半導(dǎo)體物理基礎(chǔ)

2023/11/211§1-1半導(dǎo)體物理中基本概念有效質(zhì)量與有效質(zhì)量張量電子與空穴載流子費(fèi)米能級與準(zhǔn)費(fèi)米能級熱平衡態(tài)與非平衡態(tài)本征與摻雜施主與受主散射與碰撞漂移與擴(kuò)散穩(wěn)態(tài)與非穩(wěn)態(tài)2023/11/212§1-2晶體結(jié)構(gòu)和半導(dǎo)體材料晶格結(jié)構(gòu)密勒指數(shù)載流子的概念半導(dǎo)體器件基礎(chǔ)2023/11/2132023/11/214固體結(jié)構(gòu)2023/11/215晶體結(jié)構(gòu)硅、鍺等半導(dǎo)體都屬于金剛石型結(jié)構(gòu)。III-V族化合物（如砷化鎵等）大多是屬于閃鋅礦型結(jié)構(gòu)，與金剛石結(jié)構(gòu)類似。晶格常數(shù)是晶體的重要參數(shù)。aGe=0.5658nm,aSi=0.5431nm2023/11/216常用半導(dǎo)體材料的晶格結(jié)構(gòu)TwointerveningFCCcellsoffsetby?ofthecubicdiagonalfromdiamondstructureandzincblendestructure:2023/11/217—倒格矢：基本參數(shù):a*,b*,c*(aa*=2,a

b*=0,etc.)應(yīng)用：波矢k空間的布里淵區(qū)2023/11/218—沿晶體的不同方向，晶體的機(jī)械、物理特性也是不相同的，這種情況稱為晶體的各向異性。用密勒指數(shù)表示晶面?！芾罩笖?shù)（Millerindices)：表示晶面

（1）確定某一平面在直角坐標(biāo)系三個(gè)軸上的截點(diǎn)，并以晶格常數(shù)為單位測出相應(yīng)的截距；（2）取截距的倒數(shù)，然后約化為三個(gè)最小的整數(shù)，這就是密勒指數(shù)。晶體的各向異性2023/11/219密勒指數(shù)密勒指數(shù)[43]2023/11/2110密勒指數(shù)(hkl):Foraplanethatinterceptsthex-axisonthenegativesideoftheorigin.(100){hkl}:Forplanesofequivalentsymmetry.

(100)(010)(001)(100)(010)(001)<hkl>:Forafullsetofequivalentdirections.

[100][010][001][100][010][001][100]

[hkl]:Foracrystaldirection2023/11/2111價(jià)鍵每個(gè)原子有4個(gè)最近鄰原子以共價(jià)鍵結(jié)合，低溫時(shí)電子被束縛在各自的正四面體晶格內(nèi)，不參與導(dǎo)電。高溫時(shí)，熱振動(dòng)使共價(jià)鍵破裂，每打破一個(gè)鍵，就得到一個(gè)自由電子，留下一個(gè)空穴，即產(chǎn)生一個(gè)電子空穴對。2023/11/2112單晶硅2023/11/2113半導(dǎo)體載流子：電子和空穴2023/11/2114§1-3半導(dǎo)體能帶論能帶的概念

有效質(zhì)量的概念載流子的概念多能谷半導(dǎo)體態(tài)密度2023/11/2115能帶的概念

電子的共有化運(yùn)動(dòng)

能帶的概念

導(dǎo)體、半導(dǎo)體、絕緣體的能帶直接帶隙半導(dǎo)體：電子從價(jià)帶向?qū)кS遷不需要改變晶體動(dòng)量的半導(dǎo)體，如GaAs。間接帶隙半導(dǎo)體：電子從價(jià)帶向?qū)кS遷要改變晶體動(dòng)量的半導(dǎo)體，如Si。

2023/11/2116單電子近似單電子近似解法解為Bloch函數(shù):2023/11/2117晶體是由大量的原子結(jié)合而成的，因此各個(gè)原子的電子軌道將有不同程度的交疊。電子不再局限于某個(gè)原子，而可能轉(zhuǎn)移到其他原子上去，使電子可能在整個(gè)晶體中運(yùn)動(dòng)。晶體中電子的這種運(yùn)動(dòng)稱為電子的共有化。由于晶格是勢場的周期性函數(shù)，我們有

