帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動

第一章安培力與洛倫茲力1.3帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動[核心素養(yǎng)·學(xué)習(xí)目標(biāo)]物理觀念理解帶電粒子初速度方向和磁場方向垂直時，帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動.科學(xué)思維會根據(jù)洛倫茲力提供向心力推導(dǎo)半徑公式和周期公式.科學(xué)探究會分析帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動的基本問題．科學(xué)態(tài)度與責(zé)任能用帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動規(guī)律解決實(shí)際問題。課前課前預(yù)習(xí)考點(diǎn)一、帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的勻速圓周運(yùn)動1．洛倫茲力的作用效果洛倫茲力只改變帶電粒子速度的方向，不改變帶電粒子速度的大小，或者說洛倫茲力不對帶電粒子做功，不改變粒子的能量。2．帶電粒子的運(yùn)動規(guī)律沿著與磁場垂直的方向射入磁場的帶電粒子，在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動。洛倫茲力總與速度方向垂直，正好起到了向心力的作用。eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(公式：qvB＝m\f(v2,r),半徑：r＝\f(mv,qB),周期：T＝\f(2πm,qB)))3．圓心、半徑、運(yùn)動時間的分析思路(1)圓心的確定：帶電粒子垂直進(jìn)入磁場后，一定做圓周運(yùn)動，其速度方向一定沿圓周的切線方向，因此圓心的位置必是兩速度方向垂線的交點(diǎn)，如圖(a)所示，或某一速度方向的垂線與圓周上兩點(diǎn)連線中垂線的交點(diǎn)，如圖(b)所示．(2)運(yùn)動半徑大小的確定：一般先作入射點(diǎn)、出射點(diǎn)對應(yīng)的半徑，并作出相應(yīng)的輔助三角形，然后利用三角函數(shù)求解出半徑的大?。?3)運(yùn)動時間的確定：首先利用周期公式T＝eq\f(2πm,qB)，求出運(yùn)動周期T，然后求出粒子運(yùn)動的圓弧所對應(yīng)的圓心角α，其運(yùn)動時間t＝eq\f(α,2π)T.(4)圓心角的確定：①帶電粒子射出磁場的速度方向與射入磁場的速度方向間的夾角φ叫偏向角．偏向角等于圓心角即φ＝α，如圖所示．②某段圓弧所對應(yīng)的圓心角是這段圓弧弦切角的二倍，即α＝2θ.[特別提醒]帶電粒子(不計重力)以一定的速度v進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場時的運(yùn)動軌跡：(1)當(dāng)v∥B時，帶電粒子將做勻速直線運(yùn)動．(2)當(dāng)v⊥B時，帶電粒子將做勻速圓周運(yùn)動．(3)當(dāng)帶電粒子斜射入磁場時，帶電粒子將沿螺旋線運(yùn)動．4、帶電粒子在三類有界磁場中的運(yùn)動軌跡特點(diǎn)(1)直線邊界：進(jìn)出磁場具有對稱性。(2)平行邊界：存在臨界條件。(3)圓形邊界：沿徑向射入必沿徑向射出。知識講解知識講解【知識點(diǎn)總結(jié)】一、帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動1．若v∥B，帶電粒子以速度v做勻速直線運(yùn)動，其所受洛倫茲力F＝0.所以粒子做勻速直線運(yùn)動．2．若v⊥B，此時初速度方向、洛倫茲力的方向均與磁場方向垂直，粒子在垂直于磁場方向的平面內(nèi)運(yùn)動．(1)洛倫茲力與粒子的運(yùn)動方向垂直，只改變粒子速度的方向，不改變粒子速度的大?。?2)帶電粒子在垂直于磁場的平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，洛倫茲力提供向心力．二、帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑和周期1．半徑一個電荷量為q的粒子，在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中以速度v運(yùn)動，那么帶電粒子所受的洛倫茲力為F＝qvB，由洛倫茲力提供向心力得qvB＝eq\f(mv2,r)，由此可解得圓周運(yùn)動的半徑r＝eq\f(mv,qB).