重難點07全等三角形中“倍長中線”模型（解析版）

重難點07全等三角形中“倍長中線”模型【知識梳理】倍長中線是指加倍延長中線，使所延長部分與中線相等，往往需要連接相應(yīng)的頂點，則對應(yīng)角對應(yīng)邊都對應(yīng)相等。常用于構(gòu)造全等三角形。中線倍長法多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系（通常用“SAS”證明）（注：一般都是原題已經(jīng)有中線時用）。三角形一邊的中線（與中點有關(guān)的線段），或中點，通?？紤]倍長中線或類中線，構(gòu)造全等三角形.把該中線延長一倍，證明三角形全等，從而運用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法.圖一圖二圖三【考點剖析】例1、如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．求證：AB=AC．方法1：如圖，延長AD到E，使DE=AD，連接BE在△BDE和△CDA中∴△BDE≌△CDA（SAS）∴AC=BE，∠E=∠2∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2∴∠1=∠E∴AB=BE∴AB=AC方法2：如圖，過點B作BE∥AC，交AD的延長線于點E∵BE∥AC∴∠E=∠2在△BDE和△CDA中∴△BDE≌△CDA（AAS）∴BE=AC∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2∴∠1=∠E∴AB=BE∴AB=AC【變式1】如圖1，已知中，是邊上的中線．求證：．證明：如圖2，延長至，使，∵是邊上的中線∴在和中∴∴在中，∴．【變式2】如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的中線．（1）按要求作圖：延長AD到點E，使DE=AD；連接BE．（2）求證：△ACD≌△EBD．（3）求證：AB+AC>2AD．（4）若AB=5，AC=3，求AD的取值范圍．解：（1）如圖，（2）證明：如圖，∵AD為BC邊上的中線∴BD=CD在△BDE和△CDA中∴△BDE≌△CDA（SAS）（3）證明：如圖，∵△BDE≌△CDA∴BE=AC∵DE=AD∴AE=2AD在△ABE中，AB+BE>AE∴AB+AC>2AD（4）在△ABE中，ABBE<AE<AB+BE由（3）得AE=2AD，BE=AC∵AC=3，AB=5∴53<AE<5+3∴2<2AD<8∴1<AD<4【變式3】如圖，CB是△AEC的中線，CD是△ABC的中線，且AB=AC．求證：①CE=2CD；②CB平分∠DCE．證明：如圖，延長CD到F，使DF=CD，連接BF∴CF=2CD∵CD是△ABC的中線∴BD=AD在△BDF和△ADC中∴△BDF≌△ADC（SAS）∴BF=AC，∠1=∠F∵CB是△AEC的中線∴BE=AB∵AC=AB∴BE=BF∵∠1=∠F∴BF∥AC∴∠1+∠2+∠5+∠6=180°又∵AC=AB∴∠1+∠2=∠5又∵∠4+∠5=180°∴∠4=∠5+∠6即∠CBE=∠CBF在△CBE和△CBF中∴△CBE≌△CBF（SAS）∴CE=CF，∠2=∠3∴CE=2CDCB平分∠DCE例2.如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E是AD上一點，BE=AC，BE的延長線交AC于點F．求證：∠AEF=∠EAF．證明：如圖，延長AD到M，使DM=AD，連接BM∵D是BC邊的中點∴BD=CD在△ADC和△MDB中∴△ADC≌△MDB（SAS）∴∠1=∠M，AC=MB∵BE=AC∴BE=MB∴∠M=∠3∴∠1=∠3∵∠3=∠2∴∠1=∠2即∠AEF=∠EAF【變式1】EF∥AD交CA的延長線于點F，交AB于點G，BG=CF．求證：AD為△ABC的角平分線．證明：如圖，延長FE到M，使EM=EF，連接BM∵點E是BC的中點∴BE=CE在△CFE和△BME中∴△CFE≌△BME（SAS）∴CF=BM，∠F=∠M∵BG=CF∴BG=BM∴∠1=∠M∴∠1=∠F∵AD∥EF∴∠3=∠F，∠1=∠2∴∠2=∠3即AD為△ABC的角平分線例3.如圖，在ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延長CB到點E，使BE=BD，連接AE．（1）依題意補全圖形；（2）試判斷AE與CD的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行證明．【詳解】（1）如圖所示：（2）如圖，判斷：證明如下：延長至點，使得，連接在和中，∵∴∴∵∴∵∴∵AD平分∠BAC∴在和中，∵∴∴又∵∴【變式】閱讀理解：（1）如圖1，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長到點，使得，再連接，把，，集中在中，利用三角形三邊關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是______．（2）解決問題：如圖2，在中，是邊上的中點，，交于點，交于點，連接，求證：．（3）問題拓展：如圖3，在中，是邊上的中點，延長至，使得，求證：．解答：（1）如圖1延長到點，使得，再連接，∵AD為中線，∴BD=CD，在△ADC和△EDB中，∵CD=BD，∠ADC=∠EDB，AD=ED，∴△ACD≌△EBD（SAS），∴AC=EB=6，，∵，∴，∴，（2）如圖2延長FD到G，使DG=FD，連結(jié)BG，EG，由D為BC中點，BD=CD，在△FDC和△GDB中，∵CD=BD，∠FDC=∠GDB，F(xiàn)D=GD，∴△FCD≌△GBD（SAS），∴FC=GB，∵，DF=DG，∴EF=EG，在△BEG中EG<EB+BG，即，（3）如圖3，延長AD到G使DG=AD，連結(jié)BG，由是邊上的中點，∴BD=CD，在△ADC和△GDB中，∵CD=BD，∠ADC=∠GDB，AD=GD，∴△ACD≌△GBD（SAS），∴AC=GB，∠DAC=∠G，∵BE=AC，∴BE=BG，∴∠BED=∠G=∠CAD．【過關(guān)檢測】一．選擇題（共6小題）1．（2022秋?天門期中）AD是△ABC的邊BC上的中線，AB＝12，AC＝8，中線AD的取值范圍是（）A．