式中V（x）為周期性勢場，s為整數(shù)，a為晶格常數(shù)。勢場的周期與晶格周期相同。晶體中的電子在周期性勢場中運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)其振幅隨x作周期性變化，其變化周期與晶格周期相同，這反映了電子不再局限于某個(gè)原子，而是以一個(gè)被調(diào)幅的平面波在晶體中傳播?；痉匠虨檠Χㄖ@方程：2023/11/2118電子由一個(gè)原子轉(zhuǎn)移到相鄰的原子去,因而電子將可以在整個(gè)晶體中運(yùn)動(dòng)。

2023/11/2119固體的量子理論認(rèn)為，當(dāng)原子凝聚成固體時(shí)，由于原子間的相互作用，相應(yīng)于孤立原子的每個(gè)能級加寬成間隔極?。?zhǔn)連續(xù)）的分立能級所組成的能帶，能帶之間隔著寬的禁帶。能帶之間的間隔不允許電子具有的能量。金剛石結(jié)構(gòu)的晶體形成的能帶圖如下。n個(gè)原子組成晶體，原子間相互作用，n重簡并能級分裂，n個(gè)連續(xù)的分離但挨的很近的能級形成能帶。2023/11/2120不同材料的能帶圖(a)絕緣體

(b)半導(dǎo)體(c)導(dǎo)體2023/11/2121能帶溫度效應(yīng)SiGaAs實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，大多數(shù)半導(dǎo)體的禁帶寬度隨溫度的升高而減小，禁帶寬度與溫度的關(guān)系有下面經(jīng)驗(yàn)公式：2023/11/2122直接帶隙半導(dǎo)體DirectSemiconductor例如：

GaAs,InP,GaN,ZnO.2023/11/2123間接帶隙半導(dǎo)體IndirectSemiconductor:例如:Ge,Si.2023/11/2124有效質(zhì)量的概念

晶體中電子行徑與自由電子在導(dǎo)帶底和價(jià)帶頂附近非常相似?？梢宰C明，對于一般輸運(yùn)過程中，可以把電子看成具有動(dòng)量，能量的有效帶電粒子，其中mn為有效質(zhì)量?！镉行з|(zhì)量的引入對半導(dǎo)體而言,重要的是導(dǎo)帶底和價(jià)帶頂附近的電子狀態(tài).一維情況下,導(dǎo)帶底、價(jià)帶頂?shù)腅k關(guān)系為拋物線近似

--能帶極值附近的電子有效質(zhì)量.

2023/11/21252023/11/2126★電子的速度和加速度根據(jù)量子力學(xué)，電子的運(yùn)動(dòng)可以看作波包的運(yùn)動(dòng)，波包的群速就是電子運(yùn)動(dòng)的平均速度（波包中心的運(yùn)動(dòng)速度）。設(shè)波包有許多頻率ν相近的波組成，則波包的群速為：根據(jù)波粒二象性，頻率為ν的波，其粒子的能量為hν，所以速度-在準(zhǔn)經(jīng)典近似下,電子的速度即為波包中心的運(yùn)動(dòng)速度(群速度).2023/11/2127加速度-在外力(例如電場力)作用下,電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化

-晶體中電子的準(zhǔn)動(dòng)量.2023/11/2128★關(guān)于有效質(zhì)量的幾點(diǎn)說明

①有效質(zhì)量概括了半導(dǎo)體中內(nèi)部勢場的作用.引入有效質(zhì)量后,帶頂、帶底的電子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以表達(dá)為類似自由電子的形式。

②有效質(zhì)量可以通過實(shí)驗(yàn)直接測得。③由有效質(zhì)量看內(nèi)部勢場:

?有效質(zhì)量的大小—與共有化運(yùn)動(dòng)的強(qiáng)弱有關(guān),反映了晶體中的勢場對電子束縛作用的大小.(能帶極值處有不同的曲率半徑)

能帶越窄，二次微商越小，有效質(zhì)量越大（內(nèi)層電子的有效質(zhì)量大）；能帶越寬，二次微商越大；有效質(zhì)量越?。ㄍ鈱与娮拥挠行з|(zhì)量小）。

