關(guān)于古典概型計(jì)算公式中分子分離的對等性

關(guān)于古典概型計(jì)算公式中分子分離的對等性

本文提出的平等對待包括兩個(gè)方面：一是在古典概算公式中計(jì)算的分子份應(yīng)平等，即在同一樣本空間中。第二個(gè)方面是對古典概念的對稱應(yīng)用。在本文中，我們使用了一些示例來解釋這兩種方法和應(yīng)該注意的地方。1求取結(jié)果描述古典概型的計(jì)算公式是P(A)=mnΡ(A)=mn,其中n是有限樣本空間所含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù),m是相同樣本空間中事件A所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù),且各樣本點(diǎn)的發(fā)生是等可能的.因?yàn)橐患虑榈淖龇ㄇё內(nèi)f化,導(dǎo)致樣本空間千變?nèi)f化.如果先找出樣本空間,再求事件做法的個(gè)數(shù),顯然比較麻煩.如果事件A和作為樣本空間的總的事件的做法相同,則它們一定在相同的樣本空間.我們可以先求出樣本空間的個(gè)數(shù),然后用同樣的做法求出事件的做法個(gè)數(shù)即可.例1一個(gè)口袋中裝有大小相同的2個(gè)紅球、3個(gè)黑球和4個(gè)白球,從口袋中一次摸出一個(gè)球,摸出的球不再放回.連續(xù)摸球2次,求第一次摸出黑球和第二次摸出白球的概率?這是2008年高考陜西文科數(shù)學(xué)試卷中的一道題,雖說簡單但也容易出錯(cuò).具體做法有以下兩種:方法一,從袋中依次摸出2個(gè)球共有A2992種結(jié)果,第一次摸出黑球、第二次摸出白球有A1331A1441種結(jié)果,則所求概率P1=A13A14A29=14.Ρ1=A31A41A92=14.方法二,乘法公式P1=39×68=14.Ρ1=39×68=14.許多學(xué)生用超幾何分布做,他們沒有注意到所求事件是有順序的;還有的分母用組合,分子用排列.樣本空間里的事件沒有順序,當(dāng)然從中找不出有順序的事件.這樣去做顯然錯(cuò)誤.從題目上看好像分母沒順序,分子有順序,很難發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤.其實(shí)我們用對等性進(jìn)行分析,分子、分母都運(yùn)用排列來解,很簡單就解決問題了.如果有的題目中明確分母有順序,而分子無順序,我們也可以用對等性來解決,分子需要乘以系數(shù).比如本題變?yōu)槊總€(gè)球都是有區(qū)別的,連續(xù)摸球2次,摸球結(jié)果與球的順序有關(guān),求摸出一個(gè)黑球和一個(gè)白球的概率.這種情形下,好像分母有順序,分子無順序.其實(shí),分子分母都有順序.不過分子為第一次摸出黑球且第二次摸出白球和第一次摸出白球且第二次摸出黑球的所有情況的個(gè)數(shù)之和.如果我們利用對稱性去做,就不會(huì)出錯(cuò).例2一個(gè)人把6根草緊握在手中,僅露出它們的頭和尾.然后隨機(jī)地把6個(gè)頭兩兩相連,6個(gè)尾也兩兩相連.求放開手后6根草恰巧連成一個(gè)環(huán)的概率.解因?yàn)椤?個(gè)尾兩兩相連”不會(huì)影響是否成環(huán),所以我們只需考慮“6個(gè)頭兩兩相連”可能出現(xiàn)的情況.若考慮頭兩兩相接的前后次序,則“6個(gè)頭兩兩相連”共有6!種不同的結(jié)果,即先從6個(gè)頭中任取1個(gè),與余下的5個(gè)頭中的任1個(gè)相接;然后從未接的4個(gè)頭中任取1個(gè),與余下的3個(gè)頭中的任1個(gè)相接;最后從未接的2個(gè)頭中任取1個(gè),與余下的最后1個(gè)頭相接,這總共有6!