專題32 與角平分線+余角補角有關(guān)的計算（解析版）

專題32與角平分線+余角補角有關(guān)的計算1．如圖，O是直線AB上一點，OC為任意一條射線，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．(1)圖中∠AOD的補角是；∠BOD的余角是．(2)已知∠COD＝40°，求∠COE的度數(shù)．【答案】(1)∠BOD，∠COD；∠COE，∠AOE．(2)50°【分析】（1）根據(jù)互為補角的和等于180°、互為余角的和為90°分別找出即可；（2）根據(jù)角平分線的定義表示出∠BOC與∠AOC，再根據(jù)角平分線的定義即可得解．（1）解：∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∴∠BOD＝∠COD，∠AOE＝∠COE，∴∠COE+∠COD＝∠AOE+∠BOD＝×180°＝90°，∴∠BOD+∠COE＝90°，∵∠AOD+∠BOD＝180°，∴∠AOD+∠COD＝180°，∴∠AOD的補角是∠BOD和∠COD；∠BOD的余角是∠COE和∠AOE．故答案為：∠BOD，∠COD；∠COE，∠AOE．（2）∵OD平分∠BOC，∠COD＝40°，∴∠BOC＝2∠COD＝80°，由題意可知，∠AOB是平角，∠AOB＝∠AOC+∠BOC，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝180°﹣80°＝100°，∵OE平分∠AOC，∴∠COE∠AOC＝50°．【點睛】本題考查了余角和補角的概念，角度的計算，以及角平分線的定義，準確識圖并熟記概念是解題的關(guān)鍵．2．如圖，點O在直線AB上，CO⊥AB，∠2﹣∠1＝34°，OE是∠AOD的平分線，OF⊥OE．(1)求∠AOE的度數(shù)．(2)找出圖中與∠BOF互補的角，并求出∠BOF補角的度數(shù)．【答案】(1)59°(2)∠AOF；21°【分析】（1）根據(jù)垂線的定義確定∠COB＝∠AOC＝90°，進而得到∠1+∠2＝90°，再根據(jù)∠2﹣∠1＝34°用∠1表示∠2，進而可求出∠1的度數(shù)，根據(jù)角的和差關(guān)系求出∠AOD的度數(shù)，最后根據(jù)角平分線的定義即可求出∠AOE．（2）根據(jù)補角的定義即可得出圖中與∠BOF互補的角．根據(jù)垂線的定義確定∠EOF＝90°，再根據(jù)角的和差關(guān)系即可求出∠BOF補角的度數(shù)．（1）解：∵CO⊥AB，∴∠COB＝∠AOC＝90°．∴∠1+∠2＝90°．∵∠2﹣∠1＝34°，∴∠2=∠1+34°．∴∠1+∠1+34°=90°．∴∠1=28°．∴∠AOD＝∠AOC+∠1＝90°+28°＝118°．∵OE是∠AOD的平分線，∴．（2）解：點O在直線AB上，∴∠AOF+∠BOF=180°．∴圖中與∠BOF互補的角是∠AOF．∵OF⊥OE，∴∠EOF＝90°．∴∠AOF＝∠EOF﹣∠AOE＝21°．【點睛】本題考查垂線的定義，角的和差關(guān)系，角平分線的定義，補角的定義，熟練掌握這些知識點是解題關(guān)鍵．3．，點，分別在、上運動不與點重合．(1)如圖①，、分別是和的平分線，隨著點、點的運動，當AO=BO時；(2)如圖②，若是的平分線，的反向延長線與的平分線交于點，隨著點，的運動的大小會變嗎？如果不會，求的度數(shù)；如果會，請說明理由；(3)如圖③，延長至，延長至，已知，的平分線與的平分線及其延長線相交于點、，在中，如果有一個角是另一個角的倍，求的度數(shù)．【答案】(1)135°(2)∠D的度數(shù)不隨A、B的移動而發(fā)生變化，值為45°(3)60°或45°【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理、兩角互余、角平分線性質(zhì)即可求解；（2）利用對頂角相等、兩角互余、兩角互補、角平分線性質(zhì)即可求解；（3）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的性質(zhì)不難得出=90°，如果有一個角是另一個角的3倍，所以不確定是哪個角是哪個角的三倍，所以需要分情況討論；值得注意的是，∠MON=90°，所以求解出的∠ABO一定要小于90°，注意解得取舍．（1）解：∵、分別是和的平分線，∴∠EBA=∠OBA，∠BAE=∠BAO，∵，∴∠EAB+EBA=90°，∵∠AEB+∠EAB+∠EBA=180°，∴，，，，；（2）解：