?有效質(zhì)量的正負(fù)—與位置有關(guān),反映了概括內(nèi)部周期勢場的內(nèi)部作用后的有效質(zhì)量。2023/11/2129帶底,帶頂附近:(一維情況)能量—在帶底,帶頂附近,E~k為拋物線關(guān)系.有效質(zhì)量為定值有效質(zhì)量—

導(dǎo)帶底有效質(zhì)量>0

價(jià)帶頂有效質(zhì)量<0速度—在帶底,帶頂附近,其數(shù)值正比于k.2023/11/2130E,v,m*~k★倒有效質(zhì)量張量

?當(dāng)認(rèn)為半導(dǎo)體各向同性(E~k關(guān)系各向同性),則有效質(zhì)量是常數(shù).

?一般情況下,E~k關(guān)系不是各向同性,但半導(dǎo)體具有對稱性,即倒有效質(zhì)量張量是對稱張量.選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,可以使該張量在k空間給定的點(diǎn)對角化.2023/11/2131★半導(dǎo)體的導(dǎo)電機(jī)構(gòu)--空穴部分填充的能帶(導(dǎo)帶中有電子,價(jià)帶中有空態(tài))才對電導(dǎo)有貢獻(xiàn)在外電場作用下,價(jià)帶中所有價(jià)電子運(yùn)動(dòng)的效果等價(jià)于少量假想粒子(即空穴)的運(yùn)動(dòng)效果.討論半導(dǎo)體中的導(dǎo)電問題—

導(dǎo)帶電子導(dǎo)電；價(jià)帶空穴導(dǎo)電.2023/11/2132

絕對零度和室溫時(shí)，半導(dǎo)體中的情況2023/11/2133絕對零度和室溫情況下的能帶圖當(dāng)價(jià)帶是滿帶,在外電場作用下,滿帶電子對導(dǎo)電沒有貢獻(xiàn).當(dāng)價(jià)帶中存在空狀態(tài)(圖中A點(diǎn)),在外電場作用下,價(jià)帶電子可參與導(dǎo)電2023/11/2134k空間空穴的運(yùn)動(dòng)空穴特點(diǎn)設(shè)價(jià)帶頂附近,k1處有一空狀態(tài),①電荷:空穴帶正電荷,在外電場下產(chǎn)生電流為j=ev(k1)[等價(jià)于價(jià)帶中所有其他價(jià)電子產(chǎn)生的電流]②有效質(zhì)量:

空穴具有正有效質(zhì)量

m*p=

-m*n

具有準(zhǔn)動(dòng)量

ph=-hk1

2023/11/2135

③能量:價(jià)帶頂?shù)目昭芰孔畹?偏離價(jià)帶頂,空穴能量增加.

導(dǎo)帶底附近電子的能量

E(k)=Ec+h2k2/2m*n(m*n

?0)

價(jià)帶頂附近電子的能量

E(k)=Ev+h2k2/2m*n(m*n

?0)

或

E(k)=Ev-h2k2/2m*p(m*p

?0)2023/11/2136在外電場作用下,價(jià)帶中所有價(jià)電子運(yùn)動(dòng)的效果等價(jià)于少量假想粒子(空穴)的運(yùn)動(dòng)效果.--空穴概念的引入,使我們對價(jià)帶的討論大為簡化半導(dǎo)體中導(dǎo)帶電子,價(jià)帶空穴均可導(dǎo)電—兩種載流子導(dǎo)電.對本征半導(dǎo)體而言,導(dǎo)帶電子數(shù)與價(jià)帶空穴數(shù)是相同的.2023/11/21372023/11/2138

mn*/m0mp*/m0Si0.230.12Ge0.030.08GaAs0.070.092023/11/2139多能谷半導(dǎo)體

許多重要的半導(dǎo)體不只有一個(gè)導(dǎo)帶極小值，而是有若干個(gè)位于k空間不同點(diǎn)的極小值。電子轉(zhuǎn)移效應(yīng)

在強(qiáng)電場下獲得足夠高的能量時(shí)，電子可以由低能谷向次能谷轉(zhuǎn)移的效應(yīng)。2023/11/2140態(tài)密度的概念

空間允許載流子占據(jù)的能態(tài)密度。載流子（電子或空穴）占據(jù)某個(gè)能級（量子態(tài)）的幾率滿足費(fèi)米分布。費(fèi)米能級Ef的定義。2023/11/2141

