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高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省長(zhǎng)沙市名校2024屆高三上學(xué)期8月第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合,,則()A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗,,則.故選:C.2.已知復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由可得,所以,故選:3.已知,是非零實(shí)數(shù),則“”是“”的()A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?,都是非零?shí)數(shù),由可得,所以成立,反之也成立.所以“”是“”的充分必要條件,故選:A.4.某社區(qū)為了豐富退休人員的業(yè)余文化生活,自2018年以來,始終堅(jiān)持開展“悅讀小屋讀書活動(dòng)”.下表是對(duì)2018年以來近5年該社區(qū)退休人員的年人均借閱量的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì):年份20182019202020212022年份代碼12345年人均借閱量(冊(cè))162228(參考數(shù)據(jù):)通過分析散點(diǎn)圖的特征后,年人均借閱量關(guān)于年份代碼的回歸分析模型為,則2023年的年人均借閱量約為()A.31 B.32 C.33 D.34〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?,,所以,?所以回歸方程為,當(dāng)時(shí),.故選:C.5.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì):由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)過拋物線反射后,沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出;反之,平行于地物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線的焦點(diǎn)為,為坐標(biāo)原點(diǎn),一束平行于軸的光線從點(diǎn)射入,經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)反射后,再經(jīng)拋物線上另一點(diǎn)反射后,沿直線射出,則直線與間的距離最小值為()A.2 B.4 C.8 D.16〖答案〗B〖解析〗由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知,直線過拋物線的焦點(diǎn),設(shè)直線的方程為,將直線的方程代入中,得,所以,,直線與間的距離,當(dāng)時(shí),取最小值4,故選:B.6.某校4名同學(xué)參加數(shù)學(xué)和物理兩項(xiàng)競(jìng)賽,每項(xiàng)競(jìng)賽至少有1名同學(xué)參加,每名同學(xué)限報(bào)其中一項(xiàng),則兩項(xiàng)競(jìng)賽參加人數(shù)不相等的概率為()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗記“兩項(xiàng)競(jìng)賽參加人數(shù)不相等”為事件,則,故選:D.7.在矩形中,,,現(xiàn)將沿折起成,折起過程中,當(dāng)時(shí),四面體體積為()A.2 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題可知,,又平面,故平面,又平面,所以,即此時(shí)為直角三角形,因?yàn)?,,所以,又,平面,所以平面,所以四面體的體積為.故選:B.8.在三角形中,,,,在上的投影向量為,則()A.-12 B.-6 C.12 D.18〖答案〗A〖解析〗由題意,,為中點(diǎn),由在上的投影向量為,即,又,所以,所以.故選:A.二、選擇題9.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,則下列結(jié)論正確的是()A.B.的最大值為2C.函數(shù)的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為D.在上單調(diào)遞減〖答案〗BC〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,則點(diǎn)在函數(shù)的圖象上,所以,解得,故A錯(cuò)誤;由,得最大值為2,故B正確;因?yàn)榈淖钚≌芷跒?,所以函?shù)的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸的距離為,故C正確;當(dāng)時(shí),,所以在上是單調(diào)遞增,故D錯(cuò)誤.故選:BC.10.(多選)已知點(diǎn),是雙曲線:的左、右焦點(diǎn),是雙曲線位于第一象限內(nèi)一點(diǎn),若,,則下列結(jié)論正確的是()A.的面積為B.雙曲線離心率為C.雙曲線的漸近線方程為D.若雙曲線的焦距為,則雙曲線的方程為〖答案〗BD〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A:由定義可得,因?yàn)?,所以,,由已知,所以的面積為,故A錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)B:由勾股定理得,即,所以,故B正確;對(duì)于選項(xiàng)C:因?yàn)?,所以,即,所以雙曲線的漸近線方程為:,故C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D:由雙曲線的焦距為得,從而,,所以雙曲線的方程為,故D正確.故選:BD.11.若數(shù)列中任意連續(xù)三項(xiàng),,,均滿足,則稱數(shù)列為跳躍數(shù)列.則下列結(jié)論正確的是()A.等比數(shù)列:1,,,,,…是跳躍數(shù)列B.數(shù)列的通項(xiàng)公式為,數(shù)列是跳躍數(shù)列C.等差數(shù)列不可能是跳躍數(shù)列D.等比數(shù)列是跳躍數(shù)列的充要條件是該等比數(shù)列的公比〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A,由跳躍數(shù)列定義知,等比數(shù)列:1,,,,,…是跳躍數(shù)列,故A正確;對(duì)于選項(xiàng)B,數(shù)列的前三項(xiàng)為,,,不符合跳躍數(shù)列的定義,故B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)?shù)炔顢?shù)列公差時(shí),它是單調(diào)遞增數(shù)列;公差時(shí),它是單調(diào)遞減數(shù)列;公差時(shí),它是常數(shù)列,所以等差數(shù)列不可能是跳躍數(shù)列,故C正確;對(duì)于選項(xiàng)D,等比數(shù)列是跳躍數(shù)列,則,整理得,即,若比數(shù)列的公比,則,可得,所以等比數(shù)列是跳躍數(shù)列,故D正確.