人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)同步講義第21講 棱柱、棱錐、棱臺(tái)（原卷版）

第21課棱柱、棱錐、棱臺(tái)目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀1.通過(guò)對(duì)實(shí)物模型的觀察，歸納認(rèn)知棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征.2.理解棱柱、棱錐、棱臺(tái)之間的關(guān)系.3.能運(yùn)用棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)并進(jìn)行有關(guān)計(jì)算．1.通過(guò)對(duì)實(shí)物模型的觀察，歸納認(rèn)知棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征.2.理解棱柱、棱錐、棱臺(tái)之間的關(guān)系.學(xué)會(huì)用連續(xù)變化的觀點(diǎn)，或者函數(shù)的思想找到他們之間的區(qū)別與聯(lián)系.3.在熟悉基本知識(shí)的基礎(chǔ)上，能運(yùn)用棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)并進(jìn)行有關(guān)計(jì)算，提升數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01空間幾何體、多面體、旋轉(zhuǎn)體的定義1．空間幾何體：如果我們只考慮物體的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來(lái)的空間圖形就叫做空間幾何體．2．多面體、旋轉(zhuǎn)體類(lèi)別多面體旋轉(zhuǎn)體定義由若干個(gè)圍成的幾何體一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫做，封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體圖形相關(guān)概念面：圍成多面體的各個(gè)棱：相鄰兩個(gè)面的頂點(diǎn)：棱與棱的公共點(diǎn)軸：形成旋轉(zhuǎn)體所繞的定直線【即學(xué)即練1】有兩個(gè)面平行的多面體不可能是()A．棱柱B．棱錐C．棱臺(tái)D．以上都錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)02棱柱的結(jié)構(gòu)特征1．棱柱的結(jié)構(gòu)特征棱柱圖形及表示定義：有兩個(gè)面互相，其余各面都是，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱如圖可記作：棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′相關(guān)概念：底面(底)：兩個(gè)互相的面；側(cè)面：其余各面；側(cè)棱：相鄰側(cè)面的；頂點(diǎn)：側(cè)面與底面的分類(lèi)：按底面多邊形的邊數(shù)分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……2.幾個(gè)特殊的棱柱(1)直棱柱：側(cè)棱的棱柱叫做直棱柱(如圖①③)；(2)斜棱柱：的棱柱叫做斜棱柱(如圖②④)；(3)正棱柱：底面是正多邊形的叫做正棱柱(如圖③)；(4)平行六面體：底面是的四棱柱也叫做平行六面體(如圖④)．反思感悟棱柱結(jié)構(gòu)的辨析方法(1)扣定義：判定一個(gè)幾何體是不是棱柱的關(guān)鍵是棱柱的定義．①看“面”，即觀察這個(gè)多面體是否有兩個(gè)互相平行的面，其余各面都是四邊形；②看“線”，即觀察每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊是否平行．(2)舉反例：通過(guò)舉反例，如與常見(jiàn)幾何體或?qū)嵨锬Ｐ?、圖片等不吻合，給予排除．【即學(xué)即練2】下列關(guān)于棱柱的說(shuō)法：①所有的面都是平行四邊形；②每一個(gè)面都不會(huì)是三角形；③兩底面平行，并且各側(cè)棱也平行；④被平面截成的兩部分可以都是棱柱．其中正確的說(shuō)法的序號(hào)是________．知識(shí)點(diǎn)03棱錐的結(jié)構(gòu)特征棱錐圖形及表示定義：有一個(gè)面是，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐如圖可記作：棱錐S—ABCD相關(guān)概念：底面(底)：面；側(cè)面：有公共頂點(diǎn)的各個(gè)面；側(cè)棱：相鄰側(cè)面的；頂點(diǎn)：各側(cè)面的分類(lèi)：(1)按底面多邊形的邊數(shù)分：三棱錐、四棱錐……，其中三棱錐又叫四面體；(2)底面是，并且頂點(diǎn)與底面中心的連線底面的棱錐叫做正棱錐【即學(xué)即練3】(多選)下列說(shuō)法中，正確的是()A．棱錐的各個(gè)側(cè)面都是三角形B．四面體的任何一個(gè)面都可以作為棱錐的底面C．棱錐的側(cè)棱平行D．有一個(gè)面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體是棱錐知識(shí)點(diǎn)04棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征棱臺(tái)圖形及表示定義：用一個(gè)的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺(tái)如圖可記作：棱臺(tái)ABCD—A′B′C′D′相關(guān)概念：上底面：平行于棱錐底面的；下底面：原棱錐的；側(cè)面：其余各面；側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊；頂點(diǎn)：側(cè)面與上(下)底面的公共頂點(diǎn)分類(lèi)：由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺(tái)分別叫做三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)……【即學(xué)即練4】(多選)下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形，由這些面圍成的多面體是棱錐B．有兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)C．如果一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，那么這個(gè)棱錐可能為六棱錐D．如果一個(gè)棱柱的所有面都是長(zhǎng)方形，那么這個(gè)棱柱是長(zhǎng)方體能力拓展能力拓展考法01棱柱的結(jié)構(gòu)特征【典例1】如圖所示，長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1，M，N分別為棱A1B1，C1D1的中點(diǎn)．①這個(gè)長(zhǎng)方體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？為什么？②用平面BCNM把這個(gè)長(zhǎng)方體分成兩部分，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱，并用符號(hào)表示；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式訓(xùn)練】下列命題中正確的是()A．有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B．棱柱中互相平行的兩個(gè)面叫棱柱的底面C．棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，而底面不是平行四邊形D．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形考法02棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征【典例2】有下列四種敘述：①用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺(tái)；②兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)；③有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺(tái)；④棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)．其中正確的有()A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)反思感悟判斷棱錐、棱臺(tái)的方法(1)舉反例法結(jié)合棱錐、棱臺(tái)的定義舉反例直接排除關(guān)于棱錐、棱臺(tái)結(jié)構(gòu)特征的某些不正確說(shuō)法．(2)直接法棱錐棱臺(tái)定底面只有一個(gè)面是多邊形，此面即為底面兩個(gè)互相平行的面，即為底面看側(cè)棱相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)后相交于一點(diǎn)【變式訓(xùn)練】下列關(guān)于棱錐、棱臺(tái)的說(shuō)法：①棱臺(tái)的側(cè)面一定不會(huì)是平行四邊形；②由四個(gè)平面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；③棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐．其中正確說(shuō)法的序號(hào)是________．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練一、單選題1．下列命題：①有兩個(gè)面平行，其他各面都是平行四邊形的幾何體叫做棱柱；②有兩側(cè)面與底面垂直的棱柱是直棱柱；③過(guò)斜棱柱的側(cè)棱作棱柱的截面，所得圖形不可能是矩形；④所有側(cè)面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．其中正確命題的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．32．一個(gè)棱錐所有的棱長(zhǎng)都相等，則該棱錐一定不是（

