北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊 專題1.4 三角函數(shù)的計(jì)算（知識(shí)講解）

專題1.4三角函數(shù)的計(jì)算（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】會(huì)推算30°、45°、60°角的三角函數(shù)值，并熟練準(zhǔn)確的記住特殊角的三角函數(shù)值；會(huì)進(jìn)行有關(guān)三角函數(shù)的計(jì)算。

【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、特殊角的三角函數(shù)值利用三角函數(shù)的定義，可求出30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，歸納如下：銳角30°45°160°特別說明：

(1)通過該表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，它的另一個(gè)應(yīng)用就是：如果知道了一個(gè)銳角的三角函數(shù)值，就可以求出這個(gè)銳角的度數(shù)，例如：若，則銳角．

(2)仔細(xì)研究表中數(shù)值的規(guī)律會(huì)發(fā)現(xiàn)：

、、的值依次為、、，而、、的值的順序正好相反，、、的值依次增大，其變化規(guī)律可以總結(jié)為：

①正弦、正切值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而增大(或減小)；

②余弦值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而減小(或增大)．

要點(diǎn)二、銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．

(1)互余關(guān)系：，；

(2)平方關(guān)系：；

(3)倒數(shù)關(guān)系：或；

(4)商數(shù)關(guān)系：．

特別說明：

銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系式可由銳角三角函數(shù)的意義推導(dǎo)得出，常應(yīng)用在三角函數(shù)的計(jì)算中，計(jì)算時(shí)巧用這些關(guān)系式可使運(yùn)算簡便．【典型例題】類型一、特殊角三角函數(shù)計(jì)算1．計(jì)算：（1）cos30°+sin45°；（2）6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°．【答案】（1）；（2）.【分析】【分析】直接代入特殊角度的三角函數(shù)值進(jìn)行運(yùn)算即可.解：（1）原式＝×+×＝；（2）原式＝6×﹣×﹣2×＝．【點(diǎn)撥】本題考查了含有特殊角三角函數(shù)的混合運(yùn)算，熟記特殊角度的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.舉一反三：【變式1】計(jì)算：(1)2sin30°＋4cos30°·tan60°－cos245°；(2)sin45°＋6tan30°－2cos30°.【答案】(1).（2）＋1.【分析】（1）把特殊銳角三角函數(shù)值分別代入求值；（2）把特殊銳角三角函數(shù)值分別代入求值；解：(1)原式=2×＋4××－（）2=1＋6－=.原式=×＋6×－2×=＋1.【點(diǎn)撥】本題考查特殊銳角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，熟記函數(shù)值是關(guān)鍵.【變式2】.計(jì)算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值代入計(jì)算即可；（2）根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值代入計(jì)算即可．解：（1）原式；（2）原式．【點(diǎn)撥】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，掌握特殊銳角的三角函數(shù)值是解決問題的關(guān)鍵．【變式3】計(jì)算：2|1﹣sin60°|+．【答案】2+【分析】先代入特殊角三角函數(shù)值，再根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算，可得答案．解：2|1﹣sin60°|＋＝2（1﹣）＋＝2﹣＝2﹣＝2＋．【點(diǎn)撥】本題考查了特殊角三角函數(shù)值、實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算；熟記特殊角三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．類型二、特殊角三角函數(shù)計(jì)算2．．【答案】2【分析】根據(jù)絕對值的計(jì)算公式、正余弦公式、冪的計(jì)算公式，進(jìn)行求解.解：根據(jù)“負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)”可得，根據(jù)“”可得，根據(jù)正切公式可得，則原式．【點(diǎn)撥】本題綜合考查絕對值的計(jì)算公式、正余弦公式、冪的計(jì)算公式.舉一反三：【變式1】計(jì)算：﹣2sin30°﹣|1﹣|+（）﹣2﹣（π﹣2020）0．