542正弦函數(shù)余弦函數(shù)的性質(zhì)（八大題型）（原卷版）

5．4．2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)【題型歸納目錄】題型一：正余弦函數(shù)的周期問題題型二：正余弦函數(shù)的奇偶問題題型三：正余弦函數(shù)的對稱問題題型四：正余弦函數(shù)的單調(diào)問題題型五：根據(jù)正余弦函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍問題題型六：比較大小題型七：正余弦函數(shù)的最值與值域問題題型八：正余弦函數(shù)的綜合應(yīng)用【知識點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一：周期函數(shù)函數(shù)，定義域?yàn)?，?dāng)時，都有，其中是一個非零的常數(shù)，則是周期函數(shù)，是它的一個周期．知識點(diǎn)詮釋：1、定義是對中的每一個值來說的，只有個別的值滿足或只差個別的值不滿足都不能說是的一個周期．2、對于周期函數(shù)來說，如果所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，就稱它為最小正周期，三角函數(shù)中的周期一般都指最小正周期．知識點(diǎn)二：正弦函數(shù)性質(zhì)函數(shù)正弦函數(shù)定義域值域奇偶性奇函數(shù)周期性最小正周期單調(diào)區(qū)間增區(qū)間減區(qū)間最值點(diǎn)最大值點(diǎn)；最小值點(diǎn)對稱中心對稱軸知識點(diǎn)詮釋：（1）正弦函數(shù)的值域?yàn)?，是指整個正弦函數(shù)或一個周期內(nèi)的正弦曲線，如果定義域不是全體實(shí)數(shù)，那么正弦函數(shù)的值域就可能不是，因而求正弦函數(shù)的值域時，要特別注意其定義域．（2）求正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，易錯點(diǎn)有二：一是單調(diào)區(qū)間容易求反，要注意增減區(qū)間的求法，如求的單調(diào)遞增區(qū)間時，應(yīng)先將變換為再求解，相當(dāng)于求的單調(diào)遞減區(qū)間；二是根據(jù)單調(diào)性的定義，所求的單調(diào)區(qū)間必須在函數(shù)的定義域內(nèi)，因此求單調(diào)區(qū)間時，必須先求定義域．知識點(diǎn)三：正弦型函數(shù)的性質(zhì)．函數(shù)與函數(shù)可看作是由正弦函數(shù)，余弦函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，因此它們的性質(zhì)可由正弦函數(shù)，余弦函數(shù)類似地得到：（1）定義域：（2）值域：（3）單調(diào)區(qū)間：求形如的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以通過解不等式的方法去解答，即把視為一個“整體”，分別與正弦函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間對應(yīng)解出，即為所求的單調(diào)遞增（減）區(qū)間．比如：由解出的范圍所得區(qū)間即為增區(qū)間，由解出的范圍，所得區(qū)間即為減區(qū)間．（4）奇偶性：正弦型函數(shù)不一定具備奇偶性．對于函數(shù)，當(dāng)時為奇函數(shù)，當(dāng)時為偶函數(shù)．知識點(diǎn)詮釋：判斷函數(shù)的奇偶性除利用定義和有關(guān)結(jié)論外，也可以通過圖象直觀判斷，但不能忽視“定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱”這一前提條件．（5）周期：函數(shù)的周期與解析式中自變量的系數(shù)有關(guān)，其周期為．（6）對稱軸和對稱中心與正弦函數(shù)比較可知，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值（或最小值），因此函數(shù)的對稱軸由解出，其對稱中心的橫坐標(biāo)，即對稱中心為．知識點(diǎn)四：余弦函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)余弦函數(shù)定義域值域奇偶性偶函數(shù)周期性最小正周期單調(diào)區(qū)間增區(qū)間減區(qū)間最值點(diǎn)最大值點(diǎn)最小值點(diǎn)對稱中心對稱軸知識點(diǎn)詮釋：（1）余弦函數(shù)的值域?yàn)?，是指整個余弦函數(shù)或一個周期內(nèi)的余弦曲線，如果定義域不是全體實(shí)數(shù)，那么余弦函數(shù)的值域就可能不是，因而求余弦函數(shù)的值域時，要特別注意其定義域．（2）求余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，應(yīng)先將變換為再求解，所求的單調(diào)區(qū)間必須在函數(shù)的定義域內(nèi)，因此求單調(diào)區(qū)間時，必須先求定義域．知識點(diǎn)五：余弦型函數(shù)的性質(zhì)．函數(shù)可看作是由余弦函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，因此它們的性質(zhì)可由余弦函數(shù)類似地得到：（1）定義域：（2）值域：（3）單調(diào)區(qū)間：求形如的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以通過解不等式的方法去解答，即把視為一個“整體”，余弦函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間對應(yīng)解出，即為所求的單調(diào)遞增（減）區(qū)間．（4）奇偶性：余弦型函數(shù)不一定具備奇偶性，對于函數(shù)，當(dāng)時為偶函數(shù)，當(dāng)時為奇函數(shù)．（5）周期：函數(shù)的周期與解析式中自變量的系數(shù)有關(guān)，其周期為．（6）對稱軸和對稱中心與正弦函數(shù)比較可知，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值（或最小值），因此函數(shù)的對稱軸由解出，其對稱中心的橫坐標(biāo)，即對稱中心為．同理，的對稱軸由解出，對稱中心的橫坐標(biāo)由解出．知識點(diǎn)詮釋：判斷函數(shù)的奇偶性除利用定義和有關(guān)結(jié)論外，也可以通過圖象直觀判斷，但不能忽視“定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱”這一前提條件．若，則函數(shù)不一定有對稱軸和對稱中心．【典型例題】題型一：正余弦函數(shù)的周期問題例1．函數(shù)的最小正周期為（