8＜AD＜12 B．4＜AD＜20 C．2＜AD＜10 D．4＜AD＜6【分析】求中線AD的取值范圍可延長AD至點E，使AD＝DE，得出△ACD≌△EBD，進(jìn)而在△ABE中利用三角形三邊關(guān)系求解．【解答】解：畫出圖形如右所示，延長AD至點E，使AD＝DE，連接BE，∵AD是△ABC的邊BC上的中線，∴BD＝CD，又∠ADC＝∠BDE，AD＝DE∴△ACD≌△EBD，∴BE＝AC，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即AB﹣AC＜AE＜AB+AC，12﹣8＜AE＜12+8，∴4＜AE＜20，∴2＜AD＜10．故選：C．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系，要注意掌握出現(xiàn)中點的輔助線一般應(yīng)延長中線所在的直線構(gòu)造全等三角形，這是一種非常重要的方法．2．（2022秋?臨洮縣期中）如圖所示，△ABC中，AB＝5，AC＝9，則BC邊上的中線AD的取值范圍是（）A．4＜AD＜14 B．0＜AD＜14 C．2＜AD＜7 D．5＜AD＜9【分析】此題通過輔助線，即倍長中線．巧妙構(gòu)造全等三角形，把要求的線段和已知的線段轉(zhuǎn)換到一個三角形中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行分析求解．【解答】解：如圖，延長AD到E，使DE＝AD，連接CE，∵點D是中點，∴BD＝CD，又∠ADB＝∠CDE，∴△ABD≌△EDC（SAS），∴CE＝AB，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得：（AC﹣CE）＜AE＜（AC+CE），即4＜AE＜14，而AD＝AE，∴2＜AD＜7．故選：C．【點評】本題通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形，把AB轉(zhuǎn)移為CE，再利用三角形中三邊的關(guān)系求解．3．（2022秋?義烏市校級月考）如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的中線，若AB＝4，AC＝2，則AD的取值范圍是（）A．1＜AD＜3 B．2＜AD＜4 C．2＜AD＜6 D．2＜AD＜3【分析】延長AD到E，使DE＝AD，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ECD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CE＝AB，然后根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求出AE的取值范圍，然后即可得解．【解答】解：如圖，延長AD到E，使DE＝AD，∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE＝AB，∵AB＝4，AC＝2，∴4﹣2＜AE＜4+2，即2＜AE＜6，∴1＜AD＜3．故選：A．【點評】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)，遇中點加倍延長，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋?如皋市校級月考）如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，AD是邊BC上的中線，則AD長的取值范圍是（）A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7【分析】延長AD到點E，使DE＝AD，連接EC，根據(jù)三角形的中線定義可得CD＝BD，然后利用SAS證明△ADB≌△△EDC，從而可得AB＝EC＝6，最后在△ACE中，利用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：延長AD到點E，使DE＝AD，連接EC，∵AD是邊BC上的中線，∴CD＝BD，∵∠ADB＝∠CDE，∴△ADB≌△△EDC（SAS），∴AB＝EC＝6，在△ACE中，AC﹣CE＜AE＜AC+CE，∴2＜2AD＜14，∴1＜AD＜7，故選：C．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋?靈山縣期中）如圖，已知AD是△ABC中BC邊上的中線，AB＝5，AC＝3，則AD的取值范圍是（）A．2＜AD＜8 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜5 D．4≤AD≤8【分析】延長AD到E，使DE＝AD，連接CE，先證△ABD≌△ECD，得CE＝AB，再由三角形任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求出AE的取值范圍，然后即可得解．【解答】解：如圖，延長AD到E，使DE＝AD，連接CE，∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE＝AB＝5，在△ACE中，由三角形的三邊關(guān)系得：CE﹣AC＜AE＜CE+AC，∴5﹣3＜AE＜5+3，即2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4，故選：B．【點評】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識；遇中點加倍延，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．6．（2022秋?朝陽區(qū)校級期中）老師布置的作業(yè)中有這么一道題：如圖，在△ABC中，D為BC的中點，若AC＝3，AD＝4．則AB的長不可能是（）A.5B.7C.8D.9甲同學(xué)認(rèn)為AB，AC，AD這條三邊不在同一個三角形中，無法解答，老師給的題目有錯誤．乙同學(xué)認(rèn)為可以從中點D出發(fā)，構(gòu)造輔助線，利用全等的知識解決．