湖北省武漢市九所重點中學(xué)2024屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省武漢市九所重點中學(xué)2024屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.設(shè)集合，，則的元素個數(shù)為（）A.4 B.5 C.2 D.0〖答案〗A〖解析〗由方程，可得，即，又由，解得，即，則，所以中有4個元素.故選：A.2.與垂直的單位向量是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗不妨設(shè)與垂直的單位向量是，則有，解方程組得或.故選：D.3.以下滿足的虛數(shù)z是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗對于選項A：若，則，可得，所以，故A錯誤；對于選項B：若，則，可得，所以，故B錯誤；對于選項C：若，則，可得，所以，故C正確；對于選項D：若，則，可得，所以，故D錯誤；故選：C.4.多項式的項系數(shù)比項系數(shù)多，則其各項系數(shù)之和為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由二項式定理，，∵項系數(shù)比項系數(shù)多，∴，即，解得：.∴，令可得各項系數(shù)之和為.故選：D.5.在集合所有非空真子集中任選一個，其元素之和為偶數(shù)的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為集合中有兩個奇數(shù)：3，5；三個偶數(shù)：2，4，6共5個元素，所以集合的非空真子集一共有個，接下來分四種情形來求滿足題意的非空真子集的個數(shù)：情形一：當集合中只有1個元素時，當且僅當從2，4，6中隨機選取一個即可，此時滿足題意的非空真子集的個數(shù)為；情形二：當集合中只有2個元素時，當且僅當從2，4，6中隨機選取兩個，或者同時選取3，5，此時滿足題意的非空真子集的個數(shù)為；情形三：當集合中只有3個元素時，當且僅當從2，4，6中隨機選取一個且同時選取3，5，或者同時選取2，4，6，此時滿足題意的非空真子集的個數(shù)為；情形四：當集合中只有4個元素時，當且僅當從2，4，6中隨機選取兩個且同時選取3，5，此時滿足題意的非空真子集的個數(shù)為.綜上所述：由分類加法計數(shù)原理可知，滿足題意的非空真子集的個數(shù)共有個，因此在集合的所有非空真子集中任選一個，其元素之和為偶數(shù)的概率是.故選：B.6.如圖，三棱臺中，，現(xiàn)在以下四項中選擇一個，可以證明的條件有（）①；②；③；④；A.4個 B.3個 C.2個 D.1個〖答案〗C〖解析〗如圖所示：設(shè)三棱臺的三條側(cè)棱交于一點.因為在三棱臺中，，所以，故等價于，對于條件③：若，分別在中運用余弦定理可得，，，因為，且，所以，所以，故，故條件③滿足題意；對于條件①，若，則，即又注意到，即，且，所以，又，余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，結(jié)合以上對條件③的分析，故條件①也滿足題意；對于條件②：不妨設(shè)是兩個互相垂直的等邊三角形，且分別是的中點，因為，，所以，因為，所以，同時又有，滿足題意，此時，取點為的中點，連接，由于是兩個互相垂直的等邊三角形，所以平面平面，且由三線合一可知，又平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，所以，由于在等邊中，，，故，所以，即，所以，故條件②不滿足題意；對于條件④：分別在中運用余弦定理可得，，，所以不妨設(shè)，，所以，即，所以或，換言之，在條件的情況下，不一定成立，所以不一定成立，故條件④不滿足題意.