【答案】+3【分析】先化簡二次根式、代入三角函數(shù)值、去絕對值符號(hào)、計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和零指數(shù)冪，再計(jì)算乘法，最后計(jì)算加減可得．解：﹣2sin30°﹣|1﹣|+()﹣2﹣(π﹣2020)0=2﹣2×﹣(﹣1)+4﹣1=2﹣1﹣+1+4﹣1=+3．【點(diǎn)撥】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解決此類題目的關(guān)鍵是熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、二次根式、絕對值等考點(diǎn)的運(yùn)算以及熟記特殊角的三角函數(shù)值．【變式2】.計(jì)算：．【答案】﹣1．【分析】利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、二次根式性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值分別進(jìn)行計(jì)算即可．解：原式=﹣3﹣4+5+1=﹣1．考點(diǎn)：1．實(shí)數(shù)的運(yùn)算；2．零指數(shù)冪；3．負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；4．特殊角的三角函數(shù)值．【變式3】先化簡，再求代數(shù)式（1﹣）÷的值，其中a=4cos30°+3tan45°．【答案】【分析】根據(jù)分式的運(yùn)算法則即可求出答案，解：當(dāng)a=4cos30°+3tan45°時(shí)，所以a=2+3（1﹣）÷===.【點(diǎn)撥】本題考查分式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．類型三、三角函數(shù)計(jì)算3．已知△ABC中的∠A與∠B滿足(1－tanA)2＋＝0.(1)試判斷△ABC的形狀；(2)求(1＋sinA)2－2－(3＋tanC)0的值．【答案】(1)△ABC是銳角三角形；(2).【分析】（1）根據(jù)絕對值的性質(zhì)求出tanA及sinB的值，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出∠A及∠B的度數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)論；（2）根據(jù)（1）中∠A及∠B的值求出∠C的數(shù)，再把各特殊角的三角函數(shù)值代入進(jìn)行計(jì)算即可．解：（1）∵|1-tanA）2+|sinB-|=0，∴tanA=1，sinB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°-45°-60°=75°，∴△ABC是銳角三角形；（2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°-45°-60°=75°，∴原式=（1+）2-2-1=．舉一反三：【變式1】計(jì)算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）1．【分析】（1）根據(jù)實(shí)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行化簡即可求解；（2）根據(jù)特殊三角函數(shù)值即可化簡求解．解：（1）===（2）．===1．【點(diǎn)撥】此題主要考查實(shí)數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知特殊三角函數(shù)值的化簡．【變式2】.計(jì)算：（1）2cos230°﹣2sin60°?cos45°；（2）【答案】（1）；（2）1-2．【分析】將三角函數(shù)特殊值代入即可求解．將三角函數(shù)特殊值代入，化簡求解．解：（1）原式＝2×（）2﹣2××＝；（2）原式＝﹣＝﹣＝﹣（+1）＝1﹣2．【點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)特殊值代入化簡求值，屬于經(jīng)典題．【變式3】計(jì)算：（1）cos245°+tan245°?tan260°（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）直接代入特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）直接利用特殊角的三角函數(shù)值和二次根式的性質(zhì)分別化簡計(jì)算即可解答．解：（1）原式===；（2）原式===．【點(diǎn)撥】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算、二次根式的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值，正確計(jì)算各數(shù)是解答的關(guān)鍵．類型四、三角函數(shù)計(jì)算4．已知：如圖，矩形的對角線相交于點(diǎn)O，．（1）求矩形對角線的長．（2）過O作于點(diǎn)E，連結(jié)BE．記，求的值．【答案】（1）4；（2）【分析】（1）根據(jù)矩形對角線的性質(zhì)，得出△ABO是等腰三角形，且∠BOC=120°，即∠AOB=60°，則△ABO為等邊三角形，即可求得對角線的長；（2）首先根據(jù)勾股定理求出AD，再由矩形的對角線的性質(zhì)得出OA=OD,且OE⊥AD，則AE=AD，在Rt△ABE中即可求得．解：（1）∵四邊形是矩形，是等邊三角形，，所以．