）A． B． C． D．例2．下列函數(shù)，最小正周期為的是（

）A． B．C． D．例3．已知函數(shù)的最小正周期為，則.變式1．如果函數(shù)的相鄰兩個零點(diǎn)之間的距離為，則.變式2．已知函數(shù)，且的相鄰兩個對稱中心的距離為2，則．變式3．函數(shù)的周期不可能為（

）A． B． C． D．變式4．下列函數(shù)中，最小正周期為的偶函數(shù)是（）A． B．C． D．變式5．若函數(shù)的圖象與直線的兩個相鄰公共點(diǎn)之間的距離等于2，則對稱中心到對稱軸距離的最小值為（

）A． B． C． D．變式6．已知函數(shù)，若存在，使得恒成立，則的值是（

）A． B． C． D．變式7．記函數(shù)的最小正周期為，若，且，則（

）A． B． C． D．變式8．函數(shù)的圖象相鄰的兩條對稱軸之間的距離是（

）A． B． C． D．變式9．設(shè)，則等于（

）A． B． C．0 D．變式10．已知函數(shù)的最小正周期為，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】（1）定義法，即利用周期函數(shù)的定義求解．（2）公式法，對形如或（，，是常數(shù)，，）的函數(shù)，（3）觀察法，即通過觀察函數(shù)圖象求其周期．三種方法各有所長，要根據(jù)函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼猓}型二：正余弦函數(shù)的奇偶問題例4．函數(shù)（

）A．是奇函數(shù)，但不是偶函數(shù)B．是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)C．既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)D．既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)例5．函數(shù)①；②，；③，中，奇函數(shù)的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3例6．已知函數(shù)，若，則（

）A． B． C． D．變式11．函數(shù)，則（

）A．若，則為奇函數(shù) B．若，則為偶函數(shù)C．若，則為偶函數(shù) D．若，則為奇函數(shù)變式12．已知為偶函數(shù)，則（

）A． B．6 C． D．3變式13．使函數(shù)為偶函數(shù)的最小正數(shù)φ＝（）A． B． C． D．變式14．若函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小正值為.變式15．設(shè)函數(shù)的最大值為，最小值為，則.變式16．已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)則的值為．變式17．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則(

)A．0 B． C． D．變式18．已知，，且，則（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】判斷函數(shù)奇偶性的方法（1）利用定義判斷一個函數(shù)的奇偶性，要考慮兩方面：①函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；②與的關(guān)系；（2）判斷函數(shù)的奇偶性常用方法是：①定義法；②圖象法．題型三：正余弦函數(shù)的對稱問題例7．設(shè)函數(shù)與函數(shù)在上的圖象的所有交點(diǎn)為，，…，，則（

）A．2 B．4 C．8 D．16例8．下列選項(xiàng)中不是函數(shù)圖象的對稱軸方程的是（

）A． B．C． D．以上選項(xiàng)都不正確例9．函數(shù)的一條對稱軸為（

）A． B． C． D．變式19．函數(shù)的圖象（

）A．關(guān)于直線對稱 B．關(guān)于直線對稱C．關(guān)于點(diǎn)對稱 D．關(guān)于點(diǎn)對稱變式20．若函數(shù)對任意都有，則的值為（

