2020年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)培優(yōu)訓(xùn)練：《圓》

2020年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)培優(yōu)訓(xùn)練：《圓》1．如圖，在△ABC中，點O為BC邊上一點，⊙O經(jīng)過A、B兩點，與BC邊交于點E，點F為BE下方半圓弧上一點，F(xiàn)E⊥AC，垂足為D，∠BEF＝2∠F．（1）求證：AC為⊙O切線．（2）若AB＝5，DF＝4，求⊙O半徑長．2．如圖，A，B，C，D在⊙O上，AB∥CD經(jīng)過圓心O的線段EF⊥AB于點F，與CD交于點E．（1）如圖1，當(dāng)⊙O半徑為5，CD＝4，若EF＝BF，求弦AB的長；（2）如圖2，當(dāng)⊙O半徑為，CD＝2，若OB⊥OC，求弦AC的長．3．（1）已知等邊△ABC內(nèi)接于⊙O．點P為上的一個動點，連結(jié)PA、PB、PC．①如圖1，當(dāng)線段PC經(jīng)過點O時，試寫出線段PA，PB，PC之間滿足的等量關(guān)系，并說明理由；②如圖2，點P為上的任意一點（點P不與點A、點B重合），試探究線段PA，PB，PC之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）如圖3，在△ABC中，AB＝4，AC＝7，∠BAC的外角平分線交△ABC的外接圓于點P，PE⊥AC于E，求AE的長．4．感知定義在一次數(shù)學(xué)活動課中，老師給出這樣一個新定義：如果三角形的兩個內(nèi)角α與β滿足α+2β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“類直角三角形”．嘗試運用（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，BD是∠ABC的平分線．①證明△ABD是“類直角三角形”；②試問在邊AC上是否存在點E（異于點D），使得△ABE也是“類直角三角形”？若存在，請求出CE的長；若不存在，請說明理由．類比拓展（2）如圖2，△ABD內(nèi)接于⊙O，直徑AB＝10，弦AD＝6，點E是弧AD上一動點（包括端點A，D），延長BE至點C，連結(jié)AC，且∠CAD＝∠AOD，當(dāng)△ABC是“類直角三角形”時，求AC的長．5．已知：AB是⊙O直徑，點E、F是弦AD、CD延長線上的點，∠F＝∠BAD；（1）求EF與AC的位置關(guān)系．（2）連接CE交⊙O于G，連接BD，若2∠CAE+∠DAG＝∠ABD，求證：AC＝CE．（3）在（2）的條件下，延長AB、EF交于K，EK＝2AC，AK＝10，△AEK的面積＝18，求線段EK的長度．6．如圖，直線AB經(jīng)過⊙O上的點C，直線AO與⊙O交于點E和點D，OB與⊙O交于點F連接DF、DC．已知OA＝OB，CA＝CB．（1）求證：直線AB是⊙O的切線；（2）求證：∠FDC＝∠EDC；（3）已知：DE＝10，DF＝8，求CD的長．7．（2019秋?如皋市期中）如圖，AB是⊙O的切線，切點為B，OA交⊙O于點C，過點C的切線交AB于點D．若∠BAO＝30°，CD＝2．（1）求⊙O的半徑；（2）若點P在上運動，設(shè)點P到直線BC的距離為x，圖中陰影部分的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．