丙同學(xué)認(rèn)為可以從點C作平行線，構(gòu)造輔助線，利用全等的知識解決．你認(rèn)為正確的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙【分析】延長AD到E使得AD＝ED＝4，利用倍長中線模型證明△ABD≌△ECD（SAS）得到AB＝EC，再由三角形三邊的關(guān)系即可判斷乙同學(xué)的說法；過C作CE∥AB交AD的延長線于E，證明△ABD≌△ECD（AAS），得AB＝EC，AD＝ED＝4，再由三角形三邊的關(guān)系即可判斷丙同學(xué)的說法．【解答】解：如圖，延長AD到E，使得ED＝AD＝4，則AE＝2AD＝8，延長AD到E使得AD＝ED＝4，∵D是BC的中點，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB＝EC，在△ACE中，AE﹣AC＜EC＜AE+AC，即8﹣3＜EC＜8+3，∴5＜EC＜11，∴5＜AB＜11，∴AB的長不可能是5；過C作CE∥AB交AD的延長線于E，則∠BAD＝∠E，∵D是BC的中點，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（AAS），∴AB＝EC，AD＝ED＝4，∴AE＝2AD＝8，在△ACE中，AE﹣AC＜EC＜AE+AC，即8﹣3＜EC＜8+3，∴5＜EC＜11，∴5＜AB＜11，∴AB的長不可能是5；綜上所述，甲說法錯誤，乙和丙說法正確．故選：D．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及三角形三邊的關(guān)系等知識，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共4小題）7．（2022秋?青田縣期中）如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，則BC邊上的中線AD的取值范圍是2＜AD＜8．【分析】延長AD至E，使DE＝AD，由SAS證明△ACD≌△EBD，得出BE＝AC＝6，在△ABE中，由三角形的三邊關(guān)系求出AE的取值范圍，即可得出AD的取值范圍；【解答】（1）解：延長AD至E，使DE＝AD，連接BE，如圖1所示∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC＝6，在△ABE中，由三角形的三邊關(guān)系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴10﹣6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16，∴2＜AD＜8；故答案為2＜AD＜8．【點評】本題考查了三角形的三邊關(guān)系、全等三角形的判定與性質(zhì)，通過作輔助線證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．8．（2022秋?大連月考）在△ABC中，AB＝6，AC＝8，則BC邊上中線AD的取值范圍為1＜AD＜7．【分析】延長AD到E，使DE＝AD，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ECD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CE＝AB，然后根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求出AE的取值范圍，然后即可得解．【解答】解：如圖，延長AD到E，使DE＝AD，∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE＝AB，∵AB＝6，AC＝8，∴8﹣6＜AE＜8+6，即2＜AE＜14，1＜AD＜7．故答案為：1＜AD＜7．【點評】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)，遇中點加倍延，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋?鄞州區(qū)校級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點，連結(jié)DC，作DM⊥DC交AC于點M．若AB＝10，AM＝2，則CM＝．【分析】延長MD至點E，使DE＝DM，連結(jié)BE，CE．證明△AMD≌△BED（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出∠DBE＝∠A，證明△CMD≌△CED（SAS），得出CE＝CM，設(shè)CM＝x，則CE＝x，AC＝2+x，由勾股定理得出x2﹣2＝102﹣（x+2）2，解方程求出x的值即可得出答案．【解答】解：延長MD至點E，使DE＝DM，連結(jié)BE，CE．∵D為AB的中點，∴AD＝DB，在△AMD和△BED中，，∴△AMD≌△BED（SAS），∴∠DBE＝∠A，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∴∠DBE+∠ABC＝90°，在△CMD和△CED中，，∴△CMD≌△CED（SAS），∴CE＝CM，設(shè)CM＝x，則CE＝x，AC＝2+x，在Rt△CBE中，BC2＝CE2﹣BE2＝x2﹣22，在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣（x+2）2，∴x2﹣22＝102﹣（x+2）2，解得x＝﹣1（負(fù)值舍去）．故答案為：﹣1．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，證明△AMD≌△BED是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋?東寶區(qū)校級月考）在△ABC中，AB＝6，AC＝4，則BC邊上的中線AD的取值范圍是1＜AD＜5．【分析】延長AD到E，使AD＝DE，連接BE，證△ADC≌△EDB，推出AC＝BE＝8，在△ABE中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得出AB﹣BE＜AE＜AB+BE，代入求出即可．