從這個結(jié)果可以看出，粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動的半徑與它的質(zhì)量、速度成正比，與電荷量、磁感應(yīng)強(qiáng)度成反比．2．周期由r＝eq\f(mv,qB)和T＝eq\f(2πr,v)，可得T＝eq\f(2πm,qB).帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動的周期與軌道半徑和運(yùn)動速度無關(guān)．【重難詮釋】1．分析帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的勻速圓周運(yùn)動，要緊抓洛倫茲力提供向心力，即qvB＝meq\f(v2,r).2．同一粒子在同一勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動，由r＝eq\f(mv,qB)知，r與v成正比；由T＝eq\f(2πm,qB)知，T與速度無關(guān)，與半徑無關(guān)．【大招總結(jié)】1．圓周運(yùn)動的基本公式：(1)由公式r＝eq\f(mv,qB)可知：半徑r與比荷eq\f(q,m)成反比，與速度v成正比，與磁感應(yīng)強(qiáng)度B成反比。(2)由公式T＝eq\f(2πm,qB)可知：周期T與速度v、半徑r無關(guān)，與比荷eq\f(q,m)成反比，與磁感應(yīng)強(qiáng)度B成反比。2．圓周運(yùn)動分析：(1)圓心的確定方法方法1：若已知粒子軌跡上的兩點(diǎn)的速度方向，則可根據(jù)洛倫茲力F⊥v，分別確定兩點(diǎn)處洛倫茲力F的方向，其交點(diǎn)即為圓心，如圖(a)；方法2：若已知粒子運(yùn)動軌跡上的兩點(diǎn)和其中某一點(diǎn)的速度方向，則可作出此兩點(diǎn)的連線(即過這兩點(diǎn)的圓弧的弦)的中垂線，中垂線與垂線的交點(diǎn)即為圓心，如圖(b)。(2)半徑的計算方法方法1：由物理方法求：半徑R＝eq\f(mv,qB)；方法2：由幾何方法求：一般由數(shù)學(xué)知識(勾股定理、三角函數(shù)等)計算來確定。(3)時間的計算方法方法1：由圓心角求：t＝eq\f(θ,2π)·T；方法2：由弧長求：t＝eq\f(s,v)。(4)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做圓周運(yùn)動的解題三步法：(5)圓心角與偏向角、圓周角的關(guān)系兩個結(jié)論①帶電粒子射出磁場的速度方向與射入磁場的速度方向之間的夾角φ叫作偏向角，偏向角等于圓弧對應(yīng)的圓心角α，即α＝φ，如圖所示。②圓弧PM所對應(yīng)圓心角α等于弦與切線的夾角(弦切角)θ的2倍，即α＝2θ，如圖所示。3．軌跡圓心的兩種確定方法（1）已知粒子運(yùn)動軌跡上兩點(diǎn)的速度方向時，作這兩速度方向的垂線，交點(diǎn)即為圓心，如圖所示。（2）已知粒子軌跡上的兩點(diǎn)和其中一點(diǎn)的速度方向時，畫出粒子軌跡上的兩點(diǎn)連線(即過這兩點(diǎn)的圓的弦)，作它的中垂線，并畫出已知點(diǎn)的速度方向的垂線，則弦的中垂線與速度方向的垂線的交點(diǎn)即為圓心，如圖所示。4．三種求半徑的方法（1）根據(jù)半徑公式r＝eq\f(mv,qB)求解。（2）根據(jù)勾股定理求解，如圖所示，若已知出射點(diǎn)相對于入射點(diǎn)側(cè)移了x，則滿足r2＝d2＋(r－x)2。（3）根據(jù)三角函數(shù)求解，如圖所示，若已知出射速度方向與入射方向的夾角為θ，磁場的寬度為d，則有關(guān)系式r＝eq\f(d,sinθ)。5．四種角度關(guān)系（1）如圖所示，速度的偏向角(φ)等于圓心角(α)。（2）圓心角α等于AB弦與速度方向的夾角(弦切角θ)的2倍(φ＝α＝2θ＝ωt)。（3）相對的弦切角(θ)相等，與相鄰的弦切角(θ′)互補(bǔ)，即θ＋θ′＝180°。（4）進(jìn)出同一直線邊界時速度方向與該直線邊界的夾角相等。6．兩種求時間的方法（1）利用圓心角求解，若求出這部分圓弧對應(yīng)的圓心角，則t＝eq\f(θ,2π)T。（2）利用弧長s和速度v求解，t＝eq\f(s,v)。7.分析帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動問題的要點(diǎn)（1）確定粒子的運(yùn)動軌跡、半徑、圓心角等是解決此類問題的關(guān)鍵。（2）掌握粒子在勻強(qiáng)磁場中做圓周運(yùn)動的軌跡半徑公式和周期公式是分析此類問題的依據(jù)。裝置原理圖規(guī)律速度選擇器若qv0B＝Eq，即v0＝eq\f(E,B)，粒子做勻速直線運(yùn)動磁流體發(fā)電機(jī)等離子體射入，受洛倫茲力偏轉(zhuǎn)，使兩極板帶正、負(fù)電，兩極間電壓為U時穩(wěn)定，qeq\f(U,d)＝qv0B，U＝Bdv0電磁流量計eq\f(U,D)q＝qvB，所以v＝eq\f(U,DB)，所以Q＝vS＝eq\f(πDU,4B)霍爾元件當(dāng)磁場方向與電流方向垂直時，導(dǎo)體在與磁場、電流方向都垂直的方向上出現(xiàn)電勢差8.