8．如圖：已知△ADC內(nèi)接于⊙?O，AO是?⊙O的半徑．點E是CD上一點，連接AE，∠DAE＝∠CAO．（1）求證：AE⊥CD；（2）如圖2，延長AO交CD于點G，交?⊙O于點B，過B作BF⊥CD于F．求證：CF＝DE；（3）如圖3，M是弧CD的中點，連接CM交AB于點H，連接AM交CD于點N，連接DM．若CN＝DM，AD＝，tan∠CGB＝，求?⊙O的半徑．9．已知，如圖△ABC中，AB＝AC，D是邊BC上一點，BD＜DC，過點A、D、C三點的⊙O交AB于點F，點E在上，連接DF、AE、DE、CE．（1）求證：△BDF是等腰三角形；（2）若，請用題意可以推出的結(jié)論說明命題：“一組對邊相等，且一組對角相等的四邊形是平行四邊形”是假命題．10．如圖1，在⊙O中，弦AB與半徑OC交于點E，連接AC、OB，∠BOE＝2∠OEB．（1）求證：AC＝EC；（2）如圖2，過點C作CD⊥AB交⊙O于點D，垂足為M，連接CB，求證：CD＝CB；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接DO并延長DO交AB于點F，連接CF、BD，過點M作MP⊥DB于點P，交DF于點Q，連接OP，若∠DFC＝90°，QO＝1時，求線段OP的長度．11．已知：如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，點E為弧AC上一點，連接BE．（1）如圖1，求證：∠CEB＝∠DEB；（2）如圖2，若弦CD經(jīng)過圓心O，過點A作AF⊥AE交DE于，求證：CE＝DF；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AC交ED、EB于點H、G，連接BF，若CG＝2，AH＝3，求BF的長．12．已知，△ABC內(nèi)接于?O，AB＝AC，連接AO并延長交BC于點D．（1）如圖1，求證：AD⊥BC；（2）如圖2，過點B作AC的垂線，交AD于點E，交⊙O于點F，垂足為點G，連接CF，求證：CF+FG＝BG；（3）如圖3，在（2）的條件下，P為弧AC上一點，弧PF＝弧CF，連接PA、PB、PC，PB交AD于點M，交AC于點N，若PB＝16，PC＝10，求△AMN的面積．13．如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，AC的垂直平分線交AC邊于點D，交AB邊于點O，以點O為圓心，OB的長為半徑作圓，與AB邊交于點E．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若點P為⊙O上的動點（含點E，B），連接BD、BP、DP．①當(dāng)點P只在BE左側(cè)半圓上時，如果BC∥DP，求∠BDP的度數(shù)；②若Q是BP的中點，當(dāng)BE＝4時，直接寫出CQ長度的最小值．14．如圖，AB是⊙O的直徑，CE是⊙O切線，C是切點，EA交弦BC于點D、交⊙O于點F，連接CF：（1）如圖1，求證：∠ECB＝∠F+90°；（2）如圖2，連接CD，延長BA交CE于點H，當(dāng)OD⊥BC、HA＝HE時，求證：AB＝CE；（3）如圖3，在（2）的條件K在EF上，EH＝FK，S△ADO＝，求WE的長．15．