型二兩點兩參數(shù)代入求二次函數(shù)的解析式】例題：（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過點和．

(1)求該二次函數(shù)的表達式及圖象的頂點坐標．(2)當時，請根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍．【答案】(1)，頂點坐標為；(2)【分析】（1）把和代入，建立方程組求解解析式即可，再把解析式化為頂點式，可得頂點坐標；（2）把代入函數(shù)解析式求解的值，再利用函數(shù)圖象可得時的取值范圍．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)圖象經(jīng)過點和．∴，解得：，∴拋物線為，∴頂點坐標為：；（2）當時，，∴解得：，，

如圖，當時，∴．【點睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的頂點坐標，利用圖象法解不等式，熟練的運用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣西南寧·八年級南寧市天桃實驗學(xué)校校考期末）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A、點B，與y軸交于點C．其中．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)若點P在二次函數(shù)圖象上，且，求點P的坐標．【答案】(1)(2)或或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出點B的坐標，進而求出的面積，則由三角形面積公式可求出點P的縱坐標，進而求出點P的坐標即可．【詳解】（1）解：把代入中得：，∴，∴二次函數(shù)解析式為；（2）解：當時，則，解得或，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，當時，解得，即；當時，解得或，即或；綜上所述，點P的坐標為或或．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）已知拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于點C，頂點為D．

(1)求該拋物線的解析式；(2)連接，，，P為的中點，連接，則線段的長是______．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)點的坐標，利用待定系數(shù)法即可得；（2）先根據(jù)拋物線的解析式求出點的坐標，再利用中點坐標公式可得點的坐標，然后利用兩點之間的距離公式即可得．【詳解】（1）解：將點，代入得：，解得，則該拋物線的解析式為．（2）解：拋物線的頂點坐標為，當時，，即，∵P為的中點，且，∴即∴，故答案為：．【點睛】本題考查了求二次函數(shù)的解析式、兩點之間的距離公式，熟練掌握待定系數(shù)法是解題關(guān)鍵．3．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點和點，且經(jīng)過點．

(1)求拋物線的解析式；(2)結(jié)合函數(shù)圖象當時，求自變量的取值范圍；(3)點為拋物線上一點且到軸距離小于，結(jié)合函數(shù)的圖象求點縱坐標的取值范圍．【答案】(1)；(2)或；(3)．【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）令，解方程求得的坐標，進而結(jié)合圖象即可求解；（3）根據(jù)解析式可得，拋物線的頂點坐標為，對稱軸為直線，根據(jù)，且，根據(jù)增減性，結(jié)合函數(shù)圖象即可求解．【詳解】（1）解：將和代入得，解得，拋物線的解析式為；（2）由(1)可知拋物線的解析式為，令，則，得，，，，結(jié)合函數(shù)圖象可得，當時，自變量的取值范圍為或；（3），拋物線的頂點坐標為，對稱軸為直線，，且，當時，取得最大值，最大值是，當時，；當時，；．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，待定系數(shù)法求解析式解析式，求與坐標軸的交點坐標，根據(jù)圖象求不等式的解集，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【模型三三點三參數(shù)代入求二次函數(shù)的解析式】例題：（2023秋·江蘇南京·九年級校聯(lián)考期末）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過（－1，0），（0，2），（1，0）三點．(1)求該二次函數(shù)的表達式；(2)當時，y的取值范圍是______．(3)將該函數(shù)的圖像沿直線x＝1翻折，直接寫出翻折后的圖像所對應(yīng)的函數(shù)表達式．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)（－1，0），（1，0）兩點可得頂點坐標為（0，2），設(shè)頂點式代入點坐標即可；（2）求出對稱軸，判斷出對稱軸在內(nèi)，故在對稱軸處取最大值，端點處取最小值；（3）圖像沿直線x＝1翻折，不變，頂點坐標變?yōu)?，代入頂點式即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，可得圖像頂點坐標為（0，2），設(shè)二次函數(shù)的表達式為．將（1，0）代入，求得，∴．（2）解：對稱軸為軸，且開口向下當時，有最大值2（能取到）當時，有最小值（取不到）y的取值范圍是：（3）解：頂點坐標變?yōu)樗员磉_式為：（或，）【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要知識點有：求最值、待定系數(shù)法求表達式、點的軸對稱等，熟記二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）已知拋物線經(jīng)過點，、，、，．(1)求該拋物線的解析式；(2)當為何值時，？【答案】(1)(2)【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解．（2）當時，當拋物線與直線交于點，根據(jù)拋物線的開口向下，結(jié)合函數(shù)圖象即可求解．【詳解】（1）把，、，、，代入二次函數(shù)解析式，可得：，解得．所以拋物線的解析式為：；（2）解：由，當時，解得：∴當拋物線與直線交于點，根據(jù)二次函數(shù)的圖象可得，時，．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，）、（，）、（，），且與軸交于、兩點．(1)試確定該二次函數(shù)的解析式；(2)判定點，是否在這個圖象上，并說明理由；(3)求的面積．【答案】(1)(2)在，理由見解析(3)6【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）將代入解析式，得，即可得出結(jié)論；（3）令，求得的坐標，進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【詳解】（1）設(shè)二次函數(shù)為，把，、，、，代入二次函數(shù)解析式，得：，解得．∴二次函數(shù)的解析式為：；（2）把代入解析式，可得：，所以點，在函數(shù)圖象上．（3）當，，解得：，∴，又，，∴．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與軸的交點問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·江西宜春·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在直角坐標系中，二次函數(shù)經(jīng)過，，三個點．(1)求該二次函數(shù)的解析式；(2)若在該函數(shù)圖象的對稱軸上有個動點D，求當點D坐標為何值時，的周長最?。敬鸢浮?1)拋物線的解析式為；(2)當點D的坐標為時，的周長最小【分析】（1）設(shè)這個二次函數(shù)的解析式為，利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；（2）與對稱軸的交點即為點D，此時的周長最?。驹斀狻浚?）解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為，將A、B、C三點代入，得，解得：，，∴拋物線的解析式為：；（2）解：拋物線的對稱軸為，如圖，連接與對稱軸交于點D，∵，，∴B、C關(guān)于對稱軸對稱，∴，∴，∵為定值，此時的周長取得最小值，點D即為所求；設(shè)直線解析式為，將A、C兩點代入得，解得：，直線的解析式為：，當時，，∴當點D的坐標為時，的周長最?。军c睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，最短路徑問題，掌握兩直線交點求法是求出點D的關(guān)鍵．4．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，拋物線過點．