∠D的度數(shù)不隨A、B的移動而發(fā)生變化，設(shè)∠BAD=α，∵AD平分∠BAO，∴∠BAO=2α，∵∠AOB=90°，∴∠ABN=180°-∠ABO=∠AOB+∠BAO=90+2α，∵BC平分∠ABN，∴∠ABC=45°+α，∵∠ABC=180°-∠ABD=∠D+∠BAD，∴∠D=∠ABC-∠BAD=45°+α-α=45°；（3）解：∵∠BAO與∠BOQ的平分線交于點E，∴∠AOE=135°，∴，，，，∵AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的平分線，∴，在△AEF中，若有一個角是另一個角的3倍，則①當∠EAF=3∠E時，得∠E=30°，此時∠ABO=60°；②當∠EAF=3∠F時，得∠E=60°，此時∠ABO=120°＞90°，舍去；③當∠F=3∠E時，得，此時∠ABO=45°；．④當∠E=3∠F時，得，此時∠ABO=135°＞90°，舍去．綜上可知，∠ABO的度數(shù)為60°或45°．【點睛】前兩問熟練運用三角形內(nèi)角和定理、直角三角形的兩銳角互余、對頂角相等、角平分線性質(zhì)等角的關(guān)系即可求解；第三問需先證明=90°，再分情況進行討論，熟練運用三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠AOC=120°,一直角三角板的直角頂點放在點O處．(1)如圖1，將三角板DOE的一邊OD與射線OB重合時，則∠COD=∠COE；(2)如圖2，將圖1中的三角板DOE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度，當OC恰好是∠BOE的角平分線時，求∠COD的度數(shù)；(3)將圖1中的三角尺DOE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)一周，設(shè)旋轉(zhuǎn)的角度為度，在旋轉(zhuǎn)的過程中，能否使∠AOE=3∠COD？若能，求出的度數(shù)；若不能，說明理由.【答案】(1)2(2)(3)或【分析】（1）由鄰補角和余角的定義求出兩個角，即可得出結(jié)論；（2）由角平分線的定義可得，再根據(jù)，從而可求解；（3）分兩種情況討論：①是內(nèi)；②在外，分析清楚角關(guān)系求解即可．（1）解：，與射線重合，，，，，故答案為：2；（2）解：由（1）得，，是的角平分線，，，；（3）解：能，①當是內(nèi)時，有：，，則，解得：；②當在外時，有：，，則，解得：．綜上所述，的度數(shù)為或．【點睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，余角和補角，解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚角與角之間的關(guān)系．5．如圖，直線AB與CD相交于點O，OE是∠COB的平分線，．(1)若，求∠AOD的度數(shù)；(2)試判斷OF是否平分∠AOC，并說明理由．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)垂直的定義先求解再利用角平分線的定義求解結(jié)合對頂角的定義可得答案；（2）由垂直的定義及補角的性質(zhì)可得結(jié)論．(1)解：∵OE⊥OF，∴∠EOF=90°，即∠COF+∠COE=90°，∵∠COF=2∠COE，∴∠COF=60°，∠COE=30°，∵OE是∠COB的平分線，∴∠COB=2∠COE=60°．∴∠AOD=∠COB=60°．(2)解：OF平分∠AOC，理由如下：∵OE⊥OF，∴∠EOF=90°，即∠COF+∠COE=90°，∠AOF+∠BOE=90°，∵OE是∠COB的平分線，∴∠EOB=∠COE，∴∠AOF=∠COF，即OF平分∠AOC．【點睛】本題考查的是角平分線的定義、垂直的定義、余角與補角，掌握它們的概念與性質(zhì)是解決此題關(guān)鍵．6．如圖1，已知射線OB在∠AOC內(nèi)，若滿足∠BOC+∠AOC＝180°，則稱射線OB為∠BOC與∠AOC的“互補線”．(1)如圖2，已知點O是直線AD上一點，射線OB、OC在直線AD同側(cè)，且射線OC平分∠BOD．試說明：射線OB為∠BOC與∠AOC的“互補線”；(2)如圖3，已知直線AB、CD相交于點O，射線OE為∠BOC與∠BOE的“互補線”，若∠AOD＝136°，求∠DOE的度數(shù)；(3)如圖4，已知射線OB為∠BOC與∠AOC的“互補線”，且射線OE、OF分別平分∠AOC、∠BOC，試判斷∠BOC+∠EOF的度數(shù)是否為定值，若為定值，求出定值的度數(shù)；若不為定值，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)定義直接求解即可；（2）根據(jù)等角的補角相等可得，進而根據(jù)鄰補角的定義求得，根據(jù)對頂角相等可得，進而根據(jù)角的和求解即可；（3）根據(jù)角平分線的意義，以及角度的和差計算可得，即可求得答案．