綜上所述，滿足題意的條件有：①，③；共有兩個.故選：C.7.拋物線C：的焦點為F，頂點為O，其上兩點（均異于原點O）滿足；過O點作于C，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖所示：由題意不妨設(shè)直線滿足，，其中，聯(lián)立得，，所以由韋達定理有，從而，又由可知，因為，所以解得，此時滿足題意，故，所以直線，因為，所以不妨設(shè)，聯(lián)立，解得，即點，又，所以，因為，所以，.故選：C.8.求值：（）A. B. C.1 D.〖答案〗A〖解析〗不妨設(shè)所求的值為，則，由正弦的二倍角公式逆用有，由誘導(dǎo)公式、二倍角公式及其逆用得，最終由兩角和差的正弦公式得.故選：A.二、選擇題9.將三角函數(shù)經(jīng)如下變換后得到的圖象：①將圖象向右平移個單位；②將圖象向左平移個單位；③將圖象向下平移個單位；④將圖象上所有點的橫坐標擴大至原來的2倍；以下變換順序正確的是（）A.④①③ B.④③①① C.②②③④ D.③①④〖答案〗BCD〖解析〗由題意.按A選項方式對進行伸縮平移變換后會得到，故A錯誤；按B選項方式對進行伸縮平移變換后會得到，故B正確；按C選項方式對進行伸縮平移變換后會得到，故C正確；按D選項方式對進行伸縮平移變換后會得到，故D正確.故選：BCD.10.等比數(shù)列和函數(shù)滿足，，則以下數(shù)列也為等比數(shù)列的是（）A. B. C. D.〖答案〗AC〖解析〗由題意不妨設(shè)等比數(shù)列的公比為，所以，且，對于A，當時，有，且，由等比數(shù)列定義可知數(shù)列是等比數(shù)列，故A選項符合題意；對于B，當是正奇數(shù)時，不是正整數(shù)，此時沒有定義，從而數(shù)列不是等比數(shù)列，故B選項不符合題意；對于C，當時，有，且，由等比數(shù)列定義可知數(shù)列是等比數(shù)列，故C選項符合題意；對于D，當時，有，但，從而數(shù)列不是等比數(shù)列，故D選項不符合題意.故選：AC.11.如圖，在平整的地面上任一點O處觀測點P處的太陽時，可以將太陽一日的運動軌跡看作一個圓，且這個圓在以O(shè)為球心，半徑很大的球面上．白天觀測到的軌跡是其在地面以上的部分．在點O處立一根桿OA（A也可看作球心），它在地面上形成日影，且P，A，三點共線，則白天時點在地面上運動的軌跡可能是（）A.一個拋物線 B.一條直線 C.一個半橢圓 D.雙曲線的一支〖答案〗ABD〖解析〗由題意，由自然地理知識，以六個不同緯度討論桿影軌跡形態(tài).1.赤道春秋分日，赤道上的桿影軌跡為一條經(jīng)過桿腳（原點）的東西向直線，與x軸重合（圖3），因為太陽正東升，太陽視運動軌跡垂直于地平面，故整個上午太陽均在正東方向，影子在正西方向，正午太陽在天頂無桿影，下午太陽位于正西，桿影則在正東.除極點外，全球任意緯度的春秋分桿影軌跡均為一條東西向直線，北半球該線位于桿腳以北，南半球則為以南，緯度越高則直線離桿腳越遠.非春秋分日，赤道上的桿影軌跡為雙曲線.春分至秋分，太陽直射點位于北半球，赤道上觀察太陽位于偏北方，故桿影軌跡位于桿腳的南側(cè)，開口朝南.秋分至次年春分，桿影位于桿腳北側(cè)，開口朝北.日期越接近春秋分則雙曲線的曲率越小，日期越接近二至日則曲率越大.二至日曲率最大，且離桿腳最遠.2.回歸線之間（含回歸線）以為例，除春秋分外桿影軌跡為雙曲線.春分至秋分，開口朝南；秋分至次年春分，開口朝北，其中太陽直射時，桿影軌跡過原點（即桿腳）.北回歸線上，夏至日軌跡過原點.3.回歸線至極晝區(qū)邊界以為例，除春秋分外桿影軌跡為雙曲線，曲率比低緯地區(qū)有所加大。春分至秋分，開口朝南，夏至軌跡與和軸的交點分別為、；秋分至次年春分，開口朝北，冬至軌跡與軸交點為。在春秋分，軌跡為直線，該直線距軸為個單位，因為正午影長與桿高相等。顯然春秋分軌跡并不是兩至日軌跡的對稱軸。4.