§1.4平衡載流子與非平衡載流子1、熱平衡態(tài)載流子濃度統(tǒng)計(jì)分布有效態(tài)密度本征半導(dǎo)體雜質(zhì)半導(dǎo)體2023/11/2142有效態(tài)密度有效態(tài)密度導(dǎo)帶底有效態(tài)密度和價(jià)帶頂有效態(tài)密度自由電子和自由空穴密度的表達(dá)式2023/11/2143表1-1Si、Ge、GaAs的載流子有效質(zhì)量、有效狀態(tài)密度及禁帶寬度（300K）

mn

/m0mp

/m0NC(cm-3)NV(cm-3)Eg(eV)Si0.230.122.8

10191.0

10191.12Ge0.030.081.0

10186.0

10180.67GaAs0.070.094.7

10187.0

10181.432023/11/2144本征半導(dǎo)體

本征半導(dǎo)體即沒有雜質(zhì)和缺陷的半導(dǎo)體,當(dāng)T

0K時(shí),出現(xiàn)本征激發(fā),電子和空穴成對產(chǎn)生,即n=p

本征費(fèi)米能級質(zhì)量作用定律2023/11/2145本征載流子濃度

Si、GaAs本征載流子濃度與溫度的關(guān)系2023/11/2146討論在一定溫度下，一定的半導(dǎo)體，np的乘積是確定的，與摻雜多少、費(fèi)米能級位置無關(guān)。且ni隨溫度上升而指數(shù)增加。半導(dǎo)體的禁帶寬度越大，本征載流子濃度越小。室溫下，

Si的ni＝1.45×1010cm－3，

GaAs的ni＝1.79×106cm－3

2023/11/2147雜質(zhì)半導(dǎo)體雜質(zhì)半導(dǎo)體，又稱為非本征半導(dǎo)體，即有雜質(zhì)的半導(dǎo)體。(注意雜質(zhì)與缺陷的區(qū)別)

施主與受主施主雜質(zhì)：磷、砷、銻受主雜質(zhì)：硼、鋁、鎵雜質(zhì)半導(dǎo)體多子、少子濃度的計(jì)算公式雜質(zhì)半導(dǎo)體的能帶圖補(bǔ)償半導(dǎo)體2023/11/2148施主與受主

2023/11/2149n-Si:摻雜濃度越高，EF便越高p-Si:摻雜濃度越高，EF便越低雜質(zhì)半導(dǎo)體能帶圖

2023/11/2150電荷守恒定律2023/11/2151例子：硅棒中摻雜濃度為1016cm－3的As原子。2023/11/2152溫度效應(yīng)2023/11/21532、非平衡態(tài)載流子濃度的分布引入過剩載流子的過程稱為載流子注入載流子注入方法：光激發(fā)、電注入注入水平：多子濃度與過剩載流子濃度的相比分為：小注入情況與大注入情況np=ni2作為半導(dǎo)體是否處于熱平衡態(tài)的判據(jù)，其它判據(jù)如系統(tǒng)具有統(tǒng)一費(fèi)米能級。2023/11/2154產(chǎn)生與復(fù)合過程npni2（注入、抽?。?/p>

np=ni2非平衡載流子非平衡載流子的復(fù)合：（1）直接復(fù)合：電子在導(dǎo)帶和價(jià)帶之間的直接躍遷，引起電子和空穴的直接復(fù)合（2）間接復(fù)合：電子和空穴通過禁帶的能級(復(fù)合中心）進(jìn)行復(fù)合2023/11/2155直接復(fù)合2023/11/2156間接復(fù)合的四個(gè)過程甲-俘獲電子；乙-發(fā)射電子；丙-俘獲空穴；丁-發(fā)射空穴。（a)過程前(b)過程后2023/11/2157凈復(fù)合率U(cm-3/s,單位時(shí)間、單位體積復(fù)合掉的電子-空穴對數(shù))：?熱平衡下，np=ni2,U=0?假設(shè)電子俘獲截面與空穴的相等,

即

n=p=,則EtEi,UMaxium2023/11/2158少子壽命（小注入）

n型半導(dǎo)體中少子壽命(n

nn0,n>>ni,pn)

