特訓(xùn)01 整式的加減與乘法壓軸題（原卷版）

特訓(xùn)01整式的加減與乘法壓軸題一、解答題1．學(xué)習(xí)代數(shù)式求值時(shí)，遇到這樣一類(lèi)題“代數(shù)式的值與x的取值無(wú)關(guān)，求m的值”，通常的解題方法是：把x、y看作字母，m看作系數(shù)合并同類(lèi)項(xiàng)，因?yàn)榇鷶?shù)式的值與x的取值無(wú)關(guān)，所以含x的系數(shù)為0，即原式，所以，則．(1)若多項(xiàng)式的值與x的取值無(wú)關(guān)，求a值；(2)5張如圖1的小長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為a，寬為b，按照?qǐng)D2方式不重疊地放在大長(zhǎng)方形內(nèi)，大長(zhǎng)方形中未被覆蓋的兩個(gè)部分（圖中陰影部分)，設(shè)左上角的面積為，右下角的面積為，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)變化時(shí)，發(fā)現(xiàn)的值始終保持不變，請(qǐng)求出a與b的數(shù)量關(guān)系．2．記，令，我們稱(chēng)為這列數(shù)的“理想數(shù)”．例如：，則，，則．（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出．（2）如果，那么．（3）已知的“理想數(shù)”為2004，那么8，的“理想數(shù)”是多少？3．表格為2021年11月的日歷：日一二三四五六123456789101112131415161718192021222324252627282930（1）在日歷上任意圈出一個(gè)豎列上相鄰的3個(gè)數(shù)：①設(shè)中間的一個(gè)數(shù)為a，則另外的兩個(gè)數(shù)為，；②若已知這三個(gè)數(shù)的和為60，則這三個(gè)數(shù)在星期．（2）在日歷上用一個(gè)小正方形任意圈出其中的9個(gè)數(shù)，設(shè)圈出的9個(gè)數(shù)的中心的數(shù)為b，若這9個(gè)數(shù)的和為153，求的值．4．某水果批發(fā)市場(chǎng)蘋(píng)果的價(jià)格如下表：價(jià)