極晝區(qū)邊界以南極圈為例，冬至日該地恰好出現(xiàn)極晝，軌跡為開口向北的拋物線.值得一提的是，凡是極晝區(qū)與非極晝區(qū)分界緯線上（即剛出現(xiàn)極晝的緯線），其軌跡為拋物線，而并非橢圓.南極圈其他日期為雙曲線或直線.5.極晝區(qū)（除極點）以為例，極晝期間軌跡為橢圓，24小時均有桿影，正午與子夜太陽高度分別為最大和最小，桿影分別為最短和最長.橢圓長軸位于南北方向，短軸位于東西方向，原點位于橢圓的焦點，越靠近極晝區(qū)的邊緣，則橢圓的偏心率越大.6.極點春秋分日，太陽在地平線上，理論上桿影無限長，桿影軌跡無法表達.極晝期間，極點的桿影軌跡為正圓，圓心為桿腳，因為太陽平行于地平面，一天內(nèi)太陽高度不變.越趨向夏至（或冬至日），圓的半徑越??；越趨向春秋分，則圓半徑趨向無窮大.綜合以上分析可知，桿影軌跡共有雙曲線、直線、拋物線、橢圓和圓5種線條類型.直線是春秋分日的特有形態(tài)，全球（除兩極）皆為直線.拋物線是剛出現(xiàn)極晝地區(qū)（如太陽直射那天，地區(qū)）的特有形態(tài).橢圓是高緯地區(qū)在極晝時期的特有形態(tài).圓是北極點和南極點的特有形態(tài).雙曲線是全球各地的普遍形態(tài)，太陽直射點在北半球時則雙曲線開口朝南，反之則朝北.其中，直線為一條直線，雙曲線和拋物線均為半支，橢圓為一整個橢圓，故ABD正確，C錯誤.故選：ABD.12.已知，若它的圖象恒在x軸上方，則（）A.的單調(diào)遞增區(qū)間為B.方程可能有三個實數(shù)根C.若函數(shù)在處的切線經(jīng)過原點，則D.過圖象上任何一點，最多可作函數(shù)的8條切線〖答案〗D〖解析〗A選項，因為函數(shù)的圖象恒在x軸上方，時，由于恒成立，故要想恒正，則要滿足，時，恒成立，，當時，在恒成立，故在單調(diào)遞增，又當時，，故在上恒成立，滿足要求，當時，令，故存在，使得，當時，，當時，，故在上單調(diào)遞減，又當時，，故時，，不合題意，舍去，綜上：，當時，，，且，畫出函數(shù)圖象如下，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，，A錯誤；B選項，可以看出方程最多有兩個實數(shù)解，不可能有三個實數(shù)根，B錯誤；C選項，當時，，則，則函數(shù)在處的切線方程為，將代入切線方程得，，解得，當時，，則，則函數(shù)在處切線方程為，將代入切線方程得，，其中滿足上式，不滿足，故C錯誤；D選項，當時，設(shè)上一點，，當切點為，則，故切線方程為，此時有一條切線，當切點不為時，設(shè)切點為，則，此時有，即，其中表示直線的斜率，畫出與的圖象，最多有6個交點，故可作6條切線，時，當切點不為時，設(shè)切點為，則，，，，結(jié)合圖象可得，存在一個點，使得過點的切線過上時函數(shù)的一點，故可得一條切線，當點在時的函數(shù)圖象上時，由圖象可知，不可能作8條切線，綜上，過圖象上任何一點，最多可作函數(shù)的8條切線，D正確.故選：D.三、填空題13.寫出一個焦距為3的橢圓的標準方程：______．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗由題意，即，又，例如，則，標準方程可為．故〖答案〗為：．（〖答案〗不唯一）14.平面直角坐標系中有一直線l：，用斜二測畫法畫出平面的直觀圖，在直觀圖中直線l恰為x軸和y軸的角平分線，則______．〖答案〗2〖解析〗畫出平面的直觀圖如圖所示：由題意，平分，所以，過點作軸，交軸于點，所以，所以，從而有，所以有，不妨設(shè)，現(xiàn)在將平面直觀圖還原，如圖所示：由圖可知，此時直線l：經(jīng)過點，所以.故〖答案〗為：2.15.已知矩形和另一點E，，，且，連接交直線于點F，若的面積為6，則______．〖答案〗或〖解析〗我們分以下兩種情形來解決，情形一：如圖所示：當時，有，，所以有，即，解得，此時，由題意，，解得；情形二：如圖所示：當時，有，，所以有，即，解得，由題意，，解得.