人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊同步講義第26講 平面（原卷版）

第26課平面目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀1.了解平面的表示方法，點、直線與平面的位置關(guān)系.2.掌握關(guān)于平面基本性質(zhì)的三個基本事實.3.會用符號表示點、直線、平面之間的位置關(guān)系．1.前面我們從整體的角度認識了柱體、錐體、臺體、球等簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征，接下來從局部的角度來認識構(gòu)成空間幾何體的基本元素一點、直線、平面之間的位置關(guān)系，從而進一步認識空間圖形，提高空間想象能力.2.本節(jié)內(nèi)容的安排是首先讓學(xué)生認識新的幾何元素“平面”及其性質(zhì)，其次讓學(xué)生經(jīng)歷將自然語言轉(zhuǎn)化為圖形語言和符號語言的過程，最后讓學(xué)生在直觀感受的基礎(chǔ)上形成三個基本事實和三個推論，初步體會歐幾里得公理化體系，為后續(xù)學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備因此本節(jié)內(nèi)容具有極其重要的地位與價值3.本節(jié)內(nèi)容所涉及的主要核心素養(yǎng)有：直觀想象、邏輯推理等知識精講知識精講知識點01平面1．平面的概念幾何中所說的“平面”，是從課桌面、黑板面、平靜的水面等這樣的一些物體中抽象出來的．類似于直線向兩端無限延伸，幾何中的平面是向四周的．2．平面的畫法畫法我們常用矩形的直觀圖，即平行四邊形表示平面當(dāng)平面水平放置時，常把平行四邊形的一邊畫成橫向當(dāng)平面豎直放置時，常把平行四邊形的一邊畫成豎向一個平面的一部分被另一個平面擋住，被擋住的部分畫成虛線或不畫圖示3.平面的表示法圖①的平面可表示為平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.【即學(xué)即練1】反思感悟知識點02點、直線、平面之間的基本位置關(guān)系及語言表達文字語言符號語言圖形語言A在l上A∈lA在l外A?lA在α內(nèi)A∈αA在α外A?αl在α內(nèi)l在α外l?αl，m相交于Al∩m＝Al，α相交于Aα，β相交于l知識點03平面的基本性質(zhì)及作用1．三個基本事實基本事實內(nèi)容圖形符號基本事實1過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面A，B，C三點不共線?存在唯一的平面α使A，B，C∈α基本事實2如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α基本事實3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線P∈α且P∈β?α∩β＝l，且P∈l2.三個推論推論內(nèi)容圖形推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面【即學(xué)即練3】給出以下四個命題：①不共面的四點中，其中任意三點不共線；②若點A，B，C，D共面，點A，B，C，E共面，則點A，B，C，D，E共面；③若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面．其中正確的有________．(填序號)答案①解析①假設(shè)其中有三點共線，則該直線和直線外的另一點確定一個平面，這與四點不共面矛盾，故其中任意三點不共線，所以①正確；②如圖，兩個相交平面有三個公共點A，B，C，但A，B，C，D，E不共面；③顯然不正確；④不正確，因為此時所得的四邊形的四條邊可以不在一個平面上，如空間四邊形．能力拓展能力拓展考法01圖形語言、文字語言、符號語言的相互轉(zhuǎn)換【典例1】若點A在直線b上，b在平面β內(nèi)，則點A、直線b、平面β之間的關(guān)系可以記作()A．A∈b，b∈β B．A∈b，b?βC．A?b，b?β D．A?b，b∈β反思感悟用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細觀察圖形有幾個平面，幾條直線及相互之間的位置關(guān)系，試著用文字語言表示，再用符號語言表示．【變式訓(xùn)練】如圖所示，用符號語言可表述為()A．α∩β＝m，n?α，m∩n＝AB．α∩β＝m，n?α，m∩n＝AC．α∩β＝m，n?α，A?m，A?nD．α∩β＝m，n?α，A∈m，A∈n考法02點、線共面【典例2】已知直線a∥b，直線l與a，b都相交，求證：過a，b，l有且只有一個平面．反思感悟證明點、線共面問題的常用方法(1)先由部分點、線確定一個面，再證其余的點、線都在這個平面內(nèi)，即用“納入法”．(2)先由其中一部分點、線確定一個平面α，其余點、線確定另一個平面β，再證平面α與β重合，即用“同一法”．【變式訓(xùn)練】如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．考法03證明點共線、線共點問題【典例3】)如圖，已知平面α，β，且α∩β＝l，設(shè)在梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β.求證：AB，CD，l共點．【變式訓(xùn)練】如圖，在四邊形ABCD中，已知AB∥CD，直線AB，BC，AD，DC分別與平面α相交于點E，G，H，F(xiàn).求證：E，F(xiàn)，G，H四點必定共線．反思感悟(1)點共線與線共點的證明方法①證明多點共線通常用基本事實3，即兩相交平面交線的唯一性．通過證明點分別在兩個平面內(nèi)，證明點在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其他點也在其上．②證明三線共點問題可把其中一條作為分別過其余兩條直線的兩個平面的交線，然后再證兩條直線的交點在此直線上，此外還可先將其中一條直線看作某兩個平面的交線，證明該交線與另兩條直線分別交于兩點，再證點重合，從而得三線共點．(2)利用3個基本事實及推論，證明點共線及線共點問題，提升邏輯推理素養(yǎng)．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練一、單選題1．已知：空間四邊形ABCD如圖所示，E、F分別是AB、AD的中點，G、H分別是BC、CD上的點，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則直線FH與直線EG（

）A．平行 B．相交 C．異面 D．垂直2．下列命題中正確的是（

）A．三點確定一個平面B．兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面C．圓的一條直徑與圓上一點可確定一個平面D．四邊形可確定一個平面3．已知四個選項中的圖形棱長都相等，且P，Q，R，S分別是所在棱的中點，則這四個點不共面的是（

