2021年中考數(shù)學(xué)分類突破24 四邊形中的對(duì)稱綜合問題(解析版)

專題24四邊形中的對(duì)稱綜合問題

1、如圖，在矩形紙片ABC。中，已知AB=2,8c=2?,點(diǎn)E在邊CD上移動(dòng)，連接AE,將多邊形ABCE

沿直線AE翻折，得到多邊形點(diǎn)B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)夕、C.

B'

（1）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，求。F的長；

（2）若分別交邊AD,CD于點(diǎn)F,G,且ND4E=22.5。，求△。尸G的面積：

（3）如果點(diǎn)M為CZ）的中點(diǎn)，那么在點(diǎn)E從點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)。的過程中，求CM的最小值.

解：（1）如圖,

??,四邊形A8CD是矩形，

."8=CO=2,BC=AD=2M，NB=NBCD=ND=90。,

.*AB_V3

??tanNzACB————■’,

BC3

ZACB=30°,

由翻折不變性可知：ZACB=ZACF=30°,

ZDCF=30°t

(2)如圖2中,

圖2

VZDAE=22.5°,NBAD=90。,

；.NBAE=NEAB'=675。,

???N8'4/=45。，

VZBz=90°,

,,

：.ZBAF=ZBFA=45°i

,,,

：BA=BF=21

：.AF=2^

：?DF=2正-入叵

*/NAFB』NDFG=45。,

:.DG=DF=2M-2顯、

?』醞得?（2技2&）2=io-4加

(3)如圖3中，連接AM,AC,MC.

圖3

；AC=4,AM=d（2匾）?+/=任,

'：C'M>AC-AM,

.,.C/W>4-^13，

的最小值為4-J正.

2、有一張矩形紙片ABC￡>,AB=4,40=9.

(1)如圖1,點(diǎn)E在這張矩形紙片的邊A。上，將紙片折疊，使AB落在CE所在直線上，折痕設(shè)為MN

(點(diǎn)/，N分別在邊AO,BC上)，利用直尺和圓規(guī)畫出折痕(不寫作法，保留作圖痕跡)；

(2)如圖2,點(diǎn)K在這張矩形紙片的邊AO上，0K=3,將紙片折疊，使AB落在CK所在直線上，折

痕為H/,點(diǎn)A,B分別落在點(diǎn)4,用處，小明認(rèn)為87所在直線恰好經(jīng)過點(diǎn)。，他的判斷是否正確，請(qǐng)說

明理由.

解：(1)如圖1所示直線即為所求;

（2）小明的判斷不正確.

理由：如圖2,連接〃），

在RtACDK中，,:DK=3,CD=4,

CK=J§2+42=5，

■:AD//BC,

：.ZDKC=Z1CK,

由折疊可知，NAB7=N8=90°,

??.N/B'C=900=ND,

?MCDKSAJBC

.CD_DK_CK

??IB，F(xiàn)-c元，

即'=」一=巨

IB'BzCIC'

設(shè)C3'=3k,IB'=4k,lC=5k,

由折疊可知，IB=IB'=4k,

：.BC=BI+IC=4k+5k=9,

k=L

A/C=5,0=4,￡C=3,

在RtA/C8,中，tan/B7C="||L=',

連接/￡>,在RtA/C。中，tanZO/C='^-=4,

IC5

.,.tanZB7C^tanZD/C,

...87所在的直線不經(jīng)過點(diǎn)D.

3、己知：將矩形紙片ABC。折疊,使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合(點(diǎn)。與〃為對(duì)應(yīng)點(diǎn))，折痕為E尸，連接A/、AC

交EF于點(diǎn)0.

(I)如圖1,求證：四邊形4EC尸為菱形;

(2)如圖2,若FC=20E,連接。0、D'O,在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中所有等

邊三角形.

