專題1.3圓的基本性質(zhì)13大考點(diǎn)精講精練（知識梳理+典例剖析+變式訓(xùn)練）-2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍（原卷版）【蘇科版】

2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【蘇科版】專題1.3圓的基本性質(zhì)13大考點(diǎn)精講精練（知識梳理+典例剖析+變式訓(xùn)練）【知識梳理】一、圓的有關(guān)定義1、圓的定義：在一個個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑.2、弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦.3.直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，直徑等于半徑的2倍4.半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.5.弧、優(yōu)弧、劣?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧.弧用符號“⌒”表示，大于半圓的弧叫做優(yōu)?。ǘ嘤萌齻€字母表示）；小于半圓的弧叫做劣弧二、垂徑定理及其推論1.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧2.推論：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.（3）平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.3、圓的對稱性（1）圓的軸對稱性：圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸.（3）圓的中心對稱性：圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形.三、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理1、圓心角頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.2、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦想等，所對的弦的弦心距相等.[來源:Z_xx_k.Com]推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓的圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等.學(xué)-科網(wǎng)四、圓周角定理1、圓周角頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.2、圓周角定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.3、推論:推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等.推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑.推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.五、圓內(nèi)接四邊形：（1）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：①圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)．②圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對角）．（2）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時，要注意與圓周角定理結(jié)合起來．在應(yīng)用時要注意是對角，而不是鄰角互補(bǔ)．【典例剖析】【考點(diǎn)1】圓的認(rèn)識【考點(diǎn)1】圓的基本概念【例1】（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）有下列說法：（1）直徑是弦；（2）經(jīng)過三點(diǎn)一定可以作圓；（3）圓有無數(shù)條對稱軸；（4）優(yōu)弧的長度大于劣弧的長度．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式1.1】（2021·江蘇無錫·九年級期中）有下列說法：①任意三點(diǎn)確定一個圓；②任意一個三角形有且僅有一個外接圓；③長度相等的兩條弧是等??；④直徑是圓中最長的弦，其中正確的是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【變式1..2】（2022·江蘇宿遷·九年級期末）下列說法正確的是（

）A．一個三角形只有一個外接圓 B．三點(diǎn)確定一個圓C．長度相等的弧是等弧 D．三角形的外心到三角形三條邊的距離相等【變式1..3】（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）已知AB是半徑為2的圓的一條弦，則AB的長不可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【考點(diǎn)2】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系【例2】（2022·江蘇泰州·八年級階段練習(xí)）若⊙O的直徑為10，點(diǎn)A到圓心O的距離為6，那么點(diǎn)A與⊙O的位置關(guān)系是（

）A．點(diǎn)A在⊙O外 B．點(diǎn)A在⊙O上 C．點(diǎn)A在⊙O內(nèi) D．不能確定【變式2.1】（2022·江蘇·九年級課時練習(xí)）平面內(nèi)有兩點(diǎn)P，O，⊙O的半徑為5，若PO=6，則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是（

）A．圓內(nèi) B．圓上 C．圓外 D．圓上或圓外【變式2.2】（2022·江蘇·九年級課時練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4．以點(diǎn)A為圓心，r為半徑作圓，當(dāng)點(diǎn)C在⊙A內(nèi)且點(diǎn)B在⊙A外時，r的值可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【變式2..3】（2021·江蘇常州·九年級期中）數(shù)軸上有兩個點(diǎn)A和B，點(diǎn)B表示實(shí)數(shù)6，點(diǎn)A表示實(shí)數(shù)a，⊙B半徑為4．若點(diǎn)A在⊙B內(nèi)部，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜2或a＞10 B．2＜a＜10 C．a(chǎn)＞2 D．a(chǎn)＜10【考點(diǎn)3】點(diǎn)到圓上一點(diǎn)距離的最值【例3】（2022·江蘇徐州·二模）如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(3，0)、B(0，3)，點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，且BC=2，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連接OM，則OM的最大值為（

）A．322+1 B．32+2 C【變式3.1】（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，已知空間站A與星球B距離為a，信號飛船C在星球B附近沿圓形軌道行駛，B，C之間的距離為b．?dāng)?shù)據(jù)S表示飛船C與空間站A的實(shí)時距離，那么S的最大值是（

）A．a(chǎn) B．b C．a(chǎn)+b D．a(chǎn)-b【變式3.2】（2019·江蘇鎮(zhèn)江·九年級期中）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D是以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的圓上一點(diǎn)，連接BD，M為BD的中點(diǎn)，則線段CM長度的最大值為

(

)