（1）直線邊界：進(jìn)出磁場具有對稱性。（2）平行邊界：存在臨界條件。（3）圓形邊界：沿徑向射入必沿徑向射出。典型例題典型例題例1．如圖所示，帶電粒子（不計重力）以速度v沿垂直于磁場的方向進(jìn)入一勻強(qiáng)磁場，在磁場中做勻速圓周運(yùn)動。設(shè)粒子做勻速圓周運(yùn)動的軌跡半徑為R，周期為T。如果僅減小粒子的入射速度v，下列說法正確的是（）A．T增大 B．T減小C．R增大 D．R減小【答案】D【解析】AB．帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動洛倫茲力提供向心力，所以周期與速度無關(guān)，故選項AB錯誤；CD．帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動洛倫茲力提供向心力，所以速度減小，粒子的軌道半徑變小。故選項C錯誤，選項D正確。故選D。例2．如圖所示，在x軸上方有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，一個帶電粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O處以速度v進(jìn)入磁場，粒子進(jìn)入磁場時的速度方向垂直于磁場且與x軸負(fù)方向成60°角，不計粒子所受的重力，若粒子穿過y軸正半軸后在磁場中運(yùn)動，到x軸的最大距離為a，則該粒子的比荷及所帶電荷的正負(fù)是（）A．，正電荷 B．，負(fù)電荷C．，正電荷 D．，負(fù)電荷【答案】B【解析】帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，如圖所示，由幾何知識可得θ=60°運(yùn)動到x軸的最大距離為a，則有粒子的軌道半徑r與a的關(guān)系為由洛倫茲力提供向心力，可得由解析圖和左手定則可知，粒子帶負(fù)電。故選B。例3.如圖是洛倫茲力演示儀的結(jié)構(gòu)圖。勵磁線圈產(chǎn)生垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，電子槍發(fā)射電子的速度與磁場垂直，電子槍上的加速電壓可控制電子的速度大小，以下正確的是（）A．增大電子槍的加速電壓，可使電子運(yùn)動徑跡的半徑變大B．減小電子槍的加速電壓，可使電子做圓周運(yùn)動的周期變小C．增大勵磁線圈中的電流，可使電子運(yùn)動徑跡的半徑變大D．減小勵磁線圈中的電流，可使電子做圓周運(yùn)動的周期變小【答案】A【詳解】A．增大電子槍的加速電壓，根據(jù)則電子速度變大，根據(jù)可得可知變大，則電子運(yùn)動徑跡的半徑變大，故A正確；B．電子做圓周運(yùn)動的周期與電子速度無關(guān)，即與電子槍的加速電壓無關(guān)，故B錯誤；C．增大勵磁線圈中的電流，磁感應(yīng)強(qiáng)度增大，根據(jù)可得，增大，則電子運(yùn)動徑跡的半徑減小，故C錯誤；D．減少勵磁線圈中的電流，磁感應(yīng)強(qiáng)度減小，根據(jù)可知電子做圓周運(yùn)動的周期將增大，故D錯誤。故選A。例4.如圖所示，在圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，ab是圓的直徑。一帶電粒子從a點(diǎn)射入磁場，速度大小為v、方向與ab成30°角時，恰好從b點(diǎn)飛出磁場，且粒子在磁場中運(yùn)動的時間為t；若同一帶電粒子從a點(diǎn)沿ab方向射入磁場，也經(jīng)時間t飛出磁場，則其速度大小為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】帶電粒子兩次在磁場中的運(yùn)動時間相同，圓心角都是60°；設(shè)圓形磁場的半徑為R，粒子第一次在磁場中運(yùn)動時，根據(jù)牛頓第二定律得；粒子第二次在磁場中運(yùn)動時，根據(jù)牛頓第二定律得；解得故選B。例5.如圖所示是洛倫茲力演示儀，圓形勵磁線圈A、B彼此平行且兩圓形圓心連線與線圈平面垂直，通入電流后能夠在兩線圈間產(chǎn)生勻強(qiáng)磁場，磁場大小和方向可以通過調(diào)節(jié)兩線圈中電流大小和方向來改變，一球形玻璃泡在兩勵磁線圈間正中央，玻璃泡內(nèi)有電子槍，初速度為零的電子被大小可調(diào)的加速電壓加速后從電子槍中射出?，F(xiàn)有某電子從玻璃泡球心正下方的某點(diǎn)水平向左射出，不計電子重力及電子間的相互作用，下列說法正確的是（）A．線圈A、B中電流方向相反 B．若電子做圓周運(yùn)動的軌跡半徑減小了，則可能是兩線圈中的電流增大了 C．