高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義正態(tài)分布學(xué)生

課題：正態(tài)分布知識(shí)點(diǎn)1．正態(tài)分布概念：若連續(xù)型隨機(jī)變量ζ的概率密度函數(shù)為，其中為常數(shù)，且，則稱服從正態(tài)分布，簡(jiǎn)記為～。的圖象稱為正態(tài)曲線。2．正態(tài)分布的期望與方差：若～，則標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線3．正態(tài)曲線的性質(zhì)：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線（1）曲線位于x軸上方，與x軸不相交；（2）曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱；（3）曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；（4）曲線與x軸之間的面積為1；（5）當(dāng)σ一定時(shí)，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；（6）當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定．σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．4．在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中相應(yīng)于的值是指總體取值小于的概率即時(shí)，則的值可在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中查到時(shí)，可利用其圖象的對(duì)稱性獲得來(lái)求出，5．兩個(gè)重要公式：（1）（2）xyOxyO6．與的關(guān)系：（1）若～，則～，有（2）若～，則【注1】正態(tài)總體三個(gè)基本概率值（1）P（μ－σ<X≤μ＋σ）＝0．6826；（2）P（μ－2σ<X≤μ＋2σ）＝0．9544；（3）P（μ－3σ<X≤μ＋3σ）＝0．9974．【注2】正態(tài)分布問(wèn)題的關(guān)鍵是利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性，把待求區(qū)間內(nèi)的概率向已知區(qū)間內(nèi)的概率轉(zhuǎn)化．解題時(shí)要充分結(jié)合圖形進(jìn)行分析、求解，要注意數(shù)形結(jié)合思想及化歸思想的運(yùn)用．（1）熟記P（μ－σ<X≤μ＋σ），P（μ－2σ<X≤μ＋2σ），P（μ－3σ<X≤μ＋3σ）的值；（2）充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間面積為1．①正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，從而在關(guān)于x＝μ對(duì)稱的區(qū)間上概率相同．②P（X≤a）＝1－P（X≥a），P（X≤μ－a）＝P（X≥μ＋a）．典型例題例1已知某批零件的長(zhǎng)度誤差（單位：毫米）服從正態(tài)分布，從中隨機(jī)取一件，其長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間（3,6）內(nèi)的概率為（）（附：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布，則，。）A．4．56%B．13．59%C．27．18%D．31．74%【答案】B【解析】用表示零件的長(zhǎng)度，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)得：,故選B．例2若正態(tài)分布密度函數(shù)，下列判斷正確的是（）A．有最大值，也有最小值B．有最大值，但沒(méi)最小值C．有最大值，但沒(méi)最大值D．無(wú)最大值和最小值答案：B。例3在一次英語(yǔ)考試中，考試的成績(jī)服從正態(tài)分布，那么考試成績(jī)?cè)趨^(qū)間內(nèi)的概率是（）A．0．6826B．0．3174C．0．9544D．0．9974答案：C。解析：由已知X—N（100，36），故。例4據(jù)統(tǒng)計(jì)“十一”黃金周哈爾濱太陽(yáng)島每天的游客人數(shù)服從正態(tài)分布，則在此期間的某一天，太陽(yáng)島的人數(shù)不超過(guò)2300的概率為（）附；若，A．