(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)點是直線上方拋物線上一點，求出的最大面積及此時點的坐標；(3)若點是拋物線對稱軸上一動點，點為坐標平面內(nèi)一點，是否存在以為邊，點為頂點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)的最大面積為，(3)存在，或或，，見解析【分析】（1）利用待定系數(shù)法代入求解即可；（2）利用待定系數(shù)法先確定直線的解析式為，設(shè)點，過點P作軸于點D，交于點E，得出，然后得出三角形面積的函數(shù)即可得出結(jié)果；（3）分兩種情況進行分析：若為菱形的邊長，利用菱形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：將點代入解析式得：，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）設(shè)直線的解析式為，將點B、C代入得：，解得：，∴直線的解析式為，∵，∴，設(shè)點，過點P作軸于點D，交于點E，如圖所示：

∴，∴，∴，∴當時，的最大面積為，，∴（3）存在，或或或，，證明如下：∵，∵拋物線的解析式為，∴對稱軸為：，設(shè)點，若為菱形的邊長，菱形，則，即，解得：，，∵，∴，∴，；若為菱形的邊長，菱形，則，即，解得：，，∵，∴，∴，；綜上可得：或或，．【點睛】題目主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，包括待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，三角形面積問題及特殊四邊形問題，全等三角形的判定和性質(zhì)等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．【模型四一點一對稱軸求二次函數(shù)的解析式】例題：（2023·寧夏中衛(wèi)·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線的對稱軸為直線，與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，且A點坐標為．

(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標；(2)點是x軸上的一個動點，當?shù)闹底钚r，求a的值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)對稱軸為直線，可得，即可求出b的值，再將點A的坐標代入，求出c的值，即可得出拋物線解析式，將其化為頂點式，即可得出點D坐標；（2）作點C關(guān)于x軸的對稱點E，連接，交x軸于點M，此時的值最小，求出所在直線的表達式，即可求出點M的坐標．【詳解】（1）解：∵拋物線的對稱軸為直線，∴，解得：，把代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為：，∴點D的坐標為．（2）解：作點C關(guān)于x軸的對稱點E，連接，交x軸于點M，把代入得：，∴，∴，設(shè)所在直線為，把，代入得：，解得：，∴所在直線的表達式為：為，把代入得：，解得：，∴，．