）A．正三棱錐 B．正四棱錐 C．正五棱錐 D．正六棱錐3．如圖是一個(gè)正方體的表面展開(kāi)圖，則圖中“0”在正方體中所在的面的對(duì)面上的是（

）A．2 B．1 C．高 D．考4．某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．45．如圖所示的幾何體的結(jié)構(gòu)特征是（

）A．一個(gè)棱柱中截去一個(gè)棱柱B．一個(gè)棱柱中截去一個(gè)圓柱C．一個(gè)棱柱中截去一個(gè)棱錐D．一個(gè)棱柱中截去一個(gè)棱臺(tái)6．棱臺(tái)不具備的特點(diǎn)是（

）A．兩底面相似 B．側(cè)面都是梯形C．側(cè)棱長(zhǎng)都相等 D．側(cè)棱延長(zhǎng)后都交于一點(diǎn)7．下列判斷正確的是（）A．正三棱錐一定是正四面體B．底面是正方形的四棱錐是正四棱錐C．底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱D．底面是正方形的棱臺(tái)是正四棱臺(tái)8．過(guò)棱錐的高的兩個(gè)三等分點(diǎn)，分別作與底面平行的兩個(gè)平行截面，則自上向下的兩個(gè)截面與底面的面積之比是（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，若三角形SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是等腰直角三角形，則SKIPIF1<0可能的不同取值有（

）A．1種 B．2種 C．3種 D．至少4種二、多選題10．下列說(shuō)法中正確的是（

）A．長(zhǎng)方體是直四棱柱B．兩個(gè)面平行，其余各面是梯形的多面體是棱臺(tái)C．正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形D．平行六面體不是棱柱11．一個(gè)正方體內(nèi)接于一個(gè)球，過(guò)球心作一個(gè)截面，則截面的圖形可能是（

）A． B． C． D．三、填空題12．關(guān)于棱柱，下列說(shuō)法正確的是______．（選填序號(hào)）①所有的棱長(zhǎng)都相等；②相鄰兩個(gè)面的交線叫做側(cè)棱；③棱柱中任意兩個(gè)側(cè)面都不可能互相平行；④棱柱中至少有兩個(gè)面的形狀完全相同；⑤在斜棱柱的所有側(cè)面中，矩形最多有2個(gè)．13．下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．（1）有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；（2）有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺(tái)；（3）底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；（4）棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則此棱錐可能是正六棱錐．14．面數(shù)最少的棱柱為_(kāi)_______棱柱，共有________個(gè)面圍成．四、解答題15．已知一個(gè)直四棱柱的底面邊長(zhǎng)為5cm的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)都是8cm，回答下列問(wèn)題：(1)這個(gè)直四棱柱一共有幾個(gè)面？幾個(gè)頂點(diǎn)？幾條棱？(2)將這個(gè)直四棱柱的側(cè)面展開(kāi)成一個(gè)平面圖形，這個(gè)圖形是什么形狀？面積是多少？題組B能力提升練一、單選題1．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．一個(gè)棱柱至少有5個(gè)面 B．長(zhǎng)方體、正方體都是棱柱C．三棱柱的側(cè)面是三角形 D．六棱柱有6條側(cè)棱、6個(gè)側(cè)面，側(cè)面為平行四邊形2．下面圖形中，為棱錐的是（