(1)證明：???將矩形紙片A8C。折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕為EF,

：.AE=CE,AF=FC,ZAEF=ZCEF,

；四邊形A8C。是矩形，

AZADC=^BAD=90°,AE//CF,

NCFE=ZAEF,

：.ZCEF=ZCFE,

：.CF=CE,

；.AE=CF,

四邊形AECF是平行四邊形,

XVAE=CE,

，四邊形AEC尸是菱形：

(2)等邊三角形為：aAEF、△CEF.XAOD、△COD'；

理由如下：

\'FC=2DF,AF=FC,

：.AF^2DF,

：/AOC=90。，

.../D4F=30。，

：.ZEAF=60°,

；四邊形AEC尸是菱形，

：.AE^AF,△AEF^/^CEF,OA=OC=工AC,

2

/XAEF和△CEF是等邊三角形；

,?ZADC=90°,

：.OD=—AC=OA,

2

；—ZEAF=30°,

2

：.ZOAD=60°,

...△AOO是等邊三角形；

'：CD'=AD=OC,OD'=—AC,

2

：.CD'=OC=OD'.

.?.△C。。是等邊三角形.

4、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，長方形OABC,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,8),點(diǎn)A、C分別在

坐標(biāo)軸上，。為0C的中點(diǎn).

(1)在x軸上找一點(diǎn)P,使得PD+PB最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為；

(2)在x軸上找一點(diǎn)Q,使得QB|最大，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)并說明理由.

01Ax

解：(1)作。關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)。，連接80,交x軸于點(diǎn)尸

"：PD=PD'

：.PD+PB=PD'+PB

...當(dāng)8、P、。在同一直線上時(shí)，PC+PB=8D'最小

?..四邊形0ABe是矩形，8(3,8)

：.C(0,8)

■:DR0C中點(diǎn)

：.D(0,4)

：.D'(0,-4)

設(shè)直線3)解析式為：y^kx+b

3k+b=8解得:k=4

0+b=-4b=-4

直線BD'：y=4x-4

當(dāng)4x-4=0時(shí)，解得：x=\

故答案為：P(1,0)

(2)根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，\QD-QB\<BD

...當(dāng)8、￡>、。在同一直線上時(shí)，IQO-。陰=8。最大

設(shè)直線解析式為：y=ax+c

，二

f3a+c=8解得：a=T

io+c=4

c=4

4

直線BC：尸爭+4

4.

當(dāng)不元+4=0時(shí)，解得：x=-3

二點(diǎn)。(-3,0)

5、如圖，在矩形ABC。中，E是AB邊的中點(diǎn)，沿EC對(duì)折矩形ABCQ,使3點(diǎn)落在尸處，折痕為EC,連

接AP并延長AP交C。于尸點(diǎn).

(1)求證：四邊形AECF為平行四邊形；

(2)若矩形ABC。的邊4B=6,BC=4,求ACP/的面積.

解：(1)由折疊得到3E=PE,ECJLPB,

為A8的中點(diǎn)，

:.AE=EB=PE,

：.AP±BP,

J.AF//EC,

；四邊形A8CO是矩形,

：.AE//FC,

四邊形AECF為平行四邊形;

(2)過尸作PM_LOC,交。C于點(diǎn)M,

在RtZiiEBC中，EB=3,BC=4,

根據(jù)勾股定理得：EC=732+42=5)

,:SAEBC=±EB?BC=±EGBQ,

22

.?①=3=9

55

由折疊得：BP=2BQ=3

b

94

在RSA3P中，AB=6,BP=等,

根據(jù)勾股定理得：”=加2徹2=昌

?；四邊形AECF為平行四邊形，

."F=EC=5,FC=A￡=3,

137

~55

■：PM//AD,

7_

.PF^PM即無=PM

"AFADT,

~5

解得：

28_42

則SAPFC=—FC-PM^—x3x

2225-25

6、如圖，長方形紙片ABC。中，AB=8,將紙片折疊，使頂點(diǎn)8落在邊A。上的E點(diǎn)處，折痕的一端G點(diǎn)

在邊8C上.

(1)如圖1,當(dāng)折痕的另一端尸在48邊上且AE=4時(shí)，求A尸的長

(2)如圖2,當(dāng)折痕的另一端尸在邊上且8G=10時(shí),

①求證：EF=EG.②求AF的長.

(3)如圖3,當(dāng)折痕的另一端尸在邊上，B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E在長方形內(nèi)部，E到A。的距離為251,

且BG=10時(shí)，求A尸的長.