如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦且與AB交于點E（E不與O重合），CE＝DE，點F在弧AD上，連接AD、CF、DF，CF交AB于點H，交AD于點G．（1）如圖1，求證：∠CFD＝2∠BAD；（2）如圖2，過點B作BN⊥CF于點N，交⊙O于點M，求證：FN＝CN+DF；（3）如圖3，在（2）的條件下，延長CF至點Q，連接QA并延長交BM的延長線于點P，若∠Q＝∠ADF，HE＝BE，AQ＝2DG＝10，求線段PN的長．

參考答案1．（1）證明：連結(jié)OA，∴∠AOE＝2∠F，∵∠BEF＝2∠F，∴∠AOE＝∠BEF，∴AO∥DF，∵DF⊥AC，∴OA⊥AC，∴AC為⊙O切線；（2）解：連接OF，∵∠BEF＝2∠F，∴設(shè)∠AFE＝α，則∠BEF＝2α，∴∠BAF＝∠BEF＝2α，∵∠B＝∠AFE＝α，∴∠BAO＝∠B＝α，∴∠OAF＝∠BAO＝α，∵OA＝OF，∴∠AFO＝∠OAF＝α，∴△ABO≌△AFO（AAS），∴AB＝AF＝5，∵DF＝4，∴AD＝＝3，∵BE是⊙O的直徑，∴∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠FDA，∵∠B＝∠AFD，∴△ABE∽△DFA，∴＝，∴＝，∴BE＝，∴⊙O半徑＝．2．解：（1）如圖1中，連接OB，OC．設(shè)BF＝EF＝x，OF＝y(tǒng)．∴∠CEF∠CEF∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∴AF＝BF＝x，DE＝EC＝2，根據(jù)勾股定理可得：，解得或（舍棄），∴BF＝4，AB＝2BF＝8．（2）如圖2中，作CH⊥AB于H．∵OB⊥OC，∴∠A＝∠BOC＝45°，∵AH⊥CH，∴△ACH是等腰直角三角形，∵AC＝CH，∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∠CEF＝∠EFH＝∠CHF＝90°，∴四邊形EFHC是矩形，∴CH＝EF，在Rt△OEC中，∵EC＝，OC＝，OE＝＝＝2，∵∠EOC+∠OCE＝90°，∠EOC+∠FOB＝90°，∴∠FOB＝∠ECO，∵OB＝OC，∴△OFB≌△CEO（AAS），∴OF＝EC＝，∴CH＝EF＝3，∴AC＝EF＝6．3．解：（1）①PA+PB＝PC，理由如下：∵線段PC經(jīng)過點O，∴PC是⊙O的直徑，∴∠PAC＝∠PBC＝90°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴∠ACP＝∠BCP＝30°，∴PA＝PC，PB＝PC，∴PA+PB＝PC；②PA+PB＝PC，理由如下：在PC上截取PD＝PA，連接AD，如圖2所示：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°，∴∠APD＝∠ABC＝60°，∵PD＝PA，∴△APD是等邊三角形，∴AD＝AP＝PD，∠PAD＝60°＝∠BAC，∴∠DAC＝∠PAB，在△ACD和△ABP中，，∴△ACD≌△ABP（SAS），∴DC＝PB，∴PA+PB＝PD+DC＝PC；（2）在AC上截取ED＝AE．連接PD并延長交圓O于G．連接CG，如圖3所示：∵PE⊥AC，DE＝AE，∴PA＝PD，∴∠PAD＝∠PDA＝∠CDG．∵∠PAD＝∠G．