兩線圈均通以逆時針方向電流，電子射出后沿順時針方向運(yùn)動 D．若電子做圓周運(yùn)動的周期變小了，則可能是加速電壓增大了【解答】解：A、只要線圈間有磁場即可，所以線圈A和線圈B中電流方向可以相同，可以相反，故A錯誤；B、電子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，洛倫茲力提供向心力，則qvB=mv即r=mv軌道半徑減小，磁感應(yīng)強(qiáng)度變大，兩線圈中的電流增大，故B正確；C、兩線圈均通以逆時針方向電流，根據(jù)右手螺旋定則可知磁感應(yīng)強(qiáng)度方向垂直紙面向外，根據(jù)左手定則可知電子所受洛倫茲力向下，所以水平向左射出的電子射出電子槍后向左下方飛出，故C錯誤；D、根據(jù)T=可知電子做圓周運(yùn)動的周期與電子速度無關(guān)，即與加速電壓無關(guān)，故D錯誤。故選：B。強(qiáng)化訓(xùn)練強(qiáng)化訓(xùn)練一、單選題1．如圖，圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，質(zhì)量為m、電荷量為的帶電粒子從圓周上的M點(diǎn)沿直徑方向射入磁場。若粒子射入磁場時的速度大小為，離開磁場時速度方向偏轉(zhuǎn)；若射入磁場時的速度大小為，離開磁場時速度方向偏轉(zhuǎn)，不計重力，則為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】根據(jù)題意做出粒子的圓心如圖所示設(shè)圓形磁場區(qū)域的半徑為R，根據(jù)幾何關(guān)系有第一次的半徑第二次的半徑根據(jù)洛倫茲力提供向心力有可得所以故選B。2．如圖所示，一個立方體空間被對角平面劃分成兩個區(qū)域，兩區(qū)域分布有磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等、方向相反且與z軸平行的勻強(qiáng)磁場。一質(zhì)子以某一速度從立方體左側(cè)垂直平面進(jìn)入磁場，并穿過兩個磁場區(qū)域。下列關(guān)于質(zhì)子運(yùn)動軌跡在不同坐標(biāo)平面的投影中，可能正確的是（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】AB．由題意知當(dāng)質(zhì)子射出后先在MN左側(cè)運(yùn)動，剛射出時根據(jù)左手定則可知在MN受到y(tǒng)軸正方向的洛倫茲力，即在MN左側(cè)會向y軸正方向偏移，做勻速圓周運(yùn)動，y軸坐標(biāo)增大；在MN右側(cè)根據(jù)左手定則可知洛倫茲力反向，質(zhì)子在y軸正方向上做減速運(yùn)動，故A正確，B錯誤；CD．根據(jù)左手定則可知質(zhì)子在整個運(yùn)動過程中都只受到平行于xOy平面的洛倫茲力作用，在z軸方向上沒有運(yùn)動，z軸坐標(biāo)不變，故CD錯誤。故選A。3．一勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外，其邊界如圖中虛線所示，為半圓，ac、bd與直徑ab共線，ac間的距離等于半圓的半徑。一束質(zhì)量為m、電荷量為q（q>0）的粒子，在紙面內(nèi)從c點(diǎn)垂直于ac射入磁場，這些粒子具有各種速率。不計粒子之間的相互作用。在磁場中運(yùn)動時間最長的粒子，其運(yùn)動時間為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，可得粒子在磁場中的周期粒子在磁場中運(yùn)動的時間則粒子在磁場中運(yùn)動的時間與速度無關(guān)，軌跡對應(yīng)的圓心角越大，運(yùn)動時間越長；過點(diǎn)做半圓的切線交于點(diǎn)，如圖所示由圖可知，粒子從點(diǎn)離開時，軌跡對應(yīng)的圓心角最大，在磁場中運(yùn)動時間最長；由圖中幾何關(guān)系可知，此時軌跡對應(yīng)的最大圓心角為則粒子在磁場中運(yùn)動的最長時間為故選C。4．真空中有一勻強(qiáng)磁場，磁場邊界為兩個半徑分別為a和3a的同軸圓柱面，磁場的方向與圓柱軸線平行，其橫截面如圖所示。一速率為v的電子從圓心沿半徑方向進(jìn)入磁場。已知電子質(zhì)量為m，電荷量為e，忽略重力。為使該電子的運(yùn)動被限制在圖中實(shí)線圓圍成的區(qū)域內(nèi)，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】電子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，由洛倫茲力提供向心力則磁感應(yīng)強(qiáng)度與圓周運(yùn)動軌跡關(guān)系為即運(yùn)動軌跡半徑越大，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度越小。