(1)解：：紙片折疊后頂點(diǎn)B落在邊AD上的E點(diǎn)處,

：.BF=EF,

：/W=8,

：.EF=^-AF,

在Rt^AEF中，AEr+A^EF1,

即42+A/=(8-AF)2,

解得AF=3；

(2)①證明：,?,紙片折卷后頂點(diǎn)8落在邊上的E點(diǎn)處,

:.NBGF=/EGF,

???長方形紙片ABCD的邊AD//BC,

:./BGF=/EFG,

：?/EGF=NEFG,

：.EF=EG；

②解：??,紙片折疊后頂點(diǎn)8落在邊AO上的E點(diǎn)處，

：.EG=BG=\OtHE=AB=SfFH=AFf

：.EF=EG=\Of

在RsEF”中，^=VEF2-HE2=7102-82=6>

：.AF=FH=6；

(3)解：

法一：如圖3,設(shè)EH與4。相交于點(diǎn)K,過點(diǎn)E作MN〃C。分別交A。、BC于M、N,

???E到AD的距離為

：.EM=2fEN=8-2=6,

在RSENG中，G^=VEG2-EN2=7102-62=8*

??NGEN+NKEM=180。-ZGEH=180°-90°=90°,

NGEN+NNGE=18。。-90°=90°,

NKEM=ANGE,

又ZENG=ZKME=90°,

:.AGENSAEKM,

.EK=KM^EM

'?前一麗―麗，

BnEKKM2

1068

解得EK=?,/TM=-1.

511

:.KH=EH-EK=8-

22

YNFKH=NEKM,ZH=/EMK=90。,

:.叢FKHsAEKM,

?FH=KH

??麗―而，

11

即粵等,

2_3_

~2

解得FH=^,

22

：.AF=FH=^-,

法二：如圖4,設(shè)E”與A。相交于點(diǎn)K,過點(diǎn)石作蛇〃。。分別交AQ、3C于M、N,過點(diǎn)K作KL〃CZ)

交BC于點(diǎn)、L,連接GK,

??,七到的距離為2cM

：?EM=2,EN=8-2=6,

在RsENG中，61=加2_￡/=V102-62=8，

設(shè)KM=a,

在AKME中,根據(jù)勾股定理可得：KE2=KM2+ME2=a2+4,

在△KEG中，根據(jù)勾股定理可得：GK2=GE1^-KE1=102+tz2+4,

在△GKL中，根據(jù)勾股定理可得：GR=GG+KU=(8-a)2+82,

即102+?2+4=(8-〃)2+82,

解得：〃=搟"，故KE=W'

611

：.KH=EH-EK=8-==廿，

22

設(shè)FH=b,

在△KF”中，根據(jù)勾股定理可得：KF2=KH2+FH2,

323

?:KF=KA-AF=BL-AF=(BG+GN?KM)-AF=10+8---h=--h

229

BP：(--h)2=(—)2+b2,

22

解得：b=嶺,

o

?22

.?Ar——rri-------.

3

圖4

7、如圖，長方形紙片ABC。，點(diǎn)E、尸分別在邊AB、CDk,連接EF,將/BEF對(duì)折，點(diǎn)B落在直線EF

上的8'處，得到折痕EC,將點(diǎn)A落在直線￡尸上的點(diǎn)“處，得到折痕E7V.

(1)若貝IJ/BEC=°,NAEN=°,NBEC+NAEN=

(2)若m。，貝ij(1)中NBEC+N4EN的值是否改變？請(qǐng)說明你的理由.

(3)將/ECF對(duì)折，點(diǎn)E剛好落在尸處，且折痕與8'C重合，求NDNA'.

解：(1)由折疊的性質(zhì)可得，NBEC=NBEC,ZAEN^ZA,EN,

：/8E￡=110。，

二/4EA'=180°-110°=70°,

AZBEC=ZB'EC=—ZBEB'=55°,ZAEN=ZA'EN=—ZAEA'=35°.

22

ZBEC+ZAEN=550+3>5°=90°；

故答案為：55,35,90.