∴∠CDG＝∠G，∴CG＝CD，又∵PA平分∠FAC，∴∠BAC＝180°﹣2∠PAD＝180°﹣（∠PAD+∠PDA）＝∠APG．∴∴，∴AB＝CG．∴AC﹣AB＝AC﹣CD＝AD＝2AE，即2AE＝AC﹣AB＝7﹣4＝3，∴AE＝．4．（1）①證明：如圖1中，∵BD是∠ABC的角平分線，∴∠ABC＝2∠ABD，∵∠C＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∴∠A+2∠ABD＝90°，∴△ABD為“類直角三角形”．②如圖1中，假設(shè)在AC邊設(shè)上存在點E（異于點D），使得△ABE是“類直角三角形”．在Rt△ABC中，∵AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝＝4，∵∠AEB＝∠C+∠EBC＞90°，∴∠ABE+2∠A＝90°，∵∠ABE+∠A+∠CBE＝90°∴∠A＝∠CBE，∴△ABC∽△BEC，∴＝，∴CE＝＝，（2）∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°，∵AD＝6，AB＝10，∴BD＝＝＝8，①如圖2中，當(dāng)∠ABC+2∠C＝90°時，作點D關(guān)于直線AB的對稱點F，連接FA，F(xiàn)B．則點F在⊙O上，且∠DBF＝∠DOA，∵∠DBF+∠DAF＝180°，且∠CAD＝∠AOD，∴∠CAD+∠DAF＝180°，∴C，A，F(xiàn)共線，∵∠C+∠ABC+∠ABF＝90°∴∠C＝∠ABF，∴△FAB∽△FBC，∴＝，即＝，∴AC＝．②如圖3中，由①可知，點C，A，F(xiàn)共線，當(dāng)點E與D共線時，由對稱性可知，BA平分∠FBC，∴∠C+2∠ABC＝90°，∵∠CAD＝∠CBF，∠C＝∠C，∴△DAC∽△FBC，∴＝，即＝，∴CD＝（AC+6），在Rt△ADC中，[（ac+6）]2+62＝AC2，∴AC＝或﹣6（舍棄），綜上所述，當(dāng)△ABC是“類直角三角形”時，AC的長為或．5．解：（1）如圖1，延長FE，AC交于點H，連接BD，∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠ABD＝90°，∵四邊形ABDC是圓內(nèi)接四邊形，∴∠HCD＝∠ABD，且∠F＝∠BAD，∴∠HCD+∠F＝90°，∴∠H＝90°，∴AC⊥EF；（2）如圖2，延長FE，AC交于點H，連接BD，∵四邊形ABDC是圓內(nèi)接四邊形，∴∠HCD＝∠ABD，∵2∠CAE+∠DAG＝∠ABD，且∠HCD＝∠CAE+∠ADC，∴∠CAE+∠ADC＝2∠CAE+∠DAG，∴∠ADC＝∠CAE+∠DAG，且∠AGC＝∠ADC，且∠AGC＝∠AEC+∠GAD，∴∠CAE+∠DAG＝∠GAD+∠AEC，∴∠AEC＝∠CAE，∴AC＝CE；（3）如圖3，過點K作KM⊥AE，過點E作EN⊥AK，過點A作AP⊥CE，交EC的延長線于P，∵∠H＝∠AMK＝90°，∠AEH＝∠MEF，∴∠HAE＝∠MKE，且∠HAE＝∠CEA，∴∠CEA＝∠MKE，∵PA⊥AE，∠HAE＝∠CEA，∴∠CPA＝∠CAP，∴PC＝AC，且AC＝CE，∴PE＝2AC，且EK＝2AC，∴PE＝EK，且∠PAE＝∠KME＝90°，∠CEA＝∠MKE，∴△PAE≌△EMK（AAS）∴AE＝MK，∵AK＝10，△AEK的面積＝18，∴AK×EN＝×10×EN＝18，AE×MK＝×AE2＝18，∴EN＝，AE＝6，∴AN＝＝＝，∴KN＝AK﹣AN＝，∴EK＝＝＝2．