目

表購(gòu)買(mǎi)蘋(píng)果（千克）單價(jià)不超過(guò)20千克的部分7元/千克超過(guò)20千克但不超過(guò)40千克的部分6元/千克超過(guò)40千克的部分5元/千克（1）小明第一次購(gòu)買(mǎi)10千克蘋(píng)果，需要付費(fèi)_________元；小明第二次購(gòu)買(mǎi)蘋(píng)果x千克（x超過(guò)20千克但不超過(guò)40千克）需要付費(fèi)_______元（用含x的式子表示）（2）小強(qiáng)分兩次共買(mǎi)100千克，第二次購(gòu)買(mǎi)的數(shù)量多于第一次購(gòu)買(mǎi)數(shù)量，且第一次購(gòu)買(mǎi)的數(shù)量為a千克，請(qǐng)問(wèn)兩次購(gòu)買(mǎi)水果共需要付費(fèi)多少元？（用含a的式子表示）5．閱讀下列材料，并解決有關(guān)問(wèn)題：我們知道，|x|＝，現(xiàn)在我們可以用這一結(jié)論來(lái)化簡(jiǎn)含有絕對(duì)值的式子，例如化簡(jiǎn)式子|x＋1|＋|x﹣2|時(shí)，可令x＋1＝0和x﹣2＝0，分別求得x＝﹣1，x＝2（稱(chēng)﹣1、2分別為|x＋1|與|x﹣2|的零點(diǎn)值）．在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點(diǎn)值x＝﹣1和x＝2可將全體有理數(shù)不重復(fù)且不遺漏地分成如下三種情況：①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2.從而化簡(jiǎn)代數(shù)式|x＋1|＋|x﹣2|可分為以下3種情況：（Ⅰ）當(dāng)x＜﹣1時(shí)，原式＝﹣（x＋1）﹣（x﹣2）＝﹣2x＋1；（Ⅱ）當(dāng)﹣1≤x＜2時(shí)，原式＝（x＋1）﹣（x﹣2）＝3；（Ⅲ）當(dāng)x≥2時(shí)，原式＝（x＋1）＋（x﹣2）＝2x﹣1；綜上所述：原式＝．通過(guò)以上閱讀，請(qǐng)你類(lèi)比解決以下問(wèn)題：(1)填空：|x＋2|與|x﹣4|的零點(diǎn)值分別為；(2)化簡(jiǎn)式子|x﹣3|＋2|x＋4|．6．觀(guān)察是數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)．在數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)中，我們要善于通過(guò)觀(guān)察發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)而解決問(wèn)題．請(qǐng)你擦亮眼睛，開(kāi)動(dòng)腦筋，解答下列問(wèn)題．（1）觀(guān)察下列等式：根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，寫(xiě)出第5個(gè)等式是，第n個(gè)等式是；（2）根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：；（3）把四張大小相同的長(zhǎng)方形卡片（如圖1），分別按如圖2、圖3兩種放法互不重疊地放入一個(gè)大長(zhǎng)方形內(nèi)，未被長(zhǎng)方形卡片覆蓋的部分用陰影表示．