吉林省吉林市第四中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1吉林省吉林市第四中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共9小題，每小題5分，共45分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗直線的斜率不存在，直線的傾斜角為.故選：D.2.已知向量，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗,故選:D．3.已知直線過，且，則直線的斜率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)直線斜率為，直線斜率為，因為直線過，，所以斜率為，因，所以，所以，即直線的斜率為.故選：B.4.如圖，在正方體中，點E是上底面的中心，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗以為原點，為軸正方向建立空間直角坐標系如圖所示，設(shè)正方體棱長為2，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：B5.已知點，，若過的直線與線段相交，則直線斜率k的取值范圍為（）A. B. C.或 D.〖答案〗D〖解析〗根據(jù)題意，，，，則，，結(jié)合圖象可得直線的斜率k的取值范圍是.故選：D.6.下列命題中：①若向量共線，則向量所在的直線平行；②若向量所在的直線為異面直線，則向量一定不共面；③若三個向量兩兩共面，則向量共面；④已知空間的三個向量，則對于空間的任意一個向量總存在實數(shù)使得其中正確命題的個數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗A〖解析〗對于①，若向量共線，則向量所在的直線平行，也可能共線，故①錯誤；對于②，由于向量可以平移，兩個向量一定共面，故②錯誤；對于③，任意兩個向量自然是兩兩共面，三個向量則不一定共面，例如空間直角坐標系軸所在的向量兩兩共面，但是顯然軸不共面，故③錯誤；對于④，若共線時，顯然共面，于是只能表示和共面的向量，對于空間中的任意向量則不一定成立，故④錯誤.于是四個選項都是錯的.故選：A7.如圖，平行六面體的底面是矩形，，，，且，則線段的長為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，可得，因為底面為矩形，，，，所以，，又，所以，則.故選：B8.如圖，ABCD－EFGH是棱長為1的正方體，若P在正方體內(nèi)部且滿足，則P到AB的距離為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AE所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則，，，因為，所以，，，，，所以點P到AB的距離．故選：C.9.如圖，，分別是圓臺上、下底面的兩條直徑，且，，是弧靠近點的三等分點，則在上的投影向量是（）.A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，取在下底面的投影C，作，垂足為D.連接，，，則，在上的投影向量是.設(shè)上底面的半徑為r，則，.故在上的投影向量是.故選：C二、選擇題：本題共5小題，每小題5分，共25分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．10.在空間直角坐標系中，點的坐標為，則下列說法正確的是（）A.點關(guān)于原點對稱的點是B.點關(guān)于軸對稱的點是C.點關(guān)于平面，對稱的點是D.點關(guān)于點對稱的點是〖答案〗AC〖解析〗空間直角坐標系中，點.對于A，點關(guān)于于原點對稱的點的坐標是，A正確；對于B，點關(guān)于軸對稱的點的坐標是，B錯誤；對于C，點關(guān)于平面對稱點的坐標是，C正確；對于D，點關(guān)于點對稱點的坐標是，D錯誤；綜上知，正確的選項是AC.故選：AC.11.如圖，正方體的棱長為1，為的中點，為的中點，則（）A. B.直線平面C.直線與平面所成角的正切值為 D.點到平面的距離是〖答案〗ABD〖解析〗對于A，，，，為等邊三角形，又為的中點，所以，故A正確；對于B，取中點，連接，，，可知且，又且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，，又平面，平面，平面，故B正確；對于C，取的中點，連接，則，因為平面，所以平面，所以與平面所成的角為，所以，故C錯誤；對于D，設(shè)點到平面的距離為，利用等體積法知，即，解得，故D正確；故選：ABD12.已知點，點在平面上，且點到點的距離相等，則點的坐標可以為（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗依題意，點在平面上，設(shè)，由于，，，整理得，通過驗證可知，、符合，所以BC選項正確.故選：BC13.下列利用方向向量?法向量判斷線?面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是（

）A.兩條不重合直線的方向向量分別是，則B.直線的方向向量，平面的法向量是，則C.兩個不同的平面的法向量分別是，則D.直線的方向向量，平面的法向量是，則〖答案〗AC〖解析〗對于，兩條不重合直線，的方向向量分別是，則，所以，即，故正確；對于B，直線的方向向量，平面的法向量是，則，所以，即或，故B錯誤；對于C，兩個不同的平面，的法向量分別是，則，所以，故C正確；對于D，直線的方向向量，平面的法向量是，則，所以，即，故D錯誤．故選：AC．14.布達佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達·芬奇方磚在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案，如圖1，把三片這樣的達·芬奇方磚拼成圖2的組合，這個組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的幾何體.若圖3中每個正方體的棱長為1，則（）A.B.直線與平面所成角的正弦值為C.點到直線的距離是D.異面直線與所成角的余弦值為〖答案〗BCD〖解析〗A選項，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，，，則，A錯誤；B選項，平面的法向量為，，設(shè)直線與平面所成角大小為，則，B正確；C選項，，點到直線的距離為，C正確；D選項，，設(shè)異面直線與所成角大小為，則，D正確.故選：BCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．15.設(shè)直線l的方向向量為，平面的一個法向量為，若直線l//平面，則實數(shù)z的值為__________．〖答案〗-4〖解析〗若直線l//平面，則直線l的方向向量與平面的一個法向量垂直，由此可得，解得.故〖答案〗為：16.設(shè)，向量，，，且，，則______.〖答案〗〖解析〗根據(jù)可得，故，此時，由可得，故，此時，于是，故.故〖答案〗為：17.已知為空間中一點，四點共面且任意三點不共線，若，則的值為______．〖答案〗〖解析〗依題意，四點共面且任意三點不共線，所以，所以，，，所以，解得.故〖答案〗為：18.已知，，且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是_________.〖答案〗〖解析〗因為與的夾角為鈍角，，解得，由題意得與不共線，則，解得，的取值范圍是.故〖答案〗為：四、解答題：本題共5小題，共60分．每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．19.已知直線經(jīng)過兩點，問：當取何值時：（1）直線與軸平行?（2）直線的方向向量的坐標為．（3）直線的傾斜角為?解：（1）若直線與軸平行，則直線的斜率，所以．（2）直線的方向向量的坐標為，故，即，解得．（3）由題意可知，直線的斜率，即，解得．20.已知，.（1）若，求的值；（2）若，求實數(shù)k的值；（3）若，求實數(shù)k的值.解：（1）由已知可得，，所以；（2）因為，，又，存在實數(shù)m使得，，，，解得；（3）因為，所以，即，解得.21.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，E是的中點，已知，．（1）求證：；（2）求證：平面平面．解：（1）以A為原點，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，，所以，，所以，所以．（2）連接，，如圖所示，因為面，面，所以，又因為四邊形為正方形，所以，又因為，、面，所以面，又因為面，所以平面平面．22.如圖，已知四棱錐的底面是菱形，對角線，交于點，，，，底面，設(shè)點滿足．（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求點到平面的距離．解：（1）因為平面是菱形，所以，又因為底面，且面，所以，，所以，，兩兩垂直，以為坐標原點，以，，所在的直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：因為，，，則所以，又因，所以，設(shè)平面的法向量，則，取，可得，所以，設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.（2）由（1）中的空間直角坐標系，可得，可得，所以與平面所成角的正弦值為，則到平面的距離.23.如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，是正三角形，且平面平面，，為棱的中點，四棱錐的體積為．（1）若為棱的中點，求證：平面；（2）在棱上是否存在點，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為？若存在，指出點的位置并給以證明；若不存在，請說明理由.解：（1）取中點，連接，分別為的中點，，底面四邊形是矩形，