種可能的接法,這是分母.對等地,而要成環(huán)則第一步從6個(gè)頭中任取1個(gè),此時(shí)余下5個(gè)頭中有1個(gè)不能相接,只可與余下的4個(gè)頭中的任1個(gè)相接;第二步從未接的4個(gè)頭中任取1個(gè),與余下的2個(gè)頭中的任1個(gè)相接;最后從未接的2個(gè)頭中任取1個(gè),與余下的最后1個(gè)頭相接,這總共有6×4×4×2×2×1種可能接法,因此所求概率為P=6×4×4×2×2×16!=815.Ρ=6×4×4×2×2×16!=815.本題中,最后從未接的2個(gè)頭中任取1個(gè),與余下的最后1個(gè)頭相接,共有2種接法.其實(shí)可以直接相接,只有一種接法.要選擇哪一種接法,取決于分母.因?yàn)榉帜钢?!種不同的接法,最后也是從未接的2個(gè)頭中任取1個(gè),與余下的最后1個(gè)頭相接,共有2種接法.所以我們選擇第一種.當(dāng)然,我們也可以將最后從未接的2個(gè)頭直接相接.不過分母分子都要這么做,則P=6×4×4×26×5×4×3=815.Ρ=6×4×4×26×5×4×3=815.其實(shí),本題還有很多種做法.我們只要按照對等的原則,分母怎么做,分子就怎么做,就可以很輕松地解決問題.2抓和順序古典概型要求每個(gè)樣本點(diǎn)的發(fā)生是等可能的,這樣勢必出現(xiàn)許多對稱的問題.如果我們能巧妙地運(yùn)用對稱就能使問題簡單明了.例3二人擲均勻硬幣,其中甲擲n+1次,乙擲n次,求甲擲出正面的次數(shù)大于乙擲出正面的次數(shù)的概率.此題的情況比較多,它的對立事件的情況也比較多,解答特別麻煩.如果我們巧妙地利用對稱就可以很容易地解決問題.下面利用對稱性進(jìn)行解答.解設(shè)H甲=甲擲出正面的次數(shù),H乙=乙擲出正面的次數(shù),HˉˉˉΗˉ甲=甲擲出反面的次數(shù),HˉˉˉΗˉ乙=乙擲出反面的次數(shù),則Ω-(H甲>H乙)=(H甲≤H乙)=(Hˉˉˉ=(Ηˉ甲>HˉˉˉΗˉ乙).由硬幣的均勻性知H甲>H乙和HˉˉˉΗˉ甲>HˉˉˉΗˉ乙具有對稱性,即P(H甲>H乙)=P(H甲>H乙),又P(H甲>H乙)+P(H甲>H乙)=1,所以P(H甲>H乙)=0.5.例4盒子中有1個(gè)黑球和9個(gè)白球,它們除顏色不同外,其他方面沒有什么區(qū)別.現(xiàn)由10個(gè)人依次摸出一個(gè)球,設(shè)第1個(gè)人摸出的球是黑球的概率為P1,設(shè)第10個(gè)人摸出的球是黑球的概率為P10,這種情況下P1和P10的關(guān)系是什么?分析此類題我們一般用乘法公式計(jì)算,但是如果注意到本題中的對稱性用它來解,則可以輕而易舉地得出結(jié)果.題中第1個(gè)人和第10個(gè)人是有順序的,但是球是沒有順序的.固定第1個(gè)人和第10個(gè)人,讓球排列,則是對稱的.所以P1=P10.由于第2～9個(gè)人取到黑球與后面的人取什么球沒有關(guān)系,所以同理可得P1=P2=P3=P4=P5=P6=P7=P8=P9=P10.又由于∑i=110=Pi=1∑i=110=Ρi=1,所以例5若袋中有a個(gè)白球、b個(gè)紅球,從中逐個(gè)取出且不放回,則第k次取得白球的概率是多少?解顯然k≤a+b,對a個(gè)白球編號(hào)為1,2…a,則白球就有了區(qū)別.同上題一樣,第k次取得1號(hào)白球的概率為1a+b1a+b,同理取到2～a號(hào)白球的概率也為1a+b1a+b.所以第k次取得白球的概率是aa+b.aa+b.例6n個(gè)人通過抓鬮的方式分配座位,請問這樣分配公平嗎?解先固定一個(gè)座位和兩個(gè)人,同上面幾個(gè)題一樣,每個(gè)人得到這