已知小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為x，寬為y，請(qǐng)直接寫(xiě)出x與y之間存在的等量關(guān)系式；若大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為a，請(qǐng)直接用含a的整式表示圖2中陰影部分的周長(zhǎng)與圖3中陰影部分的周長(zhǎng)的差．7．對(duì)于一個(gè)四位自然數(shù)，如果滿(mǎn)足各數(shù)位上的數(shù)字不全相同且均不為0，它的千位數(shù)字減去個(gè)位數(shù)字之差等于百位數(shù)字減去十位數(shù)字之差，那么稱(chēng)這個(gè)數(shù)為“差同數(shù)”．對(duì)于一個(gè)“差同數(shù)”，將它的千位和個(gè)位構(gòu)成的兩位數(shù)減去百位和十位構(gòu)成的兩位數(shù)所得差記為，將它的千位和十位構(gòu)成的兩位數(shù)減去百位和個(gè)位構(gòu)成的兩位數(shù)所得差記為，規(guī)定：．例：，因?yàn)?，故?513是一個(gè)“差同數(shù)”．所以：，，則：．(1)請(qǐng)判斷是否是“差同數(shù)”．如果是，請(qǐng)求出的值；(2)若自然數(shù)，都是“差同數(shù)”，其中，（，，，，，，，都是整數(shù)），規(guī)定：，當(dāng)能被11整除時(shí)，求的最小值．8．關(guān)于x的整式，當(dāng)x取任意一組相反數(shù)m與時(shí)，若整式的值相等，則該整式叫做“偶整式”；若整式的值互為相反數(shù)，則該整式叫做“奇整式”．例如：是“偶整式”，是“奇整式”．(1)若整式A是關(guān)于x的“奇整式”，當(dāng)x取1與時(shí)，對(duì)應(yīng)的整式值分別為，，則___________；(2)判斷式子是“偶整式”還是“奇整式”，并說(shuō)明理由；(3)對(duì)于整式，可以看作一個(gè)“偶整式”與“奇整式”的和．①這個(gè)“偶整式”是___________，“奇整式”是___________；②當(dāng)x分別取，，，0，1，2，3時(shí)，這七個(gè)整式的值之和是___________．9．對(duì)于一個(gè)四位自然數(shù)，如果滿(mǎn)足各數(shù)位上的數(shù)字不全相同且均不為0，它的千位數(shù)字減去個(gè)位數(shù)字之差等于百位數(shù)字減去十位數(shù)字之差，那么稱(chēng)這個(gè)數(shù)為“差同數(shù)”．對(duì)于一個(gè)“差同數(shù)”，將它的千位和個(gè)位構(gòu)成的兩位數(shù)減去百位和十位構(gòu)成的兩位數(shù)所得差記為，將它的千位和十位構(gòu)成的兩位數(shù)減去百位和個(gè)位構(gòu)成的兩位數(shù)所得差記為，規(guī)定：．例：，因?yàn)?，故：是一個(gè)“差同數(shù)”．所以：，則：．(1)寫(xiě)出一個(gè)“差同數(shù)”___________(2)請(qǐng)判斷4378是否是“差同數(shù)”．如果是，請(qǐng)求出的值；(3)若自然數(shù)P，Q都是“差同數(shù)”，其中，（，x，y，m，n都是整數(shù)），規(guī)定：，當(dāng)能被11整除時(shí)，求k的最小值．10．7張如圖1的長(zhǎng)為，寬為b的小長(zhǎng)方形紙片，按如圖2、3的方式不重疊地放在長(zhǎng)方形內(nèi)；未被覆蓋的部分（兩個(gè)長(zhǎng)方形）用陰影表示．