故答案為：4．（2）在矩形中，．由（1）得，．又在中，．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的對角線性質(zhì)，等邊三角形的判定，等腰三角形的三線合一以及在直角三角形中求銳角正切的知識(shí)點(diǎn)，靈活應(yīng)用矩形對角線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，四邊形ABCD為矩形，G是對角線BD的中點(diǎn)．連接GC并延長至F，使CF＝GC，以DC，CF為鄰邊作菱形DCFE，連接CE．（1）判斷四邊形CEDG的形狀，并證明你的結(jié)論．（2）連接DF，若BC＝，求DF的長．【答案】（1）菱形，證明見解析；（2）【分析】（1）證出GB=GC=GD=CF，由菱形的性質(zhì)的CD=CF=DE，DE∥CG，則DE=GC，證出四邊形CEDG是平行四邊形，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)G作GH⊥BC于H，設(shè)DF交CE于點(diǎn)N，由等腰三角形的性質(zhì)得CH=BH=BC=，證出△CDG是等邊三角形，得∠GCD=60°，由三角函數(shù)定義求出CG=1，則CD=1，由菱形的性質(zhì)得DN=FN，CN⊥DF，∠DCE=∠FCE=60°，由三角函數(shù)定義求出DN=，則DF=2DN=．解：（1）四邊形CEDG是菱形，理由如下：∵四邊形ABCD為矩形，G是對角線BD的中點(diǎn)，∴GB=GC=GD，∵CF=GC，∴GB=GC=GD=CF，∵四邊形DCFE是菱形，∴CD=CF=DE，DE∥CG，∴DE=GC，∴四邊形CEDG是平行四邊形，∵GD=GC，∴四邊形CEDG是菱形；（2）過點(diǎn)G作GH⊥BC于H，設(shè)DF交CE于點(diǎn)N，如圖所示：∵CD=CF，GB=GD=GC=CF，∴CH=BH=BC=，△CDG是等邊三角形，∴∠GCD=60°，∴∠DCF=180°﹣∠GCD=180°﹣60°=120°，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠BCD=90°，∴∠GCH=90°﹣60°=30°，∴CG===1，∴CD=1，∵四邊形DCFE是菱形，∴DN=FN，CN⊥DF，∠DCE=∠FCE=∠DCF=×120°=60°，在Rt△CND中，DN=CD?sin∠DCE=1×sin60°=1×=，∴DF=2DN=2×=．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】.如圖，已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0，），B（2，0），直線AB與反比例函數(shù)y=的圖象交于點(diǎn)C和點(diǎn)D(-1，a）．（1）求直線AB和反比例函數(shù)的解析式；（2）求∠ACO的度數(shù)．【答案】（1）y＝－x＋2，y＝－；（2）30°【分析】試題分析：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），將A與B坐標(biāo)代入求出k與b的值，確定出直線AB的解析式，將D坐標(biāo)代入直線AB解析式中求出a的值，確定出D的坐標(biāo)，將D坐標(biāo)代入反比例解析式中求出m的值，即可確定出反比例解析式；（2）聯(lián)立兩函數(shù)解析式求出C坐標(biāo)，過C作CH垂直于x軸，在直角三角形OCH中，由OH與HC的長求出tan∠COH的值，利用特殊角的三角函數(shù)值求出∠COH的度數(shù)，在三角形AOB中，由OA與OB的長求出tan∠ABO的值，進(jìn)而求出∠ABO的度數(shù)，由∠ABO-∠COH即可求出∠ACO的度數(shù)．試題解析：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），將A（0，2），B（2，0）代入得：，解得：.∴直線AB解析式為.將D（-1，a）代入直線AB解析式得：，則D（-1，）.將D坐標(biāo)代入中，得：m=.∴反比例解析式為.（2）聯(lián)立兩函數(shù)解析式得：，解得：或.∴C坐標(biāo)為（3，）.過點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H，在Rt△OHC中，CH=，OH=3，∴.∴∠COH=30°.在Rt△AOB中，，∴∠ABO=60°.∴∠ACO=∠ABO-∠COH=30°．考點(diǎn)：1.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題；2.待定系數(shù)法的應(yīng)用；3.曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；4.銳角三角函數(shù)定義；5.特殊角的三角函數(shù)值．【變式3】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，sinA＝，BC＝8，D是AB中點(diǎn)，過點(diǎn)B作直線CD的垂線，垂足為點(diǎn)E.(1)求線段CD的長；(2)求cos∠ABE的值．【答案】（1）5；（2）.解：試題分析：（1）利用正弦定義很容易求得AB=10，然后由已知D為斜邊AB上的中點(diǎn)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求解.（2）cos∠ABE=，則求余弦值即求BE，BD的長，易求得BD=5.再利用等面積法求BE的長.試題解析：(1)在△ABC中