（1）證明：OC平分∠BOD射線OB為∠BOC與∠AOC的“互補線”（2）射線OE為∠BOC與∠BOE的“互補線”，（3）射線OB為∠BOC與∠AOC的“互補線”，射線OE、OF分別平分∠AOC、∠BOC，【點睛】本題考查了新定義，等角的補角相等，根據(jù)鄰補角求角度，角平分線的意義，幾何圖形中角度的和差關(guān)系，理解題意，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．7．如圖，與互為補角，與互為余角，且．(1)求的度數(shù)；(2)若平分，求的度數(shù)．【答案】(1)72°(2)126°【分析】（1）由與互為余角，得到+=90°，由．即可求出∠BOC；（2）求出∠AOC的度數(shù)，根據(jù)平分，求出∠AOE，即可得到∠BOE．(1)解：∵與互為余角，∴+=90°，∵．∴5=90°，∴=18°，∠BOC=72°；(2)解：∵∠AOC+=180°，∠BOC=72°，∴∠AOC=108°，∵平分，∴∠AOE=∠AOC=54°，∴∠BOE=180°-∠AOE=126°．【點睛】此題考查了余角的定義，角平分線求角度的計算，角度的和差計算，正確掌握余角定義及角平分線定義是解題的關(guān)鍵．8．若A、O、B三點共線，，將一個三角板的直角頂點放在點O處（注：，）．(1)如圖1，使三角板的長直角邊OD在射線OB上，則____________°；(2)將圖1中的三角板DOE繞點O以每秒2°的速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2位置，此時，求運動時間的值；(3)將圖2中的三角板DOE再繞點O以每秒5°的速度按順時針轉(zhuǎn)方向旋轉(zhuǎn)一周，經(jīng)過秒后，直線OC恰好平分，求的值．【答案】(1)50(2)25秒(3)11或47【分析】（1）由余角的性質(zhì)可求解；（2）由角的數(shù)量關(guān)系列出等式可求解；（3）分兩種情況討論即可.（1）解：∵∠DOE＝90°，∠BOC＝40°，∴∠COE=∠DOE-∠BOC＝90°-40°=50°，故答案為：50；（2）解：∵三角板DOE繞點O以每秒2°的速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，∴經(jīng)過t秒，∠COD=∠BOD-∠BOC=2t-40o，∠AOE=90o-2t，∵，∴2t-40o=（90o-2t），解得t=25.即運動時間為25秒.（3）解：圖2中∠AOE=90o-2t=40o，∠D1OE1=∠DOE=90o∵三角板DOE再繞點O以每秒5°的速度按順時針轉(zhuǎn)方向旋轉(zhuǎn)一周，情況①如圖：經(jīng)過秒后，∠EOE1=5t∵直線OC恰好平分，∴∵∠BOC=40o∠AOC=∠AOE+∠EOE1+=140o即40o+5t+45o=140o解得：t=11；情況②如圖：此時有：5t-10o-45o=180o，解得t=47故的值為11或47.【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，角平分線的定義，平角的性質(zhì)等知識，熟練運用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．9．如圖，直線AB，CD相交于點O，OF⊥CD，OE平分∠BOC．(1)若∠BOE＝60°，求∠DOE的度數(shù)；(2)若∠BOD：∠BOE＝2：3，求∠AOF的度數(shù)．【答案】(1)∠DOE=120°；(2)∠AOF=45°．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義，得出∠EOC=∠BOE=60°，利用鄰補角定義求出∠DOE即可；（2）根據(jù)角平分線的定義，∠BOD：∠BOE=2：3，求出∠BOD，再根據(jù)對頂角可求出∠AOC，利用垂直，求出∠AOF．（1）解：∵OE平分∠BOC，∠BOE=60°，∴∠EOC=∠BOE=60°，∴∠DOE=180°-60°=120°；（2）解：∵∠BOD：∠BOE=2：3，設(shè)∠BOD=x，則∠COE＝∠BOE＝x，∵∠COE+∠BOE+∠BOD=180°，∴x+x+x=180°，∴x=45°，即∠BOD=45°，∵OF⊥CD，∠AOC=∠BOD=45°，∴∠COF=90°，∴∠AOF=90°-45°=45°．【點睛】本題考查了角平分線定義，鄰補角定義，對頂角性質(zhì)，垂直定義，角的計算等；正確找出各個角之間的關(guān)系是正確計算的關(guān)鍵．10．已知：射線在的內(nèi)部，，，平分．(1)如圖，若點，，在同一條直線上，是內(nèi)部的一條射線，請根據(jù)題意補全圖形，并求的度數(shù)；(2)若，直接寫出的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）．【答案】(1)圖見解析，99°(2)當射線在的內(nèi)部時，；當射線在的外部時，【分析】（1）作出∠AOD的平分線OE，根據(jù)∠AOC:∠BOC=9:1求出∠BOC=18°，依據(jù)∠COD=2∠COB得∠COD=36°，從而可求∠AOD=126°，根據(jù)OE平分∠AOD得∠DOE=63°,從而可求出的度數(shù)；（2）分兩種情況考慮：當射線在的內(nèi)部時，先求出∠AOD=∠AOC-∠COD=7α,，根據(jù)角平分線得出；當射線在的外部時，先求出∠AOD=∠AOC+∠COD=11α,根據(jù)角平分線得出．（1）解：補全圖形，如圖所示：