）A． B．C． D．4．給出以下四個命題：①依次首尾相接的四條線段必共面；②過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面；③空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角必相等；④垂直于同一直線的兩條直線必平行.其中正確命題的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．35．在空間中，下列命題中正確的是（

）A．對邊相等的四邊形一定是平面圖形B．四邊相等的四邊形一定是平面圖形C．有一組對邊平行且相等的四邊形是平面圖形D．有一組對角相等的四邊形是平面圖形6．平面內(nèi)SKIPIF1<0條直線沒有四條直線共點，最多三條直線平行，至少有幾個交點（

）A．SKIPIF1<0個 B．SKIPIF1<0個C．SKIPIF1<0個 D．SKIPIF1<0個二、多選題7．已知直線a，b和平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則a與b的關(guān)系可以為（

）A．平行 B．相交 C．異面 D．垂直8．下列結(jié)論中正確的是（

）A．若兩個平面有一個公共點，則它們有無數(shù)個公共點B．若已知四個點不共面，則其中任意三點不共線C．若點SKIPIF1<0既在平面SKIPIF1<0內(nèi)，又在平面SKIPIF1<0內(nèi)，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，且點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上D．任意兩條直線不能確定一個平面三、填空題9．用一個平面去截幾何體，如果截面是三角形，那么這個幾何體可能是下面各項中的哪幾種：___________（填序號）.①棱柱；②棱錐；③棱臺；④圓柱；⑤圓錐；⑥圓臺.10．如圖所示．SKIPIF1<0是正方體，O是SKIPIF1<0的中點，直線SKIPIF1<0交平面SKIPIF1<0于點M，給出下列結(jié)論：①A、M、O三點共線；

②A、M、O、SKIPIF1<0不共面：③A、M、C、O共面；

④B、SKIPIF1<0、O、M共面，其中正確的序號為_________．11．在棱長為SKIPIF1<0的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中點，經(jīng)過點SKIPIF1<0的平面把正方體SKIPIF1<0截成兩部分，則截面與SKIPIF1<0的交線段長為________.12．已知正方體SKIPIF1<0的棱長為1，E為線段SKIPIF1<0上的點，過點E作垂直于SKIPIF1<0的平面截正方體，其截面圖形為M，下列命題中正確的是______．①M在平面ABCD上投影的面積取值范圍是SKIPIF1<0；②M的面積最大值為SKIPIF1<0；③M的周長為定值．四、解答題13．已知三角形ABC的三個頂點都在平面SKIPIF1<0上，求證：該三角形的內(nèi)心I也在平面SKIPIF1<0上．14．如圖，四邊形SKIPIF1<0和四邊形SKIPIF1<0都是梯形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點．(1)求證：四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形．(2)SKIPIF1<0四點是否共面？為什么？題組B能力提升練一、單選題1．若點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內(nèi)，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間的關(guān)系可記作（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．兩個平面能把空間分成幾個部分（

）A．2或3 B．3或4 C．3 D．2或43．如圖，在長方體SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0為正方形SKIPIF1<0的中心，點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，則（

）A．SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四點共面，且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0平行B．SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四點共面，且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交C．SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四點共面，且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0平行D．SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四點不共面4．如圖，在正方體SKIPIF1<0中，M、N、P分別是棱SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、BC的中點，則經(jīng)過M、N、P的平面與正方體SKIPIF1<0相交形成的截面是一個（

）A．三角形 B．平面四邊形C．平面五邊形 D．平面六邊形5．已知正方體SKIPIF1<0棱長為2，M，N，P分別是棱SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點，則平面SKIPIF1<0截正方體所得的多邊形的周長為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中點分別為M，N.如圖，若以A，M，N所確定的平面將正方體截為兩個部分，則所得截面的形狀為（

）A．六邊形 B．五邊形 C．四邊形 D．三角形二、多選題7．下列是基本事實的是（

）A．經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面B．過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面C．經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面D．如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)8．如圖，在所有棱長均為2的正三棱柱SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0平行，則（

）A．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0截正三棱柱SKIPIF1<0的截面面積為SKIPIF1<0B．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0截正三棱柱SKIPIF1<0的截面面積為SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0截正三棱柱SKIPIF1<0的截面為三角形，則SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0截正三棱柱SKIPIF1<0的截面為四邊形三、填空題9．互相平行的四條直線，每兩條確定一個平面，最多可確定____________個平面；10．一個平面可將空間分成____________個部分，兩個平面最多可將空間分成____________個部分，三個平面最多可將空間分成____________個部分．11．已知四棱錐SKIPIF1<0的SKIPIF1<0條棱長都相等，任取其中SKIPIF1<0條棱的中點作平面，截該四棱錐所得的平面圖形可能是______（寫出所有正確結(jié)論的序號）.①等腰三角形；②等腰梯形；③正方形；④正五邊形.12．已知正方體SKIPIF1<0的棱長為1，E為線段SKIPIF1<0上的點，過點E作垂直于SKIPIF1<0的平面截正方體，其截面圖形為M，下列命題中正確的是______．①M在平面ABCD上投影的面積取值范圍是SKIPIF1<0；②M的面積最大值為SKIPIF1<0；③M的周長為定值．四、解答題13．根據(jù)下列符號表示的語句，說明點、線、面之間的位置關(guān)系，并畫出相應(yīng)的圖形．(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．題組C培優(yōu)拔尖練1．如圖，已知SKIPIF1<0的三個頂點都不在平面SKIPIF1<0內(nèi)，它的三邊SKIPIF1<0延長后分別交平面SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0,求證：SKIPIF1<0三點在同一條直線上．2．已知空間四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0上的點，且SKIPIF1