令電子運(yùn)動軌跡最大的半徑為，為了使電子的運(yùn)動被限制在圖中實(shí)線圓圍成的區(qū)域內(nèi)，其最大半徑的運(yùn)動軌跡與實(shí)線圓相切，如圖所示A點(diǎn)為電子做圓周運(yùn)動的圓心，電子從圓心沿半徑方向進(jìn)入磁場，由左手定則可得，，為直角三角形，則由幾何關(guān)系可得解得解得磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小值故選C。5．直線OM和直線ON之間的夾角為30°，如圖所示，直線OM上方存在勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外。一帶電粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q（q>0）。粒子沿紙面以大小為v的速度從OM上的某點(diǎn)向左上方射入磁場，速度與OM成30°角。已知該粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡與ON只有一個交點(diǎn)，并從OM上另一點(diǎn)射出磁場。不計重力。粒子離開磁場的出射點(diǎn)到兩直線交點(diǎn)O的距離為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的軌跡半徑為軌跡與ON相切，畫出粒子的運(yùn)動軌跡如圖所示，由幾何知識得CO′D為一直線解得故選D。6．CT掃描是計算機(jī)X射線斷層掃描技術(shù)的簡稱，CT掃描機(jī)可用于對多種病情的探測。圖（a）是某種CT機(jī)主要部分的剖面圖，其中X射線產(chǎn)生部分的示意圖如圖（b）所示。圖（b）中M、N之間有一電子束的加速電場，虛線框內(nèi)有勻強(qiáng)偏轉(zhuǎn)磁場；經(jīng)調(diào)節(jié)后電子束從靜止開始沿帶箭頭的實(shí)線所示的方向前進(jìn)，打到靶上，產(chǎn)生X射線（如圖中帶箭頭的虛線所示）；將電子束打到靶上的點(diǎn)記為P點(diǎn)。則（）A．M處的電勢高于N處的電勢B．增大M、N之間的加速電壓可使P點(diǎn)左移C．偏轉(zhuǎn)磁場的方向垂直于紙面向外D．增大偏轉(zhuǎn)磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小可使P點(diǎn)左移【答案】D【詳解】A．由于電子帶負(fù)電，要在MN間加速則MN間電場方向由N指向M，根據(jù)沿著電場線方向電勢逐漸降低可知M的電勢低于N的電勢，故A錯誤；B．增大加速電壓則根據(jù)可知會增大到達(dá)偏轉(zhuǎn)磁場的速度；又根據(jù)在偏轉(zhuǎn)磁場中洛倫茲力提供向心力有可得可知會增大在偏轉(zhuǎn)磁場中的偏轉(zhuǎn)半徑，由于磁場寬度相同，故根據(jù)幾何關(guān)系可知會減小偏轉(zhuǎn)的角度，故P點(diǎn)會右移，故B錯誤；C．電子在偏轉(zhuǎn)電場中做圓周運(yùn)動，向下偏轉(zhuǎn)，根據(jù)左手定則可知磁場方向垂直紙面向里，故C錯誤；D．由B選項的分析可知，當(dāng)其它條件不變時，增大偏轉(zhuǎn)磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度會減小半徑，從而增大偏轉(zhuǎn)角度，使P點(diǎn)左移，故D正確。故選D。7．如圖所示，在xOy坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場。一帶電粒子在P點(diǎn)以與x軸正方向成60的方向垂直磁場射入，并恰好垂直于y軸射出磁場。已知帶電粒子質(zhì)量為m、電荷量為q，OP=a。不計重力。根據(jù)上述信息可以得出（）A．帶電粒子在磁場中運(yùn)動的軌跡方程B．帶電粒子在磁場中運(yùn)動的速率C．帶電粒子在磁場中運(yùn)動的時間D．該勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度【答案】A【詳解】粒子恰好垂直于y軸射出磁場，做兩速度的垂線交點(diǎn)為圓心，軌跡如圖所示A．由幾何關(guān)系可知因圓心的坐標(biāo)為，則帶電粒子在磁場中運(yùn)動的軌跡方程為故A正確；BD．洛倫茲力提供向心力，有解得帶電粒子在磁場中運(yùn)動的速率為因軌跡圓的半徑可求出，但磁感應(yīng)強(qiáng)度未知，則無法求出帶電粒子在磁場中運(yùn)動的速率，故BD錯誤；C．帶電粒子圓周的圓心角為，而周期為則帶電粒子在磁場中運(yùn)動的時間為因磁感應(yīng)強(qiáng)度未知，則運(yùn)動時間無法求得，故C錯誤；故選A。8．