6．（1）證明：連接OC．∵OA＝OB，AC＝CB，∴OC⊥AB，∵點C在⊙O上，∴AB是⊙O切線．（2）證明：∵OA＝OB，AC＝CB，∴∠AOC＝∠BOC，∵OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD，∵∠AOB＝∠ODF+∠OFD＝∠AOC+∠BOC，∴∠BOC＝∠OFD，∴OC∥DF，∴∠CDF＝∠OCD，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠ADC＝∠CDF．（3）解：作ON⊥DF于N，延長DF交AB于M．∵ON⊥DF，∴DN＝NF＝4，在Rt△ODN中，∵∠OND＝90°，OD＝5，DN＝4，∴＝3，∵∠OCM+∠CMN＝180°，∠OCM＝90°，∴∠OCM＝∠CMN＝∠MNO＝90°，∴四邊形OCMN是矩形，∴ON＝CM＝3，MN＝OC＝5，在RT△CDM中，∵∠DMC＝90°，CM＝3，DM＝DN+MN＝9，∴CD＝＝＝3．7．解：（1）連結(jié)OB，如圖，∵AB、CD是⊙O的切線，∴DB＝DC＝2，OB⊥AB，CD⊥OA，∴∠ABO＝∠ACD＝90°，∵∠BAO＝30°，∴AD＝2CD＝2BD，∴AD＝4，AB＝AD+BD＝6，∴OB＝AB＝2，即⊙O的半徑為2；（2）∵∠BAO＝30°，∴∠BOC＝60°，∵點P到直線BC的距離為x，∴△PBC的面積為×2×x＝x，弓形BC的面積＝扇形COB的面積﹣△COB的面積＝＝2，∴y＝x+2，當(dāng)點P到BC的垂線經(jīng)過圓心O時，其值最大，即2+3，∴自變量x的取值范圍是0≤x≤2+3．8．（1）證明：如圖1中，延長AO交⊙O于M，連接CM．∵AM是直徑，∴∠ACM＝90°，∴∠CAM+∠M＝90°，∵∠CAO＝∠DAE，∠D＝∠M，∴∠DAE+∠D＝90°，∴∠AED＝90°，∴AE⊥CD．（2）證明：如圖2中，連接BC，延長AE交⊙O于H，連接DH．∵∠CAO＝∠DAE，∴＝，∴DH＝BC，∵BF⊥CD，∴∠BFC＝90°＝∠ACB，∴∠ACD+∠BCF＝90°，∠BCF+∠CBF＝90°，∴∠ACD＝∠CBF，∵∠H＝∠ACD，∴∠H＝∠CBF，∵∠DEH＝∠BFC＝90°，∴△BFC≌△HED（AAS），∴CF＝DE．（3）解：如圖3中，作GM⊥AD于M，作NJ⊥AB于J，連接BC．∵∠CGB＝∠AGE，AE⊥CD，∴tan∠CGB＝tan∠AGE＝＝，設(shè)AE＝4k，EG＝3k，則AG＝5k，∵＝，∴DM＝CM，∠DAM＝∠MAC，∵CN＝DM，∠ACN＝∠AMD，∴△ACN≌△AMD（AAS），∴AN＝AD，∵AE⊥DN，∴DE＝EN，∠DAE＝∠NAE＝∠CAB＝∠MAB，∵NE⊥AE，NJ⊥AB，∴NE＝NJ，∵＝＝＝＝，∴EN＝EG＝k，∴DN＝k，DG＝k，∴AD＝＝＝k，∵?AD?GM＝?DG?AE，∴GM＝＝，∴AM＝＝＝k，∵∠GAM＝∠CAE，∠AMG＝∠AEC＝90°，∴△AEC∽△AMG，∴＝，∴＝，∴AC＝k，∵△ACB∽△AED，∴＝，∴＝，∴AB＝10，∴⊙O的半徑為5．9．