(2)不變.

由折疊的性質(zhì)可得：NBEC=NB'EC,NAEN=NA'EN,

,；NBEB'=m°,

，ZA￡A'=180°-m°,

可得/8EC=/8'EC=1/8EB'=工ZAEN=^A:EN=—AAEA'=—(180°-%°),

2222

二ZBEC+ZAEN=4-/n°+4(180°-m°)=90°,

22

敗NBEC+NAEN的值不變；

(3)由折疊的性質(zhì)可得：ZB,CF=ZB,CE,ZB,CE=ZBCE,

：.NB'CF=ZB'CE=ZBC￡=—x90°=30°,

3

在RSBCE中，

■:NBEC與NBCE互余,

：.NBEC=90。-NBCE=9Q。-30°=60°,

NB，EC=NBEC=60°,

：.ZA￡A'=180°-NBEC-ZB'EC=180°-60°-60°=60°,

/.ZAEN=—ZAEA'=30°,

2

ZANE=900-NAEN=90°-30°=60°,

：.ZANE=ZA'NE=6Q°,

：.N￡WA'=180°-ZANE-NA'NE=180°-60°-60°=60°.

8、(1)數(shù)學(xué)課上，老師出了一道題，如圖①，Rt^ABC中，ZC=90°,AC^-AB-求證:

ZB=30°,請(qǐng)

你完成證明過程.

(2)如圖②，四邊形4BC。是一張邊長為2的正方形紙片，E、尸分別為AB、CD的中點(diǎn)，沿過點(diǎn)。的

折痕將紙片翻折，使點(diǎn)A落在EF上的點(diǎn)4處，折痕交AE于點(diǎn)G,請(qǐng)運(yùn)用(1)中的結(jié)論求NAOG的度

數(shù)和AG的長.

(3)若矩形紙片ABCD按如圖③所示的方式折疊，B、。兩點(diǎn)恰好重合于一點(diǎn)。(如圖④)，當(dāng)A8=6,

求EF的長.

(1)證明：RSABC中，ZC=90°,AC=^AB.

AC

Vsinfi=1

AB2

/./8=30°；

(2)解：；正方形邊長為2,E、F為AB、8的中點(diǎn)，

=邊長=1,

2

???沿過點(diǎn)D的折痕將紙片翻折，使點(diǎn)A落在EF上的點(diǎn)處,

：.A'D=AD=2,

.FD_1

NDW

NRV￡>=30。，

可得NFD4'=90°-30°=60°,

；A沿GO折疊落在4處，

ZADG=ZA'DG,AG=A'G,

NADA'900-60°

???AD=2,FD=1,

D2-FD2=V3^

：.EA,=EF-A,F=2-^

???NE4'G+NO4尸=180。-ZGArD=90°,

NE4G=90。-ZDA,F=90°-30°=60°,

???Z￡GAz=90°-ZEAfG=90°-60°=30°,

則4G=AG=2E>V=2（2-?）；

（3）解：J?折疊后8、。兩點(diǎn)恰好重合于一點(diǎn)O,

：.AO=AD=CB=COt

VZD=90°,

：.ZDCA=30%

VAB=CD=6,

AD

在RSAC。中，-^-=tan300,

則AD=ZX>tan30o=6x￡i=2近，

3

ZDAF=ZFAO=^-ZDAO=~~%2=30。,

:.亞=tan30°=返

:.DF=?AD=2,

3

：.DF=FO=2,

同理E0=2,

：.EF^E0+F0=4.

9、如圖，在矩形ABC。中，2AB>BC,點(diǎn)E和點(diǎn)尸為邊A力上兩點(diǎn)，將矩形沿著BE和CF折疊，點(diǎn)A和

點(diǎn)D恰好重合于矩形內(nèi)部的點(diǎn)G處，

(1)當(dāng)AB=BC時(shí)，求/GEF的度數(shù)；

(2)若BC=2,求E尸的長.

