二面角及其求法 課件-2024屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課件

二面角及其求法

平面內(nèi)一條直線把平面分成兩部分，其中的每一部分都叫做半平面，從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，記作α－l－β；其中這條直線叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面。

l二面角

－l－

ABCEFD二面角C－AB－E一、基本概念

度量：在二面角α－l－β的棱上任取一點(diǎn)O，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作射線OA⊥l，OB⊥l,則∠AOB叫做二面角α－l－β的平面角，顯然，這個(gè)平面角與點(diǎn)O在l上的位置無(wú)關(guān).二、二面角的求法1、定義、三垂線定理2、向量：（1）方向向量（2）法向量3、射影（幾何法）1.

定義法ι在二面角的棱上找一特殊點(diǎn)，在兩個(gè)平面內(nèi)分別做垂直于棱的兩條射線例:在正方體ABCD-A'B'C'D'中，找出下列二面角的平面角：（1）二面角C'-BD-C；（2）二面角D'-AB-D.BACDA'B'C'D'OBACDA'B'C'D'例:在正方體ABCD-A'B'C'D'中，找出下列二面角的平面角：（1）二面角C'-BD-C；（2）二面角D'-AB-D.B

lAO----“三垂線法”過(guò)點(diǎn)A作AB⊥平面β交于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)A作AO⊥直線l

交于O，【思考】如圖，點(diǎn)A在二面角α-l-β的半平面α上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A如何確定二面角α-l-β的平面角？三垂線定理的應(yīng)用連結(jié)OB，則∠AOB為所求的角變式訓(xùn)練如圖,在四面體P-ABC中,PC⊥平面ABC,AB＝BC＝AC＝PC,求二面角B－AP－C的正切值.

三、向量法1、直線的方向向量例．如圖，在一個(gè)二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)A，B，線段AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱AB，AB=4cm,AC=6cm，BD=8cm，CD=cm，求這個(gè)二面角的度數(shù)。ll注意:解題時(shí)我們只需觀察圖形是二面角是銳角還是鈍角，再根據(jù)所求法向量夾角的余弦值下結(jié)論即可！2.法向量：例.如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD.底面ABCD為邊長(zhǎng)是1的正方形,PA＝1,求平面PCD與平面PAB夾角的大小.【題后反思】幾何法求二面角，往往需要作出其平面角，這是該方法的一大難點(diǎn)．而用向量法求解二面角，無(wú)需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，轉(zhuǎn)化為兩直線(或兩向量)所成的角，通過(guò)向量的數(shù)量積運(yùn)算即可獲解，體現(xiàn)了空間向量的巨大優(yōu)越性．三、射影法已知：二面角α－l－β的度數(shù)為θ(0≤θ≤)，在α面內(nèi)有△ABC，它在β內(nèi)的射影為△A'BC，它們的面積分別為S，S'，求證：S'=Scosθ.證明：不妨假定△ABC的邊BC在l上，作BC邊的高AD，AD在β內(nèi)的射影為A'D，根據(jù)正射影的性質(zhì)，知A'D=ADcosθ，

S'=BC×A'D

=BC×ADcosθ=Scosθ.例.如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD.底面ABCD為邊長(zhǎng)是1的正方形,PA＝1,求平面PCD與平面PAB夾角的大小.二面角的求法1、定義法：過(guò)棱的一點(diǎn)在兩個(gè)平面內(nèi)分別做棱的垂線2、三垂線定理：找到一個(gè)面內(nèi)的一點(diǎn)到另一個(gè)面的垂線3、直線（垂直于棱）的方向向量，注意把握方向4、平面的法向量