A．7 B．3.5 C．4.5 D．3【變式3.3】（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(0，1)、B(0，3)、C(0，-1)、D(4，4)，點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)且滿足PC⊥PB，則線段PD的最大值為（）A．10 B．8 C．7 D．9【考點(diǎn)4】垂徑定理【例4】（2022·江蘇·九年級單元測試）如圖，在⊙O中，AB是弦，半徑OC⊥AB于點(diǎn)D，若OC＝10，AB＝16，則CD的長為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【變式4.1】（2022·江蘇·九年級期中）如圖，在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，AB⊥CD于E，AB＝8，OD＝5，則CE的長為（

）A．4 B．2 C．2 D．1【變式4.2】（2022·江蘇·九年級課時練習(xí)）如圖，CD是圓O的弦，直徑AB⊥CD，垂足為E，若AB＝12，BE＝3，則四邊形ACBD的面積為(

)A．363 B．243 C．183 D．723【變式4.3】（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，AB為⊙O的直徑，AE為⊙O的弦，C為優(yōu)弧ABE的中點(diǎn)，CD⊥AB，垂足為D，AE=8，DB=2，則⊙O的半徑為（

）A．6 B．5 C．42 D．【考點(diǎn)5】垂徑定理的應(yīng)用【例5】（2022·江蘇·九年級課時練習(xí)）“圓材埋壁”是我國古代著名數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸長一尺，問徑如何？”這段話的意思是：如圖，現(xiàn)有圓形木材，埋在墻壁里，不知木材大小，用鋸子將它鋸下來，深度CD為1寸，鋸長AB為1尺（10寸），問圓材直徑幾寸？則該問題中圓的直徑為（

）A．22寸 B．24寸 C．26寸 D．28寸【變式5.1】（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）“圓材埋壁”是我國古代著名數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個問題，“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何?”用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語言表述是：如圖所示，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為E，CE為1寸，AB為10寸，求直徑CD的長．依題意，CD長為（

）A．252寸 B．13寸 C．25寸 D．26【變式5.2】（2021·江蘇·啟東折桂中學(xué)九年級階段練習(xí)）把球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知EF=CD=16cm，則球的半徑為（

）A．103cm B．10cm C．102cm D．83cm【變式5.3】（2019·江蘇鎮(zhèn)江·九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙P的圓心坐標(biāo)是(-3，a)(a>3)，半徑為3，函數(shù)y=-x的圖像被⊙P截得的弦AB的長為42，則a的值是

(

A．4 B．3+2 C．32 D．【考點(diǎn)6】平行弦問題【例6】（2021·江蘇·九年級專題練習(xí)）⊙O的半徑為10cm，弦AB//CD，AB=16，CD=12，則AB、CD間的距離是：（

）A．14 B．2 C．14或2 D．以上都不對【變式6.1】（2021·江蘇·九年級專題練習(xí)）已知AB、CD是⊙O的兩條弦，AB∥CD，AB＝6，CD＝8，⊙O的半徑為5，則AB與CD的距離是（）A．1 B．7 C．1或7 D．無法確定【變式6.2】（2021·江蘇·九年級專題練習(xí)）已知⊙O的半徑為5，兩條平行弦AB、CD的長分別為6和8，求這兩條平行弦AB與CD之間的距離（）A．3 B．4 C．1或7 D．10【變式6.3】（2021·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，OD⊥BC于點(diǎn)D，AC＝4，則OD的長為（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.5【考點(diǎn)7】弧、弦、圓心角問題【例7】（2022·江蘇·九年級課時練習(xí)）如圖，點(diǎn)A，B，C，D是⊙O上的四個點(diǎn)，且AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．AB=CD B．OE=OF C．∠AOB=∠COD D【變式7.1】（2022·江蘇·九年級單元測試）下列命題是真命題的是（

）A．相等的圓心角所對的弧，所對的弦相等B．兩邊及其一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形全等C．線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個端點(diǎn)的距離相等D．菱形的對角線互相平分且相等【變式7.2】（2022·江蘇揚(yáng)州·二模）將一張正方形的透明紙片ABCD和⊙O按如圖位置疊放，頂點(diǎn)A、D在⊙O上，邊AB、BC、CD分別與⊙O相交于點(diǎn)E、F、G、H，則下列弧長關(guān)系中正確的是（

）A．AD=AE BC．AF=DG D【變式7.3】（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在半徑為5的⊙A中，弦BC，DE所對的圓心角分別是∠BAC，∠DAE．若DE=6，∠BAC+∠DAE=180°，則弦BC的弦心距為（

）.A．412 B．342 C．4 D【考點(diǎn)8】三角形的外接圓與外心【例8】（2022·江蘇·九年級課時練習(xí)）如圖，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，若⊙O的半徑為2，則△ABC的面積為（

）A．32 B．3 C．23 D【變式8.1】（2020·江蘇·無錫市第一女子中學(xué)九年級期中）已知方程x2－7x＋12＝0的兩根恰好是一個直角三角形的兩條直角邊的長，則這個直角三角形的外接圓的直徑為（）A．2.5 B．6 C．5 D．12【變式8.2】（2021·江蘇鹽城·九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)為（1，3）、（5，3）、（1，－1），則△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是（