∵點A，，在同一條直線上，∴(平角的定義)．∵，∴，．∵，∴．∴．∵平分，∴(角平分線的定義)．∴（2）解：當射線在的內(nèi)部時，如圖，∵，∴∠AOC=9α，∵∴∴∠AOD=∠AOC-∠COD=7α,∵平分∴∠DOE=∠AOD=α，∴∠COE=∠COD+∠DOE=2α+α=α；當射線在的外部時，如圖，∵，∴∠AOC=9α，∵∴，∠BOD=α∴∠AOD=∠AOC+∠COD=11α,∵平分∴∠DOE=∠AOD=α，∴∠COE=∠DOE-∠COD=α-2α=α．【點睛】本題是有關(guān)角的計算，考查了角平分線的定義、平角定義以及角的和差倍分，注意利用數(shù)形結(jié)合的思想．11．如圖（1），直線、相交于點，直角三角板邊落在射線上，將三角板繞點逆時針旋轉(zhuǎn)180°．(1)如圖（2），設(shè)，當平分時，求（用表示）(2)若，①如圖（3），將三角板旋轉(zhuǎn)，使落在內(nèi)部，試確定與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．②若三角板從初始位置開始，每秒旋轉(zhuǎn)5°，旋轉(zhuǎn)時間為，當與互余時，求的值．【答案】(1)(2)①，理由見解析；②4秒或22秒【分析】（1）利用角的和差關(guān)系求解再利用角平分線的含義求解即可；（2）①設(shè)，再利用角的和差關(guān)系依次求解，