【解答】解：延長AD到E，使AD＝DE，連接BE，∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC＝BE＝4，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴6﹣4＜2AD＜6+4，∴1＜AD＜5，故答案為：1＜AD＜5．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的三邊關(guān)系定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．三．解答題（共14小題）11．（2021秋?齊河縣期末）（1）方法呈現(xiàn)：如圖①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，點D為BC邊的中點，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使DE＝AD，再連接BE，可證△ACD≌△EBD，從而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是（直接寫出范圍即可）．這種解決問題的方法我們稱為倍長中線法；（2）探究應(yīng)用：如圖②，在△ABC中，點D是BC的中點，DE⊥DF于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系并證明；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AF與DC的延長線交于點F、點E是BC的中點，若AE是∠BAF的角平分線．試探究線段AB，AF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【分析】（1）由已知得出AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即6﹣4＜AE＜6+4，AD為AE的一半，即可得出答案；（2）延長FD至點M，使DM＝DF，連接BM，EM，可得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得出BE+BM＞EM即可得出結(jié)論；（3）延長AE，DF交于點G，根據(jù)平行和角平分線可證AF＝FG，也可證得△ABE≌△GCE，從而可得AB＝CG，即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）1＜AD＜5．∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC＝4，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴6﹣4＜AE＜6+4，∴2＜AE＜10，∴1＜AD＜5．證明：（2）延長FD至點M，使DM＝DF，連接BM、EM，如圖②所示．同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），∴BM＝CF，∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF，在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF．（3）如圖③，延長AE，DF交于點G，∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G，在△ABE和△GCE中，CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，∴△ABE≌△GEC（AAS），∴CG＝AB，∵AE是∠BAF的平分線，∴∠BAG＝∠GAF，∴∠FAG＝∠G，∴AF＝GF，∵FG+CF＝CG，∴AF+CF＝AB．【點評】本題是三角形綜合題，主要考查了三角形的三邊關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)，角的關(guān)系等知識點，所以本題的綜合性比較強，有一定的難度，通過作輔助線證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．12．（2021秋?南充期末）如圖，AD是△ABC的中線，F(xiàn)為AD上一點，E為AD延長線上一點，且DF＝DE．求證：BE∥CF．【分析】證明△BDE≌△CDF（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出∠BED＝∠CFD，由平行線的判定可得出結(jié)論．【解答】證明：∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（SAS），∴∠BED＝∠CFD，∴BE∥CF．【點評】本題考查了平行線的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，證明△BDE≌△CDF是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋?中山市期末）如圖，已知△ABC．（1）尺規(guī)作圖：作∠BAC的角平分線交BC于點D（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，當(dāng)點D為BC中點時，求證：△ABC是等腰三角形．【分析】（1）根據(jù)角平分線的作法，即可得出答案；（2）延長AD至點E，使DE＝AD，連接BE，判斷出△BDE≌△CDA（SAS），得出BE＝AC，∠E＝∠CAD，進(jìn)而得出AB＝AC，即可得出結(jié)論．【解答】（1）解：如圖所示，AD就是∠BAC的角平分線；（2）證明：如圖，延長AD至點E，使DE＝AD，連接BE，∵點D是BC的中點，∴BD＝CD，∵∠BDE＝∠CDA，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC，∠E＝∠CAD，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠E＝∠BAD，∴AB＝BE，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．