解：(1)當(dāng)48=BC時(shí)，矩形488為正方形

由折疊得，AB=BG,CD=CG；ZEGB=ZA=90°=ZFGC,

,:AB=BC=CD

：.BG=BC=GC

：.N8GC=60。

.?.NA8G=30°

/AEG=360°-ZA-NBGE-ZABG=150°

：.ZGEF=30°

(2)在矩形ABC。中，AB=CD=?

由折疊得，AB=BG,CD=CG,AE=EG,DF=FG

:.BG=GC=&,

,：BG2+CG2^4,8G=4,

.\BG2+CG2=BC2,

...NBGC=9()。，且BG=CG,

：.ZGBC=45°

NAEG=360°-ZA-NBGE-NA8G=135°

：.ZFEG=45°,

同理可得/EFG=45。，

...△EGF為等腰直角三角形

設(shè)EG=x,則AE=BD=x,即=&x,得

(2+0)x—2,

；.x=2-72

3=亞=2后2

9、如圖，在矩形ABC。中，AB=6,BC=10,將矩形沿直線EF折疊，使得點(diǎn)A恰好落在邊BC上，記此

點(diǎn)為G,點(diǎn)E和點(diǎn)尸分別在邊AB和邊4。上.

(1)當(dāng)BG=3加時(shí)，求4E的長；

(2)在矩形翻折中，是否存在FG=CG?若存在，請(qǐng)求出FG的長，若不存在，請(qǐng)說明理由.

解：＜1)由折疊易知：AE=EG,

設(shè)AE=EG=x,則有BE=6-x,

...由勾股定理易得：X2=(6-X)2+(3&)2,

解得：尤=5,

即：AE=—；

2

(2)如圖，過尸作H/LCG于，，連接尸C,

當(dāng)FG=GC時(shí)，則有：AF=FG=GC=x,CH=DF=\Q-x-.

.'.GH—x-(10-x)—2x-10,

在RtAFGH中，由勾股定理易得：x2=62+(Zr-10)2,

化簡得：3x2-40x+l36=0,

；△=(-40)2-4x3x136=-32<0,

此方程沒有實(shí)數(shù)根.

故不存在尸G=GC.

10、綜合與實(shí)踐-折紙中的數(shù)學(xué)

我們?cè)谄吣昙?jí)上冊(cè)第四章《幾何圖形初步》中探究了簡單圖形折疊問題，并進(jìn)行了簡單的計(jì)算與推理.七

年級(jí)下冊(cè)第五章學(xué)習(xí)了平行線的性質(zhì)與判定后，我們進(jìn)行了長方形紙條的折疊與平行線的探究，今天我

們繼續(xù)探究——折紙與平行線.

如圖1,長方形紙條4BMN中，AB//MN,AN//BM.第一步，將長方形紙條折疊，使折痕經(jīng)過點(diǎn)A,得

到折痕AC,再將紙片展平；第二步，如圖2,將折痕AC折到AE處，點(diǎn)8落在距處；第三步，如圖3,

將對(duì)折，使點(diǎn)M落在此處，點(diǎn)N落在V處，EN與DB英線,得到折痕EF.

圖2圖3

(1)AC和。E有怎樣的位置關(guān)系，并說明理由.

(2)折痕A。和EF有怎樣的位置關(guān)系，并說明理由.

解：(1)AC//DE

理由如下：由折疊的性質(zhì)可得：NCA/)=ND4E,ZCDA^ZADE,

'：BM//AN

：.ZCDA^ZDAE

：.ZCAD=ZADE

C.AC//DE

(2)由折疊的性質(zhì)可得：ZDEF=ZFEN

U：BM//AN

：.ZCDE=ZDEN

：.ZCDA+ZADE=NDEF+NFEN

：.2ZADE=2ZDEF

：.NADE=NDEF

：.AD//EF

11、如圖，矩形紙片ABC。中，AB=CD=49AD=BC=S,ZBAD=ZB=ZC=Z￡>=90°,將紙片沿EF

折疊，使點(diǎn)。與點(diǎn)A重合.

(1)①設(shè)貝ljAE=(用含x的代數(shù)式表示)；②求線段BE的長，

(2)求證：AE=AF；

(3)直接寫出線段EF的長.

