多自由度系統(tǒng)的振動

兩自由度系統(tǒng)的運動微分方程

兩自由度系統(tǒng)的模態(tài)兩自由度系統(tǒng)的強迫振動

多自由度系統(tǒng)的運動微分方程、模態(tài)、強迫振動第五章多自由度系統(tǒng)的振動2021/5/915.1兩自由度系統(tǒng)的運動微分方程1、單自由度系統(tǒng)描述系統(tǒng)運動狀態(tài)只需一個廣義坐標；系統(tǒng)振動微分方程為一個二階常微分方程；數(shù)學求解一個二階常微分方程。系統(tǒng)有一個固有頻率；系統(tǒng)自由振動的頻率為固有頻率。2、多自由度系統(tǒng)描述系統(tǒng)運動狀態(tài)需多個廣義坐標；系統(tǒng)振動微分方程一般為多個相互耦合的二階常微分方程組，即方程組各方程之間在變量上存在耦合（一個微分方程中包含多個變量和導數(shù)）數(shù)學求解需聯(lián)立多個方程組，借助線性變換方法消除變量耦合（解耦），然后按單自由度系統(tǒng)的分析方法進行求解，再疊加，即模態(tài)分析。系統(tǒng)具有多個不同數(shù)值的固有頻率（特殊情況下數(shù)值可能相等或有一個等于零）。當系統(tǒng)按其中任一固有頻率作自由振動時，稱為主振動。主振動是一種簡諧振動。系統(tǒng)作主振動時，任何瞬時各點位移之間具有一定的相對比值，即整個系統(tǒng)具有確定的振動形態(tài)，稱為主振型。2021/5/92

返回首頁兩自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的特點：各個自由度彼此相互聯(lián)系，某一自由度的振動往往導致整個系統(tǒng)的振動。運動微分方程的變量之間通常相互耦合，需要求解聯(lián)立方程。2021/5/93兩自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)是指具有兩個以上自由度以上的動力學系統(tǒng)，二自由度系統(tǒng)是最簡單的多自由度系統(tǒng)。汽車左右對稱，化為平面系統(tǒng)2021/5/94兩個自由度的振動系統(tǒng)工程實際中大量的問題不能簡化為單自由度系統(tǒng)，往往需要簡化成多自由度系統(tǒng)；兩自由度系統(tǒng)是最簡單的多自由度系統(tǒng)，無論是模型的簡化、振動微分方程式的建立和求解的一般方法、以及系統(tǒng)響應表現(xiàn)出來的振動特性等等，兩自由度系統(tǒng)的多自由度系統(tǒng)沒有什么本質上區(qū)別，卻有數(shù)學上求解比較簡便的好處。研究兩自由度系統(tǒng)是分析和掌握多自由度系統(tǒng)振動特性的基礎。5.1兩自由度系統(tǒng)的運動微分方程2021/5/95例4.1圖a)是一個典型的二自由度彈簧阻尼器質量系統(tǒng)，分別在m1，m2建立坐標系O1x1，O2x2以描述m1，m2的振動。坐標原點O1，O2分別取m1，m2的靜平衡位置。兩個坐標系的正向均向右。5.1兩自由度系統(tǒng)的運動微分方程2021/5/96設

m1，m2沿各自的坐標正向分別移動了x1，x2

畫出隔離體如圖(b)所示。f1(t)f2(t)5.1兩自由度系統(tǒng)的運動微分方程2021/5/97根據(jù)牛頓第二定律可以得到5.1兩自由度系統(tǒng)的運動微分方程2021/5/98寫成矩陣形式5.1兩自由度系統(tǒng)的運動微分方程2021/5/99均是對稱矩陣

定義：系統(tǒng)的質量矩陣剛度矩陣阻尼矩陣質量影響系數(shù)阻尼影響系數(shù)剛度影響系數(shù)5.1兩自由度系統(tǒng)的運動微分方程2021/5/910設位移向量x={x1，x2}T速度向量激勵向量F(t)={F1(t)，F(xiàn)2(t)}T加速度向量兩自由度系統(tǒng)的運動微分方程：5.1兩自由度系統(tǒng)的運動微分方程2021/5/911雙質量彈簧系統(tǒng)的自由振動略去激勵力及其它阻尼。兩自由度的彈簧質量系統(tǒng)，兩物體均作直線平移，質量矩陣剛度矩陣5.1兩自由度系統(tǒng)的模態(tài)2021/5/912