如圖所示，一半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，一質(zhì)量為m、電荷量為q的負(fù)電荷（重力忽略不計）以速度v沿正對著圓心O的方向射入磁場，從磁場中射出時速度方向改變了角。磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】軌跡圖，如圖所示有幾何關(guān)系可知根據(jù)可知故選B。9．如圖所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場方向垂直紙面向里，圖中虛線為磁場的邊界，其中bc段是半徑為R的四分之一圓弧，ab、cd的延長線通過圓弧的圓心，Ob長為R。一束質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子，在紙面內(nèi)以不同的速率從O點(diǎn)垂直ab射入磁場，已知所有粒子均從圓弧邊界射出，其中M、N是圓弧邊界上的兩點(diǎn)，不計粒子間的相互作用和重力。則下列分析中正確的是（）A．粒子帶負(fù)電B．從M點(diǎn)射出粒子的速率一定大于從N點(diǎn)射出粒子的速率C．從M點(diǎn)射出粒子在磁場中運(yùn)動時間一定小于從N點(diǎn)射出粒子所用時間D．所有粒子所用最短時間為【答案】D【詳解】A．粒子做逆時針的勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)左手定則，可知粒子帶正電，A錯誤；B．根據(jù)得從M點(diǎn)射出粒子的圓周半徑更小，則速度更小，B錯誤；CD．由粒子周期不變，圓周運(yùn)動的圓心角越大，運(yùn)動時間越長，有幾何關(guān)系可知，弦切角等于圓心角的一半，當(dāng)弦切角越小，運(yùn)動時間越短，如圖當(dāng)弦與bc圓弧邊界相切時，弦切角最小。Ob等于R，由幾何關(guān)系，此時圓周運(yùn)動的圓心角為，則最短時間為M、N兩點(diǎn)具體位置未知，則無法判斷從M點(diǎn)射出粒子所用時間和從N點(diǎn)射出粒子所用時間的大小關(guān)系，C錯誤，D正確。故選D。10．空間存在勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面，線段是屏與紙面的交線，長度為，其左側(cè)有一粒子源S，可沿紙面內(nèi)各個方向不斷發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為q、速率相同的粒子；，P為垂足，如圖所示，已知，若上所有的點(diǎn)都能被粒子從其右側(cè)直接打中，則粒子的速率至少為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】粒子要打中的右側(cè)所有位置，最容易的方式為粒子從飛出，繞過距離最近的點(diǎn)，從右側(cè)打中最下端的點(diǎn)，粒子運(yùn)動的軌跡如圖所示為軌跡圓的弦長，為中點(diǎn)，，；粒子運(yùn)動的半徑為，根據(jù)幾何關(guān)系可知四邊形為平行四邊形，則解得粒子在勻強(qiáng)磁場中勻速圓周運(yùn)動，洛倫茲力完全提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律可知解得粒子的最小速率為故選C。11．如圖所示，橫截面為正方形abcd的有界勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直紙面向里。一束電子以大小不同、方向垂直ad邊界的速度飛入該磁場。對于從不同邊界射出的電子，下列判斷錯誤的是（）A．從ad邊射出的電子在磁場中運(yùn)動的時間都相等B．從c點(diǎn)離開的電子在磁場中運(yùn)動時間最長C．電子在磁場中運(yùn)動的速度偏轉(zhuǎn)角最大為πD．從bc邊射出的電子的速度一定大于從ad邊射出的電子的速度【答案】B【詳解】ABC．電子的速率不同，運(yùn)動軌跡半徑不同，如圖，由周期公式可知，周期與電子的速率無關(guān)，所以在磁場中的運(yùn)動周期相同，根據(jù)可得電子在磁場中運(yùn)動時間與軌跡對應(yīng)的圓心角成正比，所以電子在磁場中運(yùn)動的時間越長，其軌跡線所對應(yīng)的圓心角θ越大，故從ad邊射出的電子在磁場中運(yùn)動的時間都相等且運(yùn)動時間最長，AC正確，B錯誤；D．從bc邊射出的軌道半徑大于從ad邊射出的電子的軌道半徑，由半徑公式可得軌跡半徑與速率成正比，則電子的速率越大，在磁場中的運(yùn)動軌跡半徑越大，故從bc邊射出的電子的速度一定大于從ad邊射出的電子的速度，D正確。本題選錯誤的，故選B。12．一圓筒處于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場中，磁場方向與筒的軸平行，筒的橫截面如圖所示。圖中直徑MN的兩端分別開有小孔，筒繞其中心軸以角速度ω順時針轉(zhuǎn)動。