(1)如圖2，點(diǎn)E、Q、P在同一直線(xiàn)上，點(diǎn)F、Q、G在同一直線(xiàn)上，右下角與左上角的陰影部分的面積的差為_(kāi)___________（用含的代數(shù)式表示），長(zhǎng)方形的面積為_(kāi)___________（用含的代數(shù)式表示）(2)如圖3，點(diǎn)F、H、Q、G在同一直線(xiàn)上，設(shè)右下角與左上角的陰影部分的面積的差為S，.①用含的代數(shù)式表示；②當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度變化時(shí)，按照同樣的放置方式，要使S始終保持不變，那么必須滿(mǎn)足什么條件?11．閱讀材料：在學(xué)習(xí)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式時(shí)，我們知道的結(jié)果是一個(gè)多項(xiàng)式，并且最高次項(xiàng)為：，常數(shù)項(xiàng)為：．那么一次項(xiàng)是多少呢？要解決這個(gè)問(wèn)題，就是要確定該一次項(xiàng)的系數(shù)．通過(guò)觀(guān)察，我們發(fā)現(xiàn)：一次項(xiàng)系數(shù)就是：，即一次項(xiàng)為．參考材料中用到的方法，解決下列問(wèn)題：(1)計(jì)算所得多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)為．(2)如果計(jì)算所得多項(xiàng)式不含一次項(xiàng)，求的值；(3)如果，求的值．12．觀(guān)察下列一組等式：(1)以上這些等式中，你有何發(fā)現(xiàn)？利用你的發(fā)現(xiàn)填空．①__________；②（）；③（）．(2)利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來(lái)計(jì)算：．13．我國(guó)宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”（如圖），此圖揭示了（a+b）n（n為非負(fù)整數(shù)）展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的相關(guān)規(guī)律．例如：（a+b）0＝1，它只有一項(xiàng)，系數(shù)為1；（a+b）1＝a+b，它有兩項(xiàng)，系數(shù)分別為1，1，系數(shù)和為2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三項(xiàng)，系數(shù)分別為1，2，1，系數(shù)和為4；根據(jù)以上規(guī)律，解答下列問(wèn)題：（1）（a+b）5展開(kāi)式的系數(shù)和是；（a+b）n展開(kāi)式的系數(shù)和是．（2）當(dāng)a＝2時(shí)，（a+b）5展開(kāi)式的系數(shù)和是；（a+b）n展開(kāi)式的系數(shù)和是．14．有些大數(shù)值問(wèn)題可以通過(guò)用字母代替數(shù)轉(zhuǎn)化成整式問(wèn)題來(lái)解決，請(qǐng)先閱讀下面的解題過(guò)程，再解答后面的問(wèn)題．例：若，，試比較，的大小．解：設(shè)，那么看完后，你學(xué)到了這種方法嗎？再親自試一試吧，你準(zhǔn)行！問(wèn)題：若，，試比較，的大小．15．圖1是一個(gè)長(zhǎng)方形窗戶(hù)ABCD，它是由上下兩個(gè)長(zhǎng)方形（長(zhǎng)方形AEFD和長(zhǎng)方形EBCF）的小窗戶(hù)組成，在這兩個(gè)小窗戶(hù)上各安裝了一個(gè)可以朝一個(gè)方向水平方向拉伸的遮陽(yáng)簾，這兩個(gè)遮陽(yáng)簾的高度分別是a和2b（即DF＝a，BE＝2b），且b＞a＞0．當(dāng)遮陽(yáng)簾沒(méi)有拉伸時(shí)（如圖1），窗戶(hù)的透光面積就是整個(gè)長(zhǎng)方形窗戶(hù)（長(zhǎng)方形ABCD）的面積．如圖2，上面窗戶(hù)的遮陽(yáng)簾水平方向向左拉伸2a至GH．當(dāng)下面窗戶(hù)的遮陽(yáng)簾水平方向向右拉伸2b時(shí)，恰好與GH在同一直線(xiàn)上（即點(diǎn)G、H、P在同一直線(xiàn)上）．（1）求長(zhǎng)方形窗戶(hù)ABCD的總面積；（用含a、b的代數(shù)式表示）（2）如圖3，如果上面窗戶(hù)的遮陽(yáng)簾保持不動(dòng)，將下面窗戶(hù)的遮陽(yáng)簾繼續(xù)水平方向向右拉伸b至PQ時(shí)，求此時(shí)窗戶(hù)透光的面積（即圖中空白部分的面積）為多少？（用含a、b的代數(shù)式表示）（3）如果上面窗戶(hù)的遮陽(yáng)簾保持不動(dòng)，當(dāng)下面窗戶(hù)的遮陽(yáng)簾拉伸至BC的中點(diǎn)處時(shí)，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算比較窗戶(hù)的透光的面積與被遮陽(yáng)簾遮住的面積的大?。?6．有7張如圖1規(guī)格相同的小長(zhǎng)方形紙片，長(zhǎng)為a，寬為b（a＞b），按如圖2、3的方式不重疊無(wú)縫隙地放在矩形ABCD內(nèi)，未被覆蓋的部分（兩個(gè)矩形）用陰影表示．（1）如圖2，點(diǎn)E、Q、P在同一直線(xiàn)上，點(diǎn)F、Q、G在同一直線(xiàn)上，右下角陰影部分矩形QPCG的面積為（用含a、b的代數(shù)式表示），左上角陰影部分矩形AFQE的面積為（用含a、b的代數(shù)式表示），矩形ABCD的面積為．（用含a、b的代數(shù)式表示）（2）如圖3，點(diǎn)F、H、Q、G在同一直線(xiàn)上，設(shè)右下角與左上角的陰影部分的面積的差為S，PC＝x．①用a、b、x的代數(shù)式表示AE②當(dāng)BC的長(zhǎng)度變化時(shí)，按照同樣的放置方式，如果S的值始終保持不變，那么a、b必須滿(mǎn)足什么條件？17．閱讀理解題閱讀材料：