【點睛】本題主要考查了用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)表達式，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)確定最短路徑，解題的關(guān)鍵是熟練掌握用待定系數(shù)法求解函數(shù)表達式的方法和步驟．【變式訓(xùn)練】1．（2023·黑龍江佳木斯·校聯(lián)考二模）如圖，拋物線交軸于點，，交軸于點，對稱軸是直線．

(1)求拋物線的解析式；(2)點在拋物線上，若直線平分的面積，請直接寫出點的坐標．【答案】(1)拋物線的解析式為(2)，【分析】（1）先根據(jù)對稱性求出與x軸的另一個交點，再根據(jù)交點式可直接出結(jié)果；（2）由直線平分的面積推出直線經(jīng)過的中點，求出這個中點，從而求出直線的解析式，將直線的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立方程組可求出點P的坐標．【詳解】（1）解：點關(guān)于直線的對稱點是，點在拋物線上，∴的兩根是，又∵二次項系數(shù)，∴由交點式可得拋物線的解析式為：，即；（2）點的坐標：，．補充求解過程如下：令得：∴∵直線平分的面積，∴直線經(jīng)過的中點，設(shè)為點D，∵，∴

設(shè)直線的解析式為，將點D代入得：解得：，∴直線的解析式為．將直線的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立得：將①代入②得：解得：，當時，，當時，，∴直線與拋物線的公共點即點的坐標：，【點睛】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，直線與二次函數(shù)的交點問題，掌握待定系數(shù)法和求拋物線與直線的交點的方法是解題的關(guān)鍵．2．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考三模）已知拋物線交軸于C，D兩點，其中點C的坐標為，對稱軸為．點A，B為坐標平面內(nèi)兩點，其坐標為，．(1)求拋物線的解析式及頂點坐標；(2)連接，若拋物線向下平移個單位時，與線段只有一個公共點，求k的取值范圍．【答案】(1)；(2)或【分析】（1）根據(jù)拋物線的對稱軸為，求出b的值，將代入求出c的值即可得出拋物線的解析式，將拋物線化為頂點式，即可求出拋物線的頂點坐標；（2）先求出拋物線向下平移個單位后解析式為，得出頂點坐標為，再分別求出當拋物線頂點落在上時，當拋物線經(jīng)過點當拋物線經(jīng)過時，k的值，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：∵拋物線對稱軸為直線，∴，∴，將代入得，解得，∴，∴拋物線頂點坐標為．（2）解：拋物線向下平移個單位后解析式為，∴拋物線頂點坐標為，①當拋物線頂點落在上時，，解得，此時拋物線與只有1個交點；②當拋物線經(jīng)過點時，，解得，當拋物線經(jīng)過時，，解得，

根據(jù)圖象可知，當拋物線經(jīng)過點A時，拋物線與有2個交點，再向下平移拋物線與有1個交點，當拋物線經(jīng)過點B時，拋物線與有1個交點，再向下平移拋物線與無交點，∴時，滿足題意；綜上所述，或．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的平移，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，準確計算．3．（2023·青海海東·統(tǒng)考二模）拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點A的坐標為，點C的坐標為，對稱軸為直線．(1)求該拋物線的表達式；(2)若點P在拋物線上，且，求點P的坐標；(3)設(shè)點Q是線段上的動點，作軸交拋物線于點D，求線段長度的最大值．【答案】(1)(2)，(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)拋物線的解析式得出，，從而求得三角形的面積，設(shè)點P的坐標為，根據(jù)即可求得的值，從而得出點P的坐標；（3）利用待定系數(shù)法可求得直線AC的解析式為，設(shè)點，再根據(jù)兩點間的距離可表示，然后利用二次函數(shù)的最值即可得出答案．【詳解】（1）已知拋物線的對稱軸為直線，可設(shè)拋物線的表達式為，將點，點代入，得，解得，∴拋物線的表達式為；（2）由（1）知拋物線表達式為，令，解得或，∴點B的坐標為，∵點C坐標為，∴，，∴，∵點P在拋物線上，∴設(shè)點P的坐標為，∴∵，∴，解得或，∴當時，，當時，，∴滿足條件的點P有兩個，分別為，；（3）如解圖，設(shè)直線AC的解析式為，

