特訓(xùn)01 整式的加減與乘法壓軸題（原卷版）

特訓(xùn)01整式的加減與乘法壓軸題一、解答題1．學(xué)習(xí)代數(shù)式求值時，遇到這樣一類題“代數(shù)式的值與x的取值無關(guān)，求m的值”，通常的解題方法是：把x、y看作字母，m看作系數(shù)合并同類項，因為代數(shù)式的值與x的取值無關(guān)，所以含x的系數(shù)為0，即原式，所以，則．(1)若多項式的值與x的取值無關(guān)，求a值；(2)5張如圖1的小長方形，長為a，寬為b，按照圖2方式不重疊地放在大長方形內(nèi)，大長方形中未被覆蓋的兩個部分（圖中陰影部分)，設(shè)左上角的面積為，右下角的面積為，當(dāng)?shù)拈L變化時，發(fā)現(xiàn)的值始終保持不變，請求出a與b的數(shù)量關(guān)系．2．記，令，我們稱為這列數(shù)的“理想數(shù)”．例如：，則，，則．（1）請直接寫出．（2）如果，那么．（3）已知的“理想數(shù)”為2004，那么8，的“理想數(shù)”是多少？3．表格為2021年11月的日歷：日一二三四五六123456789101112131415161718192021222324252627282930（1）在日歷上任意圈出一個豎列上相鄰的3個數(shù)：①設(shè)中間的一個數(shù)為a，則另外的兩個數(shù)為，；②若已知這三個數(shù)的和為60，則這三個數(shù)在星期．（2）在日歷上用一個小正方形任意圈出其中的9個數(shù)，設(shè)圈出的9個數(shù)的中心的數(shù)為b，若這9個數(shù)的和為153，求的值．4．某水果批發(fā)市場蘋果的價格如下表：價

