陜西省安康市重點名校2024屆高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題理（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1陜西省安康市重點名校2024屆高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（理）一、選擇題1.已知集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)與在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為復(fù)數(shù)與在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱，所以，所以．故選：B．3.“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗若函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞增，則令，，解得，，結(jié)合是區(qū)間，所以，解得.“”是“”的充分不必要條件,故選：A.4.在數(shù)列中，，且數(shù)列是等差數(shù)列，則（）A.16 B. C.19 D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得：，設(shè)數(shù)列為的公差，則，即，故，解得.故選：B．5.已知函數(shù).若曲線和在公共點處有相同的切線，則a，b的值分別為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以，由題意，解得故選:A.6.《中華人民共和國國家綜合排放標(biāo)準(zhǔn)》中的一級標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定企業(yè)生產(chǎn)廢水中氨氮含量允許排放的最高濃度為15ml/L.某企業(yè)生產(chǎn)廢水中的氨氮含量為225ml/L.現(xiàn)通過循環(huán)過濾設(shè)備對生產(chǎn)廢水的氨氮進行過濾，每循環(huán)一次可使氨氮含量減少，為安全起見，要使廢水中的氨氮含量不高于國家排放標(biāo)準(zhǔn)值的一半，至少要進行循環(huán)的次數(shù)為（）（參考數(shù)據(jù)，）A.3 B.4 C.8 D.9〖答案〗D〖解析〗過濾第一次廢水中的氨氮的含量減少，則為；過濾第兩次廢水中的氨氮的含量減少，則為；過濾第三次廢水中的氨氮的含量減少，則為；過濾第n次廢水中的氨氮的含量減少，則為；要求廢氣中該廢水中的氨氮的含量不能超過7.5ml/L，則，即，兩邊取以10為底的對數(shù)可得，即，所以，因為，，所以，所以，又，所以，故排放前需要過濾次數(shù)至少為9次．故選：D．7.設(shè)，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗∵，所以．故選：A．8.已知函數(shù)的圖象如圖所示（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），下面四個圖象中可能是圖象的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由的圖象知，當(dāng)時，，故，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，故，當(dāng)，，故，等號僅有可能在x＝0處取得，所以時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，故，單調(diào)遞增，結(jié)合選項只有C符合.故選：C.9.我國明朝數(shù)學(xué)家程大位著的《算法統(tǒng)宗》里有一道聞名世界的題目：“一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個，大小和尚各幾丁？”如圖所示的程序框圖反映了對此題的一個求解算法，則（）A.輸出的m的值為25 B.輸出的n的值為75C.輸出的m的值為大僧的人數(shù) D.輸出的n的值為大僧的人數(shù)〖答案〗D〖解析〗執(zhí)行程序框圖：，繼續(xù)執(zhí)行；，繼續(xù)執(zhí)行；，繼續(xù)執(zhí)行；，繼續(xù)執(zhí)行；，繼續(xù)執(zhí)行；，退出循環(huán)，輸出.輸出的的值為小僧的人數(shù)，輸出的的值為大僧的人數(shù).故選：D.10.函數(shù)為偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，則的解集為（）A. B.或C. D.或〖答案〗D〖解析〗函數(shù)為偶函數(shù)，則，故，因為在單調(diào)遞增，所以.根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，不等式，或者，的解集為，故選D.11.在銳角中，、、分別是的內(nèi)角、、所對的邊，點是的重心，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗連接并延長交于點，則為的中點，因為，則，由重心的性質(zhì)可得，則，因為，所以，，所以，，所以，，所以，，則為銳角，由余弦定理可得，所以，，因為為銳角三角形，則，即，即，所以，，構(gòu)造函數(shù)，其中，任取、且，則.當(dāng)時，，，則，當(dāng)時，，，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為，所以，，故.故選：C.12.