兩個(gè)兩位數(shù)相乘，如果這兩個(gè)因數(shù)的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字的和是10，該類(lèi)乘法的速算方法是：將一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)字與另一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)字加1的和相乘，所得的積作為計(jì)算結(jié)果的前兩位，將兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)字之積作為計(jì)算結(jié)果的后兩位（數(shù)位不足兩位，用0補(bǔ)齊）．

比如，它們乘積的前兩位是，它們乘積的后兩位是，所以；

再如，它們乘積的前兩位是，它們乘積的后兩位是，所以；

又如，，不足兩位，就將6寫(xiě)在百位：，不足兩位，就將9寫(xiě)在個(gè)位，十位上寫(xiě)0，所以

該速算方法可以用我們所學(xué)的整式乘法與分解因式的知識(shí)說(shuō)明其合理性；

設(shè)其中一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)字為，個(gè)位數(shù)字是，（、表示1~9的整數(shù)），則該數(shù)可表示為，另一因數(shù)可表示為．

兩數(shù)相乘可得：.（注：其中表示計(jì)算結(jié)果的前兩位，表示計(jì)算結(jié)果的后兩位．）問(wèn)題：

兩個(gè)兩位數(shù)相乘，如果其中一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字相同，另一因數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和是10．

如、、等．（1）探索該類(lèi)乘法的速算方法，請(qǐng)以為例寫(xiě)出你的計(jì)算步驟；（2）設(shè)十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字相同的因數(shù)的十位數(shù)字是，則該數(shù)可以表示為_(kāi)__________．設(shè)另一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)字是，則該數(shù)可以表示為_(kāi)__________．（、表示1~9的正整數(shù)）（3）請(qǐng)針對(duì)問(wèn)題（1）（2）中的計(jì)算，模仿閱讀材料中所用的方法寫(xiě)出如：的運(yùn)算式：____________________18．對(duì)于代數(shù)式，不同的表達(dá)形式能表現(xiàn)出它不同的性質(zhì)，若代數(shù)式，代數(shù)式，改變x的值，代數(shù)式A，B有不同的取值，如下表：x012340381524350381524觀(guān)察表格發(fā)現(xiàn)：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，我們把這種現(xiàn)象稱(chēng)為代數(shù)式B參照代數(shù)式A取值延后，相應(yīng)的延后值為1．(1)若代數(shù)式D參照代數(shù)式A取值延后，相應(yīng)的延后值為2，求代數(shù)式D；(2)若代數(shù)式參照代數(shù)式A的取值延后，求相應(yīng)的延后值；(3)若代數(shù)式參照代數(shù)式取值延后，求的值．19．閱讀理解下列材料：“數(shù)形結(jié)合”是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想．在學(xué)習(xí)“整式的乘法”時(shí)，我們通過(guò)構(gòu)造幾何圖形，用“等積法”直觀(guān)地推導(dǎo)出了完全平方和公式：（如圖1）．所謂“等積法”就是用不同的方法表示同一個(gè)圖形的面積，從而得到一個(gè)等式．如圖1，從整體看是一邊長(zhǎng)為的正方形，其面積為．從局部看由四部分組成，即：一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，兩個(gè)長(zhǎng)、寬分別為，的長(zhǎng)方形．這四部分的面積和為．因?yàn)樗鼈儽硎镜氖峭粋€(gè)圖形的面積，所以這兩個(gè)代數(shù)式應(yīng)該相等，即．同理，圖2可以得到一個(gè)等式：．根據(jù)以上材料提供的方法，完成下列問(wèn)題：(1)由圖3可得等式：___________；(2)由圖4可得等式：____________；(3)若，，，且，，求的值．①為了解決這個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你利用數(shù)形結(jié)合思想，仿照前面的方法在下方空白處畫(huà)出相應(yīng)的幾何圖形，通過(guò)這個(gè)幾何圖形得到一個(gè)含有，，的等式．②根據(jù)你畫(huà)的圖形可得等式：______________；③利用①的結(jié)論，求的值．20．對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．例如圖1可以得到，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）寫(xiě)出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式______；（2）利用（1）中得到的結(jié)論，解決下面的問(wèn)題：若，則_____；（3）小明同學(xué)用圖3中x張邊長(zhǎng)為a的正方形，y張邊長(zhǎng)為b的正方形，z張邊長(zhǎng)分別為的長(zhǎng)方形紙片拼出一個(gè)面積為長(zhǎng)方形圖形，則_______．（4）如圖4所示，將兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a和b的正方形拼在一起，三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，連接和，若兩正方形的邊長(zhǎng)滿(mǎn)足，你能求出陰影部分的面積嗎？21．閱讀材料小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：求計(jì)算所得多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù).小明想通過(guò)計(jì)算所得的多項(xiàng)式解決上面的問(wèn)題，但感覺(jué)有些繁瑣，他想探尋一下，是否有相對(duì)簡(jiǎn)潔的方法.他決定從簡(jiǎn)單情況開(kāi)始，先找所得多項(xiàng)式中的一次項(xiàng)系數(shù)，通過(guò)觀(guān)察發(fā)現(xiàn)：也就是說(shuō)，只需用中的一次項(xiàng)系數(shù)1乘以中的常數(shù)項(xiàng)3，再用中的常數(shù)項(xiàng)2乘以中的一次項(xiàng)系數(shù)2，兩個(gè)積相加，即可得到一次項(xiàng)系數(shù).延續(xù)上面的方法，求計(jì)算所得多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)，可以先用的一次項(xiàng)系數(shù)1，的常數(shù)項(xiàng)3，的常數(shù)項(xiàng)4，相乘得到12；再用的一次項(xiàng)系數(shù)2，的常數(shù)項(xiàng)2，的常數(shù)項(xiàng)4，相乘得到16；然后用的一次項(xiàng)系數(shù)3，的常數(shù)項(xiàng)2的常數(shù)項(xiàng)3，相乘得到18.最后將12，16，18相加，得到的一次項(xiàng)系數(shù)為46.參考小明思考問(wèn)題的方法，解決下列問(wèn)題：(1)計(jì)算所得多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)為_(kāi)___________________.(2)計(jì)算所得多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)為_(kāi)____________.(3)若是的一個(gè)因式，求、的值.22．定義：對(duì)于依次排列的多項(xiàng)式x+a，x+b，x+c，x+d(a，b，c，