類型三 新解題方法型-2020年中考數學第二輪重難題型突破【有答案】

類型三新解題方法型例1、求兩個正整數的最大公約數是常見的數學問題，中國古代數學專著《九章算術》中便記載了求兩個正整數最大公數最大公約數的一種方法——更相減損術，術曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之數，以少成多，更相減損，求其等也．以等數約之”，意思是說，要求兩個正整數的最大公約數，先用較大的數減去較小的數，得到差，然后用減數與差中的較大數減去較小數，以此類推，當減數與差相等時，此時的差(或減數)即為這兩個正整數的最大公約數．例如：求91與56的最大公約數eq\a\vs4\al(解：)91－56＝3556－35＝2135－21＝1421－14＝714－7＝7所以，91與56的最大公約數是7.請用以上方法解決下列問題：(1)求108與45的最大公約數；(2)求三個數78、104、143的最大公約數．【解答】解：(1)108－45＝6363－45＝1845－18＝2727－18＝918－9＝9所以，108與45的最大公約數是9；(2)①先求104與78的最大公約數，104－78＝2678－26＝5252－26＝26所以，104與78的最大公約數是26；②再求26與143的最大公約數，143－26＝117117－26＝9191－26＝6565－26＝3939－26＝1326－13＝13所以，26與143的最大公約數是13.綜上所述，78、104、143的最大公約數是13.例2、數和形是數學的兩個主要研究對象，我們經常運用數形結合、數形轉化的方法解決一些數學問題．下面我們來探究“由數思形，以形助數”的方法在解決代數問題中的應用．探究：求不等式|x－1|<2的解集(1)探究|x－1|的幾何意義【解答】如圖①，在以O為原點的數軸上，設點A′對應的數是x－1，由絕對值的定義可知，點A′與點O的距離為|x－1|，可記為A′O＝|x－1|.將線段A′O向右平移1個單位得到線段AB，此時點A對應的數是x，點B對應的數是1.因為AB＝A′O，所以AB＝|x－1|.因此，|x－1|的幾何意義可以理解為數軸上x所對應的點A與1所對應的點B之間的距離AB.第2題圖(2)求方程|x－1|＝2的解【解答】因為數軸上3和－1所對應的點與1所對應的點之間的距離都為2，所以方程的解為3，－1.(3)求不等式|x－1|<2的解集因為|x－1|表示數軸上x所對應的點與1所對應的點之間的距離，所以求不等式解集就轉化為求這個距離小于2的點對應的數x的范圍．請在圖②的數軸上表示|x－1|<2的解集，并寫出這個解集．【解答】解：在數軸上表示如解圖所示．第2題解圖所以，不等式的|x－1|<2的解集為－1<x<3.例3、古希臘數學家丟番圖(公元250年前后)在《算術》中提到了一元二次方程的問題，不過當時古希臘人還沒有尋求到它的求根公式，只能用圖解等方法來求解．在歐幾里得的《幾何原本》中，形如x2＋ax＝b2(a＞0，b＞0)的方程的圖解法是：如圖，以eq\f(a,2)和b為兩直角邊作Rt△ABC，再在斜邊上截取BD＝eq\f(a,2)，則AD的長就是所求方程的解．(1)請用含字母a、b的代數式表示AD的長．(2)請利用你已學的知識說明該圖解法的正確性，并說說這種解法的遺憾之處．第3題圖【解答】解：(1)∵∠C＝90°，BC＝eq\f(a,2)，AC＝b，∴AB＝eq\r(b2＋\f(a2,4))，∴AD＝eq\r(b2＋\f(a2,4))－eq\f(a,2)＝eq\f(\r(4b2＋a2)－a,2)；(2)用求根公式求得：x1＝eq\f(－\r(4b2＋a2)－a,2)；x2＝eq\f(\r(4b2＋a2)－a,2)故AD的長就是方程的正根，遺憾之處：圖解法不能表示方程的負根．例4、請你閱讀引例及其分析解答，希望能給你以啟示，然后完成對探究一和探究二的解答．引例：設a，b，c為非負實數，求證：eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(c2＋a2)≥eq\r(2)(a＋b＋c)，分析：考慮不等式中各式的幾何意義，我們可以試構造一個邊長為a＋b＋c的正方形來研究．解：如圖①，設正方形的邊長為a＋b＋c，則AB＝eq\r(a2＋b2)，BC＝eq\r(b2＋c2)，CD＝eq\r(a2＋c2)，顯然AB＋BC＋CD≥AD，∴eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(c2＋a2)≥eq\r(2)(a＋b＋c)．探究一：已知兩個正數x，y，滿足x＋y＝12，求eq\r(x2＋4)＋eq\r(y2＋9)的最小值(圖②僅供參考)；探究二：若a，b為正數，求以eq\r(a2＋b2)，eq\r(4a2＋b2)，eq\r(a2＋4b2)為邊的三角形的面積．第4題圖【解答】解：探究一：如解圖①，構造矩形AECF，并設矩形的兩邊長分別為12，5，第4題解圖①則x＋y＝12，AB＝eq\r(x2＋4)，BC＝eq\r(y2＋9)，顯然AB＋BC≥AC，當A，B，C三點共線時，AB＋BC最小，即eq\r(x2＋4)＋eq\r(y2＋9)的最小值為AC，∵AC＝eq\r(122＋52)＝13，∴eq\r(x2＋4)＋eq\r(y2＋9)的最小值為13；第4題解圖②探究二：如解圖②，設矩形ABCD的兩邊長分別為2a，2b，E，F分別為AB，AD的中點，則CF＝eq\r(4a2＋b2)，CE＝eq\r(a2＋4b2)，EF＝eq\r(a2＋b2)，設以eq\r(a2＋b2)，eq\r(4a2＋b2)，eq\r(a2＋4b2)為邊的三角形的面積為S△CEF，∴S△CEF＝S矩形ABCD－S△CDF－S△AEF－S△BCE＝4