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Page4第24講.齊次化方法一.基本原理中的幾何意義為:直線與曲線的交點(diǎn)與原點(diǎn)的連線的斜率,即的斜率,設(shè)為,由韋達(dá)定理知,,從而能通過最初的二次曲線和直線相交,得出的性質(zhì),倒過來,我們也可以通過的性質(zhì)與二次曲線得出的性質(zhì).若定在不在坐標(biāo)原點(diǎn),我們就需要先平移,設(shè)平移后的直線為(這樣齊次化更加方便,相當(dāng)于“1”的妙用),與平移后的圓錐聯(lián)立,構(gòu)造,然后等式可以直接利用韋達(dá)定理得出斜率之和或者斜率之積,,,即可得出答案.二.典例分析具體操作步驟第一步:將坐標(biāo)系平移到(不妨設(shè)其在第一象限)后得到新的橢圓方程:.第二步,寫出直線方程:令,則令.第三步:聯(lián)立方程:,湊出滿足題干的斜率形式即可.例1..(2017年全國1卷).已知橢圓,不過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),若直線的斜率之和為,證明:直線恒過定點(diǎn).證明:以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立新的直角坐標(biāo)系,如下圖所示:,即.所以.因?yàn)?,則轉(zhuǎn)換到新坐標(biāo)為,即.設(shè)直線的方程為,將原橢圓方程轉(zhuǎn)化為,則轉(zhuǎn)換到新坐標(biāo)為,展開得,構(gòu)造齊次式整理得,兩邊同除以,則所以,因此.而,所以對(duì)于任意都成立則,故對(duì)應(yīng)原坐標(biāo)為,所以直線恒過定點(diǎn)例2.(2020山東卷)已知橢圓C:的離心率為,且過點(diǎn).(1)求的方程:(2)點(diǎn),在上,且,,為垂足.證明:存在定點(diǎn),使得為定值.解析:(1)橢圓方程為:.(2)將原坐標(biāo)系平移,原來的O點(diǎn)平移至點(diǎn)A處,則在新的坐標(biāo)系下橢圓的方程為,設(shè)直線的方程為.將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得,即,化簡得,即.設(shè),因?yàn)閯t,即.代入直線方程中得.則在新坐標(biāo)系下直線過定點(diǎn),則在原坐標(biāo)系下直線過定點(diǎn).又,D在以為直徑的圓上.的中點(diǎn)即為圓心Q.經(jīng)檢驗(yàn),直線垂直于x軸時(shí)也成立.故存在,使得.例3.(2022新高考1卷)已知點(diǎn)在雙曲線上,直線交于,兩點(diǎn),直線,的斜率之和為0.(1)求的斜率;(2)若,求的面積.解析:雙曲線方程為,設(shè),∵AP,AQ的斜率之和為0,∴,故將雙曲線方程為變形為:,且設(shè)直線,由式有:,(兩邊同除以),即,而是此方程的兩根.∴,故直線斜率為?1.習(xí)題演練.拋物線,過原點(diǎn)的兩條相互垂直的直線交拋物線于兩點(diǎn),求證:直線過軸上一定點(diǎn).證明:設(shè)①拋物線
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