【點評】此題主要考查了尺規(guī)作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，利用倍長中線法作出輔助線是解本題的關(guān)鍵．14．（2022秋?朝陽區(qū)校級月考）閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進(jìn)行證明．已知：如圖，E是BC的中點，點A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求證：AB＝CD．分析：證明兩條線段相等，常用的一般方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個三角形中，且它們分別所在的兩個三角形也不全等．因此，要證AB＝CD，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．現(xiàn)給出如下三種添加輔助線的方法，請任意選擇其中一種，對原題進(jìn)行證明．【分析】證明兩條線段相等，常用的一般方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個三角形中，且它們分別所在的兩個三角形也不全等．因此，要證AB＝CD，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．【解答】證明：方法一：作BF⊥DE于點F，CG⊥DE于點G．∴∠F＝∠CGE＝90°．又∵∠BEF＝∠CEG，BE＝CE，∴△BFE≌△CGE．∴BF＝CG．在△ABF和△DCG中，∵∠F＝∠DGC＝90°，∠BAE＝∠CDE，BF＝CG，∴△ABF≌△DCG．∴AB＝CD．方法二：作CF∥AB，交DE的延長線于點F．∴∠F＝∠BAE．又∵∠ABE＝∠D，∴∠F＝∠D．∴CF＝CD．∵∠F＝∠BAE，∠AEB＝∠FEC，BE＝CE，∴△ABE≌△FCE．∴AB＝CF．∴AB＝CD．方法三：延長DE至點F，使EF＝DE．又∵BE＝CE，∠BEF＝∠CED，∴△BEF≌△CED．∴BF＝CD，∠D＝∠F．又∵∠BAE＝∠D，∴∠BAE＝∠F．∴AB＝BF．∴AB＝CD．【點評】主要考查輔助線的添加及全等三角形的判定方法的掌握，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．15．（2022秋?梅里斯區(qū)期末）閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進(jìn)行證明．已知：如圖，點E是BC的中點，點A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求證：AB＝CD．分析：證明兩條線段相等，常用的方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個三角形中，且它們分別所在的兩個三角形也不全等，因此，要證AB＝CD，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．（1）現(xiàn)給出如下兩種添加輔助線的方法，請任意選出其中一種，對原題進(jìn)行證明．①如圖1，延長DE到點F，使EF＝DE，連接BF；②如圖2，分別過點B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點F，G．（2）請你在圖3中添加不同于上述的輔助線，并對原題進(jìn)行證明．【分析】（1）①如圖1，延長DE到點F，使EF＝DE，連接BF，先判斷出BE＝CE，進(jìn)而判斷出△BEF≌△CED，得出BF＝CD，∠F＝∠CDE，再判斷出AB＝BF，即可得出結(jié)論；②如圖2，分別過點B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點F，G，先判斷出BE＝CE，進(jìn)而判斷出△BEF≌△CEG，得出BF＝CG，再判斷出△BAF≌△CDG，即可得出結(jié)論；（2）如圖3，過C點作CM∥AB，交DE的延長線于點M，先判斷出BE＝CE，進(jìn)而判斷出△BAE≌△CME（AAS），得出CM＝AB，∠BAE＝∠M，即可得出結(jié)論．【解答】證明：（1）①如圖1，延長DE到點F，使EF＝DE，連接BF，∵點E是BC的中點，∴BE＝CE，在△BEF和△CED中，，∴△BEF≌△CED（SAS），∴BF＝CD，∠F＝∠CDE，∵∠BAE＝∠CDE，∴∠BAE＝∠F，∴AB＝BF，∴AB＝CD；②如圖2，分別過點B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點F，G，∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°，∵點E是BC的中點，∴BE＝CE，在△BEF和△CEG中，，∴△BEF≌△CEG（AAS），∴BF＝CG，在△BAF和△CDG中，，∴△BAF≌△CDG（AAS），∴AB＝CD；（2）如圖3，過C點作CM∥AB，交DE的延長線于點M，則∠BAE＝∠EMC，∵E是BC中點，∴BE＝CE，在△BAE和△CME中，，∴△BAE≌△CME（AAS），∴CM＝AB，∠BAE＝∠M，∵∠BAE＝∠EDC，∴∠M＝∠EDC，∴CM＝CD，∴AB＝CD．【點評】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，對頂角相等，平行線的性質(zhì)，構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．16．（2022秋?常德期末）（1）【問題情境】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，在△ABC中，若AB＝13，AC＝9，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法，延長AD至點E，使DE＝AD，連接BE，容易證得△ADC≌△EDB，再由“三角形的三邊關(guān)系”可求得AD的取值范圍是2＜AD＜11．