解：(1)①設(shè)BE=x,則CE=BC-BE=8-x,

???沿E/翻折后點(diǎn)。與點(diǎn)A重合，

.\AE=CE=8-xfGF=DF9AG=CD=ABf

故答案為：8-x

222

②在RSABE中，AB+BE=AE1

即42+爐=(8-x)2

解得x=3,

：.BE=3；

/.AE=8-3=5；

(2)由翻折的性質(zhì)得，ZAEF=ZCEF,

矩形ABCD的對(duì)邊AD//BC,

：.ZAFE=ZCEFf

：.ZAEF=/AFE,

：.AE=AF；

(3)過點(diǎn)E作E”,AD于"，則四邊形A8EH是矩形,

G

??.￡77=48=4,

AH=BE=3,

：.FH=AF-AH=5-3=2,

在RtAEFH中，EF=THE2+HF2={16+4=2娓.

12、如圖，折疊矩形4BC。的一邊AD,使點(diǎn)。落在BC邊上的點(diǎn)尸處，4E是折痕.

圖1圖2

(1)如圖1,若48=4,AD=5,求折痕AE的長；

(2)如圖2,若AE=6而，且EC：FC=3：4,求矩形ABC。的周長.

解：(1)???四邊形ABCD是矩形，

，NABC=90°,A8=C￡>=4,AO=BC=5,

由折疊可知，AD=AF=5,DE=EF,

BF=VAF2-AB2=V52-42=3'

:.FC=BC-BF=5-3=2,

設(shè)EF=DE=x,則CE=4-x,

'：CF2+CE2^EF'1,

：.22+(4-x)2=舄

解得：

一奇,

AE=VAD2+DE2=百+得)2=；

(2)VEC：FC=3：4,

?,?設(shè)EC=3x,則FC=4x,

?■?￡F=VCF2+CE2=5JC'

.,.DE=5x,

：.AB^CD=Sx,

^AF=AD=y,則2F=y-4x,

在RtAABF中，AB2+8產(chǎn)=月產(chǎn)，

二(8x)2+(y-4x)2=已

解得y=10x,

在RtAADE中，AD2+DE2=AE1,

,e?(lOx)2+(5X)2=(575)2,

解得x=l或x=-l(舍去)，

."。=10,AB=8,

二矩形ABC。的周長為(10+8)x2=36.

13、對(duì)給定的一張矩形紙片A8C。進(jìn)行如下操作：先沿CE折疊，使點(diǎn)B落在C。邊上(如圖①)，再沿

C4折疊，這時(shí)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E恰好與點(diǎn)。重合(如圖②)

⑴根據(jù)以上操作和發(fā)現(xiàn)，則黑=.

(2)將該矩形紙片展開，如圖③，折疊該矩形紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)”重合，折痕與AB相交于點(diǎn)P,再將

該矩形紙片展開.求證：NHPC=90°.

(1)解：由圖①，可得NBCE=//BCD=45。,

又

...△8CE是等腰直角三角形，

；.曳=cos45°=返，即CE=?8C,

EC2

由圖②，可得CE=C￡>,

；四邊形A8CD是矩形，

：.AD=BC,

：.CD=y]2AD,

故答案為：

(2)證明：設(shè)則A8=CO=丑八BE=a,

?\AE=(5/2-1)。，

如圖③，連接E”，則NCE〃=NCOH=90。，

VZB￡C=45°,ZA=90°,

/.ZAEH=45°=ZAHEf

.\AH=AE=(V2~1)a，

設(shè)AP=x,則BP=y[2ci-X,

由翻折可得，PH=PC,即。/尸二尸。2,

2222

：.AH+AP=BP+BCf

22

即[(V2一1)。尸+工2=Cy/2fi-x)+af

解得：x=af即AP=BCf

在RtAAPH和RtABCP中，i

IAP=BC

.,.RtAAPH^Rt^BCP(HL),

：.NAPH=NBCP,

又：RtA8c「中，N8CP+N8PC=90。,

ZAPH+ZBPC^90°,

：.ZCPH=-90°.

14、已知矩形ABC。中，AB=1,BC=2,點(diǎn)、E、F分別在邊BC、AC上，將四邊形ABEF沿