假設系統(tǒng)的運動為代入運動方程，兩邊左乘uT

即：

對于正定系統(tǒng)，只能出現(xiàn)如上式x(t)的同步運動，稱為主振動。5.1兩自由度系統(tǒng)的模態(tài)2021/5/913代入運動微分方程上式存在非零解的充要條件：系數(shù)行列式為零，即：5.1兩自由度系統(tǒng)的模態(tài)化簡可得代數(shù)齊次方程組

這就是兩自由度系統(tǒng)的頻率方程，也稱特征方程

主振動2021/5/9145.1兩自由度系統(tǒng)的模態(tài)

特征方程

特征值

ω2特征向量

u2021/5/915

5.1兩自由度系統(tǒng)的模態(tài)2021/5/9165.1兩自由度系統(tǒng)的模態(tài)5.2.3系統(tǒng)的通解

為了書寫簡便，引入符號：2021/5/9175.1兩自由度系統(tǒng)的模態(tài)5.2.3系統(tǒng)的通解

頻率方程是ω2的二次代數(shù)方程，它的兩個特征根為

彈簧剛度和質量恒為正數(shù)，a，b，c，d的值都是正數(shù)和都是實根2021/5/918之間有兩個確定的比值。固有振型將特征值和分別代回方程組任一式

對應于和，振幅A1和A2這個比值稱為振幅比

雖然振幅大小與初始條件有關，但當系統(tǒng)按任一固有頻率振動時，振幅比卻和固有頻率一樣只決定于系統(tǒng)本身的物理性質。5.1兩自由度系統(tǒng)的模態(tài)2021/5/919固有振型（主振型）對應于和振幅A1和A2，之間有兩個確定的比值。

5.1兩自由度系統(tǒng)的模態(tài)2021/5/920固有振型（主振型）說明系統(tǒng)以頻率ω1振動時，質量與總是按同一個方向運動，而以頻率ω2振動時，則按相反方向運動。5.1兩自由度系統(tǒng)的模態(tài)2021/5/921主振動系統(tǒng)以某一階固有頻率按其相應的主振型作振動，稱為系統(tǒng)的主振動

第一階主振動為第二階主振動為系統(tǒng)作主振動時，各點同時經(jīng)過靜平衡位置和到達最大偏離位置，以確定的頻率和振型作簡諧振動。5.1兩自由度系統(tǒng)的模態(tài)2021/5/922例1

試求圖示兩個自由度系統(tǒng)振動的固有頻率和主振型。已知各彈簧的彈簧常量k1＝k2＝k3＝k，物體的質量m1＝m，m2＝2m。分別以兩物體的平衡位置為坐標原點，取兩物體離開其平衡位置的距離x1、x2為廣義坐標，兩物體沿x方向的受力如圖示，它們的運動微分方程分別為解：（1）建立運動微分方程式5.1兩自由度系統(tǒng)的模態(tài)2021/5/923質量矩陣剛度矩陣將M和K代入頻率方程，得系統(tǒng)的第一階和第二階固有頻率為（2）解頻率方程，求ωi5.1兩自由度系統(tǒng)的模態(tài)2021/5/924將、分別代入，得（3）求主振型主振型為節(jié)點5.1兩自由度系統(tǒng)的模態(tài)2021/5/925例2在上題所示系統(tǒng)中，已知m1=m2=m,k1=k3=k,k2=4k，求該系統(tǒng)對以下兩組初始條件的響應：（1）t＝0，x10＝1cm，;（2）t＝0，x10＝1cm，。將M、K代入頻率方程，得對應的兩個主振型和振幅比為解：系統(tǒng)的質量矩陣和剛度矩陣為5.1兩自由度系統(tǒng)的模態(tài)2021/5/926將初始條件（1）代入式，解得這表明，其響應為頻率ω1、ω2的兩種主振動的線性組合。5.1兩自由度系統(tǒng)的模態(tài)2021/5/927這表明，由于初始位移之比等于該系統(tǒng)的第二振幅比，因此，系統(tǒng)按第二主振型以頻率ω2作諧振動。再將初始條件（2）代入式，得5.1兩自由度系統(tǒng)的模態(tài)2021/5/9285.1兩自由度系統(tǒng)的模態(tài)2021/5/9295.1兩自由度系統(tǒng)的模態(tài)2021/5/9305.1兩自由度系統(tǒng)的模態(tài)2021/5/9315.1兩自由度系統(tǒng)的模態(tài)2021/5/9325.1兩自由度系統(tǒng)的模態(tài)2021/5/9335.1兩自由度系統(tǒng)的模態(tài)2021/5/9345.1兩自由度系統(tǒng)的模態(tài)2021/5/9355.1兩自由度系統(tǒng)的模態(tài)2021/5/9362021/5/9372021/5/9382021/5/9392021/5/9402021/5/9412021/5/9422021/5/9432021/5/9442021/5/9452021/5/9462021/5/9472021/5/9482021/5/9492021/5/9502021/5/9512021/5/9522021/5/9532021/5/9542021/5/9552021/5/9562021/5/9572021/5/958