同樣，對p型半導(dǎo)體中電子的壽命2023/11/2159體內(nèi)復(fù)合和表面復(fù)合?載流子復(fù)合時(shí)，一定要釋放多余的能量。放出能量的方法有三種：a.發(fā)射光子（常稱為發(fā)光復(fù)合或輻射復(fù)合，直接光躍遷的逆過程）b.發(fā)射聲子（將多余的能量傳給晶格，加強(qiáng)晶格的振動(dòng)）c.將能量給予其它載流子，增加他們的動(dòng)能（稱為俄歇復(fù)合（Auger),碰撞電離的逆過程)

俄歇復(fù)合：在重?fù)诫s半導(dǎo)體中，俄歇復(fù)合是主要的復(fù)合機(jī)制。表面復(fù)合：由于晶體原子的周期排列在表面中止，在表面區(qū)引入了大量的局域能態(tài)或產(chǎn)生復(fù)合中心，這些能態(tài)可以大大增加表面區(qū)域的復(fù)合率。與間接復(fù)合類似，是通過表面復(fù)合中心進(jìn)行的，對半導(dǎo)體器件的特性有很大的影響。2023/11/2160Auger復(fù)合2023/11/2161表面復(fù)合小注入表面復(fù)合速度小注入表面復(fù)合率

★載流子的散射①散射的起因:周期勢場的被破壞,

附加勢場對載流子起散射作用.(理想晶格不起散射作用)②散射的結(jié)果:

?

無外場時(shí),散射作用使載流子作無規(guī)則熱運(yùn)動(dòng),載流子的總動(dòng)量仍然=0

?

在外場下，載流子的動(dòng)量不會(huì)無限增加.遷移率即反映了散射作用的強(qiáng)弱.vd=με2023/11/2162③散射幾率:P(單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)載流子受到散射的次數(shù))

?

載流子在連續(xù)二次散射之間自由運(yùn)動(dòng)的平均時(shí)間--平均自由時(shí)間

τ=1/P

?

載流子在連續(xù)二次散射之間自由運(yùn)動(dòng)的平均路程--平均自由程

λ=vT?τ

vT—電子的熱運(yùn)動(dòng)速度

?

數(shù)量級估算2023/11/2163

★

主要散射機(jī)構(gòu)電離雜質(zhì)的散射晶格散射其他因素引起的散射

2023/11/21642023/11/2165電離雜質(zhì)的散射

★電離雜質(zhì)的散射電離雜質(zhì)濃度為NI,載流子速度為v,載流子能量為E:定性圖象:

?

散射幾率大體與電離雜質(zhì)濃度成正比;

?

溫度越高,電離雜質(zhì)散射越弱.2023/11/2166

★晶格散射①晶格振動(dòng)理論簡要晶格振動(dòng)—晶體中的原子在其平衡位置附近作微振動(dòng).

?

格波—晶格振動(dòng)可以分解成若干基本振動(dòng),對應(yīng)的基本波動(dòng),即為格波.

格波能夠在整個(gè)晶體中傳播.

格波的波矢q,q=1/λ

2023/11/2167當(dāng)晶體中有N個(gè)原胞,每個(gè)原胞中有n個(gè)原子,則晶體中有3nN個(gè)格波,分為3n支.

?3n支格波中,有3支聲學(xué)波,(3n-3)支光學(xué)波晶格振動(dòng)譜—格波的色散關(guān)系υ

q

縱聲學(xué)波(LA),橫聲學(xué)波(TA)

縱光學(xué)波(LO),橫光學(xué)波(TO)格波的能量是量子化的:E=(n+1/2)hυ2023/11/21682023/11/2169圖4-7圖4-8縱波橫波聲學(xué)波光學(xué)波2023/11/2170ΓK

圖4-6金剛石結(jié)構(gòu),3支聲學(xué)波,(1支LA,2支TA)3支光學(xué)波

(1支LO,2支TO)?聲子--格波的能量子能量hυ,準(zhǔn)動(dòng)量hq溫度為T時(shí)，頻率為υ的格波的

?

平均能量為

?

平均聲子數(shù)

712023/11/21?電子和聲子的相互作用:

能量守恒,準(zhǔn)動(dòng)量守恒.

