類型三 新解題方法型-2020年中考數(shù)學(xué)第二輪重難題型突破【有答案】

類型三新解題方法型例1、求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)是常見(jiàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，中國(guó)古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中便記載了求兩個(gè)正整數(shù)最大公數(shù)最大公約數(shù)的一種方法——更相減損術(shù)，術(shù)曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少成多，更相減損，求其等也．以等數(shù)約之”，意思是說(shuō)，要求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)，先用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，得到差，然后用減數(shù)與差中的較大數(shù)減去較小數(shù)，以此類推，當(dāng)減數(shù)與差相等時(shí)，此時(shí)的差(或減數(shù))即為這兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)．例如：求91與56的最大公約數(shù)eq\a\vs4\al(解：)91－56＝3556－35＝2135－21＝1421－14＝714－7＝7所以，91與56的最大公約數(shù)是7.請(qǐng)用以上方法解決下列問(wèn)題：(1)求108與45的最大公約數(shù)；(2)求三個(gè)數(shù)78、104、143的最大公約數(shù)．【解答】解：(1)108－45＝6363－45＝1845－18＝2727－18＝918－9＝9所以，108與45的最大公約數(shù)是9；(2)①先求104與78的最大公約數(shù)，104－78＝2678－26＝5252－26＝26所以，104與78的最大公約數(shù)是26；②再求26與143的最大公約數(shù)，143－26＝117117－26＝9191－26＝6565－26＝3939－26＝1326－13＝13所以，26與143的最大公約數(shù)是13.綜上所述，78、104、143的最大公約數(shù)是13.例2、數(shù)和形是數(shù)學(xué)的兩個(gè)主要研究對(duì)象，我們經(jīng)常運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、數(shù)形轉(zhuǎn)化的方法解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題．下面我們來(lái)探究“由數(shù)思形，以形助數(shù)”的方法在解決代數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用．探究：求不等式|x－1|<2的解集(1)探究|x－1|的幾何意義【解答】如圖①，在以O(shè)為原點(diǎn)的數(shù)軸上，設(shè)點(diǎn)A′對(duì)應(yīng)的數(shù)是x－1，由絕對(duì)值的定義可知，點(diǎn)A′與點(diǎn)O的距離為|x－1|，可記為A′O＝|x－1|.將線段A′O向右平移1個(gè)單位得到線段AB，此時(shí)點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是x，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是1.因?yàn)锳B＝A′O，所以AB＝|x－1|.因此，|x－1|的幾何意義可以理解為數(shù)軸上x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A與1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B之間的距離AB.第2題圖(2)求方程|x－1|＝2的解【解答】因?yàn)閿?shù)軸上3和－1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離都為2，所以方程的解為3，－1.(3)求不等式|x－1|<2的解集因?yàn)閨x－1|表示數(shù)軸上x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離，所以求不等式解集就轉(zhuǎn)化為求這個(gè)距離小于2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)x的范圍．請(qǐng)?jiān)趫D②的數(shù)軸上表示|x－1|<2的解集，并寫出這個(gè)解集．【解答】解：在數(shù)軸上表示如解圖所示．第2題解圖所以，不等式的|x－1|<2的解集為－1<x<3.例3、古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖(公元250年前后)在《算術(shù)》中提到了一元二次方程的問(wèn)題，不過(guò)當(dāng)時(shí)古希臘人還沒(méi)有尋求到它的求根公式，只能用圖解等方法來(lái)求解．在歐幾里得的《幾何原本》中，形如x2＋ax＝b2(a＞0，b＞0)的方程的圖解法是：如圖，以eq\f(a,2)和b為兩直角邊作Rt△ABC，再在斜邊上截取BD＝eq\f(a,2)，則AD的長(zhǎng)就是所求方程的解．(1)請(qǐng)用含字母a、b的代數(shù)式表示AD的長(zhǎng)．(2)請(qǐng)利用你已學(xué)的知識(shí)說(shuō)明該圖解法的正確性，并說(shuō)說(shuō)這種解法的遺憾之處．第3題圖【解答】解：(1)∵∠C＝90°，BC＝eq\f(a,2)，AC＝b，∴AB＝eq\r(b2＋\f(a2,4))，∴AD＝eq\r(b2＋\f(a2,4))－eq\f(a,2)＝eq\f(\r(4b2＋a2)－a,2)；(2)用求根公式求得：x1＝eq\f(－\r(4b2＋a2)－a,2)；x2＝eq\f(\r(4b2＋a2)－a,2)故AD的長(zhǎng)就是方程的正根，遺憾之處：圖解法不能表示方程的負(fù)根．例4、請(qǐng)你閱讀引例及其分析解答，希望能給你以啟示，然后完成對(duì)探究一和探究二的解答．引例：設(shè)a，b，c為非負(fù)實(shí)數(shù)，求證：eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(c2＋a2)≥eq\r(2)(a＋b＋c)，分析：考慮不等式中各式的幾何意義，我們可以試構(gòu)造一個(gè)邊長(zhǎng)為a＋b＋c的正方形來(lái)研究．解：如圖①，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a＋b＋c，則AB＝eq\r(a2＋b2)，BC＝eq\r(b2＋c2)，CD＝eq\r(a2＋c2)，顯然AB＋BC＋CD≥AD，∴eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(c2＋a2)≥eq\r(2)(a＋b＋c)．探究一：已知兩個(gè)正數(shù)x，y，滿足x＋y＝12，求eq\r(x2＋4)＋eq\r(y2＋9)的最小值(圖②僅供參考)；探究二：若a，b為正數(shù)，求以eq\r(a2＋b2)，eq\r(4a2＋b2)，eq\r(a2＋4b2)為邊的三角形的面積．第4題圖【解答】解：探究一：如解圖①，構(gòu)造矩形AECF，并設(shè)矩形的兩邊長(zhǎng)分別為12，5，第4題解圖①則x＋y＝12，AB＝eq\r(x2＋4)，BC＝eq\r(y2＋9)，顯然AB＋BC≥AC，當(dāng)A，B，C三點(diǎn)共線時(shí)，AB＋BC最小，即eq\r(x2＋4)＋eq\r(y2＋9)的最小值為AC，∵AC＝eq\r(122＋52)＝13，∴eq\r(x2＋4)＋eq\r(y2＋9)的最小值為13；第4題解圖②探究二：如解圖②，設(shè)矩形ABCD的兩邊長(zhǎng)分別為2a，2b，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，則CF＝eq\r(4a2＋b2)，CE＝eq\r(a2＋4b2)，EF＝eq\r(a2＋b2)，設(shè)以eq\r(a2＋b2)，eq\r(4a2＋b2)，eq\r(a2＋4b2)為邊的三角形的面積為S△CEF，∴S△CEF＝S矩形ABCD－S△CDF－S△AEF－S△BCE＝4