B．C．D．【答案】D【解析】游客人數(shù)服從正態(tài)分布，則由則，可得，所以．故本題答案選．例5隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，已知，則=（）A．0．1B．0．2C．0．4D．0．6【答案】D【解析】隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，圖象關(guān)于對(duì)稱，，所以．例6已知某次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)服從正態(tài)分布N（116，64），則成績(jī)?cè)?40分以上的考生所占的百分比為（）．A．0．3%B．0．23%C．1．5% D．0．15%易錯(cuò)分析：（1）不能正確得出該正態(tài)分布的兩個(gè)參數(shù)μ，σ導(dǎo)致計(jì)算無(wú)從下手．（2）對(duì)正態(tài)分布中隨機(jī)變量在三個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率數(shù)值記憶不準(zhǔn)，導(dǎo)致計(jì)算出錯(cuò)．正確解析：依題意，μ＝116，σ＝8，所以μ－3σ＝92，μ＋3σ＝140，而服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在（μ－3σ，μ＋3σ）內(nèi)取值的概率約為0．997，所以成績(jī)?cè)趨^(qū)間（92,140）內(nèi)的考生所占百分比約為99．7%，從而成績(jī)?cè)?40分以上的考生所占的百分比為eq\f(1－99.7%,2)＝0．15%．故選D．答案D例7在我校2023年高三11月月考中理科數(shù)學(xué)成績(jī)（），統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，假設(shè)我校參加此次考試有780人，那么試估計(jì)此次考試中，我校成績(jī)高于120分的有人．【答案】【解析】試題分析：我校成績(jī)高于分的有人．例8已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且方程有實(shí)數(shù)解得概率為，若，則．【答案】【解析】試題分析：∵方程有實(shí)數(shù)解的概率為，∴，即，故正態(tài)曲線的對(duì)稱軸是，如圖，，．例9已知服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在區(qū)間，和內(nèi)取值的概率分別為68．3%，95．4%和99．7%．某校高一年級(jí)1000名學(xué)生的某次考試成績(jī)服從正態(tài)分布，則此次成績(jī)?cè)冢?0，120）范圍內(nèi)的學(xué)生大約有（）[來(lái)源:Z．xx．k．Com]A．997人B．972人C．954人D．683人【答案】C【解析】∵，∴．例10在某市舉辦的“中華文化藝術(shù)節(jié)”知識(shí)大賽中，大賽分預(yù)賽與復(fù)賽兩個(gè)環(huán)節(jié)．預(yù)賽有4000人參賽．先從預(yù)賽學(xué)生中隨機(jī)抽取100人成績(jī)得到如下頻率分布直方圖：（1）若從上述樣本中預(yù)賽成績(jī)不低于60分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求至少1人成績(jī)不低于80分的概率；（2）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為該市全體參加預(yù)賽的學(xué)生成績(jī)Z服從正態(tài)分布，其中可以近似為100名學(xué)生的預(yù)賽平均成績(jī)，，試估計(jì)全市參加預(yù)賽學(xué)生中成績(jī)不低于91分的人數(shù)；（3）預(yù)賽成績(jī)不低于91分的學(xué)生可以參加復(fù)賽．復(fù)賽規(guī)則如下：①每人復(fù)賽初始分均為100分；②參賽學(xué)生可在開始答題前自行選擇答題數(shù)量，每答一題需要扣掉一定分?jǐn)?shù)來(lái)獲取答題資格，規(guī)定回答第題時(shí)扣掉分；③每答對(duì)一題加2分，答錯(cuò)既不加分也不扣分；④答完n題后參賽學(xué)生的最后分?jǐn)?shù)即為復(fù)賽分?jǐn)?shù)．已知學(xué)生甲答對(duì)每題的概率為0．