綜上所述：若的面積為6，則或.故〖答案〗為：或.16.一張圓形餐桌前有個人，每個人面前及餐桌正中央均各擺放一道菜．現(xiàn)規(guī)定每人只能在相鄰兩人或餐桌中心的三道菜中隨機夾取一道菜，每個人都各夾過一次菜后，記未被夾取過的菜肴數(shù)為，則______，的通項公式為______．〖答案〗〖解析〗給所有菜編號，中心菜編號為0，其余每人前面的菜分別為，記事件“中心菜未被夾”為，事件“中心菜被夾”為，則由題意，，所以，記事件“第道菜未被夾”為，事件“第道菜被夾”為，，所以，，所以，而由題意有，所以，從而.故〖答案〗為：，.四、解答題17.等差數(shù)列中，，的前n項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：對任意正數(shù)k，均存在使得成立．（1）解：設(shè)數(shù)列的公差為d，于是，因為，所以，所以，解得，則.（2）證明：由（1）可知，所以，，考慮，即，即，由于，則時，，且，結(jié)合上述不等式得，整理得，任取整數(shù)，則，原不等式成立，于是對于任意正數(shù)k，均存在使得成立．18.已知函數(shù)，（1）求的極值；（2）作在處的切線交的圖象于另一點，若，求l的斜率．（1）解：由函數(shù)，可得，令，解得，，則列表如下：+00+極大值極小值所以的極大值為，極小值為．（2）解：由題意，在處的切線l的方程為，整理得，設(shè)，可得，則，從而，可得，解得，所以，由題意可知，方程有另一解，于是，所以，解得或，當時，l的斜率；當時，l的斜率，綜上可得，切線l的斜率為3．19.中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且；邊上有一點D（D不與三角形的頂點重合）滿足.（1）求C的取值范圍；（2）若，求A．解：（1）在中，由正弦定理得，則，又，且，所以，考慮到，則是銳角，如圖所示：若C為鈍角，則，即，此時有，又，則，則；如圖所示：若C為銳角，則，由題意知，則，所以，又，所以，所以，綜上所述，．（2）由題知，若C為鈍角，則在中，有，此時，不合題意；故C為銳角，也即，由（1）可知，，且注意到，所以中，由余弦定理得，解得，因為，所以，結(jié)合正弦定理知，于是，又，則，又，將上式代入得，解得．20.在能源和環(huán)保的壓力下，新能源汽車將成為未來的發(fā)展方向．某市大力推廣新能源汽車，成果顯著，該市近6年的新能源汽車保有量數(shù)據(jù)如下表，年份代號x123456保有量y（萬輛）11.82.745.99.1（1）記時對應(yīng)的汽車保有量為，其相較去年的增長量為，分析發(fā)現(xiàn)變量z和y有線性關(guān)系，試建立變量z和y的回歸方程（精確到0.01）；（2）根據(jù)（1）問的結(jié)果分析：①；②；③當中哪一個更適合作為汽車保有量y與年份x的回歸方程類型？判斷并說明理由．附：對于一組數(shù)據(jù)，，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，．解：（1）設(shè)關(guān)于的回歸方程為，當時，可得，，則，可得，所以關(guān)于的回歸方程為．（2）選擇②，理由如下：由（1）問知和有線性關(guān)系，故用估計，知，則，可得，可得是首項為，公比為的等比數(shù)列，從而，滿足②式的形式，故②適宜作為y與x回歸方程類型．21.空間中的兩平行平面與之間的距離為4，邊長為2的等邊三角形，分別在平面，中，且它們中心的連線垂直于平面；若恒成立.（1）證明：，，兩兩夾角相等；（2）當四面體的體積最大時，求（1）問中夾角的余弦值．（1）證明：記和中心分別為點O，，當時，記點，，所在位置分別為點，，，易知為正三棱柱，且點，，，，，均在以為圓心的圓上，的半徑為；因為，所以，同理可得，