在該截面內(nèi)，一帶電粒子從小孔M射入筒內(nèi)，射入時的運(yùn)動方向與MN成30°角。當(dāng)筒轉(zhuǎn)過90°時，該粒子恰好從小孔N飛出圓筒，不計重力。若粒子在筒內(nèi)未與筒壁發(fā)生碰撞，則帶電粒子的比荷為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題可知，粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的軌跡如圖所示由幾何關(guān)系可知，粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的圓弧所對的圓心角為30°，因此粒子在磁場中運(yùn)動的時間為粒子在磁場中運(yùn)動的時間與筒轉(zhuǎn)過90°所用的時間相等，即解得故選A。13．用圖1所示的洛倫茲力演示儀演示帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動時發(fā)現(xiàn)，有時玻璃泡中的電子束在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動軌跡呈“螺旋”狀。現(xiàn)將這一現(xiàn)象簡化成如圖2所示的情景來討論：在空間存在平行于x軸的勻強(qiáng)磁場，由坐標(biāo)原點(diǎn)在xOy平面內(nèi)以初速度沿與x軸正方向成α角的方向，射入磁場的電子運(yùn)動軌跡為螺旋線，其軸線平行于x軸，直徑為D，螺距為△x，則下列說法中正確的是（）A．勻強(qiáng)磁場的方向?yàn)檠豿軸負(fù)方向B．若僅增大勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度，則直徑D減小，而螺距△x不變C．若僅增大電子入射的初速度，則直徑D增大，而螺距△x將減小D．若僅增大α角（），則直徑D增大，而螺距△x將減小，且當(dāng)時“軌跡”為閉合的整圓【答案】D【詳解】A．將電子的初速度沿x軸及y軸方向分解，沿x方向速度與磁場方向平行，做勻速直線運(yùn)動且x=v0cosα·t沿y軸方向，速度與磁場方向垂直，洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運(yùn)動，由左手定則可知，磁場方向沿x軸正方向，故A錯誤；B．根據(jù)且解得所以所以，若僅增大磁感應(yīng)強(qiáng)度B，則D、△x均減小，故B錯誤；C．若僅增大，則D、△x皆按比例增大，故C錯誤；D．若僅增大α，則D增大而△x減小，且°時故D正確。故選D。14．在如圖所示的平面內(nèi)，存在寬為的勻強(qiáng)磁場區(qū)域（足夠長、邊界上有磁場），勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為，左側(cè)邊界上有一離子源，可以向紙面內(nèi)各方向發(fā)射質(zhì)量為、帶電荷量為、速度大小為的離子。不計離子受到的重力和空氣阻力，下列說法正確的是（）A．離子在磁場中運(yùn)動的最長時間為B．離子從右側(cè)邊界離開磁場時，在磁場中運(yùn)動的最短時間為C．離子從右側(cè)邊界離開磁場時，在磁場中運(yùn)動的最長時間為D．離子從左側(cè)邊界離開磁場時，射入點(diǎn)與射出點(diǎn)間的最大距離為【答案】B【詳解】AD．由得則垂直左邊界運(yùn)動的離子恰與右邊界相切，運(yùn)動半個圓周，在磁場中運(yùn)動的最長時間為此時，離子從左邊界離開磁場，射入點(diǎn)與射出點(diǎn)間的距離最大，大小為2L，AD錯誤；B．當(dāng)離子圓周運(yùn)動的弦長最短時，圓心角最小，運(yùn)動時間最短，則最短弦長為L，由幾何關(guān)系，此時圓心角為，此過程時間最短B正確；C．離子初速度沿左邊界向下時，離子做四分之一的圓周運(yùn)動，此時有最大弦長，則離子從右側(cè)邊界離開磁場時，在磁場中運(yùn)動的最長時間為C錯誤。故選B。15．如圖所示，圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場，三個質(zhì)量和電荷量都相同的帶電粒子a、b、c，以不同的速率對準(zhǔn)圓心O沿著AO方向射入磁場，其運(yùn)動軌跡如圖、若帶電粒子只受磁場力的作用，則下列說法正確的是（）A．三個粒子都帶負(fù)電荷 B．c粒子運(yùn)動速率最小C．c粒子在磁場中運(yùn)動時間最短 D．它們做圓周運(yùn)動的周期Ta<Tb<Tc【答案】C【詳解】A．粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動時，由洛倫茲力提供向心力，結(jié)合左手定則可知，三個粒子都帶正電荷，A錯誤；B．