）A．①③ B．①③④ C．①②④ D．①②3．下列命題正確的是（

）A．有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B．有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱C．有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱D．棱柱的側(cè)面都是全等的平行四邊形4．如圖所示的幾何體的結(jié)構(gòu)特征是（

）A．一個(gè)棱柱中截去一個(gè)棱柱B．一個(gè)棱柱中截去一個(gè)圓柱C．一個(gè)棱柱中截去一個(gè)棱錐D．一個(gè)棱柱中截去一個(gè)棱臺(tái)5．如圖，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法師為保存經(jīng)卷佛像而主持修建的，是我國(guó)現(xiàn)存最早的四方樓閣式磚塔．塔頂可以看成一個(gè)正四棱錐，其側(cè)棱與底面所成的角為SKIPIF1<0，則該正四棱錐的一個(gè)側(cè)面與底面的面積之比為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．下列判斷正確的是（）A．正三棱錐一定是正四面體B．底面是正方形的四棱錐是正四棱錐C．底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱D．底面是正方形的棱臺(tái)是正四棱臺(tái)7．下列說(shuō)法正確的是（

）A．有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B．過(guò)空間內(nèi)不同的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面C．棱錐的所有側(cè)面都是三角形D．用一個(gè)平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)8．已知正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)M是線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段SKIPIF1<0上靠近D的三等分點(diǎn)，若正四棱柱SKIPIF1<0被過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，M，N的平面所截，則所得截面的周長(zhǎng)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．如圖，在正方體SKIPIF1<0中，E是棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則過(guò)三點(diǎn)A、D1、E的截面過(guò)（

）A．AB中點(diǎn) B．BC中點(diǎn)C．CD中點(diǎn) D．BB1中點(diǎn)二、多選題10．如圖所示，觀察四個(gè)幾何體，其中判斷正確的是（

）（多選）A．①是棱臺(tái) B．②是圓臺(tái) C．③是棱錐 D．④是棱柱11．下列命題錯(cuò)誤的是（

）A．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形B．用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺(tái)C．四面體的任何一個(gè)面都可以作為棱錐的底面D．棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)，側(cè)面是等腰梯形三、填空題12．①直四棱柱一定是長(zhǎng)方體；②正方體一定是正四棱柱；③底面是正多邊形的棱柱是正棱柱；④有相鄰兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱；⑤平行六面體的六個(gè)面均為平行四邊形；⑥直棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)與高相等．以上說(shuō)法中正確的命題有_________．四、解答題13．已知正六棱柱SKIPIF1<0的底面邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，側(cè)棱長(zhǎng)為1，則動(dòng)點(diǎn)從A沿側(cè)面移到點(diǎn)SKIPIF1<0時(shí)的最短的路程是多長(zhǎng)？題組C培優(yōu)拔尖練一、單選題1．下列關(guān)于棱臺(tái)的說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A．所有的側(cè)棱所在直線交于一點(diǎn)B．只有兩個(gè)面互相平行C．上下兩個(gè)底面全等D．所有的側(cè)面不存在兩個(gè)面互相平行2．側(cè)面都是矩形的棱柱一定是（

）A．長(zhǎng)方體 B．三棱柱 C．直平行六面體 D．直棱柱3．在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0的正方形，且SKIPIF1<0．若點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為棱SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．如圖是一個(gè)正方體展開(kāi)圖，把展開(kāi)圖折疊成正方體后“抗”字一面相對(duì)面上的字是（

）A．新 B．冠 C．病 D．毒5．如圖所示是一個(gè)正方體，它的展開(kāi)圖可能是下面四個(gè)展開(kāi)圖中的（

）A． B．C． D．6．已知正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)M是線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段SKIPIF1<0上靠近D的三等分點(diǎn)，若正四棱柱SKIPIF1<0被過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，M，N的平面所截，則所得截面的周長(zhǎng)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．直三棱柱SKIPIF1<0的底面是以C為直角的等腰直角三角形，且SKIPIF1<0，在面對(duì)角線SKIPIF1<0上存在一點(diǎn)P使P到SKIPIF1<0和P到A的距離之和最小，則這個(gè)最小值是（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題8．下列關(guān)于棱柱的說(shuō)法中不正確的是（

）A．棱柱的側(cè)面是平行四邊形，但它一定不是矩形B．棱柱的一條側(cè)棱的長(zhǎng)叫作棱柱的高C．棱柱的兩個(gè)互相平行的平面一定是棱柱的底面D．棱柱的所有面中，至少有兩個(gè)面互相平行9．已知正方體SKIPIF1<0