解后反思：題目中出現(xiàn)“中點”、“中線”等條件，可考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形之中．（2）【初步運用】如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且∠FAE＝∠AFE．若AE＝4，EC＝3，求線段BF的長．（3）【拓展提升】如圖3，在△ABC中，D為BC的中點，DE⊥DF分別交AB，AC于點E，F(xiàn)．求證：BE+CF＞EF．【分析】（1）先判斷出△ADC≌△EDB（SAS），得出BE＝AC＝9，最后用三角形的三邊關(guān)系計算；（2）延長AD到M，使AD＝DM，連接BM，證明△ADC≌△MDB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；（3）延長ED到點G，使GD＝ED，連接CG、GF、EF，先證明△CDG≌△BDE，得CG＝BE，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得CG+CF＞GF，則BE+CF＞GF，由DF垂直平分EG得GF＝EF，所以BE+CF＞EF．【解答】（1）解：延長AD至點E，使DE＝AD，連接BE，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝9，∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴4＜AE＜22∴2＜AD＜11，故答案為：2＜AD＜11．（2）延長AD到M，使AD＝DM，連接BM，如圖2，∵AD是△ABC中線，∴BD＝DC，在△ADC和△MDB中，，∴△ADC≌△MDB（SAS），∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，∵∠AFE＝∠AEF，∴AE＝EF＝4，∴AC＝AE+CE＝7，∴BM＝AC＝7，∴∠CAD＝∠AFE，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，∴BF＝BM＝AC，即AC＝BF＝7；（3）證明：如圖3，延長ED到點G，使GD＝ED，連接CG、GF，∵D是BC邊上的中點，∴CD＝BD，在△CDG和△BDE中，，∴△CDG≌△BDE（SAS），∴CG＝BE，∵CG+CF＞GF，∴BE+CF＞GF，∵DE⊥DF，GD＝ED，∴DF垂直平分EG，∴GF＝EF，∴BE+CF＞EF．【點評】此題是三角形綜合題，主要考查三角形的中線的定義、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．17．（2022秋?句容市月考）（1）如圖1，AD是△ABC的中線，延長AD至點E，使ED＝AD，連接CE．①證明△ABD≌△ECD；②若AB＝5，AC＝3，設(shè)AD＝x，可得x的取值范圍是1＜x＜4；（2）如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，求證：BE+CF＞EF．【分析】（1）①根據(jù)三角形的中線得出BD＝CD，再由對頂角相等得出∠ADB＝∠CDE，即可得出結(jié)論；②先由△ABD≌△ECD，得出CE＝5，再由ED＝AD，得出AE＝2AD＝2x，最后用三角形的三邊關(guān)系，即可求出答案；（2）先根據(jù)SAS判斷出△DEF≌△DEH，得出EH＝EF，再根據(jù)SAS判斷出△BDH≌△CDF，得出CF＝BH，即可求出答案．【解答】（1）①證明：∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△ADB和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS）；②解：由①知，△ABD≌△ECD，∴CE＝AB，∵AB＝5，∴CE＝5，∵ED＝AD，AD＝x，∴AE＝2AD＝2x，在△ACE中，AC＝3，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得，5﹣3＜2x＜5+3，∴1＜x＜4，故答案為：1＜x＜4；（2）證明：如圖2，延長FD，截取DH＝DF，連接BH，EH，∵DH＝DF，DE⊥DF，即∠EDF＝∠EDH＝90°，DE＝DE，∴△DEF≌△DEH（SAS），∴EH＝EF，∵AD是中線，∴BD＝CD，∵DH＝DF，∠BDH＝∠CDF，∴△BDH≌△CDF（SAS），∴CF＝BH，∵BE+BH＞EH，∴BE+CF＞EF．【點評】此題是三角形綜合題，主要考查了三角形中線的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，用倍長中線法構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵．18．（2021秋?沙坪壩區(qū)校級期末）△ABC中，AB＝AC，以BC為邊，在BC右側(cè)作等邊△BCD．（1）如圖1，連接AD與BC交于點P，，BD＝2，求△ABD的面積；（2）如圖2，E為DC延長線上一點，連接AE、BE，G為AC的中點，連接BG、EG，AE＝DE，證明：BG⊥EG．【分析】（1）利用已知條件得到AD是線段BC的垂直平分線，利用等腰三角形的三線合一和勾股定理分別求出AP，PD的長，再利用三角形的面積公式即可求解；（2）連接AD，利用（1）中的方法求得∠CDA＝30°，延長BF至點F，使FG＝BG，連接AF，F(xiàn)E，利用倍長中線的方法得到△BGC≌△FGA，BC＝AF，∠CBG＝∠AFG，AF∥CB；再證明△AFE≌△DBE得到FE＝BE，利用等腰三角形的三線合一即可得出結(jié)論．【解答】（1）解：∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD是線段BC的垂直平分線．∴AP⊥BC，BP＝PC．∵BD＝2，BD＝BC，∴BP＝PC＝1．∴AP＝＝2．∵DP⊥BC，∴DP＝＝．∴AD＝AP+PD＝3．∴△ABD的面積＝×AD?BP＝×3×1＝．