，，從而可得答案；②由題意得：與重合是第18秒，與重合是第8秒，停止是36秒．再分三種情況討論：如圖，當時

，，如圖，當時

，，如圖，當時，，，再利用互余列方程解方程即可.（1）解：

∵平分

∴（2）解：①設(shè)，則，

∴∴，∴②由題意得：與重合是第18秒，與重合是第8秒，停止是36秒．如圖，當時

，，則，

∴如圖，當時

，，則，方程無解，不成立如圖，當時，，，則，

∴綜上所述秒或22秒【點睛】本題考查的是角的和差運算，角平分線的定義，角的動態(tài)定義的理解，互為余角的含義，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵.12．如圖，直線、相交于點，，．(1)若，則__________．(2)從（1）的時刻開始，若將繞以每秒15的速度逆時針旋轉(zhuǎn)一周，求運動多少秒時，直線平分．(3)從（1）的時刻開始，若將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一周，如果射線是的角平分線，請直接寫出此過程中與的數(shù)量關(guān)系．（不考慮與、重合的情況）【答案】(1)30°(2)11或23秒(3)或【分析】（1）根據(jù)，，利用余角性質(zhì)得出∠EOB=90°-∠COE=90°-30°=60°，根據(jù)，利用余角性質(zhì)得出∠BOF=90°-∠EOB=90°-60°=30°即可；（2）解分兩種情形，平分，得出，，設(shè)運動秒時根據(jù)運動轉(zhuǎn)過的角度列方程，平分，，根據(jù)運動轉(zhuǎn)過的角度列方程，解方程即可；（3）分四種情況OE在∠COB內(nèi)，OE在∠AOC內(nèi)，OE在∠AOD內(nèi)，OE在∠DOB內(nèi)，根據(jù)射線是的角平分線∠COP=∠EOP，利用角的和差計算即可．（1）解：∵，，∴∠EOB=90°-∠COE=90°-30°=60°，∵，∴∠BOF=90°-∠EOB=90°-60°=30°，故答案是：30°；（2）解分兩種情形，情況一∵平分，∴，∴，設(shè)運動秒時，平分，根據(jù)題意得：，解得：；情況二∵平分，∴，設(shè)運動秒時，平分，根據(jù)題意得：，解得：；綜上：運動11或23秒時，直線平分；（3）解：∵射線是的角平分線∴∠COP=∠EOP，∠AOC=∠EOF=90°，∴∠AOP=90°+∠COP=90°+∠POE，∵∠COE=∠BOF，∴∠POE=，∴，∵∠COE=∠BOF，射線是的角平分線，∴∠POC=，∴∠AOP=90°-∠COP=90°-，∴，∵∠COE=90°+∠COF=∠BOF，射線是的角平分線，∴∠POC=，∴∠AOP=90°-∠COP=90°-，∴，∵∠COE=90°+∠BOE=∠BOF，射線是的角平分線，∴∠POC=，∴∠AOP=90°+∠COP=90°+，∴；綜上：或．【點睛】本題考查余角定義，角平分線有關(guān)的運算，一元一次方程，分類討論思想的應(yīng)用，掌握余角定義，角平分線有關(guān)的運算，一元一次方程，分類討論思想的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．13．如圖，直線AB與CD相交于點O，OE是∠COB的平分線，OE⊥OF．（1）圖中∠BOE的補角是；（2）若∠COF=2∠COE，求△BOE的度數(shù)；（3）試判斷OF是否平分∠AOC，請說明理由．【答案】（1）∠AOE和∠DOE；（2）∠BOE=30°；（3）OF平分AOC．理由見解析．【分析】（1）根據(jù)補角的定義，依據(jù)圖形可直接得出答案；（2）根據(jù)互余和∠COF＝2∠COE，可求出∠COF、∠COE，再根據(jù)角平分線的意義可求答案；（3）根據(jù)互余，互補、角平分線的意義，證明∠FOA＝∠COF即可．【詳解】解：（1）∵∠AOE＋∠BOE＝∠AOB＝180°，∠COE＋∠DOE＝∠COD＝180°，∠COE＝∠BOE∴∠BOE的補角是∠AOE，∠DOE故答案為：∠AOE或∠DOE；（2）∵OE⊥OF．∠COF＝2∠COE，∴∠COF＝×90°＝60°，∠COE＝×90°＝30°，∵OE是∠COB的平分線，∴∠BOE＝∠COE＝30°；（3）OF平分∠AOC，∵OE是∠COB的平分線，OE⊥OF．∴∠BOE＝∠COE，∠COE＋∠COF＝90°，∵∠BOE＋∠EOC＋∠COF＋∠FOA＝180°，∴∠COE＋∠FOA＝90°，∴∠FOA＝∠COF，即，OF平分∠AOC．【點睛】考查互為余角、互為補角、角平分線的意義，解題的關(guān)鍵是熟知：如果兩角之和等于180°，那么這兩個角互為補角.其中一個角叫做另一個角的補角；?如果兩個角的和是直角，那么稱這兩個角“互為余角”，簡稱“互余”，也可以說其中一個角是另一個角的余角．14．如圖，直線AB，CD，EF相交于點O，OG⊥CD．（1）已知∠AOC＝38°12'，求∠BOG的度數(shù)；（2）如果OC是∠AOE的平分線，那么OG是∠EOB的平分線嗎？說明理由．【答案】（1）51°48′；（2）OG是∠EOB的平分線，理由見解析【分析】（1）根據(jù)互為余角的意義和對頂角的性質(zhì)，可得∠AOC＝∠BOD＝38°12′，進而求出∠BOG；（2）求出∠EOG＝∠BOG即可．【詳解】解：（1）∵OG⊥CD．∴∠GOC＝∠GOD＝90°，∵∠AOC＝∠BOD＝38°12′，∴∠BOG＝90°﹣3