75，且各題答對(duì)與否相互獨(dú)立，若甲期望得到最佳復(fù)賽成績(jī)，則他的答題數(shù)量n應(yīng)為多少？（參考數(shù)據(jù)，若，則，，）．【答案】（1），（2），（3）若學(xué)生甲期望獲得最佳復(fù)賽成績(jī)，則他的答題量應(yīng)該是7．【分析】（1）求出樣本中成績(jī)不低于60分的學(xué)生共有40人，其中成績(jī)不低于80分的人數(shù)為15人，由此能求出至少有1人成績(jī)不低于80分的概率．（2）樣本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績(jī)的平均值為：，則，由，得，從而，由此能求出估計(jì)全市參加參賽的全體學(xué)生中成績(jī)不低于91分的人數(shù)．（3）以隨機(jī)變量表示甲答對(duì)的題數(shù)，則，求出，記甲答完題所加的分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量，則，求出，為了獲取答題的資格，甲需要扣掉的分?jǐn)?shù)為：，設(shè)甲答完題的分?jǐn)?shù)為，則，由此能求出學(xué)生甲期望獲得最佳復(fù)賽成績(jī)的答題量的值．【詳解】解：（1）樣本成績(jī)不低于60分的學(xué)生有人其中成績(jī)不低于80分的有人則至少有1人成績(jī)不低于80分的概率（2）由題意知樣本中100名學(xué)生成績(jī)平均分為，所以，，所以所以，則故全市參加預(yù)賽學(xué)生中成績(jī)不低于91分的人數(shù)為人（3）以隨機(jī)變量表示甲答對(duì)的題數(shù)，則，且，記甲答完題所加的分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量，則，，依題意為了獲取答題的資格，甲需要扣掉的分?jǐn)?shù)為：，設(shè)甲答完題的分?jǐn)?shù)為，則，由于，當(dāng)時(shí)，取最大值，即復(fù)賽成績(jī)的最大值為．若學(xué)生甲期望獲得最佳復(fù)賽成績(jī)，則他的答題量應(yīng)該是7．例11習(xí)近平總書記在黨的十九大工作報(bào)告中提出，永遠(yuǎn)把人民對(duì)美好生活的向往作為奮斗目標(biāo)．在這一號(hào)召的引領(lǐng)下，全國(guó)人民積極工作，健康生活．當(dāng)前，“日行萬(wàn)步”正成為健康生活的代名詞．某學(xué)校工會(huì)積極組織該校教職工參與“日行萬(wàn)步”活動(dòng)．界定日行步數(shù)不足千步的人為“不健康生活方式者”，不少于千步的人為“超健康生活方式者”，其他為“一般生活方式者”．某日，學(xué)校工會(huì)隨機(jī)抽取了該校名教職工，統(tǒng)計(jì)他們的日行步數(shù)，按步數(shù)分組，得到頻率分布直方圖如圖所示：（1）求名教職工日行步數(shù)（千步）的樣本平均數(shù)（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）；（2）由直方圖可以認(rèn)為該校教職工的日行步數(shù)（千步）服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差的近似值為，求該校被抽取的名教職工中日行步數(shù)（千步）的人數(shù)（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）；（3）用樣本估計(jì)總體，將頻率視為概率．若工會(huì)從該校教職工中隨機(jī)抽取人作為“日行萬(wàn)步”活動(dòng)的慰問(wèn)獎(jiǎng)勵(lì)對(duì)象，規(guī)定：“不健康生活方式者”給予精神鼓勵(lì)，獎(jiǎng)勵(lì)金額每人元；“一般生活方式者”獎(jiǎng)勵(lì)金額每人元；“超健康生活方式者”獎(jiǎng)勵(lì)金額每人元．求工會(huì)慰問(wèn)獎(jiǎng)勵(lì)金額的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，．【答案】（1）見解析．（2）54人．（3）見解析．【解析】試題分析：（1）利用中點(diǎn)近似每組的數(shù)值可得名教職工日行步數(shù)的樣本平均數(shù)為千步．（2）由題意可得，結(jié)合正態(tài)分布的準(zhǔn)則可得：，，則．據(jù)此可估計(jì)走路步數(shù)的總?cè)藬?shù)為人．（3）由題意知的可能取值為，，，，，相應(yīng)的概率值為：，，，，．