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗對，因為，即，所以，即；對，又，令，則，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，令，則，所以當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，顯然，又，即，即，所以，即.故選：C.二、填空題13.已知等邊的重心為O，邊長為3，則______.〖答案〗〖解析〗在等邊中，延長交于，如圖，因為為重心，則，，所以.故〖答案〗為：.14.在平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊與單位圓的交點分別為，若直線的傾斜角為，則______.〖答案〗〖解析〗由題意得，點，，所以直線的斜率，所以，即，所以或者，當(dāng)時，可得，此時點重合，不合題意，當(dāng)時，即，可得.故〖答案〗為：.15.設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，當(dāng)時，，則的值為______.〖答案〗〖解析〗因為函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，可得，所以，所以.故〖答案〗為：.16.已知圖象上有一最低點，若圖象上各點縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的，再向左平移1個單位長度得的圖象，又的所有根從小到大依次相差3個單位，則___________.〖答案〗〖解析〗由題意得，其中，因為是圖象的最低點，所以，所以，所以，橫坐標(biāo)縮為原來的得，向左移動1個單位長度得，所以.由的所有根從小到大依次相差3個單位，可知與的相鄰交點間的距離相等，所以過曲線的最高點或最低點，或經(jīng)過所有的對稱中心.①當(dāng)過曲線的最高點或最低點時，每兩個根之間相差一個周期，即相差6，不合題意；②當(dāng)過曲線所有的對稱中心時，則，所以，所以，所以.故〖答案〗為：.三、解答題17.設(shè)函數(shù)．（1）求的最小正周期及其圖象的對稱中心；（2）若且，求的值．解：（1）因為所以的最小正周期為．令，解得，所以的對稱中心為（2）因為，即，所以，因為，所以，所以，所以．18.李同學(xué)在暑假期間進行一項社會實踐活動，隨機抽取了80名喜愛身體鍛煉的年輕人，調(diào)查他們是否將跑步作為主要鍛煉方式，得到如下數(shù)據(jù)不完整的列聯(lián)表：將跑步作為主要鍛煉方式不是將跑步作為主要鍛煉方式合計男性2020女性30合計80（1）請將列聯(lián)表補充完整，并判斷能否有99%的把握認為是否將跑步作為主要鍛煉方式與性別有關(guān)？（2）在被調(diào)查的80人中，從不是將跑步作為主要鍛煉方式的人群中按性別采取分層抽樣的方法抽取5人參加體育健身學(xué)習(xí)活動，再從中選取2人作為代表發(fā)言，記2人中女性人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.0.400.250.100.0100.0050.0010.7081.3232.7066.6357.87910.828解：（1）列聯(lián)表如下：將跑步作為主要鍛煉方式不是將跑步作為主要鍛煉方式合計男性202040女性103040合計305080，所以沒有99%的把握認為是否將跑步作為主要鍛煉方式與性別有關(guān).（2）抽取的5人中，男性有人，女性有人，的可能值有0，1，2，，的分布列為012.19.已知中，，D為AB中點，.（1）若，求AC的長度；（2）若，求的值.解：（1）在中，由余弦定理得，，，在中，，所以AC的長度為2.（2）設(shè)BC＝x，則AC＝2x，在和中分別利用余弦定理得，解得（負根舍）.因為，所以，在中，由正弦定理得，即.20.已知函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)取得極值.（1）若在上為增函數(shù)，求實數(shù)m取值范圍；（2）若時，方程有兩個根，求實數(shù)m的取值范圍.解：（1）由，則，因為時，取到極值，所以，解得.又當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)時，函數(shù)取得極值，符合題意.要使在上為增函數(shù)，則或，所以或.即實數(shù)的取值范圍為.（2）令，由（1）得，且，故，，則，當(dāng)時，令，解得，令，解得，所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，故，而，，故.要使有兩個根，則.即實數(shù)的取值范圍為.21.如圖，長方體中，為棱的中點.（1）求直線被長方體的外接球截得的線段長度；（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）設(shè)的中點為，連結(jié)，則為長方體外接球的球心，且平面，由題意知，，所以，所以，設(shè)到直線的距離為，則，解得，因為外接球半徑，所以直線被此外接球截得的弦長為；（2）以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的一個法向量，因為，則由，得，令，可得，又，設(shè)直線與平面所成的角為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.22.設(shè)函數(shù)，，.（1）求在上的單調(diào)區(qū)間；（2）若在y軸右側(cè)，函數(shù)圖象恒不在函數(shù)的圖象下方，求實數(shù)a的取值范圍；（3）證明：當(dāng)時，.（1）解：由函數(shù)，可得，當(dāng)，即時，，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)，即時，令，解得；令，解得，函數(shù)在