故選:ACD.12.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,且滿足,則下列結(jié)論正確的是()A.函數(shù)是奇函數(shù)B.函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱C.函數(shù)是最小正周期為2的周期函數(shù)D若函數(shù)滿足,則〖答案〗ABD〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,所以,所以函數(shù)是奇函數(shù),故A正確;因?yàn)椋?,又,所以,所以,所以,所以為偶函?shù).故B正確;因?yàn)?,所以是最小正周期?的周期函數(shù),故C錯(cuò)誤;因?yàn)椋?,那么,所以也是周期?的函數(shù),,因?yàn)?,所以,,所以,所以,故D正確.故選:ABD.三、填空題13.已知,則________.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為:14.已知圓:,過動(dòng)點(diǎn)作圓切線(為切點(diǎn)),使得,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為________.〖答案〗〖解析〗設(shè),由得,則,即.故〖答案〗為:15.如圖,圓柱的底面半徑和母線長(zhǎng)均為3,是底面直徑,點(diǎn)在圓上且,點(diǎn)在母線上,,點(diǎn)是上底面的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且,則四面體的外接球的體積為________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)槭巧系酌娴囊粋€(gè)動(dòng)點(diǎn),且,所以點(diǎn)的軌跡是上底面上以為圓心,為半徑的圓,在中,,,,∴,∴為直角三角形,其外心為與的交點(diǎn),且,,而,所以,所以為四面體的外接球的球心,球半徑為,所以球的體積故〖答案〗為:16.已知是函數(shù)的兩個(gè)不同極值點(diǎn),若,則實(shí)數(shù)的值為________.〖答案〗〖解析〗依題意知,,,是函數(shù)的兩個(gè)不同極值點(diǎn),所以,,即有兩個(gè)不同實(shí)根,等價(jià)于有兩個(gè)根,令,則,令,解得,所以時(shí),,單調(diào)遞增,時(shí),,單調(diào)遞減,所以時(shí),取得最大值,,又趨向于正無窮大時(shí),趨向于0,所以且.若,即,由解得:,或,(舍去),所以.故〖答案〗為:.四、解答題17.在中,內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、,已知.(1)求角的值;(2)若的面積為,為的中點(diǎn),求的最小值.解:(1)由及正弦定理可得:,則,因?yàn)?,則,所以,,可得,故.(2)由于的面積為,所以,,解得在中,由余弦定理得:,故,當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí),的最小值為.18.在直三棱柱中,,,,延長(zhǎng)至,使,連接,,.(1)求證:平面平面;(2)求二面角的余弦值.(1)證明:因?yàn)槿庵侵比庵?,所以平面,又由延長(zhǎng)至,使,連接,可知在平面內(nèi),所以因?yàn)?,,所以,,又由,所以,所以,即,又,所以平面,因在平面?nèi),所以平面平面;(2)解:法一:由(1)可知,取中點(diǎn),連接、,所以,因?yàn)槠矫?,易得,所以,所以為二面角的平面角,因?yàn)?,所以,,所以,所以,故二面角的余弦值?法二:由已知可知,,,所以以點(diǎn)為原點(diǎn),,,分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示),由,,則,,,因?yàn)槠矫?,所以平面的法向量為,由,,設(shè)平面的法向量為,則,,令,得,所以,所以二面角的余弦值為.19.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足,,數(shù)列滿足.(1)證明:是等比數(shù)列;(2)設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,證明:.證明:(1)由題設(shè),得,即,所以,又,所以,而,故是首項(xiàng)與公比都為2的等比數(shù)列.(2)由(1),得,當(dāng)時(shí),,顯然滿足上式,所以,則,所以,故.20.2023年游泳世錦賽于7月14日—30日在日本福岡進(jìn)行,甲、乙兩名10米跳臺(tái)雙人賽的選手,在備戰(zhàn)世錦賽時(shí)挑戰(zhàn)某高難度動(dòng)作,每輪均挑戰(zhàn)3次,每次挑戰(zhàn)的結(jié)果只有成功和失敗兩種.(1)甲在每次挑戰(zhàn)中,成功的概率都為.設(shè)甲在3次挑戰(zhàn)中成功的次數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)乙在第一次挑戰(zhàn)時(shí),成功的概率為0.5,由于教練點(diǎn)撥、自我反思和心理調(diào)控等因素影響下,從第二次開始,每次成功的概率會(huì)發(fā)生改變,改變規(guī)律為:若前一次成功,則該次成功的概率比前一次成功的概率增加0.2;若前一次失敗,則該次成功的概率比前一次成功的概率增加0.15.求乙在第三次成功的概率.解:(1)由題意得,則,其中,則的分布列為:0123則.(2)設(shè)事件為“乙在第次挑戰(zhàn)成功”,其中.所以;;;;故.即乙在第三次成功的概率為0.85875.21.已知橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為、,是橢圓上一動(dòng)點(diǎn),,橢圓的離心率為,直線過點(diǎn)交橢圓于不同的兩點(diǎn),.(1)求橢圓的方程:(2)若三角形的面積為,求直線的方程.解:(1)設(shè)橢圓的半焦距為,由已知有,解得故橢圓的方程為.(2)設(shè),,直線的方程為,,聯(lián)立消去,整理得,則,,且,即或.所以的面積為,令,得,解得或,從而或.故直線的方程為,或,即,或.22.證明下面兩題:(1)證明:當(dāng)時(shí),;(2)當(dāng)時(shí),證明函數(shù)有2個(gè)不同零點(diǎn).證明:(1)令,其中,則,令,
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