據(jù)此得到X的分布列，計(jì)算其數(shù)學(xué)期望為．試題解析：（1）．（2）∵，∴，，∴．走路步數(shù)的總?cè)藬?shù)為人．（3）由題意知的可能取值為，，，，，，，，，．則的分布列為：．例12某城市為疏導(dǎo)城市內(nèi)的交通擁堵問(wèn)題，現(xiàn)對(duì)城市中某條快速路進(jìn)行限速，經(jīng)智能交通管理服務(wù)系統(tǒng)觀測(cè)計(jì)算，通過(guò)該快速路的所有車輛行駛速度近似服從正態(tài)分布，其中平均車速，標(biāo)準(zhǔn)差．通過(guò)分析，車速保持在之間，可令道路保持良好的行駛狀況，故認(rèn)為車速在之外的車輛需矯正速度（速度單位：）．（1）從該快速路上觀測(cè)到的車輛中任取一輛，估計(jì)該車輛需矯正速度的概率．（2）某興趣小組也對(duì)該快速路進(jìn)行了觀測(cè)，他們于某個(gè)時(shí)間段內(nèi)隨機(jī)對(duì)100輛車的速度進(jìn)行取樣，根據(jù)測(cè)量的數(shù)據(jù)列出上面的條形圖．①估計(jì)這100輛車的速度的中位數(shù)（同一區(qū)間中數(shù)據(jù)視為均勻分布）；②若以該興趣小組測(cè)得數(shù)據(jù)中的頻率視為概率，從該快速路上的所有車輛中任取三輛，記其中不需要矯正速度的車輛數(shù)為速度X，求X的分布列和期望．附：若，則；；．【答案】（1）0．1814；（2）①85，②分布列見解析，期望為2．4【分析】（1）利用正態(tài)分布的對(duì)稱性求、，而車速在之外的車輛需矯正速度，即可求車輛需矯正速度的概率；（2）①根據(jù)中位數(shù)的概念即可得到車速的中位數(shù)，②由題意車速在之間的不需要矯正速度且不需要矯正速度的車輛數(shù)的取值為，進(jìn)而利用二項(xiàng)分布的概率公式求不同的概率，并得到分布列，即可計(jì)算期望值【詳解】（1）由，∴由題意，知：快速路上觀測(cè)到的車輛中任取一輛，估計(jì)該車輛需矯正速度的概率為（2）①由圖知：100輛車的速度在有26輛，在有34輛∵同一區(qū)間中數(shù)據(jù)均勻分布，知：40輛速度在之間的車中，速度為83、84、85、86各有10輛∴100輛車的速度的中位數(shù)為85②由題意知：不需要矯正速度的車輛數(shù)的取值為，且車速在之間的不需要矯正速度∴不需要矯正速度的概率：，需要矯正速度的概率：∴由上：，分布列如下：0123∴舉一反三1．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，，若，則（）A．0．1358B．0．1359C．0．2716D．0．2718【答案】B2．已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（2，σ2），P（ξ≤4）＝0．84，則P（ξ＜0）＝（）A．0．16B．0．32C．0．68D．0．84【解析】∵P（ξ≤4）＝0．84，μ＝2，∴P（ξ＜0）＝P（ξ＞4）＝1－0．84＝0．16．【答案】A3．已知隨機(jī)變量,其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，若向正方形中隨機(jī)投擲個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分的點(diǎn)個(gè)數(shù)的估計(jì)值為（）附：若隨機(jī)變量,則,A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意，，落入陰影部分點(diǎn)的的概率為，則落入陰影部分點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為，故選B．4．若隨機(jī)變量，且，則展開式中項(xiàng)的系數(shù)是__________．【答案】16205．國(guó)家發(fā)展改革委、住房城鄉(xiāng)建設(shè)部于2017年發(fā)布了《生活垃圾分類制度實(shí)施方案》，規(guī)定46個(gè)城市在2020年底實(shí)施生活垃圾強(qiáng)制分類，垃圾回收、利用率要達(dá)35％以上．截至2019年底，這46個(gè)重點(diǎn)城市生活垃圾分類的居民小區(qū)覆蓋率已經(jīng)接近70％．