目

表購買蘋果（千克）單價不超過20千克的部分7元/千克超過20千克但不超過40千克的部分6元/千克超過40千克的部分5元/千克（1）小明第一次購買10千克蘋果，需要付費_________元；小明第二次購買蘋果x千克（x超過20千克但不超過40千克）需要付費_______元（用含x的式子表示）（2）小強分兩次共買100千克，第二次購買的數(shù)量多于第一次購買數(shù)量，且第一次購買的數(shù)量為a千克，請問兩次購買水果共需要付費多少元？（用含a的式子表示）5．閱讀下列材料，并解決有關(guān)問題：我們知道，|x|＝，現(xiàn)在我們可以用這一結(jié)論來化簡含有絕對值的式子，例如化簡式子|x＋1|＋|x﹣2|時，可令x＋1＝0和x﹣2＝0，分別求得x＝﹣1，x＝2（稱﹣1、2分別為|x＋1|與|x﹣2|的零點值）．在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點值x＝﹣1和x＝2可將全體有理數(shù)不重復(fù)且不遺漏地分成如下三種情況：①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2.從而化簡代數(shù)式|x＋1|＋|x﹣2|可分為以下3種情況：（Ⅰ）當(dāng)x＜﹣1時，原式＝﹣（x＋1）﹣（x﹣2）＝﹣2x＋1；（Ⅱ）當(dāng)﹣1≤x＜2時，原式＝（x＋1）﹣（x﹣2）＝3；（Ⅲ）當(dāng)x≥2時，原式＝（x＋1）＋（x﹣2）＝2x﹣1；綜上所述：原式＝．通過以上閱讀，請你類比解決以下問題：(1)填空：|x＋2|與|x﹣4|的零點值分別為；(2)化簡式子|x﹣3|＋2|x＋4|．6．觀察是數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)．在數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)中，我們要善于通過觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進而解決問題．請你擦亮眼睛，開動腦筋，解答下列問題．（1）觀察下列等式：根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，寫出第5個等式是，第n個等式是；（2）根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算：；（3）把四張大小相同的長方形卡片（如圖1），分別按如圖2、圖3兩種放法互不重疊地放入一個大長方形內(nèi)，未被長方形卡片覆蓋的部分用陰影表示．已知小長方形的長為x，寬為y，請直接寫出x與y之間存在的等量關(guān)系式；若大長方形的長為a，請直接用含a的整式表示圖2中陰影部分的周長與圖3中陰影部分的周長的差．7．對于一個四位自然數(shù)，如果滿足各數(shù)位上的數(shù)字不全相同且均不為0，它的千位數(shù)字減去個位數(shù)字之差等于百位數(shù)字減去十位數(shù)字之差，那么稱這個數(shù)為“差同數(shù)”．對于一個“差同數(shù)”，將它的千位和個位構(gòu)成的兩位數(shù)減去百位和十位構(gòu)成的兩位數(shù)所得差記為，將它的千位和十位構(gòu)成的兩位數(shù)減去百位和個位構(gòu)成的兩位數(shù)所得差記為，規(guī)定：．例：，因為，故：7513是一個“差同數(shù)”．所以：，，則：．(1)請判斷是否是“差同數(shù)”．如果是，請求出的值；(2)若自然數(shù)，都是“差同數(shù)”，其中，（，，，，，，，都是整數(shù)），規(guī)定：，當(dāng)能被11整除時，求的最小值．8．關(guān)于x的整式，當(dāng)x取任意一組相反數(shù)m與時，若整式的值相等，則該整式叫做“偶整式”；若整式的值互為相反數(shù)，則該整式叫做“奇整式”．例如：是“偶整式”，是“奇整式”．(1)若整式A是關(guān)于x的“奇整式”，當(dāng)x取1與時，對應(yīng)的整式值分別為，，則___________；(2)判斷式子是“偶整式”還是“奇整式”，并說明理由；(3)對于整式，可以看作一個“偶整式”與“奇整式”的和．①這個“偶整式”是___________，“奇整式”是___________；②當(dāng)x分別取，，，0，1，2，3時，這七個整式的值之和是___________．9．對于一個四位自然數(shù)，如果滿足各數(shù)位上的數(shù)字不全相同且均不為0，它的千位數(shù)字減去個位數(shù)字之差等于百位數(shù)字減去十位數(shù)字之差，那么稱這個數(shù)為“差同數(shù)”．對于一個“差同數(shù)”，將它的千位和個位構(gòu)成的兩位數(shù)減去百位和十位構(gòu)成的兩位數(shù)所得差記為，將它的千位和十位構(gòu)成的兩位數(shù)減去百位和個位構(gòu)成的兩位數(shù)所得差記為，規(guī)定：．例：，因為，故：是一個“差同數(shù)”．所以：，則：．(1)寫出一個“差同數(shù)”___________(2)請判斷4378是否是“差同數(shù)”．如果是，請求出的值；(3)若自然數(shù)P，Q都是“差同數(shù)”，其中，（，x，y，m，n都是整數(shù)），規(guī)定：，當(dāng)能被11整除時，求k的最小值．10．7張如圖1的長為，寬為b的小長方形紙片，按如圖2、3的方式不重疊地放在長方形內(nèi)；未被覆蓋的部分（兩個長方形）用陰影表示．