）A． B． C． D．0變式21．已知函數(shù)的最小正周期為，其圖象關(guān)于直線對稱，則.變式22．設(shè)函數(shù)，若的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則的值可以是．（寫出一個滿足條件的值即可）變式23．已知函數(shù)的一條對稱軸為，則一個滿足題意的的值是.變式24．函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于.變式25．已知函數(shù)的最小正周期為，其圖象關(guān)于直線對稱，則.變式26．已知函數(shù)，則函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為．變式27．已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則的最小值為.變式28．若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，請寫出一個的值：.【方法技巧與總結(jié)】（1）正弦曲線（余弦曲線）既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形；（2）正弦曲線（余弦曲線）的對稱軸一定過正弦曲線（余弦曲線）的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，即此時的正弦值（余弦值）取最大值或最小值；（3）正弦曲線（余弦曲線）的對稱中心一定是正弦曲線（余弦曲線）與軸的交點(diǎn)，即此時的正弦值（余弦值）為0．題型四：正余弦函數(shù)的單調(diào)問題例10．函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B．C． D．例11．函數(shù)和都單調(diào)遞增的區(qū)間是（）．A． B．C． D．例12．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（

）A． B． C． D．變式29．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.變式30．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.變式31．y＝cos的單調(diào)遞減區(qū)間為.變式32．已知函數(shù)（其中）的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為變式33．函數(shù)的部分圖像如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為．變式34．函數(shù)，的增區(qū)間是（

）A． B．C． D．變式35．已知函數(shù)，，則的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C．， D．，【方法技巧與總結(jié)】（1）用“基本函數(shù)法”求函數(shù)（，）或（，）的單調(diào)區(qū)間的步驟：第一步：寫出基本函數(shù)（或）的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間；第二步：將“”視為整體替換基本函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（用不等式表示）中的“”；第三步：解關(guān)于的不等式．（2）對于形如的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題，當(dāng)時，可先用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為，則的單調(diào)遞增區(qū)間即為原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間即為原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．余弦函數(shù)的單調(diào)性討論同上．另外，值得注意的是這一條件不能省略．題型五：根據(jù)正余弦函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍問題例13．已知函數(shù)的周期為，且滿足，若函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．例14．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.例15．已知函數(shù)的最小正周期為，且時，函數(shù)取最小值，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則a的最大值是．變式36．已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，且在區(qū)間上單調(diào)，則．變式37．函數(shù)在上是減函數(shù)，且在上恰好取得一次最小值，則的取值范圍是．變式38．若函數(shù)在上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.變式39．若，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則的取值范圍是.變式40．已知函數(shù)，若在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是．變式41．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則取值范圍是.變式42．已知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是．變式43．已知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的，則的取值范圍是．變式44．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，則的最大值為．變式45．已知函數(shù)，對于，，且在區(qū)上單調(diào)遞增，則的最大值是（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】已知正（余）弦函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍，多用數(shù)形結(jié)合思想及轉(zhuǎn)化思想求解．題型六：比較大小例16．令，，判斷a與b的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．無法判斷例17．設(shè)，則大小關(guān)系（