將點，代入，得，解得，∴直線AC的解析式為，由于點Q在AC上，可設(shè)點，則點，其中，∴∴當時，DQ長度有最大值．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)及最值，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023·河南鶴壁·統(tǒng)考一模）如圖所示，已知拋物線交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，其中點A的坐標為，對稱軸為直線．

(1)求拋物線的解析式及頂點坐標；(2)當直線經(jīng)過點C時，結(jié)合圖象直接寫出不等式的解集；(3)已知點，，連接，若拋物線向下平移個單位長度時，與線段只有一個公共點，請直接寫出k的取值范圍．【答案】(1)，頂點坐標；(2)或；(3)或．【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）觀察函數(shù)圖象即可求解；（3）①拋物線向下平移1個單位時，拋物線和有一個交點，即；②當時，，當時，，當拋物線向下平移個單位時，拋物線和恰好有2個交點，當拋物線向下平移10個單位時，拋物線和恰好有1個交點，之后再沒有交點，即可得解．【詳解】（1）∵拋物線過點,且對稱軸為直線，∴∴∴；（2）由（1）知，令得，∴∴令得∴∴∴∴當直線過點C時，直線的表達式為：，該直線恰好過點B，觀察函數(shù)圖象知，不等式的解集為：或；

（3）①由拋物線的表達式知，其頂點坐標為：，則拋物線向下平移1個單位時，拋物線和有一個交點，即；②當時，，當時，，當拋物線向下平移個單位時，拋物線和恰好有2個交點，

當拋物線向下平移個單位時，拋物線和恰好有1個交點，之后再沒有交點，故，綜上，或．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、圖形的平移等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．5．（2023·云南曲靖·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線與軸交于兩點，對稱軸為，直線的解析式為．

(1)當直線與拋物線有且只有一個交點時，求的值；(2)若直線經(jīng)過拋物線的頂點時，與軸交于點，把拋物線沿線段方向向右下平移，使拋物線的頂點移動到點處，在平移過程中，設(shè)拋物線上兩點之間這一段曲線掃過的面積為，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由拋物線對稱軸為可得，聯(lián)立，因直線與拋物線有且只有一個交點，所以該方程根的判別式為0，即，即可求解；（2）可求得拋物線的頂點坐標為，與軸交點為，把代入直線得，設(shè)點平移后的對應(yīng)點為點，連接，由平移性質(zhì)可知四邊形為平行四邊形連接，．【詳解】（1）解：由拋物線對稱軸為可得所以拋物線的解析式為聯(lián)立拋物線與直線的解析式得因直線與拋物線有且只有一個交點，所以該方程根的判別式為0，即解得（2）解：由∴頂點坐標為，令，即，解得：∴拋物線與軸交點為把代入直線得所以直線，進而得設(shè)點平移后的對應(yīng)點為點，連接，由平移性質(zhì)可知四邊形為平行四邊形