對單聲子過程(電子與晶格交換一個(gè)聲子,”+”—吸收聲子,”-”—發(fā)射聲子):

k,E和k’,E’分別為散射前后電子的波矢,能量2023/11/2172

②聲學(xué)波散射:(彈性散射)，對能帶具有單一極值的半導(dǎo)體,或多極值半導(dǎo)體中電子在一個(gè)能谷內(nèi)的散射

?

主要起散射作用的是長波

?

長聲學(xué)波中,主要起散射作用的是縱波（與聲學(xué)波形變勢相聯(lián)系）

聲學(xué)波散射幾率隨溫度的升高而增加2023/11/21732023/11/2174縱聲學(xué)波造成原子分布疏密變化縱光學(xué)波形成空間帶正,負(fù)電區(qū)域③光學(xué)波散射:(非彈性散射)，

?

對極性半導(dǎo)體,長縱光學(xué)波有重要的散射作用.（與極性光學(xué)波形變勢相聯(lián)系）當(dāng)溫度較高,有較大的光學(xué)波散射幾率2023/11/2175★其他因素引起的散射等同能谷間的散射

--電子與短波聲子發(fā)生相互作用中性雜質(zhì)散射位錯(cuò)散射2023/11/21762023/11/2177

§1.5載流子輸運(yùn)理論穩(wěn)態(tài)輸運(yùn)方程漂移過程遷移率，電阻率，霍耳效應(yīng)擴(kuò)散過程 擴(kuò)散系數(shù)電流密度方程愛因斯坦關(guān)系非穩(wěn)態(tài)輸運(yùn)效應(yīng)強(qiáng)電場效應(yīng)碰撞電離問題速度過沖現(xiàn)象2023/11/2178穩(wěn)態(tài)輸運(yùn)方程討論穩(wěn)態(tài)輸運(yùn)現(xiàn)象使用的DD模型漂移－擴(kuò)散方程的近似理論載流子在外電場和濃度梯度場的作用下，定向運(yùn)動(dòng)，形成電流。2023/11/2179漂移過程遷移率：表征漂移速度與電場的關(guān)系：Vd=E

其中，比例系數(shù)為遷移率，表示單位場強(qiáng)下電子的平均漂移速度（cm2/V·s)。漂移電流的表達(dá)式：I=-nqVdLs電流密度的表達(dá)式：

J=-nqVd=-nqE室溫下Si:n=1350cm2/V·s,p=500cm2/V·s2023/11/2180Si中遷移率和雜質(zhì)濃度的關(guān)系2023/11/2181Si的電阻率與摻雜水平的關(guān)系2023/11/2182霍耳效應(yīng)P型半導(dǎo)體：洛倫茲力霍耳電場霍耳電壓霍耳系數(shù)N型半導(dǎo)體：2023/11/2183擴(kuò)散系數(shù)載流子濃度存在空間上的變化時(shí)，載流子從高濃度區(qū)向低濃度區(qū)運(yùn)動(dòng)，即在濃度梯度場的作用下，作定向運(yùn)動(dòng)，這樣產(chǎn)生的電流分量稱為擴(kuò)散電流。擴(kuò)散系數(shù)：Dn=vth*l

載流子電子的擴(kuò)散電流Jn=qDndn/dx

載流子空穴的擴(kuò)散電流Jp=-qDpdp/dx擴(kuò)散過程2023/11/2184電流密度方程Einstein關(guān)系式2023/11/2185連續(xù)性方程和泊松方程連續(xù)性方程：在半導(dǎo)體材料中同時(shí)存在載流子的漂移、擴(kuò)散、復(fù)合和產(chǎn)生時(shí)，描述這些作用的總體效應(yīng)的基本方程。連續(xù)性方程基于粒子數(shù)守恒，即單位體積內(nèi)電子增加的速率等于凈流入的速率和凈產(chǎn)生率之和。2023/11/2186小注入下少子的一維連續(xù)性方程：

其中，np為p型半導(dǎo)體中的電子濃度，pn為n型半導(dǎo)體中的電子濃度。2023/11/2187泊松方程：

式中，εS為半導(dǎo)體的介電常數(shù)

ρ稱為空間電荷密度2023/11/2188

討論：原則上，在適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件下，方程存在唯一解，但是由于復(fù)