根據(jù)可得三個帶電粒子的質(zhì)量、電荷量相同，在同一個磁場中，當(dāng)速度越大時、軌道半徑越大，則由圖知，a粒子的軌跡半徑最小，c粒子的軌跡半徑最大，則a粒子速率最小，a粒子動能最小，c粒子速率最大，B錯誤；D．三個帶電粒子的質(zhì)量和電荷量都相同，由粒子運(yùn)動的周期可知三粒子運(yùn)動的周期相同，即D錯誤；C．粒子在磁場中運(yùn)動時間θ是粒子軌跡對應(yīng)的圓心角，也等于速度的偏轉(zhuǎn)角，由圖可知，a在磁場中運(yùn)動的偏轉(zhuǎn)角最大，運(yùn)動的時間最長，c在磁場中運(yùn)動的偏轉(zhuǎn)角最小，c粒子在磁場中運(yùn)動時間最短，C正確。故選C。二、解答題16．如圖，在0≤x≤h，區(qū)域中存在方向垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小可調(diào)，方向不變。一質(zhì)量為m，電荷量為q（q>0）的粒子以速度v0從磁場區(qū)域左側(cè)沿x軸進(jìn)入磁場，不計重力。（1）若粒子經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后穿過y軸正半軸離開磁場，分析說明磁場的方向，并求在這種情況下磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值Bm；（2）如果磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為，粒子將通過虛線所示邊界上的一點(diǎn)離開磁場。求粒子在該點(diǎn)的運(yùn)動方向與x軸正方向的夾角及該點(diǎn)到x軸的距離?！敬鸢浮浚?）磁場方向垂直于紙面向里；；（2）；【詳解】（1）由題意，粒子剛進(jìn)入磁場時應(yīng)受到方向向上的洛倫茲力，因此磁場方向垂直于紙面向里。設(shè)粒子進(jìn)入磁場中做圓周運(yùn)動的半徑為R，根據(jù)洛倫茲力公式和圓周運(yùn)動規(guī)律，有①由此可得②粒子穿過y軸正半軸離開磁場，其在磁場中做圓周運(yùn)動的圓心在y軸正半軸上，半徑應(yīng)滿足③由②可得，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小最小時，設(shè)為Bm，粒子的運(yùn)動半徑最大，由此得④（2）若磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為，粒子做圓周運(yùn)動的圓心仍在y軸正半軸上，由②④式可得，此時圓弧半徑為⑤粒子會穿過圖中P點(diǎn)離開磁場，運(yùn)動軌跡如圖所示。設(shè)粒子在P點(diǎn)的運(yùn)動方向與x軸正方向的夾角為α，由幾何關(guān)系⑥即⑦由幾何關(guān)系可得，P點(diǎn)與x軸的距離為⑧聯(lián)立⑦⑧式得⑨17．為了研究行星的磁場對宇宙高能粒子及行星生態(tài)環(huán)境的作用，研究小組建立了以下模型，如圖所示，在圓心為O1半徑為R的接地的金屬圓柱外，有一個勻強(qiáng)磁場均勻的分布在半徑為R、2R的兩邊界1、II之間的圓環(huán)區(qū)域內(nèi)，磁場方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B（未知）．在磁場左側(cè)有一長為4R的帶狀粒子源，中點(diǎn)為O2，可以放出速度大小為v。、方向平行O1O2連線的帶正電粒子，帶電粒子沿線均勻分布，每單位時間放出的粒子數(shù)為n0已知帶電粒子的比荷為，不計重力及任何阻力。求：（1）若從O2點(diǎn)放出的粒子，恰好能被金屬圓柱接收到，則磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大?。唬?）若，則圓柱在單位時間內(nèi)接收到的粒子數(shù)n1；（3）若某粒子在磁場中軌跡恰好與金屬圓柱內(nèi)切時，則該粒子進(jìn)入磁場的位置與O1O2連線間的距離。【答案】（1）；（2）；（3）【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)放出的粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑為r1，軌跡如圖所示軌跡剛好與圓柱相切，由勾股定理得得因此由得（2）當(dāng)，根據(jù)粒子運(yùn)動半徑由幾何關(guān)系知，剛好與圓柱相切的粒子的軌跡圓的圓心在邊界Ⅱ上粒子入射的位置在連線以下處，而且沿最下方與磁場相切進(jìn)入的粒子容易被圓柱接收到，故粒子入射的位置在連線以下處，圓柱在單位時間內(nèi)接收到的粒子數(shù)（3）在時，根據(jù)粒子的軌跡圓半徑為粒子的軌跡圓與圓柱體內(nèi)切，如圖所示是一個兩鄰邊為的等腰三角形，其面積由圖可知解得對粒子進(jìn)入磁場的位置與0102連線間的距離。18．如圖