（2）證明：連接AD，如圖，∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD是線段BC的垂直平分線．∴DH⊥BC．∵△BCD是等邊三角形，∴∠CDA＝∠BDC＝×60°＝30°．∵AE＝DE，∴∠EAD＝∠CDA＝30°．延長BF至點F，使FG＝BG，連接AF，F(xiàn)E，在△BGC和△FGA中，，∴△BGC≌△FGA（SAS）．∴BC＝AF，∠CBG＝∠AFG．∴AF∥CB．∵AD⊥BC，∴FA⊥AD．∴∠FAD＝90°．∴∠FAE＝∠FAD﹣∠FAE＝60°．∵BC＝AF，BD＝BC，∴AF＝BD．在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（SAS）．∴FE＝BE．∵FG＝BG，∴BG⊥EG．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，延長BF至點F，使FG＝BG，連接AF，F(xiàn)E，構(gòu)造全等三角形是利用線段中點解答問題常用的輔助線．19．（2022秋?廈門月考）（1）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．（2）受到（1）啟發(fā)，請你證明下面的問題：如圖，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF．求證：BE+CF＞EF.【分析】（1）延長AD到點E，使DE＝AD，連接BE，根據(jù)三角形的中線定義可得BD＝DC，從而利用SAS可證△ADC≌△EDB，然后利用全等三角形的性質(zhì)可得BE＝AC＝3，最后在△ABC中，利用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行計算即可解答；（2）延長FD到點G，使GD＝DF，連接BG，EG，根據(jù)線段中點的定義可得BD＝DC，從而利用SAS可證△BDG≌△CDF，然后利用全等三角形的性質(zhì)可得BG＝CF，再利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得EG＝EF，最后在△BEG中，利用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：（1）延長AD到點E，使DE＝AD，連接BE，∵AD是BC邊的中線，∴BD＝DC，∵∠ADC＝∠BDE，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝3，在△ABC中，AB＝5，∴5﹣3＜AE＜5+3，∴2＜AE＜8，∴2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4；（2）延長FD到點G，使GD＝DF，連接BG，EG，∵D是BC邊上的中點，∴BD＝DC，∵∠BDG＝∠CDF，∴△BDG≌△CDF（SAS），∴BG＝CF，∵DE⊥DF，∴ED是GF的垂直平分線，∴EG＝EF，在△BEG中，BE+BG＞EG，∴BE+CF＞EF．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．20．（2022秋?南沙區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，點D是AC的中點，分別以AB，BC為腰向△ABC外作等腰三角形ABM和等腰三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝120°，∠NBC＝60°，連接MN．（1）請寫出BD與MN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）延長DB交MN于點F，求∠MFB的度數(shù)．【分析】（1）延長BD至E，使DE＝BD，連接AE，則BE＝2BD，證明△ADE≌△CDB（SAS），得出∠DAE＝∠DCB，進(jìn)而判斷出AE＝BN，∠MBN＝∠BAE，進(jìn)而判斷出△ABE≌△BMN（SAS），得出BE＝MN，即可得出結(jié)論；（2）結(jié)合（1）△ABE≌△BMN，可得∠ABE＝∠BMN，然后利用三角形內(nèi)角和定理即可解決問題．【解答】解：（1）MN＝2BD，理由如下：如圖，延長BD至E使DE＝BD，連接AE，∵點D是AC的中點，∴CD＝AD，在△CBD和△AED中，，∴△CBD≌△AED（SAS），∴BC＝AE，∠DAE＝∠DCB，∵BC＝BN，∴AE＝BN，∵∠ABM＝120°，∠NBC＝60°，∴∠MBN+∠ABC＝180°，在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠MBN＝∠BAC+∠ACB＝∠BAC+∠DAE＝∠BAE，∵AB＝BM，∴△ABE≌△BMN（SAS），∴BE＝MN，∴MN＝2BD．（2）延長DB交MN于點F，∵△ABE≌△BMN，∴∠ABE＝∠BMN，∵∠ABM＝120°，∴∠ABE+∠MBF＝180°﹣120°＝60°，∴∠BMF+∠MBF＝60°，∴∠MFB＝180°﹣60°＝120°．【點評】此題主要考查了倍長中線法，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，利用倍長中線法作出輔助線是解本題的關(guān)鍵．21．（2022秋?桐柏縣期中）（1）閱讀理解：如圖①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝5，求BC邊上的中線AD的取值范圍．