武漢市在實(shí)施垃圾分類之前，從本市人口數(shù)量在兩萬(wàn)人左右的320個(gè)社區(qū)中隨機(jī)抽取50個(gè)社區(qū)，對(duì)這50個(gè)社區(qū)某天產(chǎn)生的垃圾量（單位：噸）進(jìn)行了調(diào)查，得到如下頻數(shù)分布表，并將人口數(shù)量在兩萬(wàn)人左右的社區(qū)垃圾數(shù)量超過(guò)28噸/天的確定為“超標(biāo)”社區(qū)：垃圾量頻數(shù)56912864（1）通過(guò)頻數(shù)分布表估算出這50個(gè)社區(qū)這一天垃圾量的平均值（精確到0．1）；（2）若該市人口數(shù)量在兩萬(wàn)人左右的社區(qū)這一天的垃圾量大致服從正態(tài)分布，其中近似為（1）中的樣本平均值，近似為樣本方差，經(jīng)計(jì)算得．請(qǐng)利用正態(tài)分布知識(shí)估計(jì)這320個(gè)社區(qū)中“超標(biāo)”社區(qū)的個(gè)數(shù)．（3）通過(guò)研究樣本原始數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，抽取的50個(gè)社區(qū)中這一天共有8個(gè)“超標(biāo)”社區(qū)，市政府決定對(duì)這8個(gè)“超標(biāo)”社區(qū)的垃圾來(lái)源進(jìn)行跟蹤調(diào)查．現(xiàn)計(jì)劃在這8個(gè)“超標(biāo)”社區(qū)中任取5個(gè)先進(jìn)行跟蹤調(diào)查，設(shè)為抽到的這一天的垃圾量至少為30．5噸的社區(qū)個(gè)數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．（參考數(shù)據(jù)：；；）【答案】（1）22．8噸；（2）51；（3）分布列見解析，．【分析】（1）直接利用平均數(shù)公式求解；（2）由（1）知，由題意可知，利用原則求解；（3）的可能取值為1，2，3，4，利用超幾何分布求概率，列出分布列，并求數(shù)學(xué)期望．【詳解】（1）由頻數(shù)分布表得：，所以這50個(gè)社區(qū)這一天垃圾量的平均值為22．8噸．（2）由（1）知，，，，，所以這320個(gè)社區(qū)中“超標(biāo)”社區(qū)的個(gè)數(shù)為51．（3）由頻數(shù)分布表知：8個(gè)“超標(biāo)”社區(qū)中這一天的垃圾量至少為30．5噸的社區(qū)有4個(gè)，所以的可能取值為1，2，3，4，且，，，，所以的分布列為：1234．課后練習(xí)1．已知隨機(jī)變量，且，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由正態(tài)分布的對(duì)稱性知，，故選B．2．設(shè)隨即變量服從正態(tài)分布，，則等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】正態(tài)曲線關(guān)于直線對(duì)稱，，因此．3．已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（0，σ2），P（ξ>2）＝0．023，則P（－2≤ξ≤2）＝（）A．0．954B．0．977C．0．488D．0．477[答案]A[解析]P（ξ>2）＝0．023，由正態(tài)分布曲線的性質(zhì)可知，P（－2≤ξ≤2）＝1－2×0．023＝0．954．4．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則__________．【答案】0．2【解析】,所以5．若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，，設(shè)，且則__________．【答案】【解析】,，即，故答案為．6．為了解一種植物的生長(zhǎng)情況，抽取一批該植物樣本測(cè)量高度（單位：），其頻率分布直方圖如圖所示．（1）求該植物樣本高度的平均數(shù)和樣本方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）假設(shè)該植物的高度服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)近似為樣本方差，利用該正態(tài)分布求．附：．若，則，，）【答案】（1），；（2）．【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)求平均數(shù)以及方差即可；（2）由（1）得出的值，再由正態(tài)分布的性質(zhì)求概率即可．【詳解】（1）由題意可得平均數(shù)，（2）由（1）知，，從而所以．7．某種子公司培育了一個(gè)豌豆的新品種，新品種豌豆豆莢的長(zhǎng)度比原