解：（1）∵AB＝AC，∠B＝∠C，∵四邊形AFDC是圓內(nèi)接四邊形，∴∠AFD+∠C＝∠BFD+∠AFD＝180°，∴∠BFD＝∠C，∴∠BFD＝∠B，∴BD＝DF，∴△BDF是等腰三角形；（2）如圖，已知AB＝DE，∠B＝∠E，則四邊形ABDE是平行四邊形是假命題；∵＝，∴DE＝AC，∵AB＝AC，∴AB＝DE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠C＝∠E，∴∠B＝∠E，﹣＝﹣，∴＝，∴AE＝CD＞BD，但四邊形ABDE不是平行四邊形，∴“一組對邊相等，且一組對角相等的四邊形是平行四邊形”是假命題．10．（1）證明：如圖1中，延長CO交⊙O于T，連接BT．∵OT＝OB，∴∠T＝∠OBT，∵∠EOB＝∠T+∠OBT＝2∠T，∠EOB＝2∠OEB＝2∠AEC，∴∠T＝∠AEC，∵∠A＝∠T，∴∠A＝∠AEC，∴CA＝CE．（2）證明：如圖2中，作OH⊥BC于H，OF⊥CD于F．∵OC＝OB，OH⊥BC，∴∠COH＝∠BOH，∵∠EOB＝2∠OEB＝2∠CEM，∴∠COH＝∠CEM，∴∠CEM+∠OCF＝90°，∠OCH+∠OCH＝90°，∴∠OCH＝∠OCF，∵OF⊥CD，OH⊥CB，∴OF＝OH，∵OC＝OC，∠OFC＝∠OHC＝90°，∴Rt△COF≌Rt△COH（HL），∴CF＝CH，∵DF＝CF，CH＝BH，∴CD＝CB．（3）延長CO交BD于T，連接TF，TM．∵CD＝CB，∠DCO＝∠BCO，∴CT⊥BD，DT＝BT，∵OC＝OD，∴∠FDC＝∠TCD，∵∠DFC＝∠CTD＝90°，CD＝DC，∴△CDT≌△DCF（AAS），∴DT＝CF，∠TDC＝∠FCD，DF＝CT，∴∠TDF＝∠FCT，∵△TDF≌△FCT（SAS），∴∠DFT＝∠CTF，∵∠DOC＝∠FOT，∴∠OCD＝∠OTF，∴CD∥TF，∴∠BTF＝∠BDC＝∠FCM，∵CF＝BT，∠CMF＝∠TFB，∴△CMF≌△TFB（AAS），∴FT＝CM，∴四邊形FTMC是平行四邊形，∴TE＝EC，EM＝EF，∵DF＝CT，OD＝OC，∴OT＝OF，∴∠OTF＝∠OFT，∵∠OTF+∠FET＝90°，∠OFT+∠OFE＝90°，∴∠OEF＝∠OFE，∴OE＝OF＝OT，∵OE∥MO，EF＝EM，∴OQ＝OF＝1，∴ET＝EC＝2，∴OD＝OC＝3，∴DQ＝2，∵QP∥OT，∴＝＝，∴＝＝，∴PQ＝，∴DP＝＝＝，DT＝2，∴PT＝DT﹣DP＝2﹣＝，∴OP＝＝＝．11．解：（1）如圖1中，∵CD⊥AB，AB是直徑，∴＝，∠CEB＝∠DEB．（2）如圖2中，連接AC、AD，∵AB⊥CD，OC＝OD，∴AC＝AD，∵CD是直徑，∴∠CAD＝90°，∵AE⊥AF，∠EAF＝∠AOD＝45°，∴∠EAF＝90°，AE＝AF，∴∠EAF＝∠CAD，∴∠EAC＝∠FAD，∴△ACE≌△ADF（SAS），∴CE＝DF．（3）過點A作AS⊥CE交CE的延長線于S，AT⊥ED于T，過點E作EN⊥AC于N．∵AB是直徑，∴∠AEB＝90°，∴∠AED+∠DEG＝90°，∠SEA+∠CEB＝90°，∵∠CEG＝∠DEG，∴∠AES＝∠AED，∵AS⊥ES，AT⊥ET，∴AS＝AT，∴＝＝，∴＝，同法可證＝∴，設(shè)HG＝x，，∴x＝1，∴AC＝6，tan∠ECA＝，tan∠EAC＝，AE＝，EF＝，BE＝BF＝＝＝．12．解：（1）如圖1中，∵AB＝AC，∴＝，∵AD經(jīng)過圓心O，∴AD⊥BC．（2）如圖2中，設(shè)BF交AD于H，連接CH．