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在任意坐標系中，要確定一個物體的位置所確定獨立坐標的數(shù)目，稱為這個物體的運動自由度。比如：在空間作任意運動的質點具有三個自由度；確定一個剛體在空間的位置，則需要六個參數(shù)，因而剛體作一般運動時具有六個運動自由度。

為了完全確定物體的位置而選定的任意一組彼此獨立的坐標參數(shù)，稱為這個物體的廣義坐標。在選定坐標時，除去直角坐標Ｘ、Ｙ、Ｚ之外，我們也可以用角度φ、θ及從物體中的一點到某些固定點的距離等參數(shù)來確定物體在空間的位置。2021/5/960

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兩個質點的運動不是互相獨立的，它們彼此受另一個質點的運動的影響。這種質點或質點系的運動相互影響的現(xiàn)象叫做耦合，具有耦合性質的系統(tǒng)叫耦合系統(tǒng)。系統(tǒng)中是否存在耦合取決于用以表示運動的坐標的選擇方法，而與系統(tǒng)本身的特性無關。通過坐標系的選擇消除耦合，叫做解耦。像這樣表示振動位移的兩個以上坐標出現(xiàn)在同一個運動方程式中時，就稱這些坐標之間存在靜力耦合或彈性耦合。另外，與上式情況不同，當一個微分方程式中出現(xiàn)兩個以上的加速度項時，稱為在坐標之間有動力耦合或質量耦合2021/5/961

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返回首頁TheoryofVibrationwithApplications兩自由度系統(tǒng)的振動不同坐標系下的運動微分方程系統(tǒng)的解耦2021/5/9732021/5/9742021/5/9752021/5/9762021/5/9772021/5/9782021/5/979習題3.1，3.2兩自由度系統(tǒng)的振動習題2021/5/980系統(tǒng)的動能為

系統(tǒng)的能量耗散函數(shù)

系統(tǒng)的勢能為

2021/5/9815.1兩自由度系統(tǒng)的模態(tài)5.2.3系統(tǒng)的通解

兩自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)的兩個同步解的具體形式為這組解可寫成以下的矩陣形式

2021/5/982為了書寫簡便，引入符號：這是二階常系數(shù)性齊次聯(lián)立微分方程組。第一個方程中包含-bx2項，第二個方程中包含-cx1項，稱為耦合項。

如果耦合項均為零時，方程組便成為兩個獨立的單自由度系統(tǒng)自由振動的微分方程

5.1兩自由度系統(tǒng)的模態(tài)5.2.3系統(tǒng)的通解

2021/5/983固有頻率設兩個質量按同樣頻率和相位角作簡諧振動其中振幅A1與A2，頻率ω和相位角都為待定常數(shù)代入運動微分方程組可得不恒等于零

2021/5/984固有頻率這是A1和A2的線性齊次代數(shù)方程組顯然，A1=A2=0是它的解，但這只對應于系統(tǒng)處于靜平衡的情況，不是我們所需的解A1和A2具有非零性解的充要條件是系數(shù)行列式等于零該方程唯一確定了頻率ω所需滿足的條件，稱為頻率方程或特征方程

2021/5/985固有頻率頻率方程是ω2的二次代數(shù)方程，它的兩個特征根為

彈簧剛度和