可以用如下方法：將△ACD繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是1.5＜AD＜6.5；（2）問題解決：如圖②，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，求證：BE+CF＞EF；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝100°，以C為頂點作一個50°的角，角的兩邊分別交AB、AD于E、F兩點，連接EF，探索線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）將△ACD繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD，得到△ACD≌△EBD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE＝AC，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出AE的取值范圍，即可得出AD的取值范圍；（2）延長FD至點M，使DM＝DF，連接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得出BE+BM＞EM即可得出結(jié)論；（3）延長AB至點H，使BH＝DF，連接CH，證出∠HBC＝∠D，證明△HBC≌△FDC，得出CH＝CF，∠HCB＝∠FCD，證出∠ECH＝50°＝∠ECF，再證明△HCE≌△FCE，得出EH＝EF，即可得出結(jié)論．【解答】（1）解：如圖①，將△ACD繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD，則△ACD≌△EBD，∴AD＝DE，BE＝AC＝5，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即3＜AE＜13，故答案為：1.5＜AE＜6.5；（2）證明：如圖②，延長FD至N，使DN＝DF，連接BN、EN，在△FDC和△NDB中，，∴△FDC≌△NDB（SAS）∴BN＝FC，∵DF＝DN，DE⊥DF，∴EF＝EN，在△EBN中，BE+BN＞EN，∴BE+CF＞EF；（3）解：BE+DF＝EF，理由如下：如圖③，延長AB至點H，使BH＝DF，連接CH，∵∠ABC+∠D＝180°，∠HBC+∠ABC＝180°，∴∠HBC＝∠D，在△HBC和△FDC中，，∴△HBC≌△FDC（SAS）∴CH＝CF，∠HCB＝∠FCD，∵∠BCD＝100°，∠ECF＝50°，∴∠BCE+∠FCD＝50°，∴∠ECH＝50°＝∠ECF，在△HCE和△FCE中，，∴△HCE≌△FCE（SAS）∴EH＝EF，∴BE+DF＝EF．【點評】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系、全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線、掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解決問題的關(guān)鍵．22．（2022秋?寶應(yīng)縣校級月考）（1）閱讀理解：如圖①，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使DE＝AD，再連接BE（或?qū)ⅰ鰽CD繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷．中線AD的取值范圍是2＜AD＜8；（2）問題解決：如圖②，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，求證：BE+CF＞EF；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C為頂點作一個70°角，角的兩邊分別交AB，AD于E、F兩點，連接EF，探索線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【分析】（1）延長AD至E，使DE＝AD，由SAS證明△ACD≌△EBD，得出BE＝AC＝6，在△ABE中，由三角形的三邊關(guān)系求出AE的取值范圍，即可得出AD的取值范圍；（2）延長FD至點M，使DM＝DF，連接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得出BE+BM＞EM即可得出結(jié)論；（3）延長AB至點N，使BN＝DF，連接CN，證出∠NBC＝∠D，由SAS證明△NBC≌△FDC，得出CN＝CF，∠NCB＝∠FCD，證出∠ECN＝70°＝∠ECF，再由SAS證明△NCE≌△FCE，得出EN＝EF，即可得出結(jié)論．【解答】（1）解：延長AD至E，使DE＝AD，連接BE，如圖①所示：∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC＝6，在△ABE中，由三角形的三邊關(guān)系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴10﹣6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16，∴2＜AD＜8；故答案為：2＜AD＜8；（2）證明：延長FD至點M，使DM＝DF，連接BM、EM，如圖②所示：同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），∴BM＝CF，∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF，在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF；（3）解：BE+DF＝EF；理由如下：延長AB至點N，使BN＝DF，連接CN，如圖3所示：∵∠ABC+∠D＝180°，∠NBC+∠ABC＝180°，∴∠NBC＝∠D，在△NBC和△FDC中，，∴△NBC≌△FDC（SAS），∴CN＝CF，∠NCB＝∠FCD，∵∠BCD＝140°，∠ECF＝70°，∴∠BCE+∠FCD＝70°，∴∠ECN＝70°＝∠ECF，在△NCE和△FCE中，，∴△NCE≌△FCE（SAS），∴EN＝EF，∵BE+BN＝EN，∴BE+DF＝EF．【點評】本題考查了三角形的三邊關(guān)系、全等三角形的判定與性質(zhì)、角的關(guān)系等知識；本題綜合性強，有一定難度，通過作輔助線證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．23．（2022秋?平輿縣期末）【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1