）A． B．C． D．例18．已知，，，則（

）A． B． C． D．變式46．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．變式47．已知偶函數(shù)定義域?yàn)椋?dāng)時，單調(diào)遞減，，，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．變式48．下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．變式49．若為銳角三角形，則（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】比較兩個三角函數(shù)值的大小（1）比較兩個同名三角函數(shù)值的大小，先利用誘導(dǎo)公式把兩個角化為同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較．（2）比較兩個不同名的三角函數(shù)值的大小，一般應(yīng)先化為同名的三角函數(shù)，后面步驟同上．題型七：正余弦函數(shù)的最值與值域問題例19．當(dāng)函數(shù)取得最大值時的的集合為．例20．已知函數(shù)在上的值域?yàn)?，則a＋b的值為．例21．函數(shù)的值域是.變式50．函數(shù)在上的值域?yàn)椋兪?1．函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．變式52．求的最小值是變式53．函數(shù)取最大值時自變量的取值集合是.變式54．設(shè)函數(shù)定義域?yàn)?，值域?yàn)椋瑒t的最大值為變式55．函數(shù)的值域?yàn)?變式56．函數(shù)在的值域是.變式57．函數(shù)的值域?yàn)椋兪?8．函數(shù)，的值域?yàn)椋兪?9．函數(shù)的最小值是．變式60．已知函數(shù)（）的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱．(1)求的值；(2)當(dāng)時，求函數(shù)的最大值和最小值．【方法技巧與總結(jié)】一般函數(shù)的值域求法有：觀察法、配方法、判別式法、反比例函數(shù)法等．三角函數(shù)是函數(shù)的特殊形式，一般方法也適用，但要結(jié)合三角函數(shù)本身的性質(zhì)．常見的三角函數(shù)求值域或最值的類型有以下幾種：（1）形如的三角函數(shù)，令，根據(jù)題中的取值范圍，求出的取值范圍，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性、有界性求出的最值（值域）．（2）形如的三角函數(shù)，可先設(shè)，將函數(shù)化為關(guān)于的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求值域（最值）．（3）對于形如（或）的函數(shù)的最值還要注意對的討論．題型八：正余弦函數(shù)的綜合應(yīng)用例22．（多選題）下列關(guān)于函數(shù)說法正確的是（

）A．周期為 B．單調(diào)遞增區(qū)間是C．圖象關(guān)于直線對稱 D．圖象關(guān)于點(diǎn)對稱例23．（多選題）已知函數(shù)，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．的最小正周期是 B．在上單調(diào)遞增C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱例24．（多選題）已知函數(shù)，以下結(jié)論正確的是（

）A．它是周期為的周期函數(shù)B．它是偶函數(shù)C．它在這個區(qū)間有且只有1個零點(diǎn)D．它的值域?yàn)樽兪?1．（多選題）在現(xiàn)代社會中，信號處理是非常關(guān)鍵的技術(shù)，我們通過每天都在使用的或者互聯(lián)網(wǎng)就能感受到.而信號處理背后的‘功臣’就是和正弦相關(guān)的某類函數(shù)，的圖象就可以近似模擬某種信號的波形，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)為周期函數(shù)，且最小正周期為B．函數(shù)為奇函數(shù)C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D．函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱變式62．（多選題）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法中正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．函數(shù)在的取值范圍為變式63．（多選題）已知函數(shù)，若，，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則下列說法正確的有（

）A．B．對任意，均有C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)D．變式64．設(shè)函數(shù)（A，ω，φ是常數(shù)，，）．若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，試畫圖找出的最小正周期．變式65．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且圖象相鄰的兩條對稱軸之間的距離是.(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若對任意的，不等式恒成立，求m的取值范圍.變式66．已知函數(shù)，(1)若，則的最小值為，求的解析式．(2)在（1）的條件下，若在上的值域是，求實(shí)數(shù)的取值范圍；變式67．已知函數(shù)(1)請用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)在一個周期上的圖象（先在所給的表格中填上所需的數(shù)字，再畫圖）；00(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值及相應(yīng)的值.變式68．已知函數(shù)的圖像上相鄰兩個最高點(diǎn)的距離為．(1)求函數(shù)的解析式和對稱中心；(2)求的定義域；(3)函數(shù)在區(qū)間上恰有2個零點(diǎn)，（），求的值．變式69．已知函數(shù)，(1)求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求不等式的解集；(3)若方程在上有兩個不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．變式70．已知函數(shù)，且圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，再從條件①、條件②、條件③中選擇兩個作為一組已知條件.條件①：的最小值為；條件②：圖象的一個對稱中心為；條件③；的圖象經(jīng)過點(diǎn).(1)確定的解析式；(2)若圖象的對稱軸只有一條落在區(qū)間上，求a的取值范圍.變式71．已知函數(shù)．(1)若，求的最小值；(2)若在區(qū)間上的值域?yàn)?，求的取值范圍．變?2．已知函數(shù)，．(1)對任意的，若恒成立，求的取值范圍；(2)對任意的，存在，使得，求的取值范圍．【過關(guān)測試】一、單選題1．，的圖象與直線的交點(diǎn)的個數(shù)為（）．A．0 B．1 C．2 D．32．已知函數(shù)在時有最大值，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值是（

）A． B． C． D．3．函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．4．已知函數(shù)，則在上的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．5．已知函數(shù)，若，在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，則的取值共有（

）A．4個 B．5個 C．6個 D．7個6．已知函數(shù)，則其部分大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

7．已知函數(shù)，則是為奇函數(shù)的（

）A．充要條