(1)如圖2，點E、Q、P在同一直線上，點F、Q、G在同一直線上，右下角與左上角的陰影部分的面積的差為____________（用含的代數(shù)式表示），長方形的面積為____________（用含的代數(shù)式表示）(2)如圖3，點F、H、Q、G在同一直線上，設(shè)右下角與左上角的陰影部分的面積的差為S，.①用含的代數(shù)式表示；②當(dāng)?shù)拈L度變化時，按照同樣的放置方式，要使S始終保持不變，那么必須滿足什么條件?11．閱讀材料：在學(xué)習(xí)多項式乘以多項式時，我們知道的結(jié)果是一個多項式，并且最高次項為：，常數(shù)項為：．那么一次項是多少呢？要解決這個問題，就是要確定該一次項的系數(shù)．通過觀察，我們發(fā)現(xiàn)：一次項系數(shù)就是：，即一次項為．參考材料中用到的方法，解決下列問題：(1)計算所得多項式的一次項系數(shù)為．(2)如果計算所得多項式不含一次項，求的值；(3)如果，求的值．12．觀察下列一組等式：(1)以上這些等式中，你有何發(fā)現(xiàn)？利用你的發(fā)現(xiàn)填空．①__________；②（）；③（）．(2)利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來計算：．13．我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”（如圖），此圖揭示了（a+b）n（n為非負(fù)整數(shù)）展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的相關(guān)規(guī)律．例如：（a+b）0＝1，它只有一項，系數(shù)為1；（a+b）1＝a+b，它有兩項，系數(shù)分別為1，1，系數(shù)和為2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三項，系數(shù)分別為1，2，1，系數(shù)和為4；根據(jù)以上規(guī)律，解答下列問題：（1）（a+b）5展開式的系數(shù)和是；（a+b）n展開式的系數(shù)和是．（2）當(dāng)a＝2時，（a+b）5展開式的系數(shù)和是；（a+b）n展開式的系數(shù)和是．14．有些大數(shù)值問題可以通過用字母代替數(shù)轉(zhuǎn)化成整式問題來解決，請先閱讀下面的解題過程，再解答后面的問題．例：若，，試比較，的大小．解：設(shè)，那么看完后，你學(xué)到了這種方法嗎？再親自試一試吧，你準(zhǔn)行！問題：若，，試比較，的大?。?5．圖1是一個長方形窗戶ABCD，它是由上下兩個長方形（長方形AEFD和長方形EBCF）的小窗戶組成，在這兩個小窗戶上各安裝了一個可以朝一個方向水平方向拉伸的遮陽簾，這兩個遮陽簾的高度分別是a和2b（即DF＝a，BE＝2b），且b＞a＞0．當(dāng)遮陽簾沒有拉伸時（如圖1），窗戶的透光面積就是整個長方形窗戶（長方形ABCD）的面積．如圖2，上面窗戶的遮陽簾水平方向向左拉伸2a至GH．當(dāng)下面窗戶的遮陽簾水平方向向右拉伸2b時，恰好與GH在同一直線上（即點G、H、P在同一直線上）．（1）求長方形窗戶ABCD的總面積；（用含a、b的代數(shù)式表示）（2）如圖3，如果上面窗戶的遮陽簾保持不動，將下面窗戶的遮陽簾繼續(xù)水平方向向右拉伸b至PQ時，求此時窗戶透光的面積（即圖中空白部分的面積）為多少？（用含a、b的代數(shù)式表示）（3）如果上面窗戶的遮陽簾保持不動，當(dāng)下面窗戶的遮陽簾拉伸至BC的中點處時，請通過計算比較窗戶的透光的面積與被遮陽簾遮住的面積的大?。?6．有7張如圖1規(guī)格相同的小長方形紙片，長為a，寬為b（a＞b），按如圖2、3的方式不重疊無縫隙地放在矩形ABCD內(nèi)，未被覆蓋的部分（兩個矩形）用陰影表示．（1）如圖2，點E、Q、P在同一直線上，點F、Q、G在同一直線上，右下角陰影部分矩形QPCG的面積為（用含a、b的代數(shù)式表示），左上角陰影部分矩形AFQE的面積為（用含a、b的代數(shù)式表示），矩形ABCD的面積為．（用含a、b的代數(shù)式表示）（2）如圖3，點F、H、Q、G在同一直線上，設(shè)右下角與左上角的陰影部分的面積的差為S，PC＝x．①用a、b、x的代數(shù)式表示AE②當(dāng)BC的長度變化時，按照同樣的放置方式，如果S的值始終保持不變，那么a、b必須滿足什么條件？17．閱讀理解題閱讀材料：

兩個兩位數(shù)相乘，如果這兩個因數(shù)的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字的和是10，該類乘法的速算方法是：將一個因數(shù)的十位數(shù)字與另一個因數(shù)的十位數(shù)字加1的和相乘，所得的積作為計算結(jié)果的前兩位，將兩個因數(shù)的個位數(shù)字之積作為計算結(jié)果的后兩位（數(shù)位不足兩位，用0補齊）．

比如，它們乘積的前兩位是，它們乘積的后兩位是，所以；

再如，它們乘積的前兩位是，它們乘積的后兩位是，所以；

又如，，不足兩位，就將6寫在百位：，不足兩位，就將9寫在個位，十位上寫0，所以

該速算方法可以用我們所學(xué)的整式乘法與分解因式的知識說明其合理性；

設(shè)其中一個因數(shù)的十位數(shù)字為，個位數(shù)字是，（、表示1~9的整數(shù)），則該數(shù)可表示為，另一因數(shù)可表示為．

兩數(shù)相乘可得：.（注：其中表示計算結(jié)果的前兩位，表示計算結(jié)果的后兩位．）問題：

兩個兩位數(shù)相乘，如果其中一個因數(shù)的十位數(shù)字與個位數(shù)字相同，另一因數(shù)的十位數(shù)字與個位數(shù)字之和是10．