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，∴HB＝HC，∵BF⊥AC，∴∠AGH＝∠BDH＝90°，∴∠HAG+∠AHG＝90°，∠DBH+∠BHD＝90°，∵∠AHG＝∠BHD，∴∠HAG＝∠DBH，∵∠GAF＝∠DBH，∴∠GAF＝∠GAH，∵∠GAH+∠AHG＝90°，∠GAF+∠AFG＝90°，∴∠AHG＝∠AFG，∴AH＝AF，∵AC⊥FH，∴GH＝FG，∴CH＝CF＝BH，∴BG＝BH+GH＝CF+FG．（3）如圖3中，作MK⊥AB于K，MJ⊥AC于J．∵＝，∴∠PBF＝∠CBF，∴∠PBC＝2∠PBF＝2∠CAD，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAC＝2∠CAD，∵∠BPC＝∠BAC，∴∠BPC＝2∠DAC，∴∠CBP＝∠CPB，∴CB＝CP＝10，∵∠BCN＝∠CBA＝∠CBN+∠ABN，∠CNB＝∠ABN+∠BAN，∠BAN＝∠CBN，∴∠BCN＝∠BNC，∴BN＝BC＝10，∵PB＝16，∴PN＝16﹣10＝6，∵∠BCN＝∠BCA，∠CBN＝∠CAB，∴△CBN∽△CAB，∴＝，設(shè)CN＝x，∴＝，∴AC＝，∵∠ABN＝∠PCN，∠ANB＝∠PNC，∴△ANB∽△PNC，可得AN?NC＝BN?PN，∴（﹣x）＝10×6，∴x＝2（負根已經(jīng)舍棄），∴CN＝2，AC＝AB＝5，AN＝3，在Rt△ADC中，AD＝＝＝15，∴S△ABC＝?AD?BC＝75，∵AN：CN＝3：2，∴S△ABN＝×75＝45，∵MJ⊥AC，MK⊥AB，∠MAB＝∠MAC，∴MJ＝MK，∴＝＝＝＝∴S△AMN＝×45＝．13．（1）證明：如圖1中，連接OC．∵∠ABC＝90°，∠A＝30°，∴∠ACB＝60°，∵OD垂直平分線段AC，∴OA＝OC，∴∠A＝∠OCA＝30°，∴∠OCB＝∠OCD＝30°，∵∠ODC＝∠OBC＝90°，OC＝OC，∴△ODC≌△OBC（AAS），∴OD＝OB，∴AC是⊙O的切線．（2）①解：如圖1中，∵DP∥BC，∴∠PDB＝∠DBC，∵∠ABC＝90°，AD＝DC，∴BD＝DC＝AD，∵∠DCB＝60°，∴△BDC是等邊三角形，∴∠DBC＝60°，∴∠BDP＝60°．②解：如圖2中，連接OP，取OB的中點J，連接JQ．∵BE＝4，∴OB＝OE＝OD＝OP＝2，JO＝JB＝1，∵∠OBC＝90°，∠OCB＝30°，∴BC＝OB＝2，∴JC＝＝＝，∵QP＝QB，JO＝JB，∴JQ＝OP＝1，∵CQ≥JC﹣JQ，∴CQ≥﹣1，∴CQ的最小值為﹣1．14．解：（1）證明：如圖1，連接OC，∵OB＝OC∴∠OCB＝∠B∵＝∴∠F＝∠B∴∠OCB＝∠F∵CE是⊙O切線，∴OC⊥CE∴∠OCE＝90°∵∠ECB＝∠OCB+∠OCE∴∠ECB＝∠F+90°；（2）證明：如圖2，過點C作CG⊥EF于G，連接BF，則∠CGE＝∠CGD＝90°∵AB是⊙O的直徑，∴∠AFB＝90°＝∠CGE＝∠CGD∵OD⊥BC∴BD＝CD在△BDF和△CDG中，∴△BDF≌△CDG（AAS）∴BF＝CG∵HA＝HE∴∠EAH＝∠E∵∠BAF＝∠EAH∴∠BAF＝∠E在△ABF和△ECG中，∴△ABF≌△ECG（AAS）∴AB＝CE；（3）如圖3，過點C作CG⊥EF于G，連接AC，OC，OF，BF，由（2）知：AB＝CE，∠BAF＝∠E∵OA＝OC∴∠OCA＝∠OAC∵AB是⊙O的直徑，CE是⊙O切線，∴∠ACB＝∠ECO＝90°，即∠ECA+∠OCA＝∠A