）A．（1，3） B．（3，1） C．（2，3） D．（3，2）【變式8.3】（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）下列命題是真命題的是（

）A．內(nèi)錯角相等 B．四邊形的外角和為180°C．等腰三角形兩腰上高相等 D．平面內(nèi)任意三點(diǎn)都可以在同一個圓上【考點(diǎn)9】圓周角定理【例9】（2022·江蘇泰州·九年級期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于以BD為直徑的⊙O，CA平分∠BCD，若四邊形ABCD的面積是30cm2，則AC=______cm．【變式9.1】（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BE是⊙O的直徑，連接AE、BD．若∠BCD＝115°，則∠EBD的大小為_______．【變式9.2】（2022·江蘇·九年級課時練習(xí)）如圖，直線l與⊙O相交于點(diǎn)B、D，點(diǎn)A、C是直線l兩側(cè)的圓弧上的動點(diǎn)，若⊙O的半徑為1，∠A＝30°，那么四邊形ABCD的面積的最大值是_______．【變式9.3】（2021·江蘇·南通田家炳中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在半徑為32的⊙O中，AB是直徑，AC是弦，D是AC?的中點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)E．若E是BD的中點(diǎn)，則AC的長是_____【考點(diǎn)10】四邊形外接圓【例10】（2022·江蘇·九年級課時練習(xí)）已知⊙O半徑為r，弦AB＝r，則AB所對圓周角的度數(shù)為______．【變式10.1】（2021·江蘇鎮(zhèn)江·九年級期中）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，將BC沿BC翻折，BC交AC與點(diǎn)D，連接BD，若∠BAC＝68°，則∠ABD＝____．【變式10.2】（2022·江蘇宿遷·九年級期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為AB延長線上一點(diǎn)，若∠AOC＝150°，求∠EBC的度數(shù)．【變式10.3】（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=80°，以BC邊的中點(diǎn)O為圓心，12BC長為半徑畫圓，該圓分別交AB，AC邊于點(diǎn)D，E，P是圓上一動點(diǎn)（與點(diǎn)D，E不重合），連結(jié)PD，PE，則∠DPE=______【考點(diǎn)11】圓有關(guān)線段計(jì)算綜合問題【例11】（2021·江蘇·南通市八一中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知AB是半圓O的直徑，OD⊥弦AC于D，過點(diǎn)O作OE∥AC交半圓O于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AB于F．若AC＝2，(1)求OF的長；(2)連接BE，若BE=23，求半徑OA【變式11.1】（2022·江蘇·九年級單元測試）如圖，AB是⊙O的直徑，CB是弦，OD⊥CB于E，交BC于D，連接AC．(1)請寫出三個不同類型的正確結(jié)論；(2)若CB=8，ED=2，求⊙O的半徑．【變式11.2】（2022·江蘇·九年級課時練習(xí)）如圖，在⊙O中，直徑AB=10，弦AC=8，連接BC．(1)尺規(guī)作圖：作半徑OD交AC于E，使得點(diǎn)E為AC中點(diǎn)；(2)連接AD，求三角形OAD的面積．【變式11.3】（2022·江蘇·九年級課時練習(xí)）在《折疊圓形紙片》綜合實(shí)踐課上，小東同學(xué)展示了如下的操作及問題：(1)如圖1，⊙O1的半徑為4cm，通過折疊圓形紙片，使得劣弧AB沿弦AB折疊后恰好過圓心O1(2)如圖2，O2C⊥弦AB，垂足為點(diǎn)C，劣弧AB沿弦AB折疊后經(jīng)過O2C的中點(diǎn)D，【考點(diǎn)12】圓有關(guān)作圖及應(yīng)用問題【例12】（2022·江蘇·九年級課時練習(xí)）如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．(1)利用尺規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)的字母（保留作圖痕跡，不寫作法）．①作△ABC的外接圓⊙O；②以線段AC為一邊，在AC的右側(cè)作等邊三角形ACD；③連接BD，交⊙O于點(diǎn)E，連接AE；(2)在（1）中所作的圖中，若AB=4，BC=2，則線段AE的長為______．【變式12.1】（2022·江蘇·泰興市教師發(fā)展中心二模）（1）如圖1，△ABD和△CBD中，___________．從下列4個信息“①AB=BC，②∠BAD=∠BCD，③BD平分∠ABC，④AD=DC”中，選取兩個將其序號填寫在橫線上，使得結(jié)論AC⊥BD成立，并說明理由．（2）如圖2，已知3個點(diǎn)，只用圓規(guī)作出半徑為OM的⊙O與點(diǎn)M，N所在直線的另一個交點(diǎn)（不寫作法，保留作圖痕跡）．【變式12.2】（2022·江蘇·九年級課時練習(xí)）已知：