連接，所以對拋物線上兩點之間這一段曲線掃過的圖形進行割補，可得【點睛】本題考查了二次函數(shù)與直線的交點問題，二次函數(shù)的平移，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【模型五已知頂點式求二次函數(shù)的解析式】例題：（2023春·河北保定·九年級專題練習(xí)）已知拋物線頂點坐標為，且過點．(1)求其解析式；(2)把該拋物線向右平移_______個單位，則它過原點．【答案】(1)(2)1或3【分析】（1）根據(jù)拋物線頂點坐標可設(shè)該拋物線解析式為，再將點代入，求出a的值，即得出該拋物線解析式；（2）根據(jù)（1）所求解析式可求出其圖象與x軸交點坐標，進而即可解答．【詳解】（1）∵拋物線頂點坐標為，∴可設(shè)該拋物線解析式為．∵拋物線過點，∴，解得：，∴拋物線解析式為；（2）對于，令，則，∴，解得：，∴該拋物線與x軸的兩個交點分別為，，∴把該拋物線向右平移1個單位或3個單位，則它過原點．故答案為：1或3．【點睛】本題考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，求拋物線與x軸的交點坐標，二次函數(shù)圖象的平移．根據(jù)題意設(shè)出為頂點式的拋物線解析式，再根據(jù)待定系數(shù)法求出該解析式是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）已知二次函數(shù)的圖像過點，且當時，函數(shù)有最小值3，求該二次函數(shù)的解析式．【答案】【分析】根據(jù)題意可知二次函數(shù)的頂點坐標為，則可把解析式設(shè)為頂點式，利用待定系數(shù)法求解即可．【詳解】解：∵當時，函數(shù)有最小值3，∴可設(shè)二次函數(shù)解析式為，把代入函數(shù)解析式可得．∴∴二次函數(shù)的解析式為：，即．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，正確把函數(shù)解析式設(shè)為頂點式是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·江西南昌·九年級統(tǒng)考期末）已知拋物線的頂點坐標為，且經(jīng)過點．(1)求該拋物線的解析式；(2)若點在該拋物線上，求m的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）設(shè)出二次函數(shù)的頂點式，然后將頂點坐標為，點直接代入即可．（2）將代入（1）中求出的表達式，解方程即可．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的解析式為，得解得，所以此函數(shù)的解析式為（2）解：把代入得，解得或．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)表達式，以及求坐標的值，準確設(shè)出表達式是解題關(guān)鍵．3．（2023秋·河北廊坊·九年級統(tǒng)考期末）如圖所示，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點、頂點坐標為．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)①當函數(shù)值時，直接寫出x的取值范圍；②當時，直接寫出函數(shù)的最大值．【答案】(1)(2)①；②3【分析】(1)設(shè)函數(shù)的解析式為，將代入解析式，即可求解；(2)①首先可求得與x軸的另一個交點的坐標為，再根據(jù)函數(shù)圖象，即可解答；②令，則，再根據(jù)在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，據(jù)此即可解答．【詳解】（1）解：設(shè)函數(shù)的解析式為，將代入解析式，解得，∴函數(shù)的解析式為；（2）解：①二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點、頂點坐標為，對稱軸為直線，與x軸的另一個交點的坐標為，當函數(shù)值時，；②在中，令，則，當時，由圖象可知：y隨x的增大而減小，故當時，函數(shù)的最大值為3．【點睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解決此類題的關(guān)鍵．4．（2023·江蘇南京·校聯(lián)考三模）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過、、三點．(1)若點為該函數(shù)圖像的頂點，求二次函數(shù)的表達式；(2)若該函數(shù)圖像的對稱軸為直線，求的值；(3)若二次函數(shù)解析式中二次項系數(shù)，當時，隨的增大而減小．結(jié)合圖像，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)(2)或(3)或【分析】（1）利用頂點公式設(shè)解析式后代入另一已知點即可求出；（2）利用對稱軸設(shè)解析式為頂點式，代入兩個已知點求出解析式，再代入點C即可求出m；（3）設(shè)解析式并代入點A、B化簡，通過題意得到對稱軸范圍，計算范圍，由點C坐標得到其所在一次函數(shù)直線，再畫圖通過開口大小找到交點的橫坐標范圍．【詳解】（1）解：頂點，設(shè)解析式為，代入點得：，，二次函數(shù)的表達式為；（2）對稱軸為直線，設(shè)解析式為，代入點、得：，解得，二次函數(shù)的表達式為；代入得：，解得：或；（3）設(shè)解析式為，代入點、解得：，，，，當時，隨的增大而減小，得到圖像對稱軸在點右側(cè)，位置如下：

得，

點在直線圖像上，當時，與兩個交點為或，當時，圖像開口變大，如圖所示，二次函數(shù)與直線的交點向外移動，故左交點，右交點，但當時，二次函數(shù)，故二次函數(shù)圖像上點在直線上點的上方，故二次函數(shù)與直線的左交點在直線右側(cè)，或．【點睛】本題考查簡單的二次函數(shù)解析式求解及結(jié)合函數(shù)圖像計算直線與拋物線交點橫坐標的范圍，題目中含有結(jié)合圖像要求時，需要畫圖分析圖像交點情況，圖像的形狀和位置變化，畫出圖像的交點，并利用數(shù)形結(jié)合思想計算坐標范圍是解題的關(guān)鍵．【模型六已知交點式求二次函數(shù)的解析式】例題：（2023·四川瀘州·四川省瀘縣第四中學(xué)?？家荒＃┮阎粋€拋物線經(jīng)過點，和．(1)求這個二次函