如、、等．（1）探索該類乘法的速算方法，請以為例寫出你的計算步驟；（2）設(shè)十位數(shù)字與個位數(shù)字相同的因數(shù)的十位數(shù)字是，則該數(shù)可以表示為___________．設(shè)另一個因數(shù)的十位數(shù)字是，則該數(shù)可以表示為___________．（、表示1~9的正整數(shù)）（3）請針對問題（1）（2）中的計算，模仿閱讀材料中所用的方法寫出如：的運算式：____________________18．對于代數(shù)式，不同的表達形式能表現(xiàn)出它不同的性質(zhì)，若代數(shù)式，代數(shù)式，改變x的值，代數(shù)式A，B有不同的取值，如下表：x012340381524350381524觀察表格發(fā)現(xiàn)：當(dāng)時，，當(dāng)時，，我們把這種現(xiàn)象稱為代數(shù)式B參照代數(shù)式A取值延后，相應(yīng)的延后值為1．(1)若代數(shù)式D參照代數(shù)式A取值延后，相應(yīng)的延后值為2，求代數(shù)式D；(2)若代數(shù)式參照代數(shù)式A的取值延后，求相應(yīng)的延后值；(3)若代數(shù)式參照代數(shù)式取值延后，求的值．19．閱讀理解下列材料：“數(shù)形結(jié)合”是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想．在學(xué)習(xí)“整式的乘法”時，我們通過構(gòu)造幾何圖形，用“等積法”直觀地推導(dǎo)出了完全平方和公式：（如圖1）．所謂“等積法”就是用不同的方法表示同一個圖形的面積，從而得到一個等式．如圖1，從整體看是一邊長為的正方形，其面積為．從局部看由四部分組成，即：一個邊長為的正方形，一個邊長為的正方形，兩個長、寬分別為，的長方形．這四部分的面積和為．因為它們表示的是同一個圖形的面積，所以這兩個代數(shù)式應(yīng)該相等，即．同理，圖2可以得到一個等式：．根據(jù)以上材料提供的方法，完成下列問題：(1)由圖3可得等式：___________；(2)由圖4可得等式：____________；(3)若，，，且，，求的值．①為了解決這個問題，請你利用數(shù)形結(jié)合思想，仿照前面的方法在下方空白處畫出相應(yīng)的幾何圖形，通過這個幾何圖形得到一個含有，，的等式．②根據(jù)你畫的圖形可得等式：______________；③利用①的結(jié)論，求的值．20．對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數(shù)學(xué)等式．例如圖1可以得到，請解答下列問題：（1）寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式______；（2）利用（1）中得到的結(jié)論，解決下面的問題：若，則_____；（3）小明同學(xué)用圖3中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張邊長分別為的長方形紙片拼出一個面積為長方形圖形，則_______．（4）如圖4所示，將兩個邊長分別為a和b的正方形拼在一起，三點在同一直線上，連接和，若兩正方形的邊長滿足，你能求出陰影部分的面積嗎？21．閱讀材料小明遇到這樣一個問題：求計算所得多項式的一次項系數(shù).小明想通過計算所得的多項式解決上面的問題，但感覺有些繁瑣，他想探尋一下，是否有相對簡潔的方法.他決定從簡單情況開始，先找所得多項式中的一次項系數(shù)，通過觀察發(fā)現(xiàn)：也就是說，只需用中的一次項系數(shù)1乘以中的常數(shù)項3，再用中的常數(shù)項2乘以中的一次項系數(shù)2，兩個積相加，即可得到一次項系數(shù).延續(xù)上面的方法，求計算所得多項式的一次項系數(shù)，可以先用的一次項系數(shù)1，的常數(shù)項3，的常數(shù)項4，相乘得到12；再用的一次項系數(shù)2，的常數(shù)項2，的常數(shù)項4，相乘得到16；然后用的一次項系數(shù)3，的常數(shù)項2的常數(shù)項3，相乘得到18.最后將12，16，18相加，得到的一次項系數(shù)為46.參考小明思考問題的方法，解決下列問題：(1)計算所得多項式的一次項系數(shù)為____________________.(2)計算所得多項式的一次項系數(shù)為_____________.(3)若是的